Done.

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -42,3 +42,4 @@ Cauchy
 Brook
 Middlesex
 Somerset
+Maximumsprinzip

03-wegintegraleDiffbar.tex

@@ -583,7 +583,7 @@ einer Viertelungsargumentation basiert.
 
 \begin{satz}[Satz von Goursat]\label{satz:3-4-6}%
   \index{Satz von Goursat!über Wegintegrale}Es sei $U ⊆ ℂ$ offen, es sei $f ∈
-  𝒪(U)$ holomorph und sei $\mathcal{R} ⊂ U$ ein achsenparalleles Rechteck. Dann
+  𝒪(U)$ holomorph und sei $\mathcal{R} ⊂ U$ ein achsenparalleles Rechteck.  Dann
   gilt:
   \begin{equation}\label{eq:3-4-6-1}
     \int_{∂ R} f(z) \, dz = 0
@@ -693,7 +693,7 @@ einer Viertelungsargumentation basiert.
   \paragraph{Schritt 6: Integralabschätzung}
 
   Für hinreichend großes $n$ liegt $R^{(n)}$ ganz in der $δ$-Um\-gebung von
-  $z_0$. Für jedes $z ∈ ∂ R^{(n)}$ mit $|z - z_0| ≤ d_n = 2^{-n} d$ gilt dann
+  $z_0$.  Für jedes $z ∈ ∂ R^{(n)}$ mit $|z - z_0| ≤ d_n = 2^{-n} d$ gilt dann
   nach~\eqref{eq:3-4-6-7} die Ungleichung
   \begin{equation}\label{eq:3-4-6-8}
     |r(z)| ≤ ε · 2^{-n} d.

05-cauchy.tex

@@ -321,7 +321,7 @@ Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr arbeiten.
 
 \begin{kor}[Satz von Morera\footnote{Giacinto Morera (* 18.~Juli 1856 in Novara,
   Italien; † 8.~Februar 1909 in Turin, Italien) war ein italienischer Ingenieur
-  und Mathematiker. Er ist für den Satz von Morera in der Funktionentheorie und
+  und Mathematiker.  Er ist für den Satz von Morera in der Funktionentheorie und
   für seine Arbeiten über lineare Elastizität bekannt.}, Charakterisierung
   holomorpher Funktionen]\label{kor:5-2-6}%
   \index{Satz von Morera}Sei $U ⊆ ℂ$ offen und $f : U → ℂ$ sei stetig.  Dann

06-potenz.tex

@@ -54,7 +54,7 @@ Alle Aussagen gelten mit denselben Beweisen auf für komplexe Zahlen.
 
   \item\label{il:6-0-2-4} Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ eine komplexe
     Potenzreihe mit Konvergenzradius $R > 0$.  Dann gilt: die Folge der
-    Partialsummen konvergiert auf der offenen Kreisscheibe $B_r(ρ)$ kompakt. Das
+    Partialsummen konvergiert auf der offenen Kreisscheibe $B_r(ρ)$ kompakt.  Das
     bedeutet: auf jeder kompakten Teilmenge $K$ von $B_r(ρ)$ konvergiert die
     Folge der Partialsummen gleichmäßig.
   \end{enumerate}
@@ -64,18 +64,20 @@ Man beachte: Genau wie in der reellen Situation machen wir in \ref{il:6-0-2-4}
 keinerlei Aussagen über Konvergenz der Reihe für Punkte $z$, die auf dem Rand $∂
 B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
 
-\begin{bsp}[Potenzreihen mit Entwicklungspunkt 0]
-  ---
-  \begin{enumerate}
-  \item $\sum_{i=0}^∞ \frac{zⁱ}{i!}$ --- diese Potenzreihe kennen wir schon, das
-    ist die Exponentialfunktion. Der Konvergenzradius ist $∞$.
+\sideremark{Vorlesung 10}
 
-  \item $\sum_{i=0}^∞ zⁱ$ --- diese Potenzreihe kennen wir auch schon. Aus
-    Analysis I wissen wir: Reihe konvergiert für reelle $z$ mit $|z| < 1$. Für
-    $z = 1$ konvergiert die Reihe nicht. Also ist der Konvergenzradius $= 1$.
-    Wie in der Vorlesung Analysis~I rechnet man nach: für jede Zahl $z ∈ B_1(0)$
-    konvergiert die Reihe konvergiert gegen $\frac{1}{1-z}$.
-  \end{enumerate}
+\begin{bsp}[Exponentialreihe]
+  \index{Exponentialreihe}Die Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ \frac{zⁱ}{i!}$ kennen
+  wir schon, das ist die Exponentialfunktion.  Der Konvergenzradius ist $∞$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Geometrische Reihe]
+  \index{Geometrische Reihe}Die Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ zⁱ$ kennen wir auch
+  schon.  Aus Analysis I wissen wir: die Reihe konvergiert für reelle $z$ mit
+  $|z| < 1$.  Für $z = 1$ konvergiert die Reihe nicht.  Also ist der
+  Konvergenzradius $= 1$. Wie in der Vorlesung Analysis~I rechnet man nach: für
+  jede Zahl $z ∈ B_1(0)$ konvergiert die Reihe konvergiert gegen
+  $\frac{1}{1-z}$.
 \end{bsp}
 
 
@@ -83,10 +85,10 @@ B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
 
 \begin{proposition}[Kompakt konvergierende Folgen holomorpher Funktionen]\label{prop:potenzreihe-holomorph}%
   Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $(f_i)_{i ∈ ℕ}$ eine Folge von holomorphen
-  Funktionen, $f_i ∈ \sO(U)$, die auf $U$ kompakt gegen Grenzfunktion $f$
-  konvergiert. Dann gilt:
+  Funktionen, $f_i ∈ 𝒪(U)$, die auf $U$ kompakt gegen Grenzfunktion $f$
+  konvergiert.  Dann gilt:
   \begin{enumerate}
-  \item\label{il:6-0-4-1} Die Grenzfunktion ist holomorph, $f ∈ \sO(U)$.
+  \item\label{il:6-0-4-1} Die Grenzfunktion ist holomorph, $f ∈ 𝒪(U)$.
 
   \item\label{il:6-0-4-2} Die Folge $(f_i')_{i ∈ ℕ}$ der komplexen Ableitungen
   konvergiert kompakt gegen $f'$.
@@ -95,52 +97,52 @@ B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
 
 \begin{proof}[Beweis von \ref{il:6-0-4-1}]
   Die kompakte Konvergenz (= lokal gleichmäßige Konvergenz) garantiert schon
-  einmal, dass $f$ stetig ist. Um zu zeigen, dass $f$ holomorph ist, verwenden
-  wir das Kriterium aus Korollar~\ref{kor:5-2-6}. Wenn $R ⊂ U$ ein
+  einmal, dass $f$ stetig ist.  Um zu zeigen, dass $f$ holomorph ist, verwenden
+  wir das Kriterium aus Korollar~\ref{kor:5-2-6}.  Wenn $R ⊂ U$ ein
   Achsenparalleles Rechteck ist, dann ist
   \[
     \int_{∂R} f(z)\,dz = \lim_{i→∞} \int_{∂R} f_i(z)\,dz = 0.
   \]
   Die erste Gleichheit gilt, weil $∂R$ kompakt ist und $f_i$ kompakt gegen $f$
-  konvergiert. Die Integrale $\int_{∂R} f_i(z)\,dz$ verschwinden nach
+  konvergiert.  Die Integrale $\int_{∂R} f_i(z)\,dz$ verschwinden nach
   Korollar~\ref{kor:5-2-6}, weil die Funktionen $f_i$ holomorph sind.
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Beweis von \ref{il:6-0-4-2}]
-  Es sei ein Punkt $z_0 ∈ U$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass die Folge
+  Es sei ein Punkt $z_0 ∈ U$ gegeben.  Wir müssen zeigen, dass die Folge
   $(f_i')_{i ∈ ℕ}$ in der Nähe von $z_0$ gleichmäßig gegen $f'$ konvergiert.
-  Wähle dazu einen Radius $r ∈ ℝ^+$, sodass die abgeschlossene Kreisscheibe
-  $\overline{B_r(z_0)}$ ganz in $U$ liegt. Dann wissen wir nach dem
+  Wähle dazu einen Radius $r ∈ ℝ⁺$, sodass die abgeschlossene Kreisscheibe
+  $\overline{B_r(z_0)}$ ganz in $U$ liegt.  Dann wissen wir nach dem
   Satz~\ref{satz:4-4-2} von Goursat schon: für jede Zahl $w$ aus dem Inneren der
   Kreisscheibe, $w ∈ B_r(z_0)$ gelten die Gleichungen
   \begin{align*}
-    f'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z-w)^2}\,dz \\
-    f_i'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f_i(z)}{(z-w)^2}\,dz
+    f'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z-w)²}\,dz \\
+    f_i'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f_i(z)}{(z-w)²}\,dz
   \end{align*}
   Betrachte als Nächstes die Hilfsabbildungen
   \begin{align*}
-    φ: ∂B_r(z) \times B_r(z_0) &\to ℂ & (z, w) & \mapsto \frac{f(z)}{(z-w)^2} \\
-    φ_i: ∂B_r(z) \times B_r(z_0) &\to ℂ & (z, w) & \mapsto \frac{f_i(z)}{(z-w)^2}.
+    φ: ∂B_r(z) ⨯ B_r(z_0) &→ ℂ & (z, w) & ↦ \frac{f(z)}{(z-w)²} \\
+    φ_i: ∂B_r(z) ⨯ B_r(z_0) &→ ℂ & (z, w) & ↦ \frac{f_i(z)}{(z-w)²}.
   \end{align*}
-  Dann ist klar: auf der kompakten Menge $∂B_r(z_0) \times
-  \overline{B_{r/2}(z_0)}$ konvergiert die Funktionenfolge $φ_i$ gleichmäßig
-  gegen $φ$. Also konvergiert die Funktionenfolge $f_i'$ auf
-  $\overline{B_{r/2}(z_0)}$ gleichmäßig gegen $f'$.
+  Dann ist klar: auf der kompakten Menge $∂B_r(z_0) ⨯ \overline{B_{r/2}(z_0)}$
+  konvergiert die Funktionenfolge $φ_i$ gleichmäßig gegen $φ$.  Also konvergiert
+  die Funktionenfolge $f_i'$ auf $\overline{B_{r/2}(z_0)}$ gleichmäßig gegen
+  $f'$.
   
   Insgesamt sehen wir: jedes Kompaktum $K ⊂ U$ ist von endlich vielen
   abgeschlossenen Kreisscheiben überdeckt, auf denen $f_i'$ gleichmäßig gegen
   $f'$ konvergiert, also liegt kompakte Konvergenz vor.
 \end{proof}
 
-\begin{kor}[Potenzreihen und Holomorphie]\label{kor:6-1-2}
+\begin{kor}[Potenzreihen und Holomorphie]\label{kor:6-1-2}%
   Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$
-  und Konvergenzradius $r > 0$. Weiter sei $f: B_r(ρ) → ℂ$ die zugehörige
+  und Konvergenzradius $r > 0$.  Weiter sei $f: B_r(ρ) → ℂ$ die zugehörige
   Funktion.  Dann gilt:
   \begin{enumerate}
-  \item Die Funktion $f$ ist holomorph, $f \in \sO(B_r(ρ))$.
+  \item Die Funktion $f$ ist holomorph, $f ∈ 𝒪(B_r(ρ))$.
 
   \item Der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{i=1}^∞ i · a_i (z-ρ)^{i-1}$
-    ist mindestens $r$. Auf der Kreisscheibe $B_r(ρ)$ ist die zugehörige
+    ist mindestens gleich $r$.  Auf der Kreisscheibe $B_r(ρ)$ ist die zugehörige
     Funktion exakt die Ableitung $f'$.  \qed
   \end{enumerate}
 \end{kor}
@@ -148,8 +150,8 @@ B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
 
 \section{Holomorphe Funktionen liefern Potenzreihen}
 
-\begin{proberechnung}[Konstruktion von Potenzeihen]\label{prorech:6-1-2}
-  Es sei $r > 0$ und es sei $f ∈ \sO(B_r(0))$. Wenn $ρ < r$ eine positive Zahl
+\begin{proberechnung}[Konstruktion von Potenzeihen]\label{prorech:6-1-2}%
+  Es sei $r > 0$ und es sei $f ∈ 𝒪(B_r(0))$.  Wenn $ρ < r$ eine positive Zahl
   ist, dann nach der Integralformel von Cauchy, Satz~\ref{satz:4-4-1}, für jede
   Zahl $w ∈ B_ρ(0)$ die Gleichung
   \begin{equation}\label{eq:6-0-6-1}
@@ -166,26 +168,26 @@ B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
     f(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z - w}\,dz && \eqref{eq:6-0-6-1} \\
     & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z} \sum_{i=0}^∞ \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ\,dz && \eqref{eq:6-0-6-2} \\
     & = \frac{1}{2πi} \sum_{i=0}^∞ \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}} · wⁱ\,dz && \text{kompakte Konvergenz} \\
-    & =  \sum_{i=0}^∞ \underbrace{\left( \frac{1}{2πi}·\int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}}\,dz  \right)}_{:= a_i} · wⁱ.
+    & = \sum_{i=0}^∞ \underbrace{\left( \frac{1}{2πi}·\int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}}\,dz \right)}_{:= a_i} · wⁱ.
   \end{align*}
-  Nach dem Integralsatz von Cauchy hängen die Zahlen $a_i$ aber gar nicht von der
-  Wahl von $ρ$ ab! Die Gleichung
+  Nach dem Integralsatz von Cauchy hängen die Zahlen $a_i$ aber gar nicht von
+  der Wahl von $ρ$ ab!  Die Gleichung
   \begin{equation}\label{eq:6-0-6-3}
     f(w) = \sum_{i=0}^∞ a_i wⁱ
   \end{equation}
-  gilt also für alle $w ∈ B_r(0)$. Insbesondere ist der Konvergenzradius der
+  gilt also für alle $w ∈ B_r(0)$.  Insbesondere ist der Konvergenzradius der
   Potenzreihe \eqref{eq:6-0-6-3} mindestens gleich $r$.
 \end{proberechnung}
 
 Die Proberechnung funktioniert natürlich nicht nur bei Kreisscheiben um den
 Nullpunkt.  In der Summe haben wir folgenden Satz bewiesen.
 
-\begin{satz}[Potenzreihendarstellung holomorpher Funktionen]\label{satz:6-0-7}
-  Es sei $B_r(ρ) ⊂ ℂ$ eine Kreisscheibe und $f ∈ \sO(B_r(ρ))$ eine holomorphe
-  Funktion. Dann kann $f$ auf ganz $B_r(ρ)$ als Potenzreihe dargestellt werden.
+\begin{satz}[Potenzreihendarstellung holomorpher Funktionen]\label{satz:6-0-7}%
+  Es sei $B_r(ρ) ⊂ ℂ$ eine Kreisscheibe und $f ∈ 𝒪(B_r(ρ))$ eine holomorphe
+  Funktion.  Dann kann $f$ auf ganz $B_r(ρ)$ als Potenzreihe dargestellt werden.
   Genauer: Es existiert Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ mit
   Entwicklungspunkt $ρ$ und Konvergenzradius $≥ r$, sodass für jede Zahl $z ∈
-  B_r(ρ)$ die Gleichung $f(z) = \sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ gilt. \qed
+  B_r(ρ)$ die Gleichung $f(z) = \sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ gilt.  \qed
 \end{satz}
 
 Umkehrung die Umkehrung von Satz~\ref{satz:6-0-7} gilt natürlich auch:
@@ -195,22 +197,23 @@ Korollar~\ref{kor:6-1-2} holomorph.
 
 \subsection{Praktische Fragen}
 
-\begin{frage}
+\begin{frage}[Muss ich Integrale ausrechnen?!]
   Gegeben eine Kreisscheibe $B_r(ρ) ⊂ ℂ$ und eine holomorphe Funktion $f ∈
-  \sO(B_r(ρ))$. Wie komme ich an die Darstellung von $f$ als Potenzreihe? Muss
+  𝒪(B_r(ρ))$.  Wie komme ich an die Darstellung von $f$ als Potenzreihe?  Muss
   ich die Integrale aus Proberechnung~\ref{prorech:6-1-2} wirklich ausrechnen?
 \end{frage}
 
-Die beruhigende Antwort ist ein klares „Nein!“   Wenn ich bereits weiß, dass es
+Die beruhigende Antwort ist ein klares „Nein!“ Wenn ich bereits weiß, dass es
 eine Darstellung von $f$ als Potenzreihe gibt,
 \begin{equation}\label{eq:6-2-3-1}
   f(z) = \sum a_i (z-ρ)ⁱ,
 \end{equation}
-dann ist $a_0 = f(ρ)$. Außerdem haben wir in Korollar~\ref{prop:potenzreihe-holomorph} bewiesen, dass
+dann ist $a_0 = f(ρ)$.  Außerdem haben wir in
+Korollar~\ref{prop:potenzreihe-holomorph} bewiesen, dass
 \[
   f'(z) = \sum_{i=1}^∞ a_i · i (z-ρ)^{i-1}
 \]
-ist. Insgesamt gilt damit für jeden Index $i$,
+ist.  Insgesamt gilt damit für jeden Index $i$,
 \[
   a_i = \frac{f^{(i)}(ρ)}{i!}.
 \]
@@ -219,26 +222,26 @@ Diese Formel hat zwei interessante Konsequenzen.
   \item Die Darstellung \eqref{eq:6-2-3-1} ist also einfach die aus der
   Vorlesung „Analysis~I“ bekannte Taylor\footnote{Brook Taylor (* 18.~August
   1685 in Edmonton, Middlesex; † 29.~Dezember 1731 in Somerset House, London)
-  war ein britischer Mathematiker und Mitglied der Royal Society. Nach ihm wurde
-  unter anderem die Taylorreihe benannt.}-Reihe.
+  war ein britischer Mathematiker und Mitglied der Royal Society.  Nach ihm
+  wurde unter anderem die Taylorreihe benannt.}-Reihe.
 
-  \item Die Darstellung von $f$ als Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $\rho$ ist
+  \item Die Darstellung von $f$ als Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$ ist
   eindeutig!
 \end{enumerate}
 
 \begin{bemerkung}
   Manchmal tritt folgende Situation auf: gegeben eine Kreisscheibe $B_r(ρ)$ und
-  eine holomorphe Funktion $f ∈ \sO(B_r(ρ))$. Dann schreibe ich $f$ als
+  eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(B_r(ρ))$.  Dann schreibe ich $f$ als
   Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$ und stelle fest, dass der
-  Konvergenzradius $\tilde R > r$ ist. In dieser Situation ist \emph{sofort}
+  Konvergenzradius $\tilde R > r$ ist.  In dieser Situation ist \emph{sofort}
   klar, dass ich $f$ zu einer holomorphen Funktion auf der größeren Kreisscheibe
   $B_{\tilde R}(ρ)$ fortsetzen kann.
   
   Falls $r = \tilde R$ ist, dann ist klar, dass ich $f$ niemals auf einer
-  größeren Kreisscheibe fortsetzen kann. Es könnte aber sein, dass ich $f$ zu
+  größeren Kreisscheibe fortsetzen kann.  Es könnte aber sein, dass ich $f$ zu
   einer holomorphen Funktion auf einer offenen Menge $U$ fortsetzen kann, die
-  zwar größer als $B_r(ρ)$ ist, aber keine Kreisschreiben um $\rho$ mit Radius
-  $> r$ enthält.
+  zwar größer als $B_r(ρ)$ ist, aber keine Kreisschreiben um $ρ$ mit Radius $>
+  r$ enthält.
 \end{bemerkung}
 
 % !TEX root = Funktionentheorie

07-nullstelle.tex

@@ -5,8 +5,8 @@
 
 Wir betrachten die folgende Situation.
 
-\begin{situation}[Nullstellen von holomorphen Funktionen]\label{set:7-0-1}
-  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f ∈ \sO(U)$ holomorph und es sei
+\begin{situation}[Nullstellen von holomorphen Funktionen]\label{set:7-0-1}%
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f ∈ 𝒪(U)$ holomorph und es sei
   \[
     Z = \{ z ∈ U \mid f(z) = 0 \}
   \]
@@ -14,7 +14,7 @@ Wir betrachten die folgende Situation.
 \end{situation}
 
 Weil holomorphe Funktionen stetig ist, ist klar, dass die Menge $Z$ eine
-abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist. Aber was können wir sonst noch sagen?
+abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist.  Aber was können wir sonst noch sagen?
 
 
 \section{Zwei Typen von Nullstellen}
@@ -23,12 +23,12 @@ abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist. Aber was können wir sonst noch sagen?
   \begin{equation}\label{eq:7-2-0-1}
     \sum_{i=0}^∞ a_i(z-ρ)ⁱ
   \end{equation}
-  die Potenzreihenentwicklung von $f$ im Punkt $ρ$. Der Konvergenzradius sei
-  $r$. Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
+  die Potenzreihenentwicklung von $f$ im Punkt $ρ$.  Der Konvergenzradius sei
+  $r$.  Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
   \begin{description}
   \item[Nullstelle vom Typ 1] Alle Koeffizienten $a_i$ der
-    Potenzreihe~\eqref{eq:7-2-0-1} sind
-    gleich 0. Dann ist $f$ in einer Umgebung von $f$ konstant Null.
+    Potenzreihe~\eqref{eq:7-2-0-1} sind gleich 0.  Dann ist $f$ bereits in einer
+    ganzen Umgebung von $f$ konstant Null.
   
   \item[Nullstelle vom Typ 2] Nicht alle Koeffizienten $a_i$ der
     Potenzreihe~\eqref{eq:7-2-0-1} sind gleich 0.  Betrachte in diesem Fall den
@@ -36,42 +36,44 @@ abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist. Aber was können wir sonst noch sagen?
     \[
       n := \min \{ i \::\: a_i ≠ 0 \}
     \]
-    und nenne $n$ die ``Ordnung der Nullstelle $ρ$ von $f$''. Schreibe weiter
+    und nenne $n$ die „Ordnung der Nullstelle $ρ$ von $f$“.  Schreibe weiter
     \begin{align*}
       f(z) & = \sum_{i=n}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ \\
       & = (z-ρ)^n · \sum_{i=n}^∞ a_i (z-ρ)^{i-n} \\
       & = (z-ρ)^n · \sum_{i=0}^∞ b_i (z-ρ)^{i-n},
     \end{align*}
-    wobei $b_i := a_{n+i}$ ist. Man rechne nach, dass die Potenzreihe
+    wobei $b_i := a_{n+i}$ ist.  Man rechne nach, dass die Potenzreihe
     \[
       \sum_{i=0}^∞ b_i (z-ρ)^{i-n}
     \]
-    ebenfalls Konvergenzradius $r$ hat, also eine Funktion $g ∈ \sO(B_r(ρ))$
-    definiert, die aber bei $ρ$ \emph{keine} Nullstelle hat (… und in einer
-    ausreichend kleinen Umgebung von $ρ$ ebenfalls nicht). Auf $B_r(ρ)$ gilt die
-    Gleichung
+    ebenfalls Konvergenzradius $r$ hat, also eine Funktion $g ∈ 𝒪(B_r(ρ))$
+    definiert, die aber bei $ρ$ \emph{keine} Nullstelle hat (und deshalb in
+    einer ausreichend kleinen Umgebung von $ρ$ ebenfalls nicht).  Auf $B_r(ρ)$
+    gilt die Gleichung
     \[
       f(z) = (z-ρ)^n · g(z)
     \]
-    und es gibt ein $ε > 0$, sodass  $Z ∩ B_ε(ρ) = \{ρ\}$ ist.  Man sagt: $ρ$
-    ist eine isolierte Nullstelle von $f$.
+    und es gibt ein $ε > 0$, sodass $Z ∩ B_ε(ρ) = \{ρ\}$ ist.  Man sagt: $ρ$ ist
+    eine isolierte Nullstelle von $f$.
   \end{description}
   
 Zusammenfassung: Ich kann die Nullstellenmenge $Z$ aufteilen
 \[
-    Z = \text{Typ 1} \: \cup \text{Typ 2}
+    Z = \text{Typ 1} \: ∪ \text{Typ 2}
 \]
 Dabei gilt Folgendes:
 \begin{itemize}
   \item Die Menge der Nullstellen vom Typ~2 ist eine abgeschlossene, diskrete
-  Teilmenge von $U$.
+    Teilmenge von $U$.
+  
   \item Die Menge der Nullstellen von Typ~1 ist offen.
+  
   \item Die Menge der Punkte von $U$, an denen \emph{keine} Nullstelle vom Typ~1
-  vorliegt, ist ebenfalls offen. Grund: Wenn $f$ bei $ρ$ überhaupt keine
-  Nullstelle hat, dann hat $f$ als stetige Funktion auch in einer Umgebung von
-  $\rho$ keine Nullstelle. Wenn $f$ bei $ρ$ eine Nullstelle vom Typ~2 hat, dann
-  haben wir gesehen, dass $f$ in einer Umgebung von $\rho$ keine weitere
-  Nullstelle hat.
+    vorliegt, ist ebenfalls offen.  Grund: Wenn $f$ bei $ρ$ überhaupt keine
+    Nullstelle hat, dann hat $f$ als stetige Funktion auch in einer Umgebung von
+    $ρ$ keine Nullstelle.  Wenn $f$ bei $ρ$ eine Nullstelle vom Typ~2 hat, dann
+    haben wir gesehen, dass $f$ in einer Umgebung von $ρ$ keine weitere
+    Nullstelle hat.
 \end{itemize}
 In der Summe sehen wir: Die Menge Nullstellen vom Typ 1 ist offen \emph{und}
 abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!
@@ -80,43 +82,44 @@ abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!
 \section{Identitätssatz und Maximumsprinzip}
 
 \begin{satz}
-  In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $U$ zusammenhängend. Dann sind die folgenden
+  In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $U$ zusammenhängend.  Dann sind die folgenden
   Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item Die Nullstellenmenge $Z$ ist \emph{nicht} diskret.  Äquivalent: die
     Nullstellenmenge $Z$ hat einen Häufungspunkt.
-  \item Die Funktion $f$ ist konstant gleich $0$. \qed
+
+  \item Die Funktion $f$ ist konstant gleich $0$.  \qed
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 
-\begin{kor}[Identitätssatz für holomorphe Funktionen]\label{kor:7-2-2}
+\begin{kor}[Identitätssatz für holomorphe Funktionen]\label{kor:7-2-2}%
   \index{Identitätssatz}In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $U$ zusammenhängend und
-  es sei $g ∈ \sO(U)$ eine weitere holomorphe Funktion auf $U$. Dann sind die
+  es sei $g ∈ 𝒪(U)$ eine weitere holomorphe Funktion auf $U$.  Dann sind die
   folgenden Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item Die Menge
     \[
       \{ z ∈ U \mid f(z) = g(z) \}
     \]
-    ist \emph{nicht} diskret. Äquivalent: die Menge hat einen Häufungspunkt.
+    ist \emph{nicht} diskret.  Äquivalent: die Menge hat einen Häufungspunkt.
   
   \item Die Funktionen $f$ und $g$ sind gleich.
   \end{enumerate}
 \end{kor}
 
 \begin{bsp}[Eindeutigkeit der Exponentialfunktion]
-  Die Funktion $\exp: ℂ → ℂ$ ist die einzige holomorphe Funktion auf $\bC$, die
+  Die Funktion $\exp: ℂ → ℂ$ ist die einzige holomorphe Funktion auf $ℂ$, die
   für reelle Zahlen mit der bekannten Exponentialfunktion übereinstimmt.
 \end{bsp}
 
 \begin{kor}[Maximumsprinzip]
-  In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $U$ zusammenhängend. Falls $|f|$ ein Maximum
+  In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $U$ zusammenhängend.  Falls $|f|$ ein Maximum
   hat, dann ist $f$ konstant.
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  \index{Maximumprinzip}Es sei $ρ ∈ U$ ein Maximum von $|f|$. Nach
-  Satz~\ref{satz:5-2-3} (``Starkes Maximumprinzip'') wissen wir schon: es gibt
-  ein $ε > 0$, sodass $f|_{B_ε(ρ)}$ konstant ist. Nach dem Identitätssatz,
+  \index{Maximumprinzip}Es sei $ρ ∈ U$ ein Maximum von $|f|$.  Nach
+  Satz~\ref{satz:5-2-3} („Starkes Maximumsprinzip“) wissen wir schon: es gibt
+  ein $ε > 0$, sodass $f|_{B_ε(ρ)}$ konstant ist.  Nach dem Identitätssatz,
   Korollar~\ref{kor:7-2-2}, ist $f$ dann aber auf ganz $U$ konstant.
 \end{proof}