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\chapter{Potenzreihenentwicklung}

In der Analysis liefern Potenzreihen $\sum a_i xⁱ$ interessante Beispiele für
reelle Funktionen.  Gegeben irgendeine $\cC^∞$-Funktion $f$, so kann ich $f$ mit
der Taylor-Entwicklung vergleichen.  In diesem Abschnitt geht es um ähnliche
Aussagen für komplexe Potenzreihen $\sum a_i zⁱ$ (wo $a_i ∈ ℂ$, $z$ eine
komplexe Variable) und Taylor-Entwicklungen von holomorphen Funktionen.

\begin{erinnerung}[Potenzreihen in Analysis I und II]
  Es sei $(a_i)_i$ eine Folge reeller Zahlen und sei $ρ ∈ ℝ$ eine feste Zahl.
  \begin{enumerate}
  \item Ausdrücke der Form $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ heißen „Potenzreihen mit
    Entwicklungspunkt $ρ$“.
  
  \item Angenommen, es existiert ein $x_0 ∈ ℝ$, sodass $\sum a_i (x_0 - ρ)ⁱ$
    konvergiert.  Dann gilt für alle $x$ mit $|x - ρ| < |x_0 - ρ|$, dass die
    Reihe $\sum a_i (x - ρ)ⁱ$ absolut konvergiert.
  
  \item Die Zahl
    \[
      \sup \left\{ |x - ρ| \::\: x ∈ ℝ, \text{ sodass } \sum a_i (x - ρ)ⁱ \text{ konvergiert} \right\}
      ∈ ℝ^{≥ 0} ∪ \{∞\}
    \]
    heißt Konvergenzradius.

  \item Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius
    $R > 0$.  Dann gilt: die Folge der Partialsummen konvergiert auf dem offenen
    Intervall $(ρ-r, ρ+r)$ kompakt.  Das bedeutet: auf jeder kompakten Teilmenge
    $K$ von $(ρ-r, ρ+r)$ konvergiert die Folge der Partialsummen gleichmäßig.
  \end{enumerate}
\end{erinnerung}

Alle Aussagen gelten mit denselben Beweisen auf für komplexe Zahlen.

\begin{fakt}[Komplexe Potenzreihen]
  Es sei $(a_i)_i$ eine Folge komplexer Zahlen und sei $ρ ∈ ℂ$ eine feste Zahl.
  \begin{enumerate}
  \item Ausdrücke der Form $\sum_{i=0}^∞ a_i (z - ρ)ⁱ$ heißen „komplexe
    Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $ρ$“.
  
  \item Angenommen, es existiert ein $z_0 ∈ ℂ$, sodass $\sum a_i (z_0 - ρ)ⁱ$
    konvergiert.  Dann gilt für alle $z$ mit $|z - ρ| < |z_0 - ρ|$, dass die
    Reihe $\sum a_i (z - ρ)ⁱ$ absolut konvergiert.
  
  \item Die Zahl
    \[
      \sup \left\{ |z - ρ| \::\: z ∈ ℂ, \text{ sodass } \sum a_i (x - ρ)ⁱ \text{ konvergiert} \right\}
      ∈ ℝ^{≥ 0} ∪ \{∞\}
    \]
    heißt Konvergenzradius.

  \item\label{il:6-0-2-4} Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ eine komplexe
    Potenzreihe mit Konvergenzradius $R > 0$.  Dann gilt: die Folge der
    Partialsummen konvergiert auf der offenen Kreisscheibe $B_r(ρ)$ kompakt. Das
    bedeutet: auf jeder kompakten Teilmenge $K$ von $B_r(ρ)$ konvergiert die
    Folge der Partialsummen gleichmäßig.
  \end{enumerate}
\end{fakt}

Man beachte: Genau wie in der reellen Situation machen wir in \ref{il:6-0-2-4}
keinerlei Aussagen über Konvergenz der Reihe für Punkte $z$, die auf dem Rand $∂
B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.

% !TEX root = Funktionentheorie