68 lines
2.9 KiB
TeX
68 lines
2.9 KiB
TeX
% spell checker language
|
||
\selectlanguage{german}
|
||
|
||
\chapter{Potenzreihenentwicklung}
|
||
|
||
In der Analysis liefern Potenzreihen $\sum a_i xⁱ$ interessante Beispiele für
|
||
reelle Funktionen. Gegeben irgendeine $\cC^∞$-Funktion $f$, so kann ich $f$ mit
|
||
der Taylor-Entwicklung vergleichen. In diesem Abschnitt geht es um ähnliche
|
||
Aussagen für komplexe Potenzreihen $\sum a_i zⁱ$ (wo $a_i ∈ ℂ$, $z$ eine
|
||
komplexe Variable) und Taylor-Entwicklungen von holomorphen Funktionen.
|
||
|
||
\begin{erinnerung}[Potenzreihen in Analysis I und II]
|
||
Es sei $(a_i)_i$ eine Folge reeller Zahlen und sei $ρ ∈ ℝ$ eine feste Zahl.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Ausdrücke der Form $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ heißen „Potenzreihen mit
|
||
Entwicklungspunkt $ρ$“.
|
||
|
||
\item Angenommen, es existiert ein $x_0 ∈ ℝ$, sodass $\sum a_i (x_0 - ρ)ⁱ$
|
||
konvergiert. Dann gilt für alle $x$ mit $|x - ρ| < |x_0 - ρ|$, dass die
|
||
Reihe $\sum a_i (x - ρ)ⁱ$ absolut konvergiert.
|
||
|
||
\item Die Zahl
|
||
\[
|
||
\sup \left\{ |x - ρ| \::\: x ∈ ℝ, \text{ sodass } \sum a_i (x - ρ)ⁱ \text{ konvergiert} \right\}
|
||
∈ ℝ^{≥ 0} ∪ \{∞\}
|
||
\]
|
||
heißt Konvergenzradius.
|
||
|
||
\item Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius
|
||
$R > 0$. Dann gilt: die Folge der Partialsummen konvergiert auf dem offenen
|
||
Intervall $(ρ-r, ρ+r)$ kompakt. Das bedeutet: auf jeder kompakten Teilmenge
|
||
$K$ von $(ρ-r, ρ+r)$ konvergiert die Folge der Partialsummen gleichmäßig.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{erinnerung}
|
||
|
||
Alle Aussagen gelten mit denselben Beweisen auf für komplexe Zahlen.
|
||
|
||
\begin{fakt}[Komplexe Potenzreihen]
|
||
Es sei $(a_i)_i$ eine Folge komplexer Zahlen und sei $ρ ∈ ℂ$ eine feste Zahl.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Ausdrücke der Form $\sum_{i=0}^∞ a_i (z - ρ)ⁱ$ heißen „komplexe
|
||
Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $ρ$“.
|
||
|
||
\item Angenommen, es existiert ein $z_0 ∈ ℂ$, sodass $\sum a_i (z_0 - ρ)ⁱ$
|
||
konvergiert. Dann gilt für alle $z$ mit $|z - ρ| < |z_0 - ρ|$, dass die
|
||
Reihe $\sum a_i (z - ρ)ⁱ$ absolut konvergiert.
|
||
|
||
\item Die Zahl
|
||
\[
|
||
\sup \left\{ |z - ρ| \::\: z ∈ ℂ, \text{ sodass } \sum a_i (x - ρ)ⁱ \text{ konvergiert} \right\}
|
||
∈ ℝ^{≥ 0} ∪ \{∞\}
|
||
\]
|
||
heißt Konvergenzradius.
|
||
|
||
\item\label{il:6-0-2-4} Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ eine komplexe
|
||
Potenzreihe mit Konvergenzradius $R > 0$. Dann gilt: die Folge der
|
||
Partialsummen konvergiert auf der offenen Kreisscheibe $B_r(ρ)$ kompakt. Das
|
||
bedeutet: auf jeder kompakten Teilmenge $K$ von $B_r(ρ)$ konvergiert die
|
||
Folge der Partialsummen gleichmäßig.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{fakt}
|
||
|
||
Man beachte: Genau wie in der reellen Situation machen wir in \ref{il:6-0-2-4}
|
||
keinerlei Aussagen über Konvergenz der Reihe für Punkte $z$, die auf dem Rand $∂
|
||
B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
|
||
|
||
% !TEX root = Funktionentheorie
|