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\chapter{Der Residuensatz}

In diesem Abschnitt sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $P ⊂ U$ endlich, und es $f ∈ 𝒪(U
∖ P)$ eine holomorphe Funktion mit isolierten Singularitäten bei $P$.  Gegeben
einen geschlossenen Weg $γ: [a,b] → U ∖ P$, der in $U$ zusammenziehbar ist, dann
fragen wir nach Möglichkeiten, das Integral
\[
  \int_{γ} f(z) \, dz
\]
einfach zu berechnen.  Einige Fälle kennen wir schon.

\begin{bemerkung}[Integralsatz von Cauchy]
  Falls $P = ∅$ die leere Menge ist, also $f ∈ 𝒪(U)$, dann sagt
  Korollar~\ref{kor:4-3-2} („Integralsatz von Cauchy“), dass das gesuchte
  Integral verschwindet,
  \[
    \int_{γ} f(z) \, dz = 0.
  \]
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}[Umlaufsinn ist wichtig]\label{bem:12-0-2}%
  Wenn $\overline{γ}$ derselbe Weg wie $γ$ ist, aber entgegengesetzter Richtung
  läuft, dann gilt
  \[
    \int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = -\int_{γ} f(z) \, dz.
  \]
  Also muss es eine Rolle spielen, wie $γ$ durchlaufen wird.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}[Spezielle Koeffizienten der Laurent-Entwicklung]
  Es sei $U = ℂ$ $P = \{rho\}$ sei ein einziger Punkt.  Schreibe $f$ als
  Laurentreihe,
  \[
    f(z) = \sum_{k=-∞}^∞ c_k (z-p)^k.
  \]
  Dann gilt nach Korollar~\ref{kor:10-2-5} für jede reelle Zahl $r ∈ ℝ⁺$ die
  Gleichung
  \[
    \frac{1}{2π i} \int_{\mathcal{B}_R(p)} f(z) \, dz = c_{-1}.
  \]
  Der Koeffizient $c_{-1}$ der Laurententwicklung scheint also eine besondere
  Rolle zu spielen.
\end{bemerkung}


\section{Die Umlaufzahl}

Der Begriff „Umlaufzahl“ präzisiert die in \ref{bem:12-0-2} gemachte
Beobachtung.

\begin{satz}[Umlaufzahl]\label{satz:12-2-1}%
  Sei $p ∈ ℂ$ und $γ: [0,1] → ℂ ∖ \{p\}$ ein stetiger, geschlossener Weg.  Dann
  gibt es genau eine Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
  \[
    [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ p + \exp(2π int)
  \]
  ist, nämlich
  \[
    n = \frac{1}{2π i} \int_{γ} \frac{1}{z-p} \, dz.
  \]
\end{satz}

Wir beweisen Satz~\ref{satz:12-2-1} später.  Zunächst definieren wir die
Umlaufzahl und diskutieren den Inhalt des Satzes geometrisch.

\begin{definition}[Umlaufzahl]\label{def:12-2-2}%
  In der Situation von Satz~\ref{satz:12-2-1} heißt $n$ die
  \emph{Umlaufzahl}\index{Umlaufzahl} oder
  \emph{Windungszahl}\index{Windungszahl} des Weges $γ$ um und Punkt $p$. Die
  Schreibweise $\Um(γ, p)$ ist üblich.
\end{definition}

\subsection{Anschauliche Bedeutung der Umlaufzahl}

Anschaulich gesprochen: Die Umlaufzahl zählt, wie oft $γ$ den Punkt $p$ entgegen
dem Uhrzeigersinn umläuft (Umrundungen im Uhrzeigersinn werden mit $-1$
gezählt).  Mit den folgenden goldenen Regeln kann man die Umlaufzahl praktisch
ermitteln, wenn man den Weg $γ$ zeichnerisch gegeben hat und wenn der Weg $γ$
einfach durchlaufen wird.  Dabei bedeutet „einfach durchlaufen“, dass es eine
endliche Menge $Z ⊂ [0,1]$ gibt, sodass $γ|_{[0,1] ∖ Z}$ injektiv ist.

\begin{description}
  \item[Goldene Regel 1] Die Umlaufzahl $\Um(γ, p)$ hängt nur von der
    Zusammenhangskomponente von $ℂ ∖ \Bild(γ)$ ab, in der sich der Punkt $p$
    befindet.

  \item[Goldene Regel 2] Auf der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von $\bC
    ∖ \Bild(γ)$ ist die Umlaufzahl gleich $0$.

  \item[Goldene Regel 3] Die Windungszahl in benachbarten
  Zusammenhangskomponenten unterscheidet sich um $± 1$, wobei die größere Zahl
  in Fahrtrichtung links liegt.
\end{description}

Abbildung~\ref{fig:12-1-1} zeigt, was dabei herauskommt.  Wir beweisen die
goldenen Regeln nicht wirklich vollständig, sondern geben nur gute Gründe für
deren Gültigkeit an.  Details sind Inhalt der Vorlesung „Topologie“.
\begin{figure}
  \begin{center}
    \includegraphics[width=4cm]{12-res1.png}
  \end{center}

  \caption{Anwendung der Goldenen Regeln}
  \label{fig:12-1-1}
\end{figure}

\begin{proof}[Begründung zur Goldenen Regel 1]
  Der Satz über parameterabhängige Integral zeigt, dass die Funktion
  \[
    \Um(γ, ·): ℂ ∖ \Bild(γ) → ℤ
  \]
  stetig ist.  Die Aussage folgt, weil die Bildmenge $ℤ$ diskret ist.
\end{proof}

\begin{proof}[Begründung zur Goldenen Regel 2]
  In der Topologie zeigt man: Der Weg $γ$ ist in $ℂ ∖ \{p\}$ zusammenziehbar,
  falls $p$ in der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von $γ$ liegt.  Die
  Aussage folgt dann aus Korollar~\ref{kor:4-3-2} („Integralsatz von Cauchy“),
  \[
    \int_γ \frac{1}{z-p} \, dz = \Um(γ, p) = 0.
  \]
\end{proof}

\begin{proof}[Begründung zur Goldenen Regel 3]
  Seien $p_1, p_2 ∈ ℂ ∖ \Bild(γ)$ in benachbarten Zusammenhangskomponenten.  Das
  sieht dann etwa so aus:
  \begin{center}
    \includegraphics[width=14cm]{12-res2.png}
  \end{center}
  Wir ändern den Weg $γ$ wie eingezeichnet ab und vergleichen die Umlaufzahlen
  der Wege $γ$ und $\widetilde{γ}_{ε}$.  Es ist
  \[
    \Um(γ, p_1) = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_1) = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_2).
  \]
  Dabei gilt das erste Gleichheitszeichen, weil der Weg $γ$ in $ℂ ∖ \{p_1\}$
  homotop zu $\widetilde{γ}_{ε}$ ist.  Die zweite Gleichheit gilt nach der
  Goldenen Regel 1, weil $p_1$ und $p_2$ in derselben Zusammenhangskomponente
  von $ℂ ∖ \Bild(\widetilde{γ}_{ε})$ ist.  Die Umlaufzahl $\Um(\widetilde{β},
  p_2)$ hängt natürlich nicht von der Größe $ε$ ab.  Wenn man $ε$ gegen null
  gehen lässt, erhält man folgendes Bild:
  \begin{center}
    \includegraphics[width=6cm]{12-res3.png}
  \end{center}
  Dann ist
  \begin{align*}
    \Um(γ, p_1) & = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_2) \\
    & = \frac{1}{2π i} \int_{\widetilde{γ}} \frac{1}{z-p_2} \, dz \\
    & = \frac{1}{2π i} \left( \int_{γ} \frac{1}{z-p_2} \, dz + \int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz \right) \\
    & = \Um(γ, p_2) + \frac{1}{2π i} · \int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz
    \intertext{und für $r$ ausreichend klein ist nach der Cauchy-Integralformel}
    \int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz & = \int_{B_r(p_2)} \frac{1}{z-p_2} \, dz = ± 2π i.
  \end{align*}
  Damit ist die Goldene Regel 3 zumindest halbwegs gerechtfertigt.
\end{proof}


\subsection{Beweis des Satzes~\ref*{satz:12-2-1} über die Umlaufzahl}

Wir bewiesen Satz~\ref{satz:12-2-1} in mehreren Schritten.

\begin{bemerkung}
  Nach Anwendung einer geeigneten Verschiebung können wir ohne Beschränkung der
  Allgemeinheit annehmen, dass $p$ der Nullpunkt ist, $p = 0$.
\end{bemerkung}

\begin{behauptung}[Existenz eines Logarithmus-Wegs]\label{beh:12-2-3}%
  Sei $a ∈ ℂ$ ein Logarithmus von $γ(0)$ (das bedeutet: $\exp(a) = γ(0)$).  Dann
  gibt es einen stetigen Weg $\widetilde{γ}: [0,1] → ℂ$ mit  $\widetilde{γ}(0) =
  a$, sodass für jedes $t \in [0,1]$ die Gleichung
  \[
    γ(t) = exp \bigl( \widetilde{γ}(t) \bigr)
  \]
  gilt.
\end{behauptung}
\begin{proof}[Beweis von Behauptung~\ref{beh:12-2-3}]
  Einige Fälle sind einfach.
  \begin{itemize}
  \item Falls $\Bild(γ)$ ganz in der geschlitzten Ebene $S \subseteq \bC$ liegt,
    nehmen wir
    \[
      \widetilde{γ}(t) = \log (γ(t)) + 2π i k.
    \]
    Dabei ist $\log$ der Hauptzweig des Logarithmus und $k ∈ ℤ$ ist so gewählt,
    dass $\widetilde{γ}(0) = a$ ist.
  
  \item Falls $\Bild(γ)$ ganz in $-S \subseteq \bC$ liegt, können wir analog
    vorgehen.
  \end{itemize}
  Im Allgemeinen wird das Bild von $\gamma$ weder in $S$ noch in $-S$ liegen.
  Dann zerlegen wir das Intervall $[0,1]$ durch Zwischenpunkte, $0 = t_0 < t_1 <
  … < t_r = 1$ so, dass $γ([t_{i-1}, t_i])$ jeweils in einem $S$ oder in $-S$
  enthalten ist.  Wähle dann induktiv Logarithmus-Wege
  \[
    \widetilde{γ}_i: [t_{i-1}, t_i] → ℂ
    \quad\text{mit}\quad
    \widetilde{γ}_i(t_{i-1}) = 
    \begin{cases}
      a & \text{falls } i = 1 \\
      \widetilde{γ}_{i-1}(t_{i-1}) & \text{sonst}
    \end{cases}
  \] 
  und erhalte durch Zusammenfügen der Wege $\widetilde{γ}_i$ den gewünschten Weg
  $\widetilde{γ}$.
\end{proof}

\begin{behauptung}[Existenz von $n$]\label{beh:12-2-4}%
  Es gibt eine Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
  \[
    \delta_n : [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ \exp(2πin·t)
  \]
  ist.
\end{behauptung}
\begin{proof}[Beweis von Behauptung~\ref{beh:12-2-4}]
  Es ist
  \[
    \exp(\widetilde{γ}(0)) = γ(0) = γ(1) = \exp(\widetilde{γ}(1)).
  \]
  Also ist $\widetilde{γ}(1) - \widetilde{γ}(0) ∈ \ker(\exp) = 2π i ℤ$. Demnach
  gibt es eine Zahl $n ∈ ℤ$ mit
  \[
    \widetilde{γ}(1) = \widetilde{γ}(0) + 2π i·n.
  \]
  Wir erinnern uns daran, dass der Topologische Raum $\bC$ einfach
  zusammenhängend ist.  Daher ist der  $\widetilde{γ}$ in $ℂ$ homotop zu jedem
  anderen Weg mit denselben Anfangs- und Endpunkt.  Insbesondere ist
  $\widetilde{γ}$ homotop zu
  \[
  β: [0,1] → ℂ, \quad t ↦ \widetilde{γ}(0) + 2πin·t.
  \]
  Also ist der Weg $γ = \exp \circ \widetilde{γ}$ in $\bC^*$ homotop zu 
  \[
    \exp \circ β: [0,1] → ℂ, \quad t ↦ γ(0)·\exp(2πin·t).
  \]
  Dieser Weg wiederum ist in $ℂ^*$ frei homotop zu $\delta_n$.  Damit ist die
  Existenz von $n$ gezeigt.
\end{proof}

\begin{behauptung}[Eindeutigkeit von $n$]\label{beh:12-2-5}%
  Es gibt genau Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
  \[
    \delta_n : [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ \exp(2πin·t)
  \]
  ist, nämlich 
  \[
    n = \frac{1}{2π i} \int_{γ} \frac{1}{z} \, dz.
  \]
\end{behauptung}
\begin{proof}[Beweis von Behauptung~\ref{beh:12-2-5}]
  Sei  $n$ eine Zahl mit der Eigenschaft, dass $γ$ frei homotop zu $\delta_n$
  ist.  Dann ist 
  \begin{align*}
    n & = \frac{1}{2π i} \int_{\delta_n} \frac{1}{z} \, dz && \text{Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}} \\
    & = \frac{1}{2π i} \int_{β} \frac{1}{z} \, dz. && \text{Satz~\ref{satz:4-3-6}.}
  \end{align*}
  Damit ist die Zahl $n$ eindeutig bestimmt.
\end{proof}


\section{Das Residuum}

\begin{definition}[Residuensatz]\label{def:12-3-1}%
  Es sei $f \in \sO(U \setminus p)$ und es sei $R > 0$, sodass
  $\overline{K_{0,R}(p)} \subset U$ ist.  Der Koeffizient von $(z-p)^{-1}$ in
  der Laurententwicklung von $f$ auf $K_{0,R}(p)$ wird
  \emph{Residuum}\index{Residuum} von $f$ in $p$ genannt. Die Bezeichnung
  $\Res_p(f)$ ist üblich.
\end{definition}

\begin{bsp}[Hebbare Singularität]
  Wenn $f$ in $p$ eine hebbare Singularität hat, dann ist $\Res_p(f) = 0$.  
\end{bsp}
  
\begin{bsp}[Polstelle]
  Es sei $U = \bC$, $p = 0$ und $f(z) = \frac{1}{z}$. Dann ist $\Res_p(f) = 1$.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Polstelle]
  Es sei $U = \bC^*$, $p \ne 0$ und $f(z) = \frac{1}{z}$. Dann ist $\Res_p(f) =
  0$.
\end{bsp}

\begin{erinnerung}
  In der Situation von Definition~\ref{def:12-3-1} ist
  \[
    \Res_p(f) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial K_R(p)} f(z) \, dz.
  \]  
\end{erinnerung}
  

\section{Der Residuensatz}


\begin{satz}[Residuensatz]\label{satz:12-3-2}%
  Es sei $U \subset \bC$ offen, es sei $P \subset U$ eine endliche Teilmenge,
  und $f \in \sO(U \setminus P)$. Sei weiter $\gamma: [a,b] \to U \setminus P$
  ein geschlossener und stetiger Weg, der in $U$ zusammenziehbar ist. Dann gilt:
  \[
    \int_\gamma f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \sum_{p \in P} \Um(\gamma, p) \cdot \Res_p(f).
  \]
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte zunächst einen Punkt $p \in P$. Entwickle $f$ in eine Laurentreihe
  in $p$:
  \[
    f(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty c_k \cdot (z-p)^k
  \]
  und definiere
  \[
    h_p(z) := \sum_{k=-\infty}^{-2} c_k \cdot (z-p)^k.
  \]
  Die Funktion $h_p$ hat folgende Eigenschaften.
  \begin{enumerate}
    \item Nach Fakt~\ref{fakt:10-3-1} definiert die Reihe $h_p$ eine auf ganz
      $\bC \setminus \{p\}$ holomorphe Funktion.

    \item Die Reihe
      \[
        \sum_{k=-\infty}^{-2} c_k \cdot \frac{(z-p)^{k+1}}{k+1}
      \]
      definiert eine auf ganz $\bC \setminus \{p\}$ holomorphe Stammfunktion von
      $h_p$.

    \item Die auf $U \setminus P$ definierte Funktion 
      \[
        f(z) - h_p(z) - \Res_p(f) \cdot (z-p)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty c_k \cdot (z-p)^k
      \]
      hat in $p$ eine hebbare Singularität!
    \end{enumerate}
  Das machen wir jetzt für alle $p \in P$ und erhalten: Die Funktion
  \[
    g(z) := f(z) - \sum_{p \in P} h_p(z) - \sum_{p \in P} \Res_p(f) \cdot (z-p)^{-1}
  \]
  hat in allen Punkte $p \in P$ hebbare Singularitäten. Da die Kurve $\gamma$ in $U$ zusammenziehbar ist, folgt aus dem
  Cauchy-Integralsatz
  \[
    \int_\gamma g(z) \, dz = 0.
  \]
  Also ist
  \[
    \int_\gamma f(z) \, dz = \sum_{p \in P} \underbrace{\int_\gamma h_p(z) \, dz}_{=0\text{, weil Stammfkt.~existiert}} 
      + \sum_{p \in P} \underbrace{\int_\gamma \frac{\Res_p(f)}{z-p} \, dz}_{= 2\pi i \cdot \Um(\gamma, p) \cdot \Res_p(f)}.
  \]
  Damit ist der Satz bewiesen.
\end{proof}
% !TEX root = Funktionentheorie