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@@ -24,3 +24,4 @@
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QBehauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q folgt aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, da \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QBehauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist wieder \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QId.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QInsbesondere gibt es offene Umgebung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass auf \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sodass für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}

08-lokaleStruktur.tex

@@ -5,7 +5,7 @@
 
 Ich beginne mit einer Erinnerung.
 
-\begin{lem}
+\begin{lem}\label{lem:8-0-1}%
   Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$.  Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben,
   sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$,
   sodass Folgendes gilt.
@@ -25,7 +25,141 @@ Ich beginne mit einer Erinnerung.
   Umkehrfunktion $(f|_V)^{-1}$ wieder holomorph.
 \end{proof}
 
-Wir haben diese Argumente schon benutzt, um zu zeigen, dass jeder Punkt aus
+\sideremark{Vorlesung: 12}Wir haben diese Argumente schon benutzt, um zu zeigen,
-$ℂ^*$ eine Umgebung hat, auf der eine Wurzelfunktion existiert.
+dass jeder Punkt aus $ℂ^*$ eine Umgebung hat, auf der eine Wurzelfunktion
+existiert.
+
+\begin{satz}[Wurzeln holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-2}%
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$.  Angenommen, $f$ hat bei $ρ ∈ U$ eine
+  Nullstelle von Ordnung $n$, mit $1 ≤ n < ∞$. Dann gibt es eine Umgebung $V =
+  V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ \sO(V)$ sodass folgendes gilt:
+  \begin{enumerate}
+  \item Für jedes $z ∈ V$ gilt $f(z) = b(z)^n$, und
+  \item die Bildmenge $W := b(V) ⊂ ℂ$ ist offen und $b: V → W$ ist biholomorph.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wir betrachten nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist. Falls $n = 1$,
+  dann zeigt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass wir $b := f$ setzen können.
+
+  Sei also $n > 1$. Wir haben schon gesehen: auf einer geeigneten Kreisscheibe
+  $D$ um $ρ = 0$ gibt es eine Funktion $g$ mit $g(0) ≠ 0$, sodass auf ganz $D$
+  die folgende Gleichung gilt:
+  \[
+    f(z) = z^n·g(z).
+  \]
+  Insbesondere gibt es offene Umgebung $\Omega = \Omega(g(0)) ⊂ ℂ$, sodass auf
+  $\Omega$ eine $n$-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion $r: \Omega →
+  ℂ^*$ sodass für jedes $\omega \in \Omega$ die Gleichung $r(\omega)^n = \omega$
+  gilt.  
+  Setze dann $V := D \cap g^{-1}(\Omega)$ und definiere die Funktion
+  \[
+    b : V \to \bC, \quad z \mapsto z·r(g(z)).
+  \]
+  Rechne nach, dass $b$ die gewünschten Eigenschaften hat.
+\end{proof}
+
+Als Konsequenz von Satz~\ref{satz:8-0-2} können wir sagen, dass  lokal jede
+holomorphe Funktion aussieht wie $z ↦ z^n$. Der folgende Satz macht diese
+Aussage präzise.
+
+\begin{satz}[Lokale Struktur holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-3}%
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$. Weiter sei $ρ ∈ U$ ein Punkt, sodass
+  $f$ in der Nähe von $ρ$ nicht konstant ist. Dann gibt es Einbettungen der
+  Einheitskreisscheibe,
+  \[
+    u, v: Δ → ℂ,
+  \]
+  sodass die folgenden Eigenschaften gelten
+  \[
+    u(\Delta) \subseteq U, \quad u(0) = ρ, \quad v(0) = f(ρ).
+  \]
+  Zusätzlich gilt: Es gibt eine Zahl $n ∈ ℕ$, sodass das folgende Diagramm
+  kommutiert
+  \[
+    \begin{tikzcd}
+      Δ \ar[r, "u"] \ar[d, "z \mapsto z^n"'] & U \ar[d, "f"] \\
+      Δ \ar[r, "v"'] & ℂ.
+    \end{tikzcd}
+  \]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wir betrachten die Funktion $z \mapsto f(z) - ρ$, die am Punkt $ρ$ eine
+  Nullstelle hat. Sei $1 \leq n < ∞$ die Nullstellenordnung dieser Funktion bei
+  $p$. Nach Satz~\ref{satz:8-0-2} über die Wurzeln holomorpher Funktionen gibt
+  es eine Umgebung $V = V(ρ)$ und eine Einbettung
+  \[
+    b: V → ℂ
+  \]
+  mit Bildmenge $W$, sodass für jedes $z ∈ V$ gilt: $f(z) - ρ = b(z)^n$.
+
+  Die Menge $W$ ist eine offene Umgebung der $0$.  Wir können daher ein Skalar
+  $λ ∈ ℝ^+$ wählen, sodass die skalierte Menge $λ·W = \{λ·w \::\: w ∈ W\}$ den
+  Einheitskreis $Δ$ enthält. Betrachte die Abbildung
+  \[
+    u : \Delta \to \bC, \quad z \mapsto \bigl(λ·b(z)\bigr)^{-1}
+  \]
+  und setze
+  \[
+    U := (λ·b)^{-1}(Δ).
+  \]
+  Dann ist $u: Δ → U$ eine biholomorphe Abbildung und für jedes $z ∈ U$ gilt:
+  \begin{align*}
+    \left(u^{-1}(z)\right)^n & = \left(λ·b(z)\right)^n \\
+    & = λ^n·b(z)^n \\
+    & = λ^n·(f(z) - ρ)^n \\
+    & = \left(\sqrt[n]{λ}·(f(z) - ρ)\right)^n.
+  \end{align*}
+  Betrachte dann die Abbildung
+  \[
+    v: Δ → ℂ, \quad z ↦ \frac{z}{\sqrt[n]{λ}} + ρ.
+  \]
+  Nachdem wir die Kreisscheibe $D$ um $0$ gegebenenfalls verkleinern, können wir
+  annehmen, dass $g(D) ⊂ \widetilde{W}$ ist. Dann gilt für jedes $z ∈ D$:
+  \[
+    f(z) = z^n·r(g(z))^n = \left[z·r(g(z))\right]^n.
+  \]
+  Jetzt ist klar: $\left[z·r(g(z))\right](ρ)$ ist eine Wurzel von $g(ρ) ≠ 0$,
+  also selbst ungleich 0. Deshalb sagt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass  es eine
+  Umgebung $V ⊂ Δ$ gibt, sodass $b = z·r(g(z))$ biholomorph auf die Bildmenge
+  ist.
+\end{proof}
+
+Satz~\ref{satz:8-0-3} erlaubt, jede (nicht-konstante) holomorphe Funktion lokal
+mit der holomorphen Funktion $z ↦ z^n$ zu vergleichen. Zum Beispiel ist die
+Abbildung $z ↦ z^n$ offen (= Bilder offener Mengen sind offen). Also erhalten
+wir:
+
+\begin{satz}[Satz von der Gebietstreue]\label{satz:gebietstreue}%
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, und sei $f ∈ \sO(U)$ nicht konstant.
+  Dann ist $f(U) ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Nach dem Satz über die lokale Struktur ist $f(U)$ offen, weil die Abbildung
+  $f$ offen ist. Aus der Vorlesung  „Analysis II“ wissen wir: Bilder
+  zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen sind zusammenhängend.
+\end{proof}
+
+\begin{notation}
+  In der Funktionentheorie nennt man offene, zusammenhängende Teilmengen des $ℂ$
+  oft \emph{Gebiete}\index{Gebiet}.  Satz~\ref{satz:gebietstreue} sagt in dieser
+  Sprache: ist die Funktion nicht konstant, dann sind Bilder von Gebieten selbst
+  wieder Gebiete.
+\end{notation}
+
+Als Beispielanwendung erhalten wir einen neuen Beweis des Maximumsprinzips.
+
+\begin{satz}[Maximumsprinzip]
+  Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet und $f ∈ \sO(U)$ sei eine nicht-konstante, holomorphe
+  Funktion. Dann hat $|f|$ kein lokales Maximum in $U$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an, es gebe ein $ρ ∈ U$ sodass
+  $|f|$ bei $ρ$ ein lokales Maximum annimmt. Nach Verkleinern von $U$ können wir
+  ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $|f|$ bei $ρ$ ein globales
+  Maximum annimmt. Aber: $f(U)$ ist offen, also existiert ein $ε > 0$, sodass
+  $B_ε(f(ρ)) ⊂ f(U)$ ist. Also liegen in $f(U)$ neben $f(ρ)$ noch Punkten mit
+  größerem Betrag.
+\end{proof}
 
 % !TEX root = Funktionentheorie

09-singularities.tex

@@ -0,0 +1,60 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Singuläre Stellen holomorpher Funktionen}
+
+\section{Isolierte Singularitäten}
+
+Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei
+$ρ ∈ U$ ein Punkt. Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ \sO(U \setminus ρ)$.
+Was kann ich über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen?
+
+\begin{bsp}
+  In diesen Beispielen ist $U = ℂ$ und $ρ = 0$.
+  \begin{enumerate}
+  \item Die Funktion $f(z) = z$ ist die Einschränkung einer holomorphe Funktion,
+    die bereits auf ganz $U$ definiert ist. Man sagt in diesem Fall, die
+    \emph{Singularität von $f$  bei $ρ$ ist hebbar}.
+
+  \item Die Funktion $f(z) = 1/z$ ist keinesfalls die Einschränkung einer
+    holomorphe Funktion, die bereits auf ganz $U$ definiert. Tatsächlich ist $f$
+    ist nicht einmal Einschränkung einer stetigen Funktion, die auf ganz $ℂ$
+    definiert ist (denn für jedes $ε ∈ ℝ^+$ ist die Funktion $|1/z|$ auf $B_ε(0)
+    \setminus 0$ unbeschränkt). Aber: ganz schlimm ist $f$ auch nicht, denn
+    $z·f(z)$ ist holomorph. Man sagt, die \emph{Funktion $f$ hat bei $0$ eine
+    Polstelle}.
+
+  \item Im Vergleich zu den vorhergehenden Funktionen ist $f(z) = \exp(1/z)$
+    echt übel. Man rechne nach: für jedes $n ∈ ℕ$ ist $z^n·\exp(1/z)$ in der
+    Nähe von $0$ betragsmäßig unbeschränkt (dazu reicht es, reelle $z$ zu
+    betrachten). So etwas nennen wir eine \emph{wesentliche Singularität}.
+  \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Funktionen mit isolierten Singularitäten]\label{def:9-1-1}%
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine \emph{holomorphe Funktion mit isolierten
+  Singularitäten}\index{holomorph!mit isolieren Singularitäten} ist eine
+  holomorphe Funktion $f ∈ \sO(U \setminus T)$ wobei $T ⊂ U$ eine diskrete Menge
+  ist.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Typen mit isolierten Singularitäten]
+  In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-1} sei ein Punkt $ρ ∈ T$.
+  \begin{enumerate}
+  \item Wenn es eine Funktion $F ∈ \sO( (U \setminus T) \cup \{ρ\})$, die auch 
+    $U \setminus T$ mit $f$ übereinstimmt, dann sagt man, dass $f$ bei
+    $ρ$ eine \emph{hebbare Singularität}\index{hebbare Singularität} hat.
+
+  \item Wenn $f$ hat bei $ρ$ keine hebbare Singularität, es aber eine Zahl $n ∈
+    ℕ$ gibt, sodass die Funktion $(z - ρ)^n·f(z)$ eine hebbare Singularität hat,
+    dann sagt man, dass $f$ bei $\rho$ eine \emph{Polstelle}\index{Polstelle}
+    hat. Die kleinste Zahl $n$ heisst
+    \emph{Polstellenordnung}\index{Polstellenordnung} von $f$ am Punkt $ρ$.
+
+  \item Wenn die Funktion $f$ bei $ρ$ weder eine hebbare Singularität noch eine
+  Polstelle hat, dann sagt man, dass $f$ bei $\rho$ eine \emph{wesentliche
+  Singularität}\index{wesentliche Singularität} hat.
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+% !TEX root = Funktionentheorie

Funktionentheorie.tex

@@ -147,6 +147,11 @@ Link in den Text ein.
 \input{07-nullstelle}
 \input{08-lokaleStruktur}
 
+
+\part{Singularitäten}
+
+\input{09-singularities}
+
 \addchap{Lizenz}
 
 Dieser Text ist unter der Lizenz