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\chapter{Komplexe Zahlen}

\section{Konstruktion, Notation und elementare Eigenschaften}

\sideremark{Vorlesung 1}

In der Vorlesung „Analysis I“ haben Sie Funktionen $f : ℝ → ℝ$ diskutiert.  In
der Vorlesung „Funktionentheorie“ diskutieren wir Funktionen $f : ℂ → ℂ$.  Damit
alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich in aller Kürze die wesentlichen
Begriffe zu den komplexen Zahlen.

\begin{konstruktion}[Konstruktion der komplexen Zahlen]
  Wir definieren auf der reellen Ebene $ℝ²$ zwei Abbildungen (oder:
  „Operationen“):
  \begin{align*}
    + : ℝ² ⨯ ℝ² &→ ℝ², & \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &↦ \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} \\
    · : ℝ² ⨯ ℝ² &→ ℝ², & \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &↦ \begin{pmatrix} x_1 x_2 - y_1 y_2 \\ x_1 y_2 + x_2 y_1 \end{pmatrix}
  \end{align*}
\end{konstruktion}

\begin{erinnerung}[Komplexe Zahlen]
  Das Tripel $ℂ := (ℝ², +, ·)$ ist ein Körper, den wir als „Körper der komplexen
  Zahlen\index{komplexe Zahlen}“ bezeichnen.  Für das neutrale Element der
  Addition/Multiplikation gilt:
  \[
    0_ℂ = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
    1_ℂ = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
  \]
  Die Menge der invertierbaren Elemente wird mit $ℂ^*$ bezeichnet, $ℂ^* = ℂ ∖
  \{0_ℂ \}$.
\end{erinnerung}


\subsection{Notation}

\begin{erinnerung}[Reelle Zahlen als Teilmenge der komplexen Zahlen]
  Die Abbildung
  \[
    ι : ℝ → ℂ, \quad x ↦ \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}
  \]
  ist ein Körpermorphismus.  Das bedeutet: Für alle $z_1, z_2 ∈ ℂ$ gilt:
  \[
    ι(z_1 + z_2) = ι(z_1) + ι(z_2)
    \quad\text{und}\quad
    ι(z_1 · z_2) = ι(z_1) · ι(z_2).
  \]
  Weiter gilt: $ι(1) = 1$ und $ι(0) = 0$.  Weil die Abbildung $ι$ injektiv ist,
  identifiziert man die reellen Zahlen häufig mit der Bildmenge von $ι$, nämlich
  der $x$-Achse in $ℝ²$, und fasst $ℝ$ als Teilmenge von $ℂ$ auf.
\end{erinnerung}

\begin{notation}
  Man bezeichnet die $x$-Achse als „reelle Achse“\index{reelle Achse}, die
  $y$-Achse als „imaginäre Achse“\index{imaginäre Achse}.  Das Element
  $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ wird mit $i$ bezeichnet.  Statt $z =
  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ schreibe kurz $z = x + iy$.  Dabei nenne
  $x$ den „Realteil von $z$“\index{Realteil} und $y$ den „Imaginärteil von
  $z$“\index{Imaginärteil}.  Die Schreibweisen $x = \operatorname{Re}(z)$ und $y
  = \operatorname{Im}(z)$ sind üblich.
\end{notation}


\subsection{Betrag und Argument}

\begin{notation}[Betrag einer komplexen Zahl]
  \index{Betrag}Die euklidische Norm auf $ℂ$ wird mit $|·|$ bezeichnet.  Für
  eine komplexe Zahl $z = x + y·i$ nennt man $|z|$ den „Betrag von $z$“.  Es
  gilt $|z| = \sqrt{x² + y²}$.
\end{notation}

\begin{bemerkung}[Betrag eines Produkts]
  Für alle $z_1, z_2 ∈ ℂ$ gilt: $|z_1 · z_2| = |z_1| · |z_2|$.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}[Dreiecksungleichung]
  Für alle $z_1, z_2 ∈ ℂ$ gilt: $|z_1 + z_2| ≤ |z_1| + |z_2|$.
\end{bemerkung}

\begin{notation}[Argument einer komplexen Zahl]
  \index{Argument}Für komplexe Zahlen $z ∈ ℂ^*$ bezeichnet man den Winkel
  zwischen der $x$-Achse und der Achse $z·ℝ$ als das „Argument“ von $z$.  Die
  Schreibweise $\arg z$ ist üblich.
\end{notation}

\begin{beobachtung}[Darstellung von komplexen Zahlen durch Betrag und Argument]
  Sei $z ∈ ℂ^*$.  Dann ist
  \[
    z = |z| · \begin{pmatrix} \cos (\arg z) \\ \sin (\arg z) \end{pmatrix}.
  \]
\end{beobachtung}

\begin{beobachtung}[Darstellung Argument des negierten]
  Sei $z ∈ ℂ^*$.  Dann ist
  \[
    \arg (-z) = π + \arg z.
  \]
\end{beobachtung}


\subsection{Geometrische Bedeutung der Körperoperationen}

Es ist per Definition klar, dass die Addition im Körper $ℂ$ einfach die
Vektoraddition der $ℝ²$ ist.  Um die Bedeutung der Multiplikation zu verstehen,
sei $z ∈ ℂ^*$ irgendeine Zahl, mit Betrag $λ := |z|$ und Argument $α := \arg z$.
Man rechne man nach, dass die Multiplikationsabbildung
\[
  m_z : ℂ → ℂ, \quad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ↦ z · \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]
gleich der Abbildung
\[
  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ↦ λ·\begin{pmatrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]
ist.  Dies ist eine Drehstreckung.

\begin{merke}[Multiplikation ist Drehstreckung]
  Multiplikation einer komplexen Zahl $w$ mit $z ∈ ℂ^*$ bedeutet: Drehe $w$ um
  den Winkel $α = \arg z$ und strecke das Ergebnis um den Faktor $λ = |z|$.
\end{merke}

\begin{kons}[Multiplikation zweier komplexer Zahlen]
  Gegeben komplexe Zahlen $z_1, z_2 ∈ ℂ$, dann ist $|z_1 · z_2| = |z_1| ·
  |z_2|$.  Falls $z_1$ und $z_2 ∈ ℂ^*$ sind, gilt $\arg (z_1 · z_2) = \arg (z_1)
  + \arg (z_2)$.
\end{kons}

\begin{merke}[Multiplikation zweier komplexer Zahlen]
  Man multipliziert zwei komplexe Zahlen, indem man die Beträge multipliziert
  und die Argumente addiert.
\end{merke}

\begin{merke}[Division zweier komplexer Zahlen]
  Man dividiert zwei komplexe Zahlen, indem man die Beträge dividiert und die
  Argumente subtrahiert.
\end{merke}

\begin{merke}[Multiplikatives Inverses]
  Man invertiert eine komplexe Zahl, indem man den Betrag invertiert und das
  Argument negiert.
\end{merke}


\subsection{Konjugation}

\begin{notation}[Konjugation]
  Die Spiegelung an der reellen Achse,
  \[
    τ : ℂ → ℂ, \quad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ↦ \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}
  \]
  wird als „Konjugation“ bezeichnet\index{Konjugation}.  Anstelle von $τ(z)$ ist
  die Schreibweise $\overline{z}$ üblich.
\end{notation}

\begin{erinnerung}[Konjugation als Körpermorphismus]
  Komplexe Konjugation ist ein Körpermorphismus.  Das bedeutet: Für alle $z_1,
  z_2 ∈ ℂ$ gilt:
  \[
    \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}
    \quad\text{und}\quad
    \overline{z_1 · z_2} = \overline{z_1} · \overline{z_2}.
  \]
  Weiter gilt: $\overline{0} = 0$ und $\overline{1} = 1$.
\end{erinnerung}

\begin{erinnerung}[Allererste Eigenschaften der Konjugation]
  Sei $z ∈ ℂ$.  Dann gilt Folgendes.
  \begin{itemize}
    \item Die Gleichung $\overline{z} = z$ gilt genau dann, wenn $z ∈ ℝ$ ist.
    \item Es ist $|z| = |\overline{z}|$ und $\arg \overline{z} = - \arg z$.
    \item Es ist $\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}$ und
      $\operatorname{Im}(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}$.
    \item Es ist $z·\overline{z} = |z|²$.
    \item Falls $z ∈ ℂ^*$ ist, so ist $\overline{z^{-1}} =
    \overline{z}^{-1}$.
  \end{itemize}
\end{erinnerung}


\subsection{Geometrische Bedeutung des multiplikativen Inversen}

Gegeben eine komplexe Zahl $z ∈ ℂ^*$, so kann man das multiplikative Inverse von
$z$ mithilfe der Konjugation leicht ausrechnen.  Es ist nämlich
\[
  \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{\overline{z}·z} = \frac{\overline{z}}{|z|²} = \overline{z/|z|²}.
\]
Aber was bedeutet das anschaulich?

\begin{erinnerung}[Spiegelung am Einheitskreis]
  Die Abbildung
  \[
    ℝ² ∖ \{0\} → ℝ² ∖ \{0\}, \quad z ↦ \frac{z}{|z|²}
  \]
  heißt „Spiegelung am Einheitskreis“\index{Spiegelung am Einheitskreis}.  Die
  Spiegelung am Einheitskreis lässt das Argument unverändert und invertiert den
  Betrag.
\end{erinnerung}

\begin{merke}[Multiplikatives Inverses]
  Man invertiert eine komplexe Zahl, indem man am Einheitskreis spiegelt und
  konjugiert (=an der $x$-Achse spiegelt).
\end{merke}


\subsection{Geometrische Bedeutung des Quadrierens}

Nach der vorhergehenden Diskussion ist klar, was die Abbildung $q : ℂ → ℂ$, $z ↦
z²$ geometrisch macht:
\begin{itemize}
  \item Der Betrag wird quadriert.
  \item Argument wird verdoppelt.
\end{itemize}
Aus dieser Beschreibung ergibt sich sehr schnell, dass jede komplexe Zahl eine
Quadratwurzel besitzt.

\begin{kons}[Existenz von Quadratwurzeln]
  Jede komplexe Zahl hat eine Quadratwurzel.
\end{kons}
\begin{proof}
  Gegeben eine Zahl $z ∈ ℂ$.  Falls $z = 0$ ist, dann ist $w := 0$ eine
  Quadratwurzel von $z$.  Ansonsten sei $λ := |z|$ und $α := \arg z$. Weiter sei
  $w ∈ ℂ^*$ die Zahl mit Betrag $\sqrt{λ}$ und Argument $α/2$.  Mit dieser Wahl
  ist $w² = z$, die Zahl $w$ ist also eine Quadratwurzel von $z$.
\end{proof}

Quadratwurzeln sind natürlich nicht eindeutig, denn wenn $w$ eine Quadratwurzel
von $z$ ist, dann ist $-w$ ebenfalls eine Quadratwurzel.

\begin{kons}[Surjektivität der Quadrat-Abbildung]
  Die Abbildung $q : ℂ → ℂ$, $z ↦ z²$ ist surjektiv, aber nicht injektiv.  Es
  ist $q^{-1}(0) = \{0\}$.  Jede andere Faser von $q$ enthält genau zwei Punkte,
  die sich exakt um das Vorzeichen unterscheiden.  \qed
\end{kons}

Aber Achtung!  Obwohl jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt, gibt es
keine stetige Wurzelfunktion!  Das folgende Lemma zeigt, dass es nicht einmal
auf der Teilmenge $ℂ^* ⊂ ℂ$ eine stetige Wurzelfunktion geben kann.

\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Wurzelfunktion]
  Es sei $w: ℂ^* → ℂ^*$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ℂ^*$ gilt: $w(z)² =
  z$.  Dann ist die Abbildung $w$ nicht stetig.
\end{lem}
\begin{proof}
  Sei eine Funktion $w$ gegeben.  Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen
  an, dass die Funktion $w$ stetig sei.  Dann ist aber die Funktion
  \[
    f : ℂ^* → ℂ^*, \quad z ↦ w(z²)/z
  \]
  aber ebenfalls stetig.  Per Annahme gilt nun aber für jedes $z ∈ ℂ^*$ die
  Gleichung $w(z²)² = z²$.  Das bedeutet: die komplexen Zahlen $w(z²)$ und $z$
  unterscheiden sich nur um ein Vorzeichen.  Also nimmt die stetige Funktion $f$
  nur die Werte $± 1$ an.  Weil $f$ stetig und $ℂ^*$ zusammenhängend ist, muss
  $f$ also konstant sein.  Auf der anderen Seite gilt für jedes $z ∈ ℂ^*$ die
  Gleichung
  \[
    f(-z) = \frac{w((-z)²)}{-z} = \frac{w(z²)}{-z} = - f(z),
  \]
  also ist $f$ doch nicht konstant!
\end{proof}


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