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.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

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+Multiplikationsabbildung

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

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+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QFür komplexe Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bezeichnet man den Winkel zwischen der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Achse und der Achse \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als das “Argument” von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QMan invertiert eine komplexe Zahl, indem man den Betrag invertiert und das Argument negiert.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

01-Wiederholung.tex

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 % spell checker language
 \selectlanguage{german}
 
-\chapter{Platzhalter}
+\chapter{Komplexe Zahlen}
 
-\section{Platzhalter}
+\section{Konstruktion, Notation und elementare Eigenschaften}
 
 \sideremark{Vorlesung 1}
 
+In der Vorlesung „Analysis I“ haben Sie Funktionen $f : ℝ → ℝ$ diskutiert.  In
+der Vorlesung „Funktionentheorie“ diskutieren wir Funktionen $f : ℂ → ℂ$.  Damit
+alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich in aller Kürze die wesentlichen
+Begriffe zu den komplexen Zahlen.
+
+\begin{konstruktion}[Konstruktion der komplexen Zahlen]
+  Wir definieren auf der reellen Ebene $ℝ²$ zwei Abbildungen (oder:
+  „Operationen“):
+  \begin{align*}
+    + : ℝ² ⨯ ℝ² &→ ℝ², & \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &↦ \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} \\
+    · : ℝ² ⨯ ℝ² &→ ℝ², & \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &↦ \begin{pmatrix} x_1 x_2 - y_1 y_2 \\ x_1 y_2 + x_2 y_1 \end{pmatrix}
+  \end{align*}
+\end{konstruktion}
+
+\begin{erinnerung}[Komplexe Zahlen]
+  Das Tripel $ℂ := (ℝ², +, ·)$ ist ein Körper, den wir als „Körper der komplexen
+  Zahlen\index{komplexe Zahlen}“ bezeichnen.  Für das neutrale Element der
+  Addition/Multiplikation gilt:
+  \[
+    0_ℂ = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
+    1_ℂ = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
+  \]
+  Die Menge der invertierbaren Elemente wird mit $ℂ^*$ bezeichnet, $ℂ^* = ℂ ∖
+  \{0_ℂ \}$.
+\end{erinnerung}
+
+
+\subsection{Notation}
+
+\begin{erinnerung}[Reelle Zahlen als Teilmenge der komplexen Zahlen]
+  Die Abbildung
+  \[
+    ι : ℝ → ℂ, \quad x ↦ \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}
+  \]
+  ist ein Körpermorphismus.  Das bedeutet: Für alle $z_1, z_2 ∈ ℂ$ gilt:
+  \[
+    ι(z_1 + z_2) = ι(z_1) + ι(z_2)
+    \quad\text{und}\quad
+    ι(z_1 · z_2) = ι(z_1) · ι(z_2).
+  \]
+  Weiter gilt: $ι(1) = 1$ und $ι(0) = 0$.  Weil die Abbildung $ι$ injektiv ist,
+  identifiziert man die reellen Zahlen häufig mit der Bildmenge von $ι$, nämlich
+  der $x$-Achse in $ℝ²$, und fasst $ℝ$ als Teilmenge von $ℂ$ auf.
+\end{erinnerung}
+
+\begin{notation}
+  Man bezeichnet die $x$-Achse als „reelle Achse“\index{reelle Achse}, die
+  $y$-Achse als „imaginäre Achse“\index{imaginäre Achse}.  Das Element
+  $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ wird mit $i$ bezeichnet.  Statt $z =
+  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ schreibe kurz $z = x + iy$.  Dabei nenne
+  $x$ den „Realteil von $z$“\index{Realteil} und $y$ den „Imaginärteil von
+  $z$“\index{Imaginärteil}.  Die Schreibweisen $x = \operatorname{Re}(z)$ und $y
+  = \operatorname{Im}(z)$ sind üblich.
+\end{notation}
+
+
+\subsection{Betrag und Argument}
+
+\begin{notation}[Betrag einer komplexen Zahl]
+  \index{Betrag}Die euklidische Norm auf $ℂ$ wird mit $|·|$ bezeichnet.  Für
+  eine komplexe Zahl $z = x + y·i$ nennt man $|z|$ den „Betrag von $z$“.  Es
+  gilt $|z| = \sqrt{x² + y²}$.
+\end{notation}
+
+\begin{bemerkung}[Betrag eines Produkts]
+  Für alle $z_1, z_2 ∈ ℂ$ gilt: $|z_1 · z_2| = |z_1| · |z_2|$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}[Dreiecksungleichung]
+  Für alle $z_1, z_2 ∈ ℂ$ gilt: $|z_1 + z_2| ≤ |z_1| + |z_2|$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{notation}[Argument einer komplexen Zahl]
+  \index{Argument}Für komplexe Zahlen $z ∈ ℂ^*$ bezeichnet man den Winkel
+  zwischen der $x$-Achse und der Achse $z·ℝ$ als das „Argument“ von $z$.  Die
+  Schreibweise $\arg z$ ist üblich.
+\end{notation}
+
+\begin{beobachtung}[Darstellung von komplexen Zahlen durch Betrag und Argument]
+  Sei $z ∈ ℂ^*$.  Dann ist
+  \[
+    z = |z| · \begin{pmatrix} \cos (\arg z) \\ \sin (\arg z) \end{pmatrix}.
+  \]
+\end{beobachtung}
+
+\begin{beobachtung}[Darstellung Argument des negierten]
+  Sei $z ∈ ℂ^*$.  Dann ist
+  \[
+    \arg (-z) = π + \arg z.
+  \]
+\end{beobachtung}
+
+
+\subsection{Geometrische Bedeutung der Körperoperationen}
+
+Es ist per Definition klar, dass die Addition im Körper $ℂ$ einfach die
+Vektoraddition der $ℝ²$ ist.  Um die Bedeutung der Multiplikation zu verstehen,
+sei $z ∈ ℂ^*$ irgendeine Zahl, mit Betrag $λ := |z|$ und Argument $α := \arg z$.
+Man rechne man nach, dass die Multiplikationsabbildung
+\[
+  m_z : ℂ → ℂ, \quad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ↦ z · \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
+\]
+gleich der Abbildung
+\[
+  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ↦ λ·\begin{pmatrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
+\]
+ist.  Dies ist eine Drehstreckung.
+
+\begin{merke}[Multiplikation ist Drehstreckung]
+  Multiplikation einer komplexen Zahl $w$ mit $z ∈ ℂ^*$ bedeutet: Drehe $w$ um
+  den Winkel $α = \arg z$ und strecke das Ergebnis um den Faktor $λ = |z|$.
+\end{merke}
+
+\begin{kons}[Multiplikation zweier komplexer Zahlen]
+  Gegeben komplexe Zahlen $z_1, z_2 ∈ ℂ$, dann ist $|z_1 · z_2| = |z_1| ·
+  |z_2|$.  Falls $z_1$ und $z_2 ∈ ℂ^*$ sind, gilt $\arg (z_1 · z_2) = \arg (z_1)
+  + \arg (z_2)$.
+\end{kons}
+
+\begin{merke}[Multiplikation zweier komplexer Zahlen]
+  Man multipliziert zwei komplexe Zahlen, indem man die Beträge multipliziert
+  und die Argumente addiert.
+\end{merke}
+
+\begin{merke}[Division zweier komplexer Zahlen]
+  Man dividiert zwei komplexe Zahlen, indem man die Beträge dividiert und die
+  Argumente subtrahiert.
+\end{merke}
+
+\begin{merke}[Multiplikatives Inverses]
+  Man invertiert eine komplexe Zahl, indem man den Betrag invertiert und das
+  Argument negiert.
+\end{merke}
+
+
+\subsection{Konjugation}
+
+\begin{notation}[Konjugation]
+  Die Spiegelung an der reellen Achse,
+  \[
+    τ : ℂ → ℂ, \quad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ↦ \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}
+  \]
+  wird als „Konjugation“ bezeichnet\index{Konjugation}.  Anstelle von $τ(z)$ ist
+  die Schreibweise $\overline{z}$ üblich.
+\end{notation}
+
+\begin{erinnerung}[Konjugation als Körpermorphismus]
+  Komplexe Konjugation ist ein Körpermorphismus.  Das bedeutet: Für alle $z_1,
+  z_2 ∈ ℂ$ gilt:
+  \[
+    \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}
+    \quad\text{und}\quad
+    \overline{z_1 · z_2} = \overline{z_1} · \overline{z_2}.
+  \]
+  Weiter gilt: $\overline{0} = 0$ und $\overline{1} = 1$.
+\end{erinnerung}
+
+\begin{erinnerung}[Allererste Eigenschaften der Konjugation]
+  Sei $z ∈ ℂ$.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{itemize}
+    \item Die Gleichung $\overline{z} = z$ gilt genau dann, wenn $z ∈ ℝ$ ist.
+    \item Es ist $|z| = |\overline{z}|$ und $\arg \overline{z} = - \arg z$.
+    \item Es ist $\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}$ und
+      $\operatorname{Im}(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}$.
+    \item Es ist $z·\overline{z} = |z|²$.
+    \item Falls $z ∈ ℂ^*$ ist, so ist $\overline{z^{-1}} =
+    \overline{z}^{-1}$.
+  \end{itemize}
+\end{erinnerung}
+
+
+\subsection{Geometrische Bedeutung des multiplikativen Inversen}
+
+Gegeben eine komplexe Zahl $z ∈ ℂ^*$, so kann man das multiplikative Inverse von
+$z$ mithilfe der Konjugation leicht ausrechnen.  Es ist nämlich
+\[
+  \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{\overline{z}·z} = \frac{\overline{z}}{|z|²} = \overline{z/|z|²}.
+\]
+Aber was bedeutet das anschaulich?
+
+\begin{erinnerung}[Spiegelung am Einheitskreis]
+  Die Abbildung
+  \[
+    ℝ² ∖ \{0\} → ℝ² ∖ \{0\}, \quad z ↦ \frac{z}{|z|²}
+  \]
+  heißt „Spiegelung am Einheitskreis“\index{Spiegelung am Einheitskreis}.  Die
+  Spiegelung am Einheitskreis lässt das Argument unverändert und invertiert den
+  Betrag.
+\end{erinnerung}
+
+\begin{merke}[Multiplikatives Inverses]
+  Man invertiert eine komplexe Zahl, indem man am Einheitskreis spiegelt und
+  konjugiert (=an der $x$-Achse spiegelt).
+\end{merke}
+
+
+\subsection{Geometrische Bedeutung des Quadrierens}
+
+Nach der vorhergehenden Diskussion ist klar, was die Abbildung $q : ℂ → ℂ$, $z ↦
+z²$ geometrisch macht:
+\begin{itemize}
+  \item Der Betrag wird quadriert.
+  \item Argument wird verdoppelt.
+\end{itemize}
+Aus dieser Beschreibung ergibt sich sehr schnell, dass jede komplexe Zahl eine
+Quadratwurzel besitzt.
+
+\begin{kons}[Existenz von Quadratwurzeln]
+  Jede komplexe Zahl hat eine Quadratwurzel.
+\end{kons}
+\begin{proof}
+  Gegeben eine Zahl $z ∈ ℂ$.  Falls $z = 0$ ist, dann ist $w := 0$ eine
+  Quadratwurzel von $z$.  Ansonsten sei $λ := |z|$ und $α := \arg z$. Weiter sei
+  $w ∈ ℂ^*$ die Zahl mit Betrag $\sqrt{λ}$ und Argument $α/2$.  Mit dieser Wahl
+  ist $w² = z$, die Zahl $w$ ist also eine Quadratwurzel von $z$.
+\end{proof}
+
+Quadratwurzeln sind natürlich nicht eindeutig, denn wenn $w$ eine Quadratwurzel
+von $z$ ist, dann ist $-w$ ebenfalls eine Quadratwurzel.
+
+\begin{kons}[Surjektivität der Quadrat-Abbildung]
+  Die Abbildung $q : ℂ → ℂ$, $z ↦ z²$ ist surjektiv, aber nicht injektiv.  Es
+  ist $q^{-1}(0) = \{0\}$.  Jede andere Faser von $q$ enthält genau zwei Punkte,
+  die sich exakt um das Vorzeichen unterscheiden.  \qed
+\end{kons}
+
+Aber Achtung!  Obwohl jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt, gibt es
+keine stetige Wurzelfunktion!  Das folgende Lemma zeigt, dass es nicht einmal
+auf der Teilmenge $ℂ^* ⊂ ℂ$ eine stetige Wurzelfunktion geben kann.
+
+\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Wurzelfunktion]
+  Es sei $w: ℂ^* → ℂ^*$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ℂ^*$ gilt: $w(z)² =
+  z$.  Dann ist die Abbildung $w$ nicht stetig.
+\end{lem}
+\begin{proof}
+  Sei eine Funktion $w$ gegeben.  Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen
+  an, dass die Funktion $w$ stetig sei.  Dann ist aber die Funktion
+  \[
+    f : ℂ^* → ℂ^*, \quad z ↦ w(z²)/z
+  \]
+  aber ebenfalls stetig.  Per Annahme gilt nun aber für jedes $z ∈ ℂ^*$ die
+  Gleichung $w(z²)² = z²$.  Das bedeutet: die komplexen Zahlen $w(z²)$ und $z$
+  unterscheiden sich nur um ein Vorzeichen.  Also nimmt die stetige Funktion $f$
+  nur die Werte $± 1$ an.  Weil $f$ stetig und $ℂ^*$ zusammenhängend ist, muss
+  $f$ also konstant sein.  Auf der anderen Seite gilt für jedes $z ∈ ℂ^*$ die
+  Gleichung
+  \[
+    f(-z) = \frac{w((-z)²)}{-z} = \frac{w(z²)}{-z} = - f(z),
+  \]
+  also ist $f$ doch nicht konstant!
+\end{proof}
+
+
 % !TEX root = LineareAlgebra2
 

Funktionentheorie.tex

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 \theoremstyle{plain}
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 \newtheorem{satz}[thm]{Satz}
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+\newtheorem{kons}[thm]{Konsequenz}
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