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vendored
@@ -42,3 +42,4 @@ Cauchy
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Brook
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Middlesex
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Somerset
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Maximumsprinzip
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@@ -64,18 +64,20 @@ Man beachte: Genau wie in der reellen Situation machen wir in \ref{il:6-0-2-4}
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keinerlei Aussagen über Konvergenz der Reihe für Punkte $z$, die auf dem Rand $∂
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B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
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\begin{bsp}[Potenzreihen mit Entwicklungspunkt 0]
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---
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\begin{enumerate}
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\item $\sum_{i=0}^∞ \frac{zⁱ}{i!}$ --- diese Potenzreihe kennen wir schon, das
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ist die Exponentialfunktion. Der Konvergenzradius ist $∞$.
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\sideremark{Vorlesung 10}
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\item $\sum_{i=0}^∞ zⁱ$ --- diese Potenzreihe kennen wir auch schon. Aus
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Analysis I wissen wir: Reihe konvergiert für reelle $z$ mit $|z| < 1$. Für
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$z = 1$ konvergiert die Reihe nicht. Also ist der Konvergenzradius $= 1$.
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Wie in der Vorlesung Analysis~I rechnet man nach: für jede Zahl $z ∈ B_1(0)$
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konvergiert die Reihe konvergiert gegen $\frac{1}{1-z}$.
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\end{enumerate}
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\begin{bsp}[Exponentialreihe]
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\index{Exponentialreihe}Die Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ \frac{zⁱ}{i!}$ kennen
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wir schon, das ist die Exponentialfunktion. Der Konvergenzradius ist $∞$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Geometrische Reihe]
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\index{Geometrische Reihe}Die Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ zⁱ$ kennen wir auch
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schon. Aus Analysis I wissen wir: die Reihe konvergiert für reelle $z$ mit
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$|z| < 1$. Für $z = 1$ konvergiert die Reihe nicht. Also ist der
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Konvergenzradius $= 1$. Wie in der Vorlesung Analysis~I rechnet man nach: für
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jede Zahl $z ∈ B_1(0)$ konvergiert die Reihe konvergiert gegen
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$\frac{1}{1-z}$.
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\end{bsp}
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@@ -83,10 +85,10 @@ B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
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\begin{proposition}[Kompakt konvergierende Folgen holomorpher Funktionen]\label{prop:potenzreihe-holomorph}%
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $(f_i)_{i ∈ ℕ}$ eine Folge von holomorphen
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Funktionen, $f_i ∈ \sO(U)$, die auf $U$ kompakt gegen Grenzfunktion $f$
|
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Funktionen, $f_i ∈ 𝒪(U)$, die auf $U$ kompakt gegen Grenzfunktion $f$
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konvergiert. Dann gilt:
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:6-0-4-1} Die Grenzfunktion ist holomorph, $f ∈ \sO(U)$.
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\item\label{il:6-0-4-1} Die Grenzfunktion ist holomorph, $f ∈ 𝒪(U)$.
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\item\label{il:6-0-4-2} Die Folge $(f_i')_{i ∈ ℕ}$ der komplexen Ableitungen
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konvergiert kompakt gegen $f'$.
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@@ -109,38 +111,38 @@ B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
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\begin{proof}[Beweis von \ref{il:6-0-4-2}]
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Es sei ein Punkt $z_0 ∈ U$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass die Folge
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$(f_i')_{i ∈ ℕ}$ in der Nähe von $z_0$ gleichmäßig gegen $f'$ konvergiert.
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Wähle dazu einen Radius $r ∈ ℝ^+$, sodass die abgeschlossene Kreisscheibe
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||||
Wähle dazu einen Radius $r ∈ ℝ⁺$, sodass die abgeschlossene Kreisscheibe
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$\overline{B_r(z_0)}$ ganz in $U$ liegt. Dann wissen wir nach dem
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Satz~\ref{satz:4-4-2} von Goursat schon: für jede Zahl $w$ aus dem Inneren der
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Kreisscheibe, $w ∈ B_r(z_0)$ gelten die Gleichungen
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||||
\begin{align*}
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||||
f'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z-w)^2}\,dz \\
|
||||
f_i'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f_i(z)}{(z-w)^2}\,dz
|
||||
f'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z-w)²}\,dz \\
|
||||
f_i'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f_i(z)}{(z-w)²}\,dz
|
||||
\end{align*}
|
||||
Betrachte als Nächstes die Hilfsabbildungen
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||||
\begin{align*}
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||||
φ: ∂B_r(z) \times B_r(z_0) &\to ℂ & (z, w) & \mapsto \frac{f(z)}{(z-w)^2} \\
|
||||
φ_i: ∂B_r(z) \times B_r(z_0) &\to ℂ & (z, w) & \mapsto \frac{f_i(z)}{(z-w)^2}.
|
||||
φ: ∂B_r(z) ⨯ B_r(z_0) &→ ℂ & (z, w) & ↦ \frac{f(z)}{(z-w)²} \\
|
||||
φ_i: ∂B_r(z) ⨯ B_r(z_0) &→ ℂ & (z, w) & ↦ \frac{f_i(z)}{(z-w)²}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dann ist klar: auf der kompakten Menge $∂B_r(z_0) \times
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||||
\overline{B_{r/2}(z_0)}$ konvergiert die Funktionenfolge $φ_i$ gleichmäßig
|
||||
gegen $φ$. Also konvergiert die Funktionenfolge $f_i'$ auf
|
||||
$\overline{B_{r/2}(z_0)}$ gleichmäßig gegen $f'$.
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||||
Dann ist klar: auf der kompakten Menge $∂B_r(z_0) ⨯ \overline{B_{r/2}(z_0)}$
|
||||
konvergiert die Funktionenfolge $φ_i$ gleichmäßig gegen $φ$. Also konvergiert
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||||
die Funktionenfolge $f_i'$ auf $\overline{B_{r/2}(z_0)}$ gleichmäßig gegen
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$f'$.
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Insgesamt sehen wir: jedes Kompaktum $K ⊂ U$ ist von endlich vielen
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||||
abgeschlossenen Kreisscheiben überdeckt, auf denen $f_i'$ gleichmäßig gegen
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$f'$ konvergiert, also liegt kompakte Konvergenz vor.
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\end{proof}
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||||
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||||
\begin{kor}[Potenzreihen und Holomorphie]\label{kor:6-1-2}
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\begin{kor}[Potenzreihen und Holomorphie]\label{kor:6-1-2}%
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||||
Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$
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||||
und Konvergenzradius $r > 0$. Weiter sei $f: B_r(ρ) → ℂ$ die zugehörige
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||||
Funktion. Dann gilt:
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\begin{enumerate}
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||||
\item Die Funktion $f$ ist holomorph, $f \in \sO(B_r(ρ))$.
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||||
\item Die Funktion $f$ ist holomorph, $f ∈ 𝒪(B_r(ρ))$.
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||||
\item Der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{i=1}^∞ i · a_i (z-ρ)^{i-1}$
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||||
ist mindestens $r$. Auf der Kreisscheibe $B_r(ρ)$ ist die zugehörige
|
||||
ist mindestens gleich $r$. Auf der Kreisscheibe $B_r(ρ)$ ist die zugehörige
|
||||
Funktion exakt die Ableitung $f'$. \qed
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{kor}
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@@ -148,8 +150,8 @@ B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
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\section{Holomorphe Funktionen liefern Potenzreihen}
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\begin{proberechnung}[Konstruktion von Potenzeihen]\label{prorech:6-1-2}
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Es sei $r > 0$ und es sei $f ∈ \sO(B_r(0))$. Wenn $ρ < r$ eine positive Zahl
|
||||
\begin{proberechnung}[Konstruktion von Potenzeihen]\label{prorech:6-1-2}%
|
||||
Es sei $r > 0$ und es sei $f ∈ 𝒪(B_r(0))$. Wenn $ρ < r$ eine positive Zahl
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||||
ist, dann nach der Integralformel von Cauchy, Satz~\ref{satz:4-4-1}, für jede
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||||
Zahl $w ∈ B_ρ(0)$ die Gleichung
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||||
\begin{equation}\label{eq:6-0-6-1}
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||||
@@ -168,8 +170,8 @@ B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
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||||
& = \frac{1}{2πi} \sum_{i=0}^∞ \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}} · wⁱ\,dz && \text{kompakte Konvergenz} \\
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||||
& = \sum_{i=0}^∞ \underbrace{\left( \frac{1}{2πi}·\int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}}\,dz \right)}_{:= a_i} · wⁱ.
|
||||
\end{align*}
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||||
Nach dem Integralsatz von Cauchy hängen die Zahlen $a_i$ aber gar nicht von der
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||||
Wahl von $ρ$ ab! Die Gleichung
|
||||
Nach dem Integralsatz von Cauchy hängen die Zahlen $a_i$ aber gar nicht von
|
||||
der Wahl von $ρ$ ab! Die Gleichung
|
||||
\begin{equation}\label{eq:6-0-6-3}
|
||||
f(w) = \sum_{i=0}^∞ a_i wⁱ
|
||||
\end{equation}
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@@ -180,8 +182,8 @@ B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
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||||
Die Proberechnung funktioniert natürlich nicht nur bei Kreisscheiben um den
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Nullpunkt. In der Summe haben wir folgenden Satz bewiesen.
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\begin{satz}[Potenzreihendarstellung holomorpher Funktionen]\label{satz:6-0-7}
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||||
Es sei $B_r(ρ) ⊂ ℂ$ eine Kreisscheibe und $f ∈ \sO(B_r(ρ))$ eine holomorphe
|
||||
\begin{satz}[Potenzreihendarstellung holomorpher Funktionen]\label{satz:6-0-7}%
|
||||
Es sei $B_r(ρ) ⊂ ℂ$ eine Kreisscheibe und $f ∈ 𝒪(B_r(ρ))$ eine holomorphe
|
||||
Funktion. Dann kann $f$ auf ganz $B_r(ρ)$ als Potenzreihe dargestellt werden.
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||||
Genauer: Es existiert Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ mit
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Entwicklungspunkt $ρ$ und Konvergenzradius $≥ r$, sodass für jede Zahl $z ∈
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@@ -195,9 +197,9 @@ Korollar~\ref{kor:6-1-2} holomorph.
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\subsection{Praktische Fragen}
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||||
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\begin{frage}
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\begin{frage}[Muss ich Integrale ausrechnen?!]
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Gegeben eine Kreisscheibe $B_r(ρ) ⊂ ℂ$ und eine holomorphe Funktion $f ∈
|
||||
\sO(B_r(ρ))$. Wie komme ich an die Darstellung von $f$ als Potenzreihe? Muss
|
||||
𝒪(B_r(ρ))$. Wie komme ich an die Darstellung von $f$ als Potenzreihe? Muss
|
||||
ich die Integrale aus Proberechnung~\ref{prorech:6-1-2} wirklich ausrechnen?
|
||||
\end{frage}
|
||||
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@@ -206,7 +208,8 @@ eine Darstellung von $f$ als Potenzreihe gibt,
|
||||
\begin{equation}\label{eq:6-2-3-1}
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||||
f(z) = \sum a_i (z-ρ)ⁱ,
|
||||
\end{equation}
|
||||
dann ist $a_0 = f(ρ)$. Außerdem haben wir in Korollar~\ref{prop:potenzreihe-holomorph} bewiesen, dass
|
||||
dann ist $a_0 = f(ρ)$. Außerdem haben wir in
|
||||
Korollar~\ref{prop:potenzreihe-holomorph} bewiesen, dass
|
||||
\[
|
||||
f'(z) = \sum_{i=1}^∞ a_i · i (z-ρ)^{i-1}
|
||||
\]
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||||
@@ -219,16 +222,16 @@ Diese Formel hat zwei interessante Konsequenzen.
|
||||
\item Die Darstellung \eqref{eq:6-2-3-1} ist also einfach die aus der
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||||
Vorlesung „Analysis~I“ bekannte Taylor\footnote{Brook Taylor (* 18.~August
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||||
1685 in Edmonton, Middlesex; † 29.~Dezember 1731 in Somerset House, London)
|
||||
war ein britischer Mathematiker und Mitglied der Royal Society. Nach ihm wurde
|
||||
unter anderem die Taylorreihe benannt.}-Reihe.
|
||||
war ein britischer Mathematiker und Mitglied der Royal Society. Nach ihm
|
||||
wurde unter anderem die Taylorreihe benannt.}-Reihe.
|
||||
|
||||
\item Die Darstellung von $f$ als Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $\rho$ ist
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||||
\item Die Darstellung von $f$ als Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$ ist
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||||
eindeutig!
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||||
\end{enumerate}
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\begin{bemerkung}
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||||
Manchmal tritt folgende Situation auf: gegeben eine Kreisscheibe $B_r(ρ)$ und
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||||
eine holomorphe Funktion $f ∈ \sO(B_r(ρ))$. Dann schreibe ich $f$ als
|
||||
eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(B_r(ρ))$. Dann schreibe ich $f$ als
|
||||
Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$ und stelle fest, dass der
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||||
Konvergenzradius $\tilde R > r$ ist. In dieser Situation ist \emph{sofort}
|
||||
klar, dass ich $f$ zu einer holomorphen Funktion auf der größeren Kreisscheibe
|
||||
@@ -237,8 +240,8 @@ Diese Formel hat zwei interessante Konsequenzen.
|
||||
Falls $r = \tilde R$ ist, dann ist klar, dass ich $f$ niemals auf einer
|
||||
größeren Kreisscheibe fortsetzen kann. Es könnte aber sein, dass ich $f$ zu
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||||
einer holomorphen Funktion auf einer offenen Menge $U$ fortsetzen kann, die
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||||
zwar größer als $B_r(ρ)$ ist, aber keine Kreisschreiben um $\rho$ mit Radius
|
||||
$> r$ enthält.
|
||||
zwar größer als $B_r(ρ)$ ist, aber keine Kreisschreiben um $ρ$ mit Radius $>
|
||||
r$ enthält.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
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% !TEX root = Funktionentheorie
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@@ -5,8 +5,8 @@
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Wir betrachten die folgende Situation.
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||||
\begin{situation}[Nullstellen von holomorphen Funktionen]\label{set:7-0-1}
|
||||
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f ∈ \sO(U)$ holomorph und es sei
|
||||
\begin{situation}[Nullstellen von holomorphen Funktionen]\label{set:7-0-1}%
|
||||
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f ∈ 𝒪(U)$ holomorph und es sei
|
||||
\[
|
||||
Z = \{ z ∈ U \mid f(z) = 0 \}
|
||||
\]
|
||||
@@ -27,8 +27,8 @@ abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist. Aber was können wir sonst noch sagen?
|
||||
$r$. Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
|
||||
\begin{description}
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||||
\item[Nullstelle vom Typ 1] Alle Koeffizienten $a_i$ der
|
||||
Potenzreihe~\eqref{eq:7-2-0-1} sind
|
||||
gleich 0. Dann ist $f$ in einer Umgebung von $f$ konstant Null.
|
||||
Potenzreihe~\eqref{eq:7-2-0-1} sind gleich 0. Dann ist $f$ bereits in einer
|
||||
ganzen Umgebung von $f$ konstant Null.
|
||||
|
||||
\item[Nullstelle vom Typ 2] Nicht alle Koeffizienten $a_i$ der
|
||||
Potenzreihe~\eqref{eq:7-2-0-1} sind gleich 0. Betrachte in diesem Fall den
|
||||
@@ -36,7 +36,7 @@ abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist. Aber was können wir sonst noch sagen?
|
||||
\[
|
||||
n := \min \{ i \::\: a_i ≠ 0 \}
|
||||
\]
|
||||
und nenne $n$ die ``Ordnung der Nullstelle $ρ$ von $f$''. Schreibe weiter
|
||||
und nenne $n$ die „Ordnung der Nullstelle $ρ$ von $f$“. Schreibe weiter
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(z) & = \sum_{i=n}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ \\
|
||||
& = (z-ρ)^n · \sum_{i=n}^∞ a_i (z-ρ)^{i-n} \\
|
||||
@@ -46,31 +46,33 @@ abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist. Aber was können wir sonst noch sagen?
|
||||
\[
|
||||
\sum_{i=0}^∞ b_i (z-ρ)^{i-n}
|
||||
\]
|
||||
ebenfalls Konvergenzradius $r$ hat, also eine Funktion $g ∈ \sO(B_r(ρ))$
|
||||
definiert, die aber bei $ρ$ \emph{keine} Nullstelle hat (… und in einer
|
||||
ausreichend kleinen Umgebung von $ρ$ ebenfalls nicht). Auf $B_r(ρ)$ gilt die
|
||||
Gleichung
|
||||
ebenfalls Konvergenzradius $r$ hat, also eine Funktion $g ∈ 𝒪(B_r(ρ))$
|
||||
definiert, die aber bei $ρ$ \emph{keine} Nullstelle hat (und deshalb in
|
||||
einer ausreichend kleinen Umgebung von $ρ$ ebenfalls nicht). Auf $B_r(ρ)$
|
||||
gilt die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
f(z) = (z-ρ)^n · g(z)
|
||||
\]
|
||||
und es gibt ein $ε > 0$, sodass $Z ∩ B_ε(ρ) = \{ρ\}$ ist. Man sagt: $ρ$
|
||||
ist eine isolierte Nullstelle von $f$.
|
||||
und es gibt ein $ε > 0$, sodass $Z ∩ B_ε(ρ) = \{ρ\}$ ist. Man sagt: $ρ$ ist
|
||||
eine isolierte Nullstelle von $f$.
|
||||
\end{description}
|
||||
|
||||
Zusammenfassung: Ich kann die Nullstellenmenge $Z$ aufteilen
|
||||
\[
|
||||
Z = \text{Typ 1} \: \cup \text{Typ 2}
|
||||
Z = \text{Typ 1} \: ∪ \text{Typ 2}
|
||||
\]
|
||||
Dabei gilt Folgendes:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Die Menge der Nullstellen vom Typ~2 ist eine abgeschlossene, diskrete
|
||||
Teilmenge von $U$.
|
||||
|
||||
\item Die Menge der Nullstellen von Typ~1 ist offen.
|
||||
|
||||
\item Die Menge der Punkte von $U$, an denen \emph{keine} Nullstelle vom Typ~1
|
||||
vorliegt, ist ebenfalls offen. Grund: Wenn $f$ bei $ρ$ überhaupt keine
|
||||
Nullstelle hat, dann hat $f$ als stetige Funktion auch in einer Umgebung von
|
||||
$\rho$ keine Nullstelle. Wenn $f$ bei $ρ$ eine Nullstelle vom Typ~2 hat, dann
|
||||
haben wir gesehen, dass $f$ in einer Umgebung von $\rho$ keine weitere
|
||||
$ρ$ keine Nullstelle. Wenn $f$ bei $ρ$ eine Nullstelle vom Typ~2 hat, dann
|
||||
haben wir gesehen, dass $f$ in einer Umgebung von $ρ$ keine weitere
|
||||
Nullstelle hat.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
In der Summe sehen wir: Die Menge Nullstellen vom Typ 1 ist offen \emph{und}
|
||||
@@ -85,13 +87,14 @@ abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Nullstellenmenge $Z$ ist \emph{nicht} diskret. Äquivalent: die
|
||||
Nullstellenmenge $Z$ hat einen Häufungspunkt.
|
||||
|
||||
\item Die Funktion $f$ ist konstant gleich $0$. \qed
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Identitätssatz für holomorphe Funktionen]\label{kor:7-2-2}
|
||||
\begin{kor}[Identitätssatz für holomorphe Funktionen]\label{kor:7-2-2}%
|
||||
\index{Identitätssatz}In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $U$ zusammenhängend und
|
||||
es sei $g ∈ \sO(U)$ eine weitere holomorphe Funktion auf $U$. Dann sind die
|
||||
es sei $g ∈ 𝒪(U)$ eine weitere holomorphe Funktion auf $U$. Dann sind die
|
||||
folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Menge
|
||||
@@ -105,7 +108,7 @@ abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!
|
||||
\end{kor}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Eindeutigkeit der Exponentialfunktion]
|
||||
Die Funktion $\exp: ℂ → ℂ$ ist die einzige holomorphe Funktion auf $\bC$, die
|
||||
Die Funktion $\exp: ℂ → ℂ$ ist die einzige holomorphe Funktion auf $ℂ$, die
|
||||
für reelle Zahlen mit der bekannten Exponentialfunktion übereinstimmt.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
@@ -115,7 +118,7 @@ abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\index{Maximumprinzip}Es sei $ρ ∈ U$ ein Maximum von $|f|$. Nach
|
||||
Satz~\ref{satz:5-2-3} (``Starkes Maximumprinzip'') wissen wir schon: es gibt
|
||||
Satz~\ref{satz:5-2-3} („Starkes Maximumsprinzip“) wissen wir schon: es gibt
|
||||
ein $ε > 0$, sodass $f|_{B_ε(ρ)}$ konstant ist. Nach dem Identitätssatz,
|
||||
Korollar~\ref{kor:7-2-2}, ist $f$ dann aber auf ganz $U$ konstant.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Binary file not shown.
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