Working…

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@@ -62,3 +62,4 @@ funktionentheoretischen
 Summendarstellung
 Mittag-Leffler
 Djursholm
+Konvergenzverhaltens

06-potenz.tex

@@ -36,17 +36,17 @@ komplexe Variable) und Taylor-Entwicklungen von holomorphen Funktionen.
 
 Alle Aussagen gelten mit denselben Beweisen auf für komplexe Zahlen.
 
-\begin{fakt}[Komplexe Potenzreihen]
+\begin{fakt}[Komplexe Potenzreihen]\label{fact:6-0-2}%
   Es sei $(a_i)_i$ eine Folge komplexer Zahlen und sei $ρ ∈ ℂ$ eine feste Zahl.
   \begin{enumerate}
-  \item Ausdrücke der Form $\sum_{i=0}^∞ a_i (z - ρ)ⁱ$ heißen „komplexe
-    Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $ρ$“.
+  \item\label{il:6-0-2-1} Ausdrücke der Form $\sum_{i=0}^∞ a_i (z - ρ)ⁱ$ heißen
+    „komplexe Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $ρ$“.
   
-  \item Angenommen, es existiert ein $z_0 ∈ ℂ$, sodass $\sum a_i (z_0 - ρ)ⁱ$
-    konvergiert.  Dann gilt für alle $z$ mit $|z - ρ| < |z_0 - ρ|$, dass die
-    Reihe $\sum a_i (z - ρ)ⁱ$ absolut konvergiert.
+  \item\label{il:6-0-2-2} Angenommen, es existiert ein $z_0 ∈ ℂ$, sodass $\sum
+    a_i (z_0 - ρ)ⁱ$ konvergiert.  Dann gilt für alle $z$ mit $|z - ρ| < |z_0 -
+    ρ|$, dass die Reihe $\sum a_i (z - ρ)ⁱ$ absolut konvergiert.
   
-  \item Die Zahl
+  \item\label{il:6-0-2-3} Die Zahl
     \[
       \sup \left\{ |z - ρ| \::\: z ∈ ℂ, \text{ sodass } \sum a_i (x - ρ)ⁱ \text{ konvergiert} \right\}
       ∈ ℝ^{≥ 0} ∪ \{∞\}

10-laurent.tex

@@ -241,14 +241,38 @@ Ende des Tages haben wir Folgendes bewiesen.
   \]
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  Seien ein Index $i$.  Wähle eine reelle Zahlen $r < a < R$ und schreibe
+  Sei ein Index $i$ gegeben.  Wähle eine reelle Zahl $r < a < R$ und schreibe
   \begin{align*}
     c_i & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_a(ρ)} f(z) · (z - ρ)^{-(i+1)} \, dz && \text{Korollar~\ref{kor:10-2-5}} \\
     & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_a(ρ)} \lim_{n → ∞} f_n(z) · (z - ρ)^{-(i+1)} \, dz && \text{Annahme} \\
     & = \lim_{n → ∞} \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_a(ρ)} f_n(z) · (z - ρ)^{-(i+1)} \, dz && \text{lokal glm.~Konvergenz} \\
-    & = \lim_{n → ∞} c_{n,i}.  && \text{Korollar~\ref{kor:10-2-5}}
+    & = \lim_{n → ∞} c_{n,i}.  && \text{Korollar~\ref{kor:10-2-5}.}
   \end{align*}
   Damit folgt die Behauptung.
 \end{proof}
 
+
+\section{Konvergenz von Hauptteilen}
+
+Ich erinnere an die Beschreibung des Konvergenzverhaltens von komplexen
+Potenzreihen, Punkt~\ref{il:6-0-2-2} aus Fakt~\vref{fact:6-0-2}. Gegeben sei
+eine komplexe Potenzreihe  $\sum_{i=0}^∞ a_i (z - ρ)ⁱ$ mit Entwicklungspunkt $ρ$
+und ein $z_0 ∈ ℂ$, sodass $\sum a_i (z_0 - ρ)ⁱ$ konvergiert.  Dann gilt für alle
+$z$ mit $|z - ρ| < |z_0 - ρ|$, dass die Reihe $\sum a_i (z - ρ)ⁱ$ absolut
+konvergiert. Die zugehörige Funktionenfolge konvergiert auf $B_{|z_0 - ρ|}(ρ)$
+sogar lokal gleichmäßig. Die Aussage gilt analog für den Nebenteil von
+Laurentreihen.  
+
+\begin{fakt}[Konvergenz von Hauptteilen]\label{fakt:10-3-1}%
+  Gegeben sei eine komplexe Laurentreihe ohne Nebenteil und mit
+  Entwicklungspunkt $ρ$,
+  \[
+    \sum_{i=1}^∞ a_i (z - ρ)^{-i}.
+  \]
+  Gegeben sei weiter ein $z_0 ∈ ℂ$, sodass die Reihe bei $z_0$ konvergiert. Dann
+  gilt für alle $z$ mit $|z - ρ| > |z_0 - ρ|$, dass die Reihe bei $z$ absolut
+  konvergiert.  Die zugehörige Funktionenfolge konvergiert auf $\bC \setminus
+  \overline{B_{|z_0 - ρ|}(ρ)}$ sogar lokal gleichmäßig. \qed
+\end{fakt}
+
 % !TEX root = Funktionentheorie