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\selectlanguage{german}
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\chapter{Potenzreihenentwicklung}
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In der Analysis liefern Potenzreihen $\sum a_i xⁱ$ interessante Beispiele für
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reelle Funktionen. Gegeben irgendeine $\cC^∞$-Funktion $f$, so kann ich $f$ mit
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der Taylor-Entwicklung vergleichen. In diesem Abschnitt geht es um ähnliche
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Aussagen für komplexe Potenzreihen $\sum a_i zⁱ$ (wo $a_i ∈ ℂ$, $z$ eine
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komplexe Variable) und Taylor-Entwicklungen von holomorphen Funktionen.
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\begin{erinnerung}[Potenzreihen in Analysis I und II]
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Es sei $(a_i)_i$ eine Folge reeller Zahlen und sei $ρ ∈ ℝ$ eine feste Zahl.
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\begin{enumerate}
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\item Ausdrücke der Form $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ heißen „Potenzreihen mit
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Entwicklungspunkt $ρ$“.
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\item Angenommen, es existiert ein $x_0 ∈ ℝ$, sodass $\sum a_i (x_0 - ρ)ⁱ$
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konvergiert. Dann gilt für alle $x$ mit $|x - ρ| < |x_0 - ρ|$, dass die
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Reihe $\sum a_i (x - ρ)ⁱ$ absolut konvergiert.
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\item Die Zahl
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\[
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\sup \left\{ |x - ρ| \::\: x ∈ ℝ, \text{ sodass } \sum a_i (x - ρ)ⁱ \text{ konvergiert} \right\}
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∈ ℝ^{≥ 0} ∪ \{∞\}
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\]
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heißt Konvergenzradius.
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\item Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius
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$R > 0$. Dann gilt: die Folge der Partialsummen konvergiert auf dem offenen
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Intervall $(ρ-r, ρ+r)$ kompakt. Das bedeutet: auf jeder kompakten Teilmenge
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$K$ von $(ρ-r, ρ+r)$ konvergiert die Folge der Partialsummen gleichmäßig.
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\end{enumerate}
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\end{erinnerung}
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Alle Aussagen gelten mit denselben Beweisen auf für komplexe Zahlen.
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\begin{fakt}[Komplexe Potenzreihen]
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Es sei $(a_i)_i$ eine Folge komplexer Zahlen und sei $ρ ∈ ℂ$ eine feste Zahl.
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\begin{enumerate}
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\item Ausdrücke der Form $\sum_{i=0}^∞ a_i (z - ρ)ⁱ$ heißen „komplexe
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Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $ρ$“.
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\item Angenommen, es existiert ein $z_0 ∈ ℂ$, sodass $\sum a_i (z_0 - ρ)ⁱ$
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konvergiert. Dann gilt für alle $z$ mit $|z - ρ| < |z_0 - ρ|$, dass die
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Reihe $\sum a_i (z - ρ)ⁱ$ absolut konvergiert.
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\item Die Zahl
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\[
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\sup \left\{ |z - ρ| \::\: z ∈ ℂ, \text{ sodass } \sum a_i (x - ρ)ⁱ \text{ konvergiert} \right\}
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∈ ℝ^{≥ 0} ∪ \{∞\}
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\]
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heißt Konvergenzradius.
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\item\label{il:6-0-2-4} Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ eine komplexe
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Potenzreihe mit Konvergenzradius $R > 0$. Dann gilt: die Folge der
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Partialsummen konvergiert auf der offenen Kreisscheibe $B_r(ρ)$ kompakt. Das
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bedeutet: auf jeder kompakten Teilmenge $K$ von $B_r(ρ)$ konvergiert die
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Folge der Partialsummen gleichmäßig.
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\end{enumerate}
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\end{fakt}
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Man beachte: Genau wie in der reellen Situation machen wir in \ref{il:6-0-2-4}
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keinerlei Aussagen über Konvergenz der Reihe für Punkte $z$, die auf dem Rand $∂
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B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
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\sideremark{Vorlesung 10}
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\begin{bsp}[Exponentialreihe]
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\index{Exponentialreihe}Die Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ \frac{zⁱ}{i!}$ kennen
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wir schon, das ist die Exponentialfunktion. Der Konvergenzradius ist $∞$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Geometrische Reihe]
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\index{Geometrische Reihe}Die Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ zⁱ$ kennen wir auch
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schon. Aus Analysis I wissen wir: die Reihe konvergiert für reelle $z$ mit
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$|z| < 1$. Für $z = 1$ konvergiert die Reihe nicht. Also ist der
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Konvergenzradius $= 1$. Wie in der Vorlesung Analysis~I rechnet man nach: für
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jede Zahl $z ∈ B_1(0)$ konvergiert die Reihe konvergiert gegen
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$\frac{1}{1-z}$.
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\end{bsp}
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\section{Potenzreihen liefern holomorphe Funktionen}
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\begin{proposition}[Kompakt konvergierende Folgen holomorpher Funktionen]\label{prop:potenzreihe-holomorph}%
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $(f_i)_{i ∈ ℕ}$ eine Folge von holomorphen
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Funktionen, $f_i ∈ 𝒪(U)$, die auf $U$ kompakt gegen Grenzfunktion $f$
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konvergiert. Dann gilt:
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:6-0-4-1} Die Grenzfunktion ist holomorph, $f ∈ 𝒪(U)$.
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\item\label{il:6-0-4-2} Die Folge $(f_i')_{i ∈ ℕ}$ der komplexen Ableitungen
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konvergiert kompakt gegen $f'$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}[Beweis von \ref{il:6-0-4-1}]
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Die kompakte Konvergenz (= lokal gleichmäßige Konvergenz) garantiert schon
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einmal, dass $f$ stetig ist. Um zu zeigen, dass $f$ holomorph ist, verwenden
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wir das Kriterium aus Korollar~\ref{kor:5-2-6}. Wenn $R ⊂ U$ ein
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Achsenparalleles Rechteck ist, dann ist
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\[
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\int_{∂R} f(z)\,dz = \lim_{i→∞} \int_{∂R} f_i(z)\,dz = 0.
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\]
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Die erste Gleichheit gilt, weil $∂R$ kompakt ist und $f_i$ kompakt gegen $f$
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konvergiert. Die Integrale $\int_{∂R} f_i(z)\,dz$ verschwinden nach
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Korollar~\ref{kor:5-2-6}, weil die Funktionen $f_i$ holomorph sind.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis von \ref{il:6-0-4-2}]
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Es sei ein Punkt $z_0 ∈ U$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass die Folge
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$(f_i')_{i ∈ ℕ}$ in der Nähe von $z_0$ gleichmäßig gegen $f'$ konvergiert.
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Wähle dazu einen Radius $r ∈ ℝ⁺$, sodass die abgeschlossene Kreisscheibe
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$\overline{B_r(z_0)}$ ganz in $U$ liegt. Dann wissen wir nach dem
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Satz~\ref{satz:4-4-2} von Goursat schon: für jede Zahl $w$ aus dem Inneren der
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Kreisscheibe, $w ∈ B_r(z_0)$ gelten die Gleichungen
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\begin{align*}
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f'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z-w)²}\,dz \\
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f_i'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f_i(z)}{(z-w)²}\,dz
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\end{align*}
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Betrachte als Nächstes die Hilfsabbildungen
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\begin{align*}
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φ: ∂B_r(z) ⨯ B_r(z_0) &→ ℂ & (z, w) & ↦ \frac{f(z)}{(z-w)²} \\
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φ_i: ∂B_r(z) ⨯ B_r(z_0) &→ ℂ & (z, w) & ↦ \frac{f_i(z)}{(z-w)²}.
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\end{align*}
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Dann ist klar: auf der kompakten Menge $∂B_r(z_0) ⨯ \overline{B_{r/2}(z_0)}$
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konvergiert die Funktionenfolge $φ_i$ gleichmäßig gegen $φ$. Also konvergiert
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die Funktionenfolge $f_i'$ auf $\overline{B_{r/2}(z_0)}$ gleichmäßig gegen
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$f'$.
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Insgesamt sehen wir: jedes Kompaktum $K ⊂ U$ ist von endlich vielen
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abgeschlossenen Kreisscheiben überdeckt, auf denen $f_i'$ gleichmäßig gegen
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$f'$ konvergiert, also liegt kompakte Konvergenz vor.
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\end{proof}
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\begin{kor}[Potenzreihen und Holomorphie]\label{kor:6-1-2}%
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Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$
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und Konvergenzradius $r > 0$. Weiter sei $f: B_r(ρ) → ℂ$ die zugehörige
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Funktion. Dann gilt:
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\begin{enumerate}
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\item Die Funktion $f$ ist holomorph, $f ∈ 𝒪(B_r(ρ))$.
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\item Der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{i=1}^∞ i · a_i (z-ρ)^{i-1}$
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ist mindestens gleich $r$. Auf der Kreisscheibe $B_r(ρ)$ ist die zugehörige
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Funktion exakt die Ableitung $f'$. \qed
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\end{enumerate}
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\end{kor}
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\section{Holomorphe Funktionen liefern Potenzreihen}
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\begin{proberechnung}[Konstruktion von Potenzeihen]\label{prorech:6-1-2}%
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Es sei $r > 0$ und es sei $f ∈ 𝒪(B_r(0))$. Wenn $ρ < r$ eine positive Zahl
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ist, dann nach der Integralformel von Cauchy, Satz~\ref{satz:4-4-1}, für jede
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Zahl $w ∈ B_ρ(0)$ die Gleichung
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\begin{equation}\label{eq:6-0-6-1}
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f(w) = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z - w}\,dz.
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\end{equation}
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Wenn jetzt zwei Zahlen $z ∈ ∂B_ρ(0)$ und $w ∈ B_ρ(0)$ gegeben sind, dann ist
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$|\frac{w}{z}|< 1$ und deshalb gilt die Gleichung
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\begin{equation}\label{eq:6-0-6-2}
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\frac{1}{z-w} = \frac{1}{z} · \frac{1}{1 - w/z} = \frac{1}{z} · \sum_{i=0}^∞
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\left(\frac{w}{z}\right)ⁱ.
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\end{equation}
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Also gilt für jede Zahl $w ∈ B_ρ(0)$ die Gleichung
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\begin{align*}
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f(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z - w}\,dz && \eqref{eq:6-0-6-1} \\
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& = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z} \sum_{i=0}^∞ \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ\,dz && \eqref{eq:6-0-6-2} \\
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& = \frac{1}{2πi} \sum_{i=0}^∞ \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}} · wⁱ\,dz && \text{kompakte Konvergenz} \\
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& = \sum_{i=0}^∞ \underbrace{\left( \frac{1}{2πi}·\int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}}\,dz \right)}_{:= a_i} · wⁱ.
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\end{align*}
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Nach dem Integralsatz von Cauchy hängen die Zahlen $a_i$ aber gar nicht von
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der Wahl von $ρ$ ab! Die Gleichung
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\begin{equation}\label{eq:6-0-6-3}
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f(w) = \sum_{i=0}^∞ a_i wⁱ
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\end{equation}
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gilt also für alle $w ∈ B_r(0)$. Insbesondere ist der Konvergenzradius der
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Potenzreihe \eqref{eq:6-0-6-3} mindestens gleich $r$.
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\end{proberechnung}
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Die Proberechnung funktioniert natürlich nicht nur bei Kreisscheiben um den
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Nullpunkt. In der Summe haben wir folgenden Satz bewiesen.
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\begin{satz}[Potenzreihendarstellung holomorpher Funktionen]\label{satz:6-0-7}%
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Es sei $B_r(ρ) ⊂ ℂ$ eine Kreisscheibe und $f ∈ 𝒪(B_r(ρ))$ eine holomorphe
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Funktion. Dann kann $f$ auf ganz $B_r(ρ)$ als Potenzreihe dargestellt werden.
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Genauer: Es existiert Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ mit
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Entwicklungspunkt $ρ$ und Konvergenzradius $≥ r$, sodass für jede Zahl $z ∈
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B_r(ρ)$ die Gleichung $f(z) = \sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ gilt. \qed
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\end{satz}
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Umkehrung die Umkehrung von Satz~\ref{satz:6-0-7} gilt natürlich auch:
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Funktionen, die als Potenzreihen dargestellt werden können, sind nach
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Korollar~\ref{kor:6-1-2} holomorph.
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\subsection{Praktische Fragen}
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\begin{frage}[Muss ich Integrale ausrechnen?!]
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Gegeben eine Kreisscheibe $B_r(ρ) ⊂ ℂ$ und eine holomorphe Funktion $f ∈
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𝒪(B_r(ρ))$. Wie komme ich an die Darstellung von $f$ als Potenzreihe? Muss
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ich die Integrale aus Proberechnung~\ref{prorech:6-1-2} wirklich ausrechnen?
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\end{frage}
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Die beruhigende Antwort ist ein klares „Nein!“ Wenn ich bereits weiß, dass es
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eine Darstellung von $f$ als Potenzreihe gibt,
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\begin{equation}\label{eq:6-2-3-1}
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f(z) = \sum a_i (z-ρ)ⁱ,
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\end{equation}
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dann ist $a_0 = f(ρ)$. Außerdem haben wir in
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Korollar~\ref{prop:potenzreihe-holomorph} bewiesen, dass
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\[
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f'(z) = \sum_{i=1}^∞ a_i · i (z-ρ)^{i-1}
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\]
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ist. Insgesamt gilt damit für jeden Index $i$,
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\[
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a_i = \frac{f^{(i)}(ρ)}{i!}.
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\]
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Diese Formel hat zwei interessante Konsequenzen.
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\begin{enumerate}
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\item Die Darstellung \eqref{eq:6-2-3-1} ist also einfach die aus der
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Vorlesung „Analysis~I“ bekannte Taylor\footnote{Brook Taylor (* 18.~August
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1685 in Edmonton, Middlesex; † 29.~Dezember 1731 in Somerset House, London)
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war ein britischer Mathematiker und Mitglied der Royal Society. Nach ihm
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wurde unter anderem die Taylorreihe benannt.}-Reihe.
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\item Die Darstellung von $f$ als Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$ ist
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eindeutig!
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\end{enumerate}
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\begin{bemerkung}
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Manchmal tritt folgende Situation auf: gegeben eine Kreisscheibe $B_r(ρ)$ und
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eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(B_r(ρ))$. Dann schreibe ich $f$ als
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Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$ und stelle fest, dass der
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Konvergenzradius $\tilde R > r$ ist. In dieser Situation ist \emph{sofort}
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klar, dass ich $f$ zu einer holomorphen Funktion auf der größeren Kreisscheibe
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$B_{\tilde R}(ρ)$ fortsetzen kann.
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Falls $r = \tilde R$ ist, dann ist klar, dass ich $f$ niemals auf einer
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größeren Kreisscheibe fortsetzen kann. Es könnte aber sein, dass ich $f$ zu
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einer holomorphen Funktion auf einer offenen Menge $U$ fortsetzen kann, die
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zwar größer als $B_r(ρ)$ ist, aber keine Kreisschreiben um $ρ$ mit Radius $>
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r$ enthält.
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\end{bemerkung}
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% !TEX root = Funktionentheorie
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