diff --git a/.gitignore b/.gitignore index bea67ff..7b3e20c 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -1,309 +1,19 @@ -# ---> TeX -## Core latex/pdflatex auxiliary files: +public *.aux -*.lof -*.log -*.lot -*.fls -*.out -*.toc -*.fmt -*.fot -*.cb -*.cb2 -.*.lb - -## Intermediate documents: -*.dvi -*.xdv -*-converted-to.* -# these rules might exclude image files for figures etc. -# *.ps -# *.eps -# *.pdf - -## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:" -.pdf - -## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber): *.bbl -*.bbl-SAVE-ERROR -*.bcf *.blg -*-blx.aux -*-blx.bib -*.run.xml - -## Build tool auxiliary files: -*.fdb_latexmk -*.synctex -*.synctex(busy) -*.synctex.gz -*.synctex.gz(busy) -*.pdfsync -*.rubbercache -rubber.cache - -## Build tool directories for auxiliary files -# latexrun -latex.out/ - -## Auxiliary and intermediate files from other packages: -# algorithms -*.alg -*.loa - -# achemso -acs-*.bib - -# amsthm -*.thm - -# beamer -*.nav -*.pre -*.snm -*.vrb - -# changes -*.soc - -# comment -*.cut - -# cprotect -*.cpt - -# elsarticle (documentclass of Elsevier journals) -*.spl - -# endnotes -*.ent - -# fixme -*.lox - -# feynmf/feynmp -*.mf -*.mp -*.t[1-9] -*.t[1-9][0-9] -*.tfm - -#(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar -*.end -*.?end -*.[1-9] -*.[1-9][0-9] -*.[1-9][0-9][0-9] -*.[1-9]R -*.[1-9][0-9]R -*.[1-9][0-9][0-9]R -*.eledsec[1-9] -*.eledsec[1-9]R -*.eledsec[1-9][0-9] -*.eledsec[1-9][0-9]R -*.eledsec[1-9][0-9][0-9] -*.eledsec[1-9][0-9][0-9]R - -# glossaries -*.acn -*.acr -*.glg -*.glo -*.gls -*.glsdefs -*.lzo -*.lzs -*.slg -*.slo -*.sls - -# uncomment this for glossaries-extra (will ignore makeindex's style files!) -# *.ist - -# gnuplot -*.gnuplot -*.table - -# gnuplottex -*-gnuplottex-* - -# gregoriotex -*.gaux -*.glog -*.gtex - -# htlatex -*.4ct -*.4tc -*.idv -*.lg -*.trc -*.xref - -# hypdoc -*.hd - -# hyperref *.brf - -# knitr -*-concordance.tex -# TODO Uncomment the next line if you use knitr and want to ignore its generated tikz files -# *.tikz -*-tikzDictionary - -# listings -*.lol - -# luatexja-ruby -*.ltjruby - -# makeidx +*.fdb_latexmk +*.fls *.idx *.ilg *.ind - -# minitoc -*.maf -*.mlf -*.mlt -*.mtc[0-9]* -*.slf[0-9]* -*.slt[0-9]* -*.stc[0-9]* - -# minted -_minted* -*.pyg - -# morewrites -*.mw - -# newpax -*.newpax - -# nomencl -*.nlg -*.nlo -*.nls - -# pax -*.pax - -# pdfpcnotes -*.pdfpc - -# sagetex -*.sagetex.sage -*.sagetex.py -*.sagetex.scmd - -# scrwfile -*.wrt - -# svg -svg-inkscape/ - -# sympy -*.sout -*.sympy -sympy-plots-for-*.tex/ - -# pdfcomment -*.upa -*.upb - -# pythontex -*.pytxcode -pythontex-files-*/ - -# tcolorbox -*.listing - -# thmtools -*.loe - -# TikZ & PGF -*.dpth -*.md5 -*.auxlock - -# titletoc -*.ptc - -# todonotes -*.tdo - -# vhistory -*.hst -*.ver - -# easy-todo -*.lod - -# xcolor -*.xcp - -# xmpincl -*.xmpi - -# xindy -*.xdy - -# xypic precompiled matrices and outlines -*.xyc -*.xyd - -# endfloat -*.ttt -*.fff - -# Latexian -TSWLatexianTemp* - -## Editors: -# WinEdt -*.bak -*.sav - -# Texpad -.texpadtmp - -# LyX -*.lyx~ - -# Kile -*.backup - -# gummi -.*.swp - -# KBibTeX -*~[0-9]* - -# TeXnicCenter -*.tps - -# auto folder when using emacs and auctex -./auto/* -*.el - -# expex forward references with \gathertags -*-tags.tex - -# standalone packages -*.sta - -# Makeindex log files -*.lpz - -# xwatermark package -*.xwm - -# REVTeX puts footnotes in the bibliography by default, unless the nofootinbib -# option is specified. 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Am besten wäre es, wenn die Matrix +Diagonalgestalt hat. + +\begin{defn}[Diagonalisierbarer Endomorphismus] + In Situation~\ref{sit:LA1}: der Endomorphismus $f$ heißt + \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Endomorphismus}, falls es eine + Basis $B$ von $V$ gibt, sodass $\Mat^B_B(f)$ eine Diagonalmatrix ist. +\end{defn} + +Einen entsprechenden Begriff hatten wir auch für Matrizen definiert. + +\begin{defn}[Diagonalisierbare Matrix] + Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine $n ⨯ n$-Matrix $A$ heißt + \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Matrix}, falls sie einer + Diagonalmatrix ähnlich ist, d. h. $∃S ∈ Gl_n(k)$, sodass $SAS^{-1}$ eine + Diagonalmatrix ist. +\end{defn} + +Die zentralen Begriffe in diesem Zusammenhang waren „Eigenwert“, „Eigenvektor“ +und „Eigenraum“. + +\begin{defn}[Eigenwert] + Situation wie in \ref{sit:LA1}. Ein Skalar $λ ∈ k$ heißt \emph{Eigenwert von + $f$}\index{Eigenwert}, wenn es einen Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$ + gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist. +\end{defn} + +\begin{defn}[Eigenraum] + Situation wie in \ref{sit:LA1}. Gegeben ein Skalar $λ ∈ k$, dann nenne + $$ + V_{λ} := \{ \vec{v} ∈ V \:|\: f(\vec{v}) = λ \vec{v} \} + $$ + den \emph{Eigenraum von $f$ zum Eigenwert $λ$}\index{Eigenraum}. +\end{defn} + +\begin{defn}[Eigenvektor] + Situation wie in \ref{sit:LA1}. Ein Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$ heißt + \emph{Eigenvektor von $f$}\index{Eigenvektor}, wenn es ein Skalar $λ ∈ k$ + gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist. +\end{defn} + +Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist. In +der Vorlesung hatten wir ein Verfahren betrachtet, um die Eigenwerte +auszurechnen: Die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des +charakteristischen Polynoms +\[ + χ_f(t) := \det \bigl( f - t \Id_V \bigr). +\] +\textbf{Achtung!} Die Definition des charakteristischen Polynoms ist in der +Literatur nicht ganz einheitlich. Manche Autoren bezeichnen auch das Polynom +$\det \bigl( t \Id_V - f \bigr)$ als charakteristisches Polynom. In der Praxis +macht das keinen Unterschied, weil sich die beiden Polynome höchstens um ein +Vorzeichen unterscheiden und wir sowieso nur an den Nullstellen interessiert +sind. Ich werde versuchen, durchgehend die Konvention $χ_f(t) := \det \bigl( f +- t \Id_V \bigr)$ zu verwenden\footnote{Wie ich mich kenne, wird das aber nicht +immer gelingen. Bitte informieren Sie mich, wenn Sie irgendwo einen +Vorzeichenfehler sehen. Ich wurde gefragt, welche Konvention in Übungsaufgaben +und in der Klausur verwendet werden sollen. Der Einheitlichkeit und Einfachheit +halber wäre es schön, wenn alle die oben angegebene Konvention nutzen, aber +eigentlich ist mir die Konvention egal. Hauptsache, ihre Lösung ist richtig und +wir können verstehen, was Sie machen! Melden Sie sich, wenn Ihnen irgendwo +Punkte abgezogen wurden.}. + +\begin{erinnerung}[Komplexe Polynome zerfallen in Linearfaktoren] + Für $k = ℂ$ gilt: Jedes Polynom hat eine Nullstelle. Insbesondere gilt, dass + ich jedes Polynom über $ℂ$ als Produkt von linearen Polynomen schreiben kann. + Zum Beispiel ist + $$ + g(z) = (z - i)·(z + i)·(z + i)·(z + i)·(z - 2)·(z - 3). + $$ + Also ist $\deg(g) = 6$ und die Nullstellen von g sind $i$, $2$ und $3$ + (jeweils mit Vielfachheit 1) sowie $-i$ (mit Vielfachheit 3). +\end{erinnerung} + + +\section{Algebraische und geometrische Vielfachheit} + +Zurück zur Situation~\ref{sit:LA1}. Wenn ich nun ein Skalar $λ ∈ k$ gegeben +habe, kann ich die folgenden zwei Zahlen betrachten. +\begin{itemize} +\item Die \emph{algebraische Vielfachheit von + $λ$}\index{Vielfachheit!algebraische} ist die Vielfachheit von $λ$ als + Nullstelle des charakteristischen Polynoms. + +\item Die \emph{geometrische Vielfachheit von + $λ$}\index{Vielfachheit!geometrische} ist die Dimension des Vektorraumes + $V_{λ}$. +\end{itemize} + +\begin{bsp}\label{bsp:1.1} + Es sei $k = ℂ$, es sei $V = ℂ²$ und es sei $f : V → V$ gegeben durch die + Matrix + $$ + \begin{pmatrix} + 2 & 3 \\ 0 & 2 + \end{pmatrix}. + $$ + Dann ist $χ_f(t) = (2 - t)²$. Wir betrachten das Skalar $λ = 2$. Dies ist + eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms und die algebraische + Vielfachheit von $λ$ ist zwei. Auf der anderen Seite ist + $$ + V_2 = ℂ · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. + $$ + Also ist die geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich eins. +\end{bsp} + +\begin{prop}[Vergleich von alg.\ und geom.~Vielfachheit] + In Situation~\ref{sit:LA1} sei $λ ∈ k$ ein Skalar, dann gilt: + $$ + \text{algebraische Vielfachheit } ≥ \text{ geometrische Vielfachheit} + $$ +\end{prop} +\begin{proof} + Sei ein Skalar $λ$ gegeben. Falls geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich + Null ist, ist nichts zu zeigen. Sei also die geometrische Vielfachheit $d$ + größer als Null. Das bedeutet: Es gibt eine lineare unabhängige (angeordnete) + Teilmenge $\{ \vec{v}_1, … , \vec{v}_d \} ⊂ V$, die ich zu einer + (angeordneten) Basis $B$ von $V$ ergänzen kann. Dann ist die zugehörige + Matrix von der Form + $$ + \Mat^B_B (f) = \left( + \begin{array}{lll|l} + λ & & & \\ + & \ddots & & * \\ + & & λ \\ + \hline + & 0 & & * + \end{array}\right). + $$ + Als Konsequenz ergibt sich, dass das charakteristische Polynom $χ_f$ von $f$ + die folgende Form hat, + $$ + χ_f (t) = (t - λ)^d · \text{(weiteres, unbekanntes Polynom)}. + $$ + Also ist die algebraische Vielfachheit von $λ$ ist mindestens gleich $d$. +\end{proof} + + +\section{Diagonalisierbarkeit} + +Wie hängen Diagonalisierbarkeit und die algebraischen/geometrischen +Vielfachheiten zusammen? Der folgende Satz gibt eine erste Antwort, zumindest +über den komplexen Zahlen. Im folgenden Kapitel werden wir eine bessere Antwort +kennenlernen. + +\begin{satz}[Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten]\label{satz:1.1} + In Situation~\ref{sit:LA1} sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item Der Endomorphismus $f$ ist diagonalisierbar. + + \item Das charakteristische Polynom $χ_f(t)$ zerfällt in Linearfaktoren und + für jeden Eigenwert $λ$ stimmen geometrische und algebraische Vielfachheit + überein. \qed + \end{enumerate} +\end{satz} + +Als direkte Anwendung von Satz~\ref{satz:1.1} ergibt sich, dass die Matrix aus +Beispiel~\ref{bsp:1.1} nicht diagonalisierbar ist. Der Beweis von +Satz~\ref{satz:1.1} verwendet folgendes Lemma. + +\begin{lemma}\label{lem:1.1}% + In Situation~\ref{sit:LA1} seien $λ_1, …, λ_d$ unterschiedliche Eigenwerte von + $f$. Weiter seien $\vec{v}_1, …, \vec{v}_d$ seien zugehörige Eigenvektoren. + Dann ist die Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_d \}$ linear unabhängig. \qed +\end{lemma} + +Sie sollten versuchen, Satz~\ref{satz:1.1} und Lemma~\ref{lem:1.1} selbst zu +beweisen. Der Beweis von Lemma~\ref{lem:1.1} funktioniert mit Induktion nach +$d$. Die Auflösung finden Sie in \video{1-1} und \video{1-2}. + +% !TEX root = LineareAlgebra2 + diff --git a/Funktionentheorie.tex b/Funktionentheorie.tex new file mode 100644 index 0000000..8c1460a --- /dev/null +++ b/Funktionentheorie.tex @@ -0,0 +1,143 @@ +\documentclass[german, a4paper]{scrreprt} + +% +% Local font definitions -- need to come first +% +\usepackage{libertine} +%\usepackage[libertine]{newtxmath} + +% +% Standard macro packages +% +\usepackage{amstext} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage[mark]{gitinfo2} +\usepackage{tikz} +\usepackage{tikz-cd} +\tikzset{commutative diagrams/arrow style=Latin Modern} +\tikzset{xyz/.style={x={(-.385cm,-.385cm)},y={(1cm,0cm)},z={(0cm,1cm)}}, flaeche/.style={fill=red!10,opacity=.5}} +\usetikzlibrary{quotes,babel,angles,calc} +\usepackage{svg} + +\input{stdPreamble} +\usepackage{makeidx} +\makeindex + +%\DeclareTOCStyleEntries[indent=0pt,dynnumwidth,numsep=1em]{default}{figure,table} + +\title{Funktionentheorie} +\author{Prof.~Dr.~Stefan Kebekus} + +\DeclareMathOperator{\ad}{ad} +\DeclareMathOperator{\Bij}{Bij} +\DeclareMathOperator{\End}{End} +\DeclareMathOperator{\Hau}{Hau} +\DeclareMathOperator{\Mat}{Mat} +\DeclareMathOperator{\rang}{rang} +\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} +\DeclareMathOperator{\spur}{spur} + +\newcommand\video[1]{\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/Lehre/Vorlesungen/LA2/#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/Lehre/Vorlesungen/LA2/#1-Skript.pdf}{(Skript)}} + +\theoremstyle{plain} +\newtheorem{aufgabe}[thm]{Aufgabe} +\newtheorem{satz}[thm]{Satz} +\newtheorem{situation}[thm]{Situation} +\newtheorem{lemma}[thm]{Lemma} +\newtheorem{kor}[thm]{Korollar} +\newtheorem{definition}[thm]{Definition} +\newtheorem{fakt}[thm]{Fakt} +\newtheorem{proposition}[thm]{Proposition} +\newtheorem{prov}[thm]{Provokation} +\theoremstyle{remark} +\newtheorem{bemerkung}[thm]{Bemerkung} +\newtheorem{beobachtung}[thm]{Beobachtung} +\newtheorem{konstruktion}[thm]{Konstruktion} +\newtheorem{bsp}[thm]{Beispiel} +\newtheorem{frage}[thm]{Frage} +\newtheorem{erinnerung}[thm]{Erinnerung} +\newtheorem{erkl}[thm]{Erklärung} +\newtheorem{claim-de}[thm]{Vorüberlegung} + +% sideremark +\newcommand\sideremark[1]{\marginpar +[ +\hskip .45in +\begin{minipage}{1.25in} +\textsf #1 +\end{minipage} +] +{ +\hskip -.075in +\begin{minipage}{1.25in} +\textsf #1 +\end{minipage} +}} + + +\makeatletter +\hypersetup{ + pdftitle={\@title}, + pdfstartview={Fit}, + pdfpagelayout={TwoColumnRight}, + pdfpagemode={UseOutlines}, + bookmarks, + colorlinks, + linkcolor=linkblue, + citecolor=linkred, + urlcolor=linkred +} +\makeatother + + + +\begin{document} +% spell checker language +\selectlanguage{german} + + +\maketitle + +\tableofcontents + +\bigskip + +\bigskip + +\bigskip + +\section*{Vorbemerkung} + +Dieses Skript zur Vorlesung „Funktionentheorie“ wird ständig weiter geschrieben. +Sie finden die neueste Version dieses Skripts immer auf der +\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/anr7bxB4aEdabiz}{Nextcloud}. + +Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie +ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen +Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei +\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus}. Wir +korrigieren schnellstmöglich! + +Es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos und anderem. +Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte. Wir fügen gerne einen +Link in den Text ein. + + +% +% Das ist Stefan's Teil. Hier bitte nur Fehlerkorrekturen. +% +\part{Endomorphismen} + +\input{01-Wiederholung} + +\addchap{Lizenz} + +Dieser Text ist unter der Lizenz +\href{https://creativecommons.org/licenses/by/4.0}{CC-BY 4.0} verfügbar. + + +\printindex + +\end{document} diff --git a/deploy.sh b/deploy.sh new file mode 100755 index 0000000..c41ed9c --- /dev/null +++ b/deploy.sh @@ -0,0 +1,5 @@ +#!/bin/bash +set -e + +latexmk --pdf LineareAlgebra2.tex +cp LineareAlgebra2.pdf public/LineareAlgebra2.pdf diff --git a/stdPreamble.tex b/stdPreamble.tex new file mode 100644 index 0000000..dd58c7d --- /dev/null +++ b/stdPreamble.tex @@ -0,0 +1,377 @@ +% +% PACKAGES +% + +% Standard Packages +\usepackage{babel} +\usepackage{enumitem} +\usepackage{hyperref} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{newunicodechar} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{varioref} +\usepackage[arrow,curve,matrix]{xy} + +% Graphics Packages +\usepackage{colortbl} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{tikz} + + +% Font packages +\usepackage{mathrsfs} + + +% +% GENERAL TYPESETTING +% + +% Colours for hyperlinks +\definecolor{linkred}{rgb}{0.7,0.2,0.2} +\definecolor{linkblue}{rgb}{0,0.2,0.6} + +% Limit table of contents to section titles +\setcounter{tocdepth}{1} + +% Numbering of figures (see below for numbering of equations) +\numberwithin{figure}{section} + +% Add an uparrow to the bibliography entries, just before the back-list of references +\usepackage[hyperpageref]{backref} +\renewcommand{\backref}[1]{$\uparrow$~#1} + +% Numbering of parts in roman numbers +\renewcommand\thepart{\Roman{part}} + +% Sloppy formatting -- often looks better +\sloppy + +% Changes the layout of descriptions and itemized lists. The indent specified in +% the original amsart style is too much for my taste. +\setdescription{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent} +\setitemize[1]{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent} +\setenumerate[1]{labelindent=0cm, leftmargin=*, widest=iiii} + +% +% Input characters +% + +\newunicodechar{א}{\ensuremath{\aleph}} +\newunicodechar{α}{\ensuremath{\alpha}} +\newunicodechar{β}{\ensuremath{\beta}} +\newunicodechar{χ}{\ensuremath{\chi}} +\newunicodechar{δ}{\ensuremath{\delta}} +\newunicodechar{ε}{\ensuremath{\varepsilon}} +\newunicodechar{Δ}{\ensuremath{\Delta}} +\newunicodechar{η}{\ensuremath{\eta}} +\newunicodechar{γ}{\ensuremath{\gamma}} +\newunicodechar{Γ}{\ensuremath{\Gamma}} +\newunicodechar{ι}{\ensuremath{\iota}} +\newunicodechar{κ}{\ensuremath{\kappa}} +\newunicodechar{λ}{\ensuremath{\lambda}} +\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{\Lambda}} +\newunicodechar{ν}{\ensuremath{\nu}} +\newunicodechar{μ}{\ensuremath{\mu}} +\newunicodechar{ω}{\ensuremath{\omega}} 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