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\chapter{Komplexe Zahlen}
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\section{Konstruktion, Notation und elementare Eigenschaften}
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\sideremark{Vorlesung 1}
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In der Vorlesung „Analysis I“ haben Sie Funktionen $f : ℝ → ℝ$ diskutiert. In
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der Vorlesung „Funktionentheorie“ diskutieren wir Funktionen $f : ℂ → ℂ$. Damit
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alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich in aller Kürze die wesentlichen
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Begriffe zu den komplexen Zahlen.
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\begin{konstruktion}[Konstruktion der komplexen Zahlen]
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Wir definieren auf der reellen Ebene $ℝ²$ zwei Abbildungen (oder:
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„Operationen“):
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\begin{align*}
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+ : ℝ² ⨯ ℝ² &→ ℝ², & \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &↦ \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} \\
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· : ℝ² ⨯ ℝ² &→ ℝ², & \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &↦ \begin{pmatrix} x_1 x_2 - y_1 y_2 \\ x_1 y_2 + x_2 y_1 \end{pmatrix}
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\end{align*}
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\end{konstruktion}
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\begin{erinnerung}[Komplexe Zahlen]
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Das Tripel $ℂ := (ℝ², +, ·)$ ist ein Körper, den wir als „Körper der komplexen
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Zahlen\index{komplexe Zahlen}“ bezeichnen. Für das neutrale Element der
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Addition/Multiplikation gilt:
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\[
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0_ℂ = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
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1_ℂ = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
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\]
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Die Menge der invertierbaren Elemente wird mit $ℂ^*$ bezeichnet, $ℂ^* = ℂ ∖
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\{0_ℂ \}$.
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\end{erinnerung}
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\subsection{Notation}
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\begin{erinnerung}[Reelle Zahlen als Teilmenge der komplexen Zahlen]
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Die Abbildung
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\[
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ι : ℝ → ℂ, \quad x ↦ \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}
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\]
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ist ein Körpermorphismus. Das bedeutet: Für alle $z_1, z_2 ∈ ℂ$ gilt:
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\[
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ι(z_1 + z_2) = ι(z_1) + ι(z_2)
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\quad\text{und}\quad
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ι(z_1 · z_2) = ι(z_1) · ι(z_2).
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\]
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Weiter gilt: $ι(1) = 1$ und $ι(0) = 0$. Weil die Abbildung $ι$ injektiv ist,
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identifiziert man die reellen Zahlen häufig mit der Bildmenge von $ι$, nämlich
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der $x$-Achse in $ℝ²$, und fasst $ℝ$ als Teilmenge von $ℂ$ auf.
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\end{erinnerung}
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\begin{notation}
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Man bezeichnet die $x$-Achse als „reelle Achse“\index{reelle Achse}, die
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$y$-Achse als „imaginäre Achse“\index{imaginäre Achse}. Das Element
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$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ wird mit $i$ bezeichnet. Statt $z =
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\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ schreibe kurz $z = x + iy$. Dabei nenne
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$x$ den „Realteil von $z$“\index{Realteil} und $y$ den „Imaginärteil von
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$z$“\index{Imaginärteil}. Die Schreibweisen $x = \operatorname{Re}(z)$ und $y
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= \operatorname{Im}(z)$ sind üblich.
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\end{notation}
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\subsection{Betrag und Argument}
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\begin{notation}[Betrag einer komplexen Zahl]
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\index{Betrag}Die euklidische Norm auf $ℂ$ wird mit $|·|$ bezeichnet. Für
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eine komplexe Zahl $z = x + y·i$ nennt man $|z|$ den „Betrag von $z$“. Es
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gilt $|z| = \sqrt{x² + y²}$.
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\end{notation}
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\begin{bemerkung}[Betrag eines Produkts]
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Für alle $z_1, z_2 ∈ ℂ$ gilt: $|z_1 · z_2| = |z_1| · |z_2|$.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}[Dreiecksungleichung]
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Für alle $z_1, z_2 ∈ ℂ$ gilt: $|z_1 + z_2| ≤ |z_1| + |z_2|$.
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\end{bemerkung}
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\begin{notation}[Argument einer komplexen Zahl]
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\index{Argument}Für komplexe Zahlen $z ∈ ℂ^*$ bezeichnet man den Winkel
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zwischen der $x$-Achse und der Achse $z·ℝ$ als das „Argument“ von $z$. Die
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Schreibweise $\arg z$ ist üblich.
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\end{notation}
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\begin{beobachtung}[Darstellung von komplexen Zahlen durch Betrag und Argument]
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Sei $z ∈ ℂ^*$. Dann ist
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\[
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z = |z| · \begin{pmatrix} \cos (\arg z) \\ \sin (\arg z) \end{pmatrix}.
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\]
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\end{beobachtung}
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\begin{beobachtung}[Darstellung Argument des negierten]
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Sei $z ∈ ℂ^*$. Dann ist
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\[
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\arg (-z) = π + \arg z.
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\]
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\end{beobachtung}
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\subsection{Geometrische Bedeutung der Körperoperationen}
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Es ist per Definition klar, dass die Addition im Körper $ℂ$ einfach die
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Vektoraddition der $ℝ²$ ist. Um die Bedeutung der Multiplikation zu verstehen,
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sei $z ∈ ℂ^*$ irgendeine Zahl, mit Betrag $λ := |z|$ und Argument $α := \arg z$.
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Man rechne man nach, dass die Multiplikationsabbildung
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\[
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m_z : ℂ → ℂ, \quad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ↦ z · \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
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\]
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gleich der Abbildung
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\[
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\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ↦ λ·\begin{pmatrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
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\]
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ist. Dies ist eine Drehstreckung.
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\begin{merke}[Multiplikation ist Drehstreckung]
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Multiplikation einer komplexen Zahl $w$ mit $z ∈ ℂ^*$ bedeutet: Drehe $w$ um
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den Winkel $α = \arg z$ und strecke das Ergebnis um den Faktor $λ = |z|$.
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\end{merke}
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\begin{kons}[Multiplikation zweier komplexer Zahlen]
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Gegeben komplexe Zahlen $z_1, z_2 ∈ ℂ$, dann ist $|z_1 · z_2| = |z_1| ·
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|z_2|$. Falls $z_1$ und $z_2 ∈ ℂ^*$ sind, gilt $\arg (z_1 · z_2) = \arg (z_1)
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+ \arg (z_2)$.
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\end{kons}
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\begin{merke}[Multiplikation zweier komplexer Zahlen]
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Man multipliziert zwei komplexe Zahlen, indem man die Beträge multipliziert
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und die Argumente addiert.
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\end{merke}
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\begin{merke}[Division zweier komplexer Zahlen]
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Man dividiert zwei komplexe Zahlen, indem man die Beträge dividiert und die
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Argumente subtrahiert.
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\end{merke}
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\begin{merke}[Multiplikatives Inverses]
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Man invertiert eine komplexe Zahl, indem man den Betrag invertiert und das
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Argument negiert.
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\end{merke}
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\subsection{Konjugation}
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\begin{notation}[Konjugation]
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Die Spiegelung an der reellen Achse,
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\[
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τ : ℂ → ℂ, \quad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ↦ \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}
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\]
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wird als „Konjugation“ bezeichnet\index{Konjugation}. Anstelle von $τ(z)$ ist
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die Schreibweise $\overline{z}$ üblich.
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\end{notation}
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\begin{erinnerung}[Konjugation als Körpermorphismus]
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Komplexe Konjugation ist ein Körpermorphismus. Das bedeutet: Für alle $z_1,
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z_2 ∈ ℂ$ gilt:
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\[
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\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}
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\quad\text{und}\quad
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\overline{z_1 · z_2} = \overline{z_1} · \overline{z_2}.
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\]
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Weiter gilt: $\overline{0} = 0$ und $\overline{1} = 1$.
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\end{erinnerung}
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\begin{erinnerung}[Allererste Eigenschaften der Konjugation]
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Sei $z ∈ ℂ$. Dann gilt Folgendes.
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\begin{itemize}
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\item Die Gleichung $\overline{z} = z$ gilt genau dann, wenn $z ∈ ℝ$ ist.
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\item Es ist $|z| = |\overline{z}|$ und $\arg \overline{z} = - \arg z$.
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\item Es ist $\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}$ und
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$\operatorname{Im}(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}$.
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\item Es ist $z·\overline{z} = |z|²$.
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\item Falls $z ∈ ℂ^*$ ist, so ist $\overline{z^{-1}} =
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\overline{z}^{-1}$.
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\end{itemize}
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\end{erinnerung}
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\subsection{Geometrische Bedeutung des multiplikativen Inversen}
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Gegeben eine komplexe Zahl $z ∈ ℂ^*$, so kann man das multiplikative Inverse von
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$z$ mithilfe der Konjugation leicht ausrechnen. Es ist nämlich
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\[
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\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{\overline{z}·z} = \frac{\overline{z}}{|z|²} = \overline{z/|z|²}.
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\]
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Aber was bedeutet das anschaulich?
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\begin{erinnerung}[Spiegelung am Einheitskreis]
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Die Abbildung
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\[
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ℝ² ∖ \{0\} → ℝ² ∖ \{0\}, \quad z ↦ \frac{z}{|z|²}
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\]
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heißt „Spiegelung am Einheitskreis“\index{Spiegelung am Einheitskreis}. Die
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Spiegelung am Einheitskreis lässt das Argument unverändert und invertiert den
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Betrag.
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\end{erinnerung}
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\begin{merke}[Multiplikatives Inverses]
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Man invertiert eine komplexe Zahl, indem man am Einheitskreis spiegelt und
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konjugiert (=an der $x$-Achse spiegelt).
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\end{merke}
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\subsection{Geometrische Bedeutung des Quadrierens}
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Nach der vorhergehenden Diskussion ist klar, was die Abbildung $q : ℂ → ℂ$, $z ↦
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z²$ geometrisch macht:
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\begin{itemize}
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\item Der Betrag wird quadriert.
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\item Argument wird verdoppelt.
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\end{itemize}
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Aus dieser Beschreibung ergibt sich sehr schnell, dass jede komplexe Zahl eine
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Quadratwurzel besitzt.
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\begin{kons}[Existenz von Quadratwurzeln]
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Jede komplexe Zahl hat eine Quadratwurzel.
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\end{kons}
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\begin{proof}
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Gegeben eine Zahl $z ∈ ℂ$. Falls $z = 0$ ist, dann ist $w := 0$ eine
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Quadratwurzel von $z$. Ansonsten sei $λ := |z|$ und $α := \arg z$. Weiter sei
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$w ∈ ℂ^*$ die Zahl mit Betrag $\sqrt{λ}$ und Argument $α/2$. Mit dieser Wahl
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ist $w² = z$, die Zahl $w$ ist also eine Quadratwurzel von $z$.
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\end{proof}
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Quadratwurzeln sind natürlich nicht eindeutig, denn wenn $w$ eine Quadratwurzel
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von $z$ ist, dann ist $-w$ ebenfalls eine Quadratwurzel.
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\begin{kons}[Surjektivität der Quadrat-Abbildung]
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Die Abbildung $q : ℂ → ℂ$, $z ↦ z²$ ist surjektiv, aber nicht injektiv. Es
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ist $q^{-1}(0) = \{0\}$. Jede andere Faser von $q$ enthält genau zwei Punkte,
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die sich exakt um das Vorzeichen unterscheiden. \qed
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\end{kons}
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Aber Achtung! Obwohl jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt, gibt es
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keine stetige Wurzelfunktion! Das folgende Lemma zeigt, dass es nicht einmal
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auf der Teilmenge $ℂ^* ⊂ ℂ$ eine stetige Wurzelfunktion geben kann.
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\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Wurzelfunktion]
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Es sei $w: ℂ^* → ℂ^*$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ℂ^*$ gilt: $w(z)² =
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z$. Dann ist die Abbildung $w$ nicht stetig.
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Sei eine Funktion $w$ gegeben. Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen
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an, dass die Funktion $w$ stetig sei. Dann ist aber die Funktion
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\[
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f : ℂ^* → ℂ^*, \quad z ↦ w(z²)/z
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\]
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aber ebenfalls stetig. Per Annahme gilt nun aber für jedes $z ∈ ℂ^*$ die
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Gleichung $w(z²)² = z²$. Das bedeutet: die komplexen Zahlen $w(z²)$ und $z$
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unterscheiden sich nur um ein Vorzeichen. Also nimmt die stetige Funktion $f$
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nur die Werte $± 1$ an. Weil $f$ stetig und $ℂ^*$ zusammenhängend ist, muss
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$f$ also konstant sein. Auf der anderen Seite gilt für jedes $z ∈ ℂ^*$ die
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Gleichung
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\[
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f(-z) = \frac{w((-z)²)}{-z} = \frac{w(z²)}{-z} = - f(z),
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\]
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also ist $f$ doch nicht konstant!
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\end{proof}
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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