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08-lokaleStruktur.tex

@@ -5,7 +5,7 @@
 
 Ich beginne mit einer Erinnerung.
 
-\begin{lem}
+\begin{lem}\label{lem:8-0-1}%
   Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$.  Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben,
   sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$,
   sodass Folgendes gilt.
@@ -25,7 +25,141 @@ Ich beginne mit einer Erinnerung.
   Umkehrfunktion $(f|_V)^{-1}$ wieder holomorph.
 \end{proof}
 
-Wir haben diese Argumente schon benutzt, um zu zeigen, dass jeder Punkt aus
-$ℂ^*$ eine Umgebung hat, auf der eine Wurzelfunktion existiert.
+\sideremark{Vorlesung: 12}Wir haben diese Argumente schon benutzt, um zu zeigen,
+dass jeder Punkt aus $ℂ^*$ eine Umgebung hat, auf der eine Wurzelfunktion
+existiert.
+
+\begin{satz}[Wurzeln holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-2}%
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$.  Angenommen, $f$ hat bei $ρ ∈ U$ eine
+  Nullstelle von Ordnung $n$, mit $1 ≤ n < ∞$. Dann gibt es eine Umgebung $V =
+  V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ \sO(V)$ sodass folgendes gilt:
+  \begin{enumerate}
+  \item Für jedes $z ∈ V$ gilt $f(z) = b(z)^n$, und
+  \item die Bildmenge $W := b(V) ⊂ ℂ$ ist offen und $b: V → W$ ist biholomorph.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wir betrachten nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist. Falls $n = 1$,
+  dann zeigt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass wir $b := f$ setzen können.
+
+  Sei also $n > 1$. Wir haben schon gesehen: auf einer geeigneten Kreisscheibe
+  $D$ um $ρ = 0$ gibt es eine Funktion $g$ mit $g(0) ≠ 0$, sodass auf ganz $D$
+  die folgende Gleichung gilt:
+  \[
+    f(z) = z^n·g(z).
+  \]
+  Insbesondere gibt es offene Umgebung $\Omega = \Omega(g(0)) ⊂ ℂ$, sodass auf
+  $\Omega$ eine $n$-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion $r: \Omega →
+  ℂ^*$ sodass für jedes $\omega \in \Omega$ die Gleichung $r(\omega)^n = \omega$
+  gilt.  
+  Setze dann $V := D \cap g^{-1}(\Omega)$ und definiere die Funktion
+  \[
+    b : V \to \bC, \quad z \mapsto z·r(g(z)).
+  \]
+  Rechne nach, dass $b$ die gewünschten Eigenschaften hat.
+\end{proof}
+
+Als Konsequenz von Satz~\ref{satz:8-0-2} können wir sagen, dass  lokal jede
+holomorphe Funktion aussieht wie $z ↦ z^n$. Der folgende Satz macht diese
+Aussage präzise.
+
+\begin{satz}[Lokale Struktur holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-3}%
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$. Weiter sei $ρ ∈ U$ ein Punkt, sodass
+  $f$ in der Nähe von $ρ$ nicht konstant ist. Dann gibt es Einbettungen der
+  Einheitskreisscheibe,
+  \[
+    u, v: Δ → ℂ,
+  \]
+  sodass die folgenden Eigenschaften gelten
+  \[
+    u(\Delta) \subseteq U, \quad u(0) = ρ, \quad v(0) = f(ρ).
+  \]
+  Zusätzlich gilt: Es gibt eine Zahl $n ∈ ℕ$, sodass das folgende Diagramm
+  kommutiert
+  \[
+    \begin{tikzcd}
+      Δ \ar[r, "u"] \ar[d, "z \mapsto z^n"'] & U \ar[d, "f"] \\
+      Δ \ar[r, "v"'] & ℂ.
+    \end{tikzcd}
+  \]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wir betrachten die Funktion $z \mapsto f(z) - ρ$, die am Punkt $ρ$ eine
+  Nullstelle hat. Sei $1 \leq n < ∞$ die Nullstellenordnung dieser Funktion bei
+  $p$. Nach Satz~\ref{satz:8-0-2} über die Wurzeln holomorpher Funktionen gibt
+  es eine Umgebung $V = V(ρ)$ und eine Einbettung
+  \[
+    b: V → ℂ
+  \]
+  mit Bildmenge $W$, sodass für jedes $z ∈ V$ gilt: $f(z) - ρ = b(z)^n$.
+
+  Die Menge $W$ ist eine offene Umgebung der $0$.  Wir können daher ein Skalar
+  $λ ∈ ℝ^+$ wählen, sodass die skalierte Menge $λ·W = \{λ·w \::\: w ∈ W\}$ den
+  Einheitskreis $Δ$ enthält. Betrachte die Abbildung
+  \[
+    u : \Delta \to \bC, \quad z \mapsto \bigl(λ·b(z)\bigr)^{-1}
+  \]
+  und setze
+  \[
+    U := (λ·b)^{-1}(Δ).
+  \]
+  Dann ist $u: Δ → U$ eine biholomorphe Abbildung und für jedes $z ∈ U$ gilt:
+  \begin{align*}
+    \left(u^{-1}(z)\right)^n & = \left(λ·b(z)\right)^n \\
+    & = λ^n·b(z)^n \\
+    & = λ^n·(f(z) - ρ)^n \\
+    & = \left(\sqrt[n]{λ}·(f(z) - ρ)\right)^n.
+  \end{align*}
+  Betrachte dann die Abbildung
+  \[
+    v: Δ → ℂ, \quad z ↦ \frac{z}{\sqrt[n]{λ}} + ρ.
+  \]
+  Nachdem wir die Kreisscheibe $D$ um $0$ gegebenenfalls verkleinern, können wir
+  annehmen, dass $g(D) ⊂ \widetilde{W}$ ist. Dann gilt für jedes $z ∈ D$:
+  \[
+    f(z) = z^n·r(g(z))^n = \left[z·r(g(z))\right]^n.
+  \]
+  Jetzt ist klar: $\left[z·r(g(z))\right](ρ)$ ist eine Wurzel von $g(ρ) ≠ 0$,
+  also selbst ungleich 0. Deshalb sagt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass  es eine
+  Umgebung $V ⊂ Δ$ gibt, sodass $b = z·r(g(z))$ biholomorph auf die Bildmenge
+  ist.
+\end{proof}
+
+Satz~\ref{satz:8-0-3} erlaubt, jede (nicht-konstante) holomorphe Funktion lokal
+mit der holomorphen Funktion $z ↦ z^n$ zu vergleichen. Zum Beispiel ist die
+Abbildung $z ↦ z^n$ offen (= Bilder offener Mengen sind offen). Also erhalten
+wir:
+
+\begin{satz}[Satz von der Gebietstreue]\label{satz:gebietstreue}%
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, und sei $f ∈ \sO(U)$ nicht konstant.
+  Dann ist $f(U) ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Nach dem Satz über die lokale Struktur ist $f(U)$ offen, weil die Abbildung
+  $f$ offen ist. Aus der Vorlesung  „Analysis II“ wissen wir: Bilder
+  zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen sind zusammenhängend.
+\end{proof}
+
+\begin{notation}
+  In der Funktionentheorie nennt man offene, zusammenhängende Teilmengen des $ℂ$
+  oft \emph{Gebiete}\index{Gebiet}.  Satz~\ref{satz:gebietstreue} sagt in dieser
+  Sprache: ist die Funktion nicht konstant, dann sind Bilder von Gebieten selbst
+  wieder Gebiete.
+\end{notation}
+
+Als Beispielanwendung erhalten wir einen neuen Beweis des Maximumsprinzips.
+
+\begin{satz}[Maximumsprinzip]
+  Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet und $f ∈ \sO(U)$ sei eine nicht-konstante, holomorphe
+  Funktion. Dann hat $|f|$ kein lokales Maximum in $U$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an, es gebe ein $ρ ∈ U$ sodass
+  $|f|$ bei $ρ$ ein lokales Maximum annimmt. Nach Verkleinern von $U$ können wir
+  ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $|f|$ bei $ρ$ ein globales
+  Maximum annimmt. Aber: $f(U)$ ist offen, also existiert ein $ε > 0$, sodass
+  $B_ε(f(ρ)) ⊂ f(U)$ ist. Also liegen in $f(U)$ neben $f(ρ)$ noch Punkten mit
+  größerem Betrag.
+\end{proof}
 
 % !TEX root = Funktionentheorie