kebekus/Funktionentheorie
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Stefan Kebekus
2025-10-23 11:12:20 +02:00
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3
03-wegintegraleDiffbar.tex
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@@ -553,4 +553,7 @@ folgenden Art.
gilt. gilt.
\end{proof} \end{proof}
{\color{red}Hier fehlt das Korollar, dass jede holomorphe Funktion auf der Kreisscheibe
eine Stammfunktion besitzt.}
% !TEX root = Funktionentheorie % !TEX root = Funktionentheorie

13
04-wegintegraleStetig.tex
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@@ -213,11 +213,12 @@ dies präzise dar.
\end{align*} \end{align*}
sodass für alle Indizes $0 ≤ j < m$ und $0 ≤ l < k$ die Bildmenge sodass für alle Indizes $0 ≤ j < m$ und $0 ≤ l < k$ die Bildmenge
$Γ\bigl([t_j, t_{j+1}] ⨯ [s_l, s_{l+1}]\bigr)$ ganz in einer der Kreisscheiben $Γ\bigl([t_j, t_{j+1}] ⨯ [s_l, s_{l+1}]\bigr)$ ganz in einer der Kreisscheiben
$Δ_1, …, Δ_n$ liegt. Als Nächstes wenden wir Satz~\ref{satz:3-3-11} an und $Δ_1, …, Δ_n$ liegt. Als Nächstes wenden wir
wählen für jede Kreisscheibe $Δ_i$ eine Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von Satz~\ref{satz:3-3-11}\sideremark{Disaster here: Existenz von Stammfunktionen
$f|_{Δ_i}$. Nach Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} gilt dann für jeden der in ist nicht sicher!} an und wählen für jede Kreisscheibe $Δ_i$ eine
Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten (geschlossenen!) Wege $β_{i,j}$ Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von $f|_{Δ_i}$. Nach Konsequenz~\ref{kons:3-3-3}
die Gleichung gilt dann für jeden der in Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten
(geschlossenen!) Wege $β_{i,j}$ die Gleichung
\[ \[
\int_{β_{j,l}} f(z) \, dz = 0. \int_{β_{j,l}} f(z) \, dz = 0.
\] \]
@@ -267,7 +268,7 @@ dies präzise dar.
\end{kor} \end{kor}
\begin{proof} \begin{proof}
Sei eine holomorphe Funktion $f$ gegeben. Um die Existenz einer Stammfunktion Sei eine holomorphe Funktion $f$ gegeben. Um die Existenz einer Stammfunktion
zu beweisen, genügt es nach Satz~\vref{satz:3-3-9}zu zeigen, dass die zu beweisen, genügt es nach Satz~\vref{satz:3-3-9} zu zeigen, dass die
Wegintegrale $\int_• f(z)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt des jeweiligen Wegintegrale $\int_• f(z)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt des jeweiligen
Weges abhängen. Seien also $γ_0 : [a_0, b_0] → U$ $γ_1 : [a_1, b_1] → U$ zwei Weges abhängen. Seien also $γ_0 : [a_0, b_0] → U$ $γ_1 : [a_1, b_1] → U$ zwei
stetige Wege gleichem Start- und Endpunkt, $γ_0(a_0) = γ_1(a_1)$ und $γ_0(b_0) stetige Wege gleichem Start- und Endpunkt, $γ_0(a_0) = γ_1(a_1)$ und $γ_0(b_0)