Update

.gitignore

@@ -1,309 +1,19 @@
-# ---> TeX
-## Core latex/pdflatex auxiliary files:
+public
 *.aux
-*.lof
-*.log
-*.lot
-*.fls
-*.out
-*.toc
-*.fmt
-*.fot
-*.cb
-*.cb2
-.*.lb
-
-## Intermediate documents:
-*.dvi
-*.xdv
-*-converted-to.*
-# these rules might exclude image files for figures etc.
-# *.ps
-# *.eps
-# *.pdf
-
-## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:"
-.pdf
-
-## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber):
 *.bbl
-*.bbl-SAVE-ERROR
-*.bcf
 *.blg
-*-blx.aux
-*-blx.bib
-*.run.xml
-
-## Build tool auxiliary files:
-*.fdb_latexmk
-*.synctex
-*.synctex(busy)
-*.synctex.gz
-*.synctex.gz(busy)
-*.pdfsync
-*.rubbercache
-rubber.cache
-
-## Build tool directories for auxiliary files
-# latexrun
-latex.out/
-
-## Auxiliary and intermediate files from other packages:
-# algorithms
-*.alg
-*.loa
-
-# achemso
-acs-*.bib
-
-# amsthm
-*.thm
-
-# beamer
-*.nav
-*.pre
-*.snm
-*.vrb
-
-# changes
-*.soc
-
-# comment
-*.cut
-
-# cprotect
-*.cpt
-
-# elsarticle (documentclass of Elsevier journals)
-*.spl
-
-# endnotes
-*.ent
-
-# fixme
-*.lox
-
-# feynmf/feynmp
-*.mf
-*.mp
-*.t[1-9]
-*.t[1-9][0-9]
-*.tfm
-
-#(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar
-*.end
-*.?end
-*.[1-9]
-*.[1-9][0-9]
-*.[1-9][0-9][0-9]
-*.[1-9]R
-*.[1-9][0-9]R
-*.[1-9][0-9][0-9]R
-*.eledsec[1-9]
-*.eledsec[1-9]R
-*.eledsec[1-9][0-9]
-*.eledsec[1-9][0-9]R
-*.eledsec[1-9][0-9][0-9]
-*.eledsec[1-9][0-9][0-9]R
-
-# glossaries
-*.acn
-*.acr
-*.glg
-*.glo
-*.gls
-*.glsdefs
-*.lzo
-*.lzs
-*.slg
-*.slo
-*.sls
-
-# uncomment this for glossaries-extra (will ignore makeindex's style files!)
-# *.ist
-
-# gnuplot
-*.gnuplot
-*.table
-
-# gnuplottex
-*-gnuplottex-*
-
-# gregoriotex
-*.gaux
-*.glog
-*.gtex
-
-# htlatex
-*.4ct
-*.4tc
-*.idv
-*.lg
-*.trc
-*.xref
-
-# hypdoc
-*.hd
-
-# hyperref
 *.brf
-
-# knitr
-*-concordance.tex
-# TODO Uncomment the next line if you use knitr and want to ignore its generated tikz files
-# *.tikz
-*-tikzDictionary
-
-# listings
-*.lol
-
-# luatexja-ruby
-*.ltjruby
-
-# makeidx
+*.fdb_latexmk
+*.fls
 *.idx
 *.ilg
 *.ind
-
-# minitoc
-*.maf
-*.mlf
-*.mlt
-*.mtc[0-9]*
-*.slf[0-9]*
-*.slt[0-9]*
-*.stc[0-9]*
-
-# minted
-_minted*
-*.pyg
-
-# morewrites
-*.mw
-
-# newpax
-*.newpax
-
-# nomencl
-*.nlg
-*.nlo
-*.nls
-
-# pax
-*.pax
-
-# pdfpcnotes
-*.pdfpc
-
-# sagetex
-*.sagetex.sage
-*.sagetex.py
-*.sagetex.scmd
-
-# scrwfile
-*.wrt
-
-# svg
-svg-inkscape/
-
-# sympy
-*.sout
-*.sympy
-sympy-plots-for-*.tex/
-
-# pdfcomment
-*.upa
-*.upb
-
-# pythontex
-*.pytxcode
-pythontex-files-*/
-
-# tcolorbox
-*.listing
-
-# thmtools
-*.loe
-
-# TikZ & PGF
-*.dpth
-*.md5
-*.auxlock
-
-# titletoc
-*.ptc
-
-# todonotes
-*.tdo
-
-# vhistory
-*.hst
-*.ver
-
-# easy-todo
-*.lod
-
-# xcolor
-*.xcp
-
-# xmpincl
-*.xmpi
-
-# xindy
-*.xdy
-
-# xypic precompiled matrices and outlines
-*.xyc
-*.xyd
-
-# endfloat
-*.ttt
-*.fff
-
-# Latexian
-TSWLatexianTemp*
-
-## Editors:
-# WinEdt
-*.bak
-*.sav
-
-# Texpad
-.texpadtmp
-
-# LyX
-*.lyx~
-
-# Kile
-*.backup
-
-# gummi
-.*.swp
-
-# KBibTeX
-*~[0-9]*
-
-# TeXnicCenter
-*.tps
-
-# auto folder when using emacs and auctex
-./auto/*
-*.el
-
-# expex forward references with \gathertags
-*-tags.tex
-
-# standalone packages
-*.sta
-
-# Makeindex log files
-*.lpz
-
-# xwatermark package
-*.xwm
-
-# REVTeX puts footnotes in the bibliography by default, unless the nofootinbib
-# option is specified. Footnotes are the stored in a file with suffix Notes.bib.
-# Uncomment the next line to have this generated file ignored.
-#*Notes.bib
-
+*.loa
+*.lof
+*.log
+*.lot
+*.out
+*.pdf
+*.synctex(busy)
+*.synctex.gz
+*.toc

.vscode/ltex.dictionary.en-US.txt

@@ -0,0 +1 @@
+Kebekus

01-Wiederholung.tex

@@ -0,0 +1,189 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Wiederholung}
+
+\section{Endomorphismen, Eigenwerte, Eigenvektoren}
+
+\sideremark{Vorlesung 1}Am Ende der Vorlesung „Lineare Algebra I“ hatten wir
+folgende Situation betrachtet.
+
+\begin{situation}\label{sit:LA1}%
+  Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum und es
+  sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus des Vektorraumes $V$, also eine
+  $k$-lineare Abbildung $f : V → V$.
+\end{situation}
+
+Das Ziel war, eine angeordnete Basis $B$ von $V$ zu finden, sodass die Matrix
+$\Mat^B_B(f)$ möglichst einfach wird.  Am besten wäre es, wenn die Matrix
+Diagonalgestalt hat.
+
+\begin{defn}[Diagonalisierbarer Endomorphismus]
+  In Situation~\ref{sit:LA1}: der Endomorphismus $f$ heißt
+  \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Endomorphismus}, falls es eine
+  Basis $B$ von $V$ gibt, sodass $\Mat^B_B(f)$ eine Diagonalmatrix ist.
+\end{defn}
+
+Einen entsprechenden Begriff hatten wir auch für Matrizen definiert.
+
+\begin{defn}[Diagonalisierbare Matrix]
+  Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine $n ⨯ n$-Matrix $A$ heißt
+  \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Matrix}, falls sie einer
+  Diagonalmatrix ähnlich ist, d.  h.  $∃S ∈ Gl_n(k)$, sodass $SAS^{-1}$ eine
+  Diagonalmatrix ist.
+\end{defn}
+
+Die zentralen Begriffe in diesem Zusammenhang waren „Eigenwert“, „Eigenvektor“
+und „Eigenraum“.
+
+\begin{defn}[Eigenwert]
+  Situation wie in \ref{sit:LA1}.  Ein Skalar $λ ∈ k$ heißt \emph{Eigenwert von
+    $f$}\index{Eigenwert}, wenn es einen Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$
+  gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
+\end{defn}
+
+\begin{defn}[Eigenraum]
+  Situation wie in \ref{sit:LA1}.  Gegeben ein Skalar $λ ∈ k$, dann nenne
+  $$
+  V_{λ} := \{ \vec{v} ∈ V \:|\: f(\vec{v}) = λ \vec{v} \}
+  $$
+  den \emph{Eigenraum von $f$ zum Eigenwert $λ$}\index{Eigenraum}.
+\end{defn}
+
+\begin{defn}[Eigenvektor]
+  Situation wie in \ref{sit:LA1}.  Ein Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$ heißt
+  \emph{Eigenvektor von $f$}\index{Eigenvektor}, wenn es ein Skalar $λ ∈ k$
+  gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
+\end{defn}
+
+Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist.  In
+der Vorlesung hatten wir ein Verfahren betrachtet, um die Eigenwerte
+auszurechnen: Die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des
+charakteristischen Polynoms
+\[
+  χ_f(t) := \det \bigl( f - t \Id_V \bigr).
+\]
+\textbf{Achtung!} Die Definition des charakteristischen Polynoms ist in der
+Literatur nicht ganz einheitlich.  Manche Autoren bezeichnen auch das Polynom
+$\det \bigl( t \Id_V - f \bigr)$ als charakteristisches Polynom.  In der Praxis
+macht das keinen Unterschied, weil sich die beiden Polynome höchstens um ein
+Vorzeichen unterscheiden und wir sowieso nur an den Nullstellen interessiert
+sind.  Ich werde versuchen, durchgehend die Konvention $χ_f(t) := \det \bigl( f
+- t \Id_V \bigr)$ zu verwenden\footnote{Wie ich mich kenne, wird das aber nicht
+immer gelingen.  Bitte informieren Sie mich, wenn Sie irgendwo einen
+Vorzeichenfehler sehen.  Ich wurde gefragt, welche Konvention in Übungsaufgaben
+und in der Klausur verwendet werden sollen.  Der Einheitlichkeit und Einfachheit
+halber wäre es schön, wenn alle die oben angegebene Konvention nutzen, aber
+eigentlich ist mir die Konvention egal.  Hauptsache, ihre Lösung ist richtig und
+wir können verstehen, was Sie machen!  Melden Sie sich, wenn Ihnen irgendwo
+Punkte abgezogen wurden.}.
+
+\begin{erinnerung}[Komplexe Polynome zerfallen in Linearfaktoren]
+  Für $k = ℂ$ gilt: Jedes Polynom hat eine Nullstelle.  Insbesondere gilt, dass
+  ich jedes Polynom über $ℂ$ als Produkt von linearen Polynomen schreiben kann.
+  Zum Beispiel ist
+  $$
+  g(z) = (z - i)·(z + i)·(z + i)·(z + i)·(z - 2)·(z - 3).
+  $$
+  Also ist $\deg(g) = 6$ und die Nullstellen von g sind $i$, $2$ und $3$
+  (jeweils mit Vielfachheit 1) sowie $-i$ (mit Vielfachheit 3).
+\end{erinnerung}
+
+
+\section{Algebraische und geometrische Vielfachheit}
+
+Zurück zur Situation~\ref{sit:LA1}.  Wenn ich nun ein Skalar $λ ∈ k$ gegeben
+habe, kann ich die folgenden zwei Zahlen betrachten.
+\begin{itemize}
+\item Die \emph{algebraische Vielfachheit von
+  $λ$}\index{Vielfachheit!algebraische} ist die Vielfachheit von $λ$ als
+  Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
+  
+\item Die \emph{geometrische Vielfachheit von
+  $λ$}\index{Vielfachheit!geometrische} ist die Dimension des Vektorraumes
+  $V_{λ}$.
+\end{itemize}
+
+\begin{bsp}\label{bsp:1.1}
+  Es sei $k = ℂ$, es sei $V = ℂ²$ und es sei $f : V → V$ gegeben durch die
+  Matrix
+  $$
+  \begin{pmatrix}
+    2 & 3 \\ 0 & 2
+  \end{pmatrix}.
+  $$
+  Dann ist $χ_f(t) = (2 - t)²$.  Wir betrachten das Skalar $λ = 2$.  Dies ist
+  eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms und die algebraische
+  Vielfachheit von $λ$ ist zwei.  Auf der anderen Seite ist
+  $$
+  V_2 = ℂ · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
+  $$
+  Also ist die geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich eins.
+\end{bsp}
+
+\begin{prop}[Vergleich von alg.\ und geom.~Vielfachheit]
+  In Situation~\ref{sit:LA1} sei $λ ∈ k$ ein Skalar, dann gilt:
+  $$
+  \text{algebraische Vielfachheit } ≥ \text{ geometrische Vielfachheit}
+  $$
+\end{prop}
+\begin{proof}
+  Sei ein Skalar $λ$ gegeben.  Falls geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich
+  Null ist, ist nichts zu zeigen.  Sei also die geometrische Vielfachheit $d$
+  größer als Null.  Das bedeutet: Es gibt eine lineare unabhängige (angeordnete)
+  Teilmenge $\{ \vec{v}_1, … , \vec{v}_d \} ⊂ V$, die ich zu einer
+  (angeordneten) Basis $B$ von $V$ ergänzen kann.  Dann ist die zugehörige
+  Matrix von der Form
+  $$
+  \Mat^B_B (f) = \left(
+    \begin{array}{lll|l}
+      λ & & & \\
+        & \ddots & & * \\
+        & & λ \\
+      \hline
+        & 0 & & *
+    \end{array}\right).
+  $$
+  Als Konsequenz ergibt sich, dass das charakteristische Polynom $χ_f$ von $f$
+  die folgende Form hat,
+  $$
+  χ_f (t) = (t - λ)^d · \text{(weiteres, unbekanntes Polynom)}.
+  $$
+  Also ist die algebraische Vielfachheit von $λ$ ist mindestens gleich $d$.
+\end{proof}
+
+
+\section{Diagonalisierbarkeit}
+
+Wie hängen Diagonalisierbarkeit und die algebraischen/geometrischen
+Vielfachheiten zusammen?  Der folgende Satz gibt eine erste Antwort, zumindest
+über den komplexen Zahlen.  Im folgenden Kapitel werden wir eine bessere Antwort
+kennenlernen.
+
+\begin{satz}[Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten]\label{satz:1.1}
+  In Situation~\ref{sit:LA1} sind die folgenden Aussagen äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item Der Endomorphismus $f$ ist diagonalisierbar.
+    
+  \item Das charakteristische Polynom $χ_f(t)$ zerfällt in Linearfaktoren und
+    für jeden Eigenwert $λ$ stimmen geometrische und algebraische Vielfachheit
+    überein.  \qed
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+Als direkte Anwendung von Satz~\ref{satz:1.1} ergibt sich, dass die Matrix aus
+Beispiel~\ref{bsp:1.1} nicht diagonalisierbar ist.  Der Beweis von
+Satz~\ref{satz:1.1} verwendet folgendes Lemma.
+
+\begin{lemma}\label{lem:1.1}%
+  In Situation~\ref{sit:LA1} seien $λ_1, …, λ_d$ unterschiedliche Eigenwerte von
+  $f$.  Weiter seien $\vec{v}_1, …, \vec{v}_d$ seien zugehörige Eigenvektoren.
+  Dann ist die Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_d \}$ linear unabhängig.  \qed
+\end{lemma}
+
+Sie sollten versuchen, Satz~\ref{satz:1.1} und Lemma~\ref{lem:1.1} selbst zu
+beweisen.  Der Beweis von Lemma~\ref{lem:1.1} funktioniert mit Induktion nach
+$d$.  Die Auflösung finden Sie in \video{1-1} und \video{1-2}.
+
+% !TEX root = LineareAlgebra2
+

Funktionentheorie.tex

@@ -0,0 +1,143 @@
+\documentclass[german, a4paper]{scrreprt}
+
+%
+% Local font definitions -- need to come first
+%
+\usepackage{libertine}
+%\usepackage[libertine]{newtxmath}
+
+%
+% Standard macro packages
+%
+\usepackage{amstext}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage[mark]{gitinfo2}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{tikz-cd}
+\tikzset{commutative diagrams/arrow style=Latin Modern}
+\tikzset{xyz/.style={x={(-.385cm,-.385cm)},y={(1cm,0cm)},z={(0cm,1cm)}}, flaeche/.style={fill=red!10,opacity=.5}}
+\usetikzlibrary{quotes,babel,angles,calc}
+\usepackage{svg}
+
+\input{stdPreamble}
+\usepackage{makeidx}
+\makeindex
+
+%\DeclareTOCStyleEntries[indent=0pt,dynnumwidth,numsep=1em]{default}{figure,table}
+
+\title{Funktionentheorie}
+\author{Prof.~Dr.~Stefan Kebekus}
+
+\DeclareMathOperator{\ad}{ad}
+\DeclareMathOperator{\Bij}{Bij}
+\DeclareMathOperator{\End}{End}
+\DeclareMathOperator{\Hau}{Hau}
+\DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}
+\DeclareMathOperator{\rang}{rang}
+\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
+\DeclareMathOperator{\spur}{spur}
+
+\newcommand\video[1]{\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/Lehre/Vorlesungen/LA2/#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/Lehre/Vorlesungen/LA2/#1-Skript.pdf}{(Skript)}}
+
+\theoremstyle{plain}
+\newtheorem{aufgabe}[thm]{Aufgabe}
+\newtheorem{satz}[thm]{Satz}
+\newtheorem{situation}[thm]{Situation}
+\newtheorem{lemma}[thm]{Lemma}
+\newtheorem{kor}[thm]{Korollar}
+\newtheorem{definition}[thm]{Definition}
+\newtheorem{fakt}[thm]{Fakt}
+\newtheorem{proposition}[thm]{Proposition}
+\newtheorem{prov}[thm]{Provokation}
+\theoremstyle{remark}
+\newtheorem{bemerkung}[thm]{Bemerkung}
+\newtheorem{beobachtung}[thm]{Beobachtung}
+\newtheorem{konstruktion}[thm]{Konstruktion}
+\newtheorem{bsp}[thm]{Beispiel}
+\newtheorem{frage}[thm]{Frage}
+\newtheorem{erinnerung}[thm]{Erinnerung}
+\newtheorem{erkl}[thm]{Erklärung}
+\newtheorem{claim-de}[thm]{Vorüberlegung}
+
+% sideremark
+\newcommand\sideremark[1]{\marginpar
+[
+\hskip .45in
+\begin{minipage}{1.25in}
+\textsf #1
+\end{minipage}
+]
+{
+\hskip -.075in
+\begin{minipage}{1.25in}
+\textsf #1
+\end{minipage}
+}}
+
+
+\makeatletter
+\hypersetup{
+  pdftitle={\@title},
+  pdfstartview={Fit},
+  pdfpagelayout={TwoColumnRight},
+  pdfpagemode={UseOutlines},
+  bookmarks,
+  colorlinks,
+  linkcolor=linkblue,
+  citecolor=linkred,
+  urlcolor=linkred
+}
+\makeatother
+
+
+
+\begin{document}
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+
+\maketitle
+
+\tableofcontents
+
+\bigskip
+
+\bigskip
+
+\bigskip
+
+\section*{Vorbemerkung}
+
+Dieses Skript zur Vorlesung „Funktionentheorie“ wird ständig weiter geschrieben.
+Sie finden die neueste Version dieses Skripts immer auf der
+\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/anr7bxB4aEdabiz}{Nextcloud}.
+
+Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen.  Falls Sie
+ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
+Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei
+\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus}.  Wir
+korrigieren schnellstmöglich!
+
+Es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos und anderem.
+Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte.  Wir fügen gerne einen
+Link in den Text ein.
+
+
+%
+% Das ist Stefan's Teil.  Hier bitte nur Fehlerkorrekturen.
+%
+\part{Endomorphismen}
+
+\input{01-Wiederholung}
+
+\addchap{Lizenz}
+
+Dieser Text ist unter der Lizenz
+\href{https://creativecommons.org/licenses/by/4.0}{CC-BY 4.0} verfügbar.
+
+
+\printindex
+
+\end{document}

deploy.sh

@@ -0,0 +1,5 @@
+#!/bin/bash
+set -e
+
+latexmk --pdf LineareAlgebra2.tex
+cp LineareAlgebra2.pdf public/LineareAlgebra2.pdf

stdPreamble.tex

@@ -0,0 +1,377 @@
+%
+% PACKAGES
+%
+
+% Standard Packages
+\usepackage{babel}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{newunicodechar}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{varioref}
+\usepackage[arrow,curve,matrix]{xy}
+
+% Graphics Packages
+\usepackage{colortbl}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{tikz}
+
+
+% Font packages
+\usepackage{mathrsfs}
+
+
+%
+% GENERAL TYPESETTING
+%
+
+% Colours for hyperlinks
+\definecolor{linkred}{rgb}{0.7,0.2,0.2}
+\definecolor{linkblue}{rgb}{0,0.2,0.6}
+
+% Limit table of contents to section titles
+\setcounter{tocdepth}{1}
+
+% Numbering of figures (see below for numbering of equations)
+\numberwithin{figure}{section}
+
+% Add an uparrow to the bibliography entries, just before the back-list of references
+\usepackage[hyperpageref]{backref}
+\renewcommand{\backref}[1]{$\uparrow$~#1}
+
+% Numbering of parts in roman numbers
+\renewcommand\thepart{\Roman{part}}
+
+% Sloppy formatting -- often looks better
+\sloppy
+
+% Changes the layout of descriptions and itemized lists.  The indent specified in
+% the original amsart style is too much for my taste.
+\setdescription{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent}
+\setitemize[1]{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent}
+\setenumerate[1]{labelindent=0cm, leftmargin=*, widest=iiii}
+
+%
+% Input characters
+%
+
+\newunicodechar{א}{\ensuremath{\aleph}}
+\newunicodechar{α}{\ensuremath{\alpha}}
+\newunicodechar{β}{\ensuremath{\beta}}
+\newunicodechar{χ}{\ensuremath{\chi}}
+\newunicodechar{δ}{\ensuremath{\delta}}
+\newunicodechar{ε}{\ensuremath{\varepsilon}}
+\newunicodechar{Δ}{\ensuremath{\Delta}}
+\newunicodechar{η}{\ensuremath{\eta}}
+\newunicodechar{γ}{\ensuremath{\gamma}}
+\newunicodechar{Γ}{\ensuremath{\Gamma}}
+\newunicodechar{ι}{\ensuremath{\iota}}
+\newunicodechar{κ}{\ensuremath{\kappa}}
+\newunicodechar{λ}{\ensuremath{\lambda}}
+\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{\Lambda}}
+\newunicodechar{ν}{\ensuremath{\nu}}
+\newunicodechar{μ}{\ensuremath{\mu}}
+\newunicodechar{ω}{\ensuremath{\omega}}
+\newunicodechar{Ω}{\ensuremath{\Omega}}
+\newunicodechar{π}{\ensuremath{\pi}}
+\newunicodechar{Π}{\ensuremath{\Pi}}
+\newunicodechar{φ}{\ensuremath{\phi}}
+\newunicodechar{Φ}{\ensuremath{\Phi}}
+\newunicodechar{ψ}{\ensuremath{\psi}}
+\newunicodechar{Ψ}{\ensuremath{\Psi}}
+\newunicodechar{ρ}{\ensuremath{\rho}}
+\newunicodechar{σ}{\ensuremath{\sigma}}
+\newunicodechar{Σ}{\ensuremath{\Sigma}}
+\newunicodechar{τ}{\ensuremath{\tau}}
+\newunicodechar{θ}{\ensuremath{\theta}}
+\newunicodechar{Θ}{\ensuremath{\Theta}}
+\newunicodechar{ξ}{\ensuremath{\xi}}
+\newunicodechar{Ξ}{\ensuremath{\Xi}}
+\newunicodechar{ζ}{\ensuremath{\zeta}}
+
+\newunicodechar{ℓ}{\ensuremath{\ell}}
+\newunicodechar{ï}{\"{\i}}
+
+\newunicodechar{𝔸}{\ensuremath{\bA}}
+\newunicodechar{𝔹}{\ensuremath{\bB}}
+\newunicodechar{ℂ}{\ensuremath{\bC}}
+\newunicodechar{𝔻}{\ensuremath{\bD}}
+\newunicodechar{𝔼}{\ensuremath{\bE}}
+\newunicodechar{𝔽}{\ensuremath{\bF}}
+\newunicodechar{𝔾}{\ensuremath{\bG}}
+\newunicodechar{ℕ}{\ensuremath{\bN}}
+\newunicodechar{ℙ}{\ensuremath{\bP}}
+\newunicodechar{ℚ}{\ensuremath{\bQ}}
+\newunicodechar{ℝ}{\ensuremath{\bR}}
+\newunicodechar{𝕏}{\ensuremath{\bX}}
+\newunicodechar{ℤ}{\ensuremath{\bZ}}
+\newunicodechar{𝒜}{\ensuremath{\sA}}
+\newunicodechar{ℬ}{\ensuremath{\sB}}
+\newunicodechar{𝒞}{\ensuremath{\sC}}
+\newunicodechar{𝒟}{\ensuremath{\sD}}
+\newunicodechar{ℰ}{\ensuremath{\sE}}
+\newunicodechar{ℱ}{\ensuremath{\sF}}
+\newunicodechar{𝒢}{\ensuremath{\sG}}
+\newunicodechar{ℋ}{\ensuremath{\sH}}
+\newunicodechar{𝒥}{\ensuremath{\sJ}}
+\newunicodechar{ℒ}{\ensuremath{\sL}}
+\newunicodechar{ℳ}{\ensuremath{\sM}}
+\newunicodechar{𝒪}{\ensuremath{\sO}}
+\newunicodechar{𝒬}{\ensuremath{\sQ}}
+\newunicodechar{𝒮}{\ensuremath{\sS}}
+\newunicodechar{𝒯}{\ensuremath{\sT}}
+\newunicodechar{𝒲}{\ensuremath{\sW}}
+
+\newunicodechar{∂}{\ensuremath{\partial}}
+\newunicodechar{∇}{\ensuremath{\nabla}}
+
+\newunicodechar{↺}{\ensuremath{\circlearrowleft}}
+\newunicodechar{∞}{\ensuremath{\infty}}
+\newunicodechar{⊕}{\ensuremath{\oplus}}
+\newunicodechar{⊗}{\ensuremath{\otimes}}
+\newunicodechar{•}{\ensuremath{\bullet}}
+\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{\wedge}}
+\newunicodechar{↪}{\ensuremath{\into}}
+\newunicodechar{→}{\ensuremath{\to}}
+\newunicodechar{↦}{\ensuremath{\mapsto}}
+\newunicodechar{⨯}{\ensuremath{\times}}
+\newunicodechar{∪}{\ensuremath{\cup}}
+\newunicodechar{∩}{\ensuremath{\cap}}
+\newunicodechar{⊋}{\ensuremath{\supsetneq}}
+\newunicodechar{⊇}{\ensuremath{\supseteq}}
+\newunicodechar{⊃}{\ensuremath{\supset}}
+\newunicodechar{⊊}{\ensuremath{\subsetneq}}
+\newunicodechar{⊆}{\ensuremath{\subseteq}}
+\newunicodechar{⊂}{\ensuremath{\subset}}
+\newunicodechar{⊄}{\ensuremath{\not \subset}}
+\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geq}}
+\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
+\newunicodechar{≫}{\ensuremath{\gg}}
+\newunicodechar{≪}{\ensuremath{\ll}}
+
+\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leq}}
+\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
+\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\not \in}}
+\newunicodechar{∖}{\ensuremath{\setminus}}
+\newunicodechar{◦}{\ensuremath{\circ}}
+\newunicodechar{°}{\ensuremath{^\circ}}
+\newunicodechar{…}{\ifmmode\mathellipsis\else\textellipsis\fi}
+\newunicodechar{·}{\ensuremath{\cdot}}
+\newunicodechar{⋯}{\ensuremath{\cdots}}
+\newunicodechar{∅}{\ensuremath{\emptyset}}
+\newunicodechar{⇒}{\ensuremath{\Rightarrow}}
+
+\newunicodechar{⁰}{\ensuremath{^0}}
+\newunicodechar{¹}{\ensuremath{^1}}
+\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}}
+\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}}
+\newunicodechar{⁴}{\ensuremath{^4}}
+\newunicodechar{⁵}{\ensuremath{^5}}
+\newunicodechar{⁶}{\ensuremath{^6}}
+\newunicodechar{⁷}{\ensuremath{^7}}
+\newunicodechar{⁸}{\ensuremath{^8}}
+\newunicodechar{⁹}{\ensuremath{^9}}
+\newunicodechar{ⁱ}{\ensuremath{^i}}
+\newunicodechar{⁺}{\ensuremath{^+}}
+
+\newunicodechar{⌈}{\ensuremath{\lceil}}
+\newunicodechar{⌉}{\ensuremath{\rceil}}
+\newunicodechar{⌊}{\ensuremath{\lfloor}}
+\newunicodechar{⌋}{\ensuremath{\rfloor}}
+
+\newunicodechar{≅}{\ensuremath{\cong}}
+\newunicodechar{⇔}{\ensuremath{\Leftrightarrow}}
+\newunicodechar{∃}{\ensuremath{\exists}}
+\newunicodechar{±}{\ensuremath{\pm}}
+
+
+%
+% FONT DEFINTIONS
+%
+
+% Script Font used for sheaves
+\DeclareFontFamily{OMS}{rsfs}{\skewchar\font'60}
+\DeclareFontShape{OMS}{rsfs}{m}{n}{<-5>rsfs5 <5-7>rsfs7 <7->rsfs10 }{}
+\DeclareSymbolFont{rsfs}{OMS}{rsfs}{m}{n}
+\DeclareSymbolFontAlphabet{\scr}{rsfs}
+\DeclareSymbolFontAlphabet{\scr}{rsfs}
+
+% Code from mathabx.sty and mathabx.dcl, define macro \wcheck
+\DeclareFontFamily{U}{mathx}{\hyphenchar\font45}
+\DeclareFontShape{U}{mathx}{m}{n}{
+      <5> <6> <7> <8> <9> <10>
+      <10.95> <12> <14.4> <17.28> <20.74> <24.88>
+      mathx10
+      }{}
+\DeclareSymbolFont{mathx}{U}{mathx}{m}{n}
+\DeclareFontSubstitution{U}{mathx}{m}{n}
+\DeclareMathAccent{\wcheck}{0}{mathx}{"71}
+
+
+%
+% MATHEMATICS DEFINITIONS
+%
+
+% Operators
+\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
+\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
+\DeclareMathOperator{\coker}{coker}
+\DeclareMathOperator{\const}{const}
+\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
+\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
+\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
+\DeclareMathOperator{\Image}{Image}
+\DeclareMathOperator{\img}{img}
+\DeclareMathOperator{\Pic}{Pic}
+\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
+\DeclareMathOperator{\Ramification}{Ramification}
+\DeclareMathOperator{\red}{red}
+\DeclareMathOperator{\reg}{reg}
+\DeclareMathOperator{\sat}{sat}
+\DeclareMathOperator{\sEnd}{\sE\negthinspace \mathit{nd}}
+\DeclareMathOperator{\sing}{sing}
+\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
+\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
+\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
+\DeclareMathOperator{\tor}{tor}
+\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
+\DeclareMathOperator{\Frob}{Frob}
+
+% Sheaves
+\newcommand{\sA}{\scr{A}}
+\newcommand{\sB}{\scr{B}}
+\newcommand{\sC}{\scr{C}}
+\newcommand{\sD}{\scr{D}}
+\newcommand{\sE}{\scr{E}}
+\newcommand{\sF}{\scr{F}}
+\newcommand{\sG}{\scr{G}}
+\newcommand{\sH}{\scr{H}}
+\newcommand{\sHom}{\scr{H}\negthinspace om}
+\newcommand{\sI}{\scr{I}}
+\newcommand{\sJ}{\scr{J}}
+\newcommand{\sK}{\scr{K}}
+\newcommand{\sL}{\scr{L}}
+\newcommand{\sM}{\scr{M}}
+\newcommand{\sN}{\scr{N}}
+\newcommand{\sO}{\scr{O}}
+\newcommand{\sP}{\scr{P}}
+\newcommand{\sQ}{\scr{Q}}
+\newcommand{\sR}{\scr{R}}
+\newcommand{\sS}{\scr{S}}
+\newcommand{\sT}{\scr{T}}
+\newcommand{\sU}{\scr{U}}
+\newcommand{\sV}{\scr{V}}
+\newcommand{\sW}{\scr{W}}
+\newcommand{\sX}{\scr{X}}
+\newcommand{\sY}{\scr{Y}}
+\newcommand{\sZ}{\scr{Z}}
+
+% C-infty sheaves
+\newcommand{\cA}{\mathcal A}
+\newcommand{\cC}{\mathcal C}
+\newcommand{\cD}{\mathcal D}
+\newcommand{\cE}{\mathcal E}
+\newcommand{\cM}{\mathcal M}
+\newcommand{\cN}{\mathcal N}
+\newcommand{\cV}{\mathcal V}
+
+% Blackboard Bold Symbols
+\newcommand{\bA}{\mathbb{A}}
+\newcommand{\bB}{\mathbb{B}}
+\newcommand{\bC}{\mathbb{C}}
+\newcommand{\bD}{\mathbb{D}}
+\newcommand{\bE}{\mathbb{E}}
+\newcommand{\bF}{\mathbb{F}}
+\newcommand{\bG}{\mathbb{G}}
+\newcommand{\bH}{\mathbb{H}}
+\newcommand{\bI}{\mathbb{I}}
+\newcommand{\bJ}{\mathbb{J}}
+\newcommand{\bK}{\mathbb{K}}
+\newcommand{\bL}{\mathbb{L}}
+\newcommand{\bM}{\mathbb{M}}
+\newcommand{\bN}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\bO}{\mathbb{O}}
+\newcommand{\bP}{\mathbb{P}}
+\newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}}
+\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\bS}{\mathbb{S}}
+\newcommand{\bT}{\mathbb{T}}
+\newcommand{\bU}{\mathbb{U}}
+\newcommand{\bV}{\mathbb{V}}
+\newcommand{\bW}{\mathbb{W}}
+\newcommand{\bX}{\mathbb{X}}
+\newcommand{\bY}{\mathbb{Y}}
+\newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}}
+
+% Sans serif symbols
+\newcommand{\aB}{{\sf B}}
+\newcommand{\aD}{{\sf D}}
+\newcommand{\aE}{{\sf E}}
+\newcommand{\aF}{{\sf F}}
+
+
+% Theorem type environments
+\theoremstyle{plain}
+\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
+\newtheorem{aassumption}[thm]{Additional Assumption}
+\newtheorem{conjecture}[thm]{Conjecture}
+\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
+\newtheorem{defn}[thm]{Definition}
+\newtheorem{fact}[thm]{Fact}
+\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
+\newtheorem{lemDef}[thm]{Lemma and Definition}
+\newtheorem{lemNot}[thm]{Lemma and Notation}
+\newtheorem{problem}[thm]{Problem}
+\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
+\newtheorem{setup}[thm]{Setup}
+\newtheorem{subthm}[thm]{Sub-Theorem}
+\newtheorem{summary}[thm]{Summary}
+\theoremstyle{remark}
+\newtheorem{assumption}[thm]{Assumption}
+\newtheorem{asswlog}[thm]{Assumption w.l.o.g.}
+\newtheorem{claim}[thm]{Claim}
+\newtheorem{c-n-d}[thm]{Claim and Definition}
+\newtheorem{consequence}[thm]{Consequence}
+\newtheorem{construction}[thm]{Construction}
+\newtheorem{computation}[thm]{Computation}
+\newtheorem{example}[thm]{Example}
+\newtheorem{explanation}[thm]{Explanation}
+\newtheorem{notation}[thm]{Notation}
+\newtheorem{obs}[thm]{Observation}
+\newtheorem{rem}[thm]{Remark}
+\newtheorem{question}[thm]{Question}
+\newtheorem*{rem-nonumber}{Remark}
+\newtheorem{setting}[thm]{Setting}
+\newtheorem{warning}[thm]{Warning}
+
+% Numbering of equations. Number equation subordniate to theorems.
+\numberwithin{equation}{thm}
+
+% Style for enumerated lists. The following makes sure that enumerated lists are
+% numbered in the same way as equations are.
+\setlist[enumerate]{label=(\thethm.\arabic*), before={\setcounter{enumi}{\value{equation}}}, after={\setcounter{equation}{\value{enumi}}}}
+
+% Shorthand notations
+\newcommand{\into}{\hookrightarrow}
+\newcommand{\onto}{\twoheadrightarrow}
+\newcommand{\wtilde}{\widetilde}
+\newcommand{\what}{\widehat}
+
+%
+% HYPENTATION
+%
+
+\hyphenation{uni-tärer}
+
+
+%
+% SPECIALIZED MACROS
+%
+
+% CounterStep - increases equation counter
+\newcommand\CounterStep{\addtocounter{thm}{1}\setcounter{equation}{0}}
+
+% factor - quotient groups
+\newcommand{\factor}[2]{\left. \raise 2pt\hbox{$#1$} \right/\hskip -2pt\raise -2pt\hbox{$#2$}}