From b3aac30ea8768d2ed868525d1b8007b3d2cdcf22 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Thu, 23 Oct 2025 11:12:20 +0200 Subject: [PATCH] Cleanup, mark error --- 03-wegintegraleDiffbar.tex | 3 +++ 04-wegintegraleStetig.tex | 13 +++++++------ 2 files changed, 10 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/03-wegintegraleDiffbar.tex b/03-wegintegraleDiffbar.tex index 8d9e3d9..720d19c 100644 --- a/03-wegintegraleDiffbar.tex +++ b/03-wegintegraleDiffbar.tex @@ -553,4 +553,7 @@ folgenden Art. gilt. \end{proof} +{\color{red}Hier fehlt das Korollar, dass jede holomorphe Funktion auf der Kreisscheibe +eine Stammfunktion besitzt.} + % !TEX root = Funktionentheorie diff --git a/04-wegintegraleStetig.tex b/04-wegintegraleStetig.tex index 17155f8..09ed8e3 100644 --- a/04-wegintegraleStetig.tex +++ b/04-wegintegraleStetig.tex @@ -213,11 +213,12 @@ dies präzise dar. \end{align*} sodass für alle Indizes $0 ≤ j < m$ und $0 ≤ l < k$ die Bildmenge $Γ\bigl([t_j, t_{j+1}] ⨯ [s_l, s_{l+1}]\bigr)$ ganz in einer der Kreisscheiben - $Δ_1, …, Δ_n$ liegt. Als Nächstes wenden wir Satz~\ref{satz:3-3-11} an und - wählen für jede Kreisscheibe $Δ_i$ eine Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von - $f|_{Δ_i}$. Nach Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} gilt dann für jeden der in - Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten (geschlossenen!) Wege $β_{i,j}$ - die Gleichung + $Δ_1, …, Δ_n$ liegt. Als Nächstes wenden wir + Satz~\ref{satz:3-3-11}\sideremark{Disaster here: Existenz von Stammfunktionen + ist nicht sicher!} an und wählen für jede Kreisscheibe $Δ_i$ eine + Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von $f|_{Δ_i}$. Nach Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} + gilt dann für jeden der in Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten + (geschlossenen!) Wege $β_{i,j}$ die Gleichung \[ \int_{β_{j,l}} f(z) \, dz = 0. \] @@ -267,7 +268,7 @@ dies präzise dar. \end{kor} \begin{proof} Sei eine holomorphe Funktion $f$ gegeben. Um die Existenz einer Stammfunktion - zu beweisen, genügt es nach Satz~\vref{satz:3-3-9}zu zeigen, dass die + zu beweisen, genügt es nach Satz~\vref{satz:3-3-9} zu zeigen, dass die Wegintegrale $\int_• f(z)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt des jeweiligen Weges abhängen. Seien also $γ_0 : [a_0, b_0] → U$ $γ_1 : [a_1, b_1] → U$ zwei stetige Wege gleichem Start- und Endpunkt, $γ_0(a_0) = γ_1(a_1)$ und $γ_0(b_0)