Working…

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -63,3 +63,9 @@ Summendarstellung
 Mittag-Leffler
 Djursholm
 Konvergenzverhaltens
+Eugène
+Rouché
+Sommières
+Hérault
+Lunel
+Vielfachheit

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -35,3 +35,7 @@
 {"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\QDie Aussage folgt dann aus Korollar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (“Integralsatz von Cauchy”), \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDie zweite Gleichheit gilt nach der Goldenen Regel 1, weil \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q in derselben Zusammenhangskomponente von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDamit ist die Goldene Regel 3 zumindest halbwegs gerechtfertigt.\\E$"}
+{"rule":"TEST_F_ANSTATT_PH","sentence":"^\\QPierre Alphonse Laurent (* 18. Juli 1813 in Paris; † 2. September 1854 ebenda) war ein französischer Mathematiker.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWähle eine reelle Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und schreibe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Korollar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Annahme \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q lokal glm.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QAlso ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, weil Stammfkt.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qexistiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

09-singularities.tex

@@ -34,7 +34,7 @@ Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, s
 
 \begin{definition}[Funktionen mit isolierten Singularitäten]\label{def:9-1-1}%
   Sei $U ⊂ ℂ$ offen.  Eine \emph{holomorphe Funktion mit isolierten
-  Singularitäten}\index{holomorph!mit isolieren Singularitäten} ist eine
+  Singularitäten}\index{holomorph!mit isolierten Singularitäten} ist eine
   holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ T)$ wobei $T ⊂ U$ eine diskrete Menge ist.
 \end{definition}
 

10-laurent.tex

@@ -144,7 +144,7 @@ bezeichnet.
   Gegeben eine Laurentreihe wie in Definition~\ref{def:9-2-5}, so nennt man die
   Teilreihen
   \[
-    \sum_{i=1}^{∞} c_i (z - p)^{-i}
+    \sum_{i=1}^{∞} c_{-i} (z - p)^{-i}
     \quad\text{und}\quad
     \sum_{i=0}^{∞} c_i (z - p)ⁱ
   \]
@@ -271,7 +271,7 @@ Laurentreihen.
   \]
   Gegeben sei weiter ein $z_0 ∈ ℂ$, sodass die Reihe bei $z_0$ konvergiert.  Dann
   gilt für alle $z$ mit $|z - ρ| > |z_0 - ρ|$, dass die Reihe bei $z$ absolut
-  konvergiert.  Die zugehörige Funktionenfolge konvergiert auf $\bC \setminus
+  konvergiert.  Die zugehörige Funktionenfolge konvergiert auf $ℂ ∖
   \overline{B_{|z_0 - ρ|}(ρ)}$ sogar lokal gleichmäßig.  \qed
 \end{fakt}
 

12-residuum.tex

@@ -87,8 +87,8 @@ endliche Menge $Z ⊂ [0,1]$ gibt, sodass $γ|_{[0,1] ∖ Z}$ injektiv ist.
     Zusammenhangskomponente von $ℂ ∖ \Bild(γ)$ ab, in der sich der Punkt $p$
     befindet.
 
-  \item[Goldene Regel 2] Auf der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von $\bC
+  \item[Goldene Regel 2] Auf der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von $ℂ ∖
-    ∖ \Bild(γ)$ ist die Umlaufzahl gleich $0$.
+    \Bild(γ)$ ist die Umlaufzahl gleich $0$.
 
   \item[Goldene Regel 3] Die Windungszahl in benachbarten
   Zusammenhangskomponenten unterscheidet sich um $± 1$, wobei die größere Zahl
@@ -123,7 +123,6 @@ deren Gültigkeit an.  Details sind Inhalt der Vorlesung „Topologie“.
     \int_γ \frac{1}{z-p} \, dz = \Um(γ, p) = 0.
   \]
 \end{proof}
-
 \begin{proof}[Begründung zur Goldenen Regel 3]
   Seien $p_1, p_2 ∈ ℂ ∖ \Bild(γ)$ in benachbarten Zusammenhangskomponenten.  Das
   sieht dann etwa so aus:
@@ -131,14 +130,14 @@ deren Gültigkeit an.  Details sind Inhalt der Vorlesung „Topologie“.
     \includegraphics[width=14cm]{12-res2.png}
   \end{center}
   Wir ändern den Weg $γ$ wie eingezeichnet ab und vergleichen die Umlaufzahlen
-  der Wege $γ$ und $\widetilde{γ}_{ε}$.  Es ist
+  der Wege $γ$ und $\widetilde{γ}_ε$.  Es ist
   \[
-    \Um(γ, p_1) = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_1) = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_2).
+    \Um(γ, p_1) = \Um(\widetilde{γ}_ε, p_1) = \Um(\widetilde{γ}_ε, p_2).
   \]
   Dabei gilt das erste Gleichheitszeichen, weil der Weg $γ$ in $ℂ ∖ \{p_1\}$
-  homotop zu $\widetilde{γ}_{ε}$ ist.  Die zweite Gleichheit gilt nach der
+  homotop zu $\widetilde{γ}_ε$ ist.  Die zweite Gleichheit gilt nach der
   Goldenen Regel 1, weil $p_1$ und $p_2$ in derselben Zusammenhangskomponente
-  von $ℂ ∖ \Bild(\widetilde{γ}_{ε})$ ist.  Die Umlaufzahl $\Um(\widetilde{β},
+  von $ℂ ∖ \Bild(\widetilde{γ}_ε)$ ist.  Die Umlaufzahl $\Um(\widetilde{β},
   p_2)$ hängt natürlich nicht von der Größe $ε$ ab.  Wenn man $ε$ gegen null
   gehen lässt, erhält man folgendes Bild:
   \begin{center}
@@ -146,7 +145,7 @@ deren Gültigkeit an.  Details sind Inhalt der Vorlesung „Topologie“.
   \end{center}
   Dann ist
   \begin{align*}
-    \Um(γ, p_1) & = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_2) \\
+    \Um(γ, p_1) & = \Um(\widetilde{γ}_ε, p_2) \\
     & = \frac{1}{2π i} \int_{\widetilde{γ}} \frac{1}{z-p_2} \, dz \\
     & = \frac{1}{2π i} \left( \int_{γ} \frac{1}{z-p_2} \, dz + \int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz \right) \\
     & = \Um(γ, p_2) + \frac{1}{2π i} · \int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz
@@ -169,7 +168,7 @@ Wir bewiesen Satz~\ref{satz:12-2-1} in mehreren Schritten.
 \begin{behauptung}[Existenz eines Logarithmus-Wegs]\label{beh:12-2-3}%
   Sei $a ∈ ℂ$ ein Logarithmus von $γ(0)$ (das bedeutet: $\exp(a) = γ(0)$).  Dann
   gibt es einen stetigen Weg $\widetilde{γ}: [0,1] → ℂ$ mit $\widetilde{γ}(0) =
-  a$, sodass für jedes $t \in [0,1]$ die Gleichung
+  a$, sodass für jedes $t ∈ [0,1]$ die Gleichung
   \[
     γ(t) = exp \bigl( \widetilde{γ}(t) \bigr)
   \]
@@ -178,20 +177,19 @@ Wir bewiesen Satz~\ref{satz:12-2-1} in mehreren Schritten.
 \begin{proof}[Beweis von Behauptung~\ref{beh:12-2-3}]
   Einige Fälle sind einfach.
   \begin{itemize}
-  \item Falls $\Bild(γ)$ ganz in der geschlitzten Ebene $S \subseteq \bC$ liegt,
+  \item Falls $\Bild(γ)$ ganz in der geschlitzten Ebene $S ⊆ ℂ$ liegt, nehmen
-    nehmen wir
+    wir
     \[
       \widetilde{γ}(t) = \log (γ(t)) + 2π i k.
     \]
     Dabei ist $\log$ der Hauptzweig des Logarithmus und $k ∈ ℤ$ ist so gewählt,
     dass $\widetilde{γ}(0) = a$ ist.
   
-  \item Falls $\Bild(γ)$ ganz in $-S \subseteq \bC$ liegt, können wir analog
+  \item Falls $\Bild(γ)$ ganz in $-S ⊆ ℂ$ liegt, können wir analog vorgehen.
-    vorgehen.
   \end{itemize}
-  Im Allgemeinen wird das Bild von $\gamma$ weder in $S$ noch in $-S$ liegen.
+  Im Allgemeinen wird das Bild von $γ$ weder in $S$ noch in $-S$ liegen. Dann
-  Dann zerlegen wir das Intervall $[0,1]$ durch Zwischenpunkte, $0 = t_0 < t_1 <
+  zerlegen wir das Intervall $[0,1]$ durch Zwischenpunkte, $0 = t_0 < t_1 < … <
-  … < t_r = 1$ so, dass $γ([t_{i-1}, t_i])$ jeweils in einem $S$ oder in $-S$
+  t_r = 1$ so, dass $γ([t_{i-1}, t_i])$ jeweils in einem $S$ oder in $-S$
   enthalten ist.  Wähle dann induktiv Logarithmus-Wege
   \[
     \widetilde{γ}_i: [t_{i-1}, t_i] → ℂ
@@ -209,7 +207,7 @@ Wir bewiesen Satz~\ref{satz:12-2-1} in mehreren Schritten.
 \begin{behauptung}[Existenz von $n$]\label{beh:12-2-4}%
   Es gibt eine Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
   \[
-    \delta_n : [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ \exp(2πin·t)
+    δ_n : [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ \exp(2πin·t)
   \]
   ist.
 \end{behauptung}
@@ -223,25 +221,24 @@ Wir bewiesen Satz~\ref{satz:12-2-1} in mehreren Schritten.
   \[
     \widetilde{γ}(1) = \widetilde{γ}(0) + 2π i·n.
   \]
-  Wir erinnern uns daran, dass der Topologische Raum $\bC$ einfach
+  Wir erinnern uns daran, dass der Topologische Raum $ℂ$ einfach zusammenhängend
-  zusammenhängend ist.  Daher ist der  $\widetilde{γ}$ in $ℂ$ homotop zu jedem
+  ist.  Daher ist der $\widetilde{γ}$ in $ℂ$ homotop zu jedem anderen Weg mit
-  anderen Weg mit denselben Anfangs- und Endpunkt.  Insbesondere ist
+  denselben Anfangs- und Endpunkt.  Insbesondere ist $\widetilde{γ}$ homotop zu
-  $\widetilde{γ}$ homotop zu
   \[
   β: [0,1] → ℂ, \quad t ↦ \widetilde{γ}(0) + 2πin·t.
   \]
-  Also ist der Weg $γ = \exp \circ \widetilde{γ}$ in $\bC^*$ homotop zu 
+  Also ist der Weg $γ = \exp ◦ \widetilde{γ}$ in $ℂ^*$ homotop zu
   \[
-    \exp \circ β: [0,1] → ℂ, \quad t ↦ γ(0)·\exp(2πin·t).
+    \exp ◦ β: [0,1] → ℂ, \quad t ↦ γ(0)·\exp(2πin·t).
   \]
-  Dieser Weg wiederum ist in $ℂ^*$ frei homotop zu $\delta_n$.  Damit ist die
+  Dieser Weg wiederum ist in $ℂ^*$ frei homotop zu $δ_n$.  Damit ist die
   Existenz von $n$ gezeigt.
 \end{proof}
 
 \begin{behauptung}[Eindeutigkeit von $n$]\label{beh:12-2-5}%
   Es gibt genau Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
   \[
-    \delta_n : [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ \exp(2πin·t)
+    δ_n : [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ \exp(2πin·t)
   \]
   ist, nämlich
   \[
@@ -249,10 +246,10 @@ Wir bewiesen Satz~\ref{satz:12-2-1} in mehreren Schritten.
   \]
 \end{behauptung}
 \begin{proof}[Beweis von Behauptung~\ref{beh:12-2-5}]
-  Sei  $n$ eine Zahl mit der Eigenschaft, dass $γ$ frei homotop zu $\delta_n$
+  Sei $n$ eine Zahl mit der Eigenschaft, dass $γ$ frei homotop zu $δ_n$ ist.
-  ist.  Dann ist 
+  Dann ist
   \begin{align*}
-    n & = \frac{1}{2π i} \int_{\delta_n} \frac{1}{z} \, dz && \text{Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}} \\
+    n & = \frac{1}{2π i} \int_{δ_n} \frac{1}{z} \, dz && \text{Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}} \\
     & = \frac{1}{2π i} \int_{β} \frac{1}{z} \, dz.  && \text{Satz~\ref{satz:4-3-6}.}
   \end{align*}
   Damit ist die Zahl $n$ eindeutig bestimmt.
@@ -262,11 +259,10 @@ Wir bewiesen Satz~\ref{satz:12-2-1} in mehreren Schritten.
 \section{Das Residuum}
 
 \begin{definition}[Residuensatz]\label{def:12-3-1}%
-  Es sei $f \in \sO(U \setminus p)$ und es sei $R > 0$, sodass
+  Es sei $f ∈ 𝒪(U ∖ p)$ und es sei $R > 0$, sodass $\overline{K_{0,R}(p)} ⊂ U$
-  $\overline{K_{0,R}(p)} \subset U$ ist.  Der Koeffizient von $(z-p)^{-1}$ in
+  ist.  Der Koeffizient von $(z-p)^{-1}$ in der Laurententwicklung von $f$ auf
-  der Laurententwicklung von $f$ auf $K_{0,R}(p)$ wird
+  $K_{0,R}(p)$ wird \emph{Residuum}\index{Residuum} von $f$ in $p$ genannt.  Die
-  \emph{Residuum}\index{Residuum} von $f$ in $p$ genannt. Die Bezeichnung
+  Bezeichnung $\Res_p(f)$ ist üblich.
-  $\Res_p(f)$ ist üblich.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}[Hebbare Singularität]
@@ -274,75 +270,266 @@ Wir bewiesen Satz~\ref{satz:12-2-1} in mehreren Schritten.
 \end{bsp}
   
 \begin{bsp}[Polstelle]
-  Es sei $U = \bC$, $p = 0$ und $f(z) = \frac{1}{z}$. Dann ist $\Res_p(f) = 1$.
+  Es sei $U = ℂ$, $p = 0$ und $f(z) = \frac{1}{z}$.  Dann ist $\Res_p(f) = 1$.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Polstelle]
-  Es sei $U = \bC^*$, $p \ne 0$ und $f(z) = \frac{1}{z}$. Dann ist $\Res_p(f) =
+  Es sei $U = ℂ^*$, $p \ne 0$ und $f(z) = \frac{1}{z}$.  Dann ist $\Res_p(f) =
   0$.
 \end{bsp}
 
 \begin{erinnerung}
   In der Situation von Definition~\ref{def:12-3-1} ist
   \[
-    \Res_p(f) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial K_R(p)} f(z) \, dz.
+    \Res_p(f) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ K_R(p)} f(z) \, dz.
   \]
 \end{erinnerung}
   
 
 \section{Der Residuensatz}
 
-
 \begin{satz}[Residuensatz]\label{satz:12-3-2}%
-  Es sei $U \subset \bC$ offen, es sei $P \subset U$ eine endliche Teilmenge,
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $P ⊂ U$ eine endliche Teilmenge, und $f ∈ 𝒪(U ∖
-  und $f \in \sO(U \setminus P)$. Sei weiter $\gamma: [a,b] \to U \setminus P$
+  P)$.  Sei weiter $γ: [a,b] → U ∖ P$ ein geschlossener und stetiger Weg, der in
-  ein geschlossener und stetiger Weg, der in $U$ zusammenziehbar ist. Dann gilt:
+  $U$ zusammenziehbar ist.  Dann gilt:
   \[
-    \int_\gamma f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \sum_{p \in P} \Um(\gamma, p) \cdot \Res_p(f).
+    \int_{γ} f(z) \, dz = 2π i · \sum_{p ∈ P} \Um(γ, p) · \Res_p(f).
   \]
 \end{satz}
 \begin{proof}[Beweis]
-  Betrachte zunächst einen Punkt $p \in P$. Entwickle $f$ in eine Laurentreihe
+  Betrachte zunächst einen Punkt $p ∈ P$.  Entwickle $f$ in eine Laurentreihe in
-  in $p$:
+  $p$:
   \[
-    f(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty c_k \cdot (z-p)^k
+    f(z) = \sum_{k=-∞}^∞ c_k · (z-p)^k
   \]
   und definiere
   \[
-    h_p(z) := \sum_{k=-\infty}^{-2} c_k \cdot (z-p)^k.
+    h_p(z) := \sum_{k=-∞}^{-2} c_k · (z-p)^k.
   \]
   Die Funktion $h_p$ hat folgende Eigenschaften.
   \begin{enumerate}
-    \item Nach Fakt~\ref{fakt:10-3-1} definiert die Reihe $h_p$ eine auf ganz
+    \item Nach Fakt~\ref{fakt:10-3-1} definiert die Reihe $h_p$ eine auf ganz $ℂ
-      $\bC \setminus \{p\}$ holomorphe Funktion.
+      ∖ \{p\}$ holomorphe Funktion.
 
     \item Die Reihe
       \[
-        \sum_{k=-\infty}^{-2} c_k \cdot \frac{(z-p)^{k+1}}{k+1}
+        \sum_{k=-∞}^{-2} c_k · \frac{(z-p)^{k+1}}{k+1}
       \]
-      definiert eine auf ganz $\bC \setminus \{p\}$ holomorphe Stammfunktion von
+      definiert eine auf ganz $ℂ ∖ \{p\}$ holomorphe Stammfunktion von $h_p$.
-      $h_p$.
 
-    \item Die auf $U \setminus P$ definierte Funktion 
+    \item Die auf $U ∖ P$ definierte Funktion
       \[
-        f(z) - h_p(z) - \Res_p(f) \cdot (z-p)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty c_k \cdot (z-p)^k
+        f(z) - h_p(z) - \Res_p(f) · (z-p)^{-1} = \sum_{k=0}^∞ c_k · (z-p)^k
       \]
       hat in $p$ eine hebbare Singularität!
   \end{enumerate}
-  Das machen wir jetzt für alle $p \in P$ und erhalten: Die Funktion
+  Das machen wir jetzt für alle $p ∈ P$ und erhalten: Die Funktion
   \[
-    g(z) := f(z) - \sum_{p \in P} h_p(z) - \sum_{p \in P} \Res_p(f) \cdot (z-p)^{-1}
+    g(z) := f(z) - \sum_{p ∈ P} h_p(z) - \sum_{p ∈ P} \Res_p(f) · (z-p)^{-1}
   \]
-  hat in allen Punkte $p \in P$ hebbare Singularitäten. Da die Kurve $\gamma$ in $U$ zusammenziehbar ist, folgt aus dem
+  hat in allen Punkte $p ∈ P$ hebbare Singularitäten.  Da die Kurve $γ$ in $U$
-  Cauchy-Integralsatz
+  zusammenziehbar ist, folgt aus dem Cauchy-Integralsatz
   \[
-    \int_\gamma g(z) \, dz = 0.
+    \int_{γ} g(z) \, dz = 0.
   \]
   Also ist
   \[
-    \int_\gamma f(z) \, dz = \sum_{p \in P} \underbrace{\int_\gamma h_p(z) \, dz}_{=0\text{, weil Stammfkt.~existiert}} 
+    \int_{γ} f(z) \, dz = \sum_{p ∈ P} \underbrace{\int_{γ} h_p(z) \, dz}_{=0\text{, weil Stammfkt.~existiert}}
-      + \sum_{p \in P} \underbrace{\int_\gamma \frac{\Res_p(f)}{z-p} \, dz}_{= 2\pi i \cdot \Um(\gamma, p) \cdot \Res_p(f)}.
+      + \sum_{p ∈ P} \underbrace{\int_{γ} \frac{\Res_p(f)}{z-p} \, dz}_{= 2π i · \Um(γ, p) · \Res_p(f)}.
   \]
   Damit ist der Satz bewiesen.
 \end{proof}
+
+
+\section{Berechnung von Residuen}
+
+Wir geben nun praktische Methoden zur Berechnung von Residuen an.  Die
+Berechnung ist auf jeden Fall dann einfach, wenn die Reihenentwicklung der
+Funktion bekannt ist.  Das gilt zum Beispiel für Funktionen wie $\frac{1}{1-z}$,
+$e^z$, $\sin z$, …
+
+\begin{bsp}\label{bsp:12-4-5}%
+  Betrachte die Funktion $f ∈ 𝒪(ℂ ∖ \{0\})$, gegeben durch
+  \[
+    f(z) = z² \sin\left(\frac{1}{z}\right) = z² · \left(\frac{1}{z} - \frac{1}{6 z³} + \frac{1}{120 z⁵} - … \right).
+  \]
+  Dann ist $\Res_0(f) = -\frac{1}{6}$.
+\end{bsp}
+
+Für etwas kompliziertere Funktionen sind die folgenden Resultate nützlich.
+
+\begin{situation}[Situation für Residuenberechnung]\label{sit:12-4-0}%
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f ∈ 𝒪(U ∖ \{p\})$.
+\end{situation}
+
+\begin{lemma}\label{lem:12-4-0}%
+  Betrachte Situation~\ref{sit:12-4-0}.  Wenn
+  \[
+    \lim_{z → p} (z-p)·f(z) =: α ∈ ℂ
+  \]
+  existiert, so gilt $\Res_p(f) = α$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Die Existenz des Grenzwertes stellt sicher, dass $f$ in $p$ höchstens einen
+  Pol der Ordnung 1 hat.  Also ist
+  \[
+    f(z) = c_{-1} (z-p)^{-1} + \sum_{k=0}^∞ c_k (z-p)^k.
+  \]
+  Das zeigt dann aber sofort, dass $c_{-1} = α$ ist.
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}[Spezialfall von Lemma~\ref{lem:12-4-0}]\label{bem:12-4-1}%
+  Lemma~\ref{lem:12-4-0} ist insbesondere in Situationen anwendbar, wo eine
+  Funktion der Form $f = \frac{g}{h}$ gegeben ist, mit $g,h ∈ 𝒪(U)$ und $h(p) =
+  0$, $h'(p) ≠ 0$.  Dann ist
+  \[
+    (z-p)·f(z) = \frac{g(z)}{\frac{h(z)-h(p)}{z-p}}
+  \]
+  und für $z → p$ strebt dieser Wert gegen $\frac{g(p)}{h'(p)}$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}[Spezialfall von Lemma~\ref{lem:12-4-0}]\label{bem:12-4-2}%
+  Wenn $f$ in $p$ keine essenzielle Singularität hat, so gibt es $ν_p(f) ∈ ℤ$
+  und $g ∈ 𝒪(U)$ mit $g(p) ≠ 0$, sodass für jedes $z ∈ U$ gilt
+  \[
+    f(z) = (z-p)^{ν_p(f)} · g(z).
+  \]
+  Dann ist
+  \begin{align*}
+    \frac{f'(z)}{f(z)} & = \frac{ν_p(f) (z-p)^{ν_p(f)-1} g(z) + (z-p)^{ν_p(f)} · g'(z)}{(z-p)^{ν_p(f)} · g(z)} \\
+    & = \frac{ν_p(f) g(z) + (z-p) · g'(z)}{(z-p) · g(z)}.
+  \end{align*}
+  Betrachte die Funktion im Nenner, $h(z) := (z-p)·g(z)$, dann ist $h ∈ 𝒪(U)$
+  und $h(p) = 0$, $h'(p) = g(p) ≠ 0$.  Nach Bemerkung~\ref{bem:12-4-1} gilt
+  daher
+  \[
+    \Res_p\left(\frac{f'}{f}\right) = \frac{ν_p(f) · g(p)}{g(p)} = ν_p(f).
+  \]
+\end{bemerkung}
+
+\begin{lemma}\label{bem:12-4-3}%
+  In Situation~\ref{sit:12-4-0} sei $f$ von der Form $f(z) =
+  \frac{g(z)}{(z-p)^ν}$, mit $g ∈ 𝒪(U)$ und $ν ≥ 2$.  Dann gilt
+  \[
+    \Res_p(f) = \frac{1}{(ν-1)!} g^{(ν-1)}(p).
+  \]
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Schreibe $g$ als Potenzreihe, $g(z) = \sum_{k=0}^∞ a_k (z-p)^k$, wobei die
+  Koeffizienten durch die Taylor-Formel gegeben sind, $a_k =
+  \frac{g^{(k)}(p)}{k!}$.  Dann ist der Koeffizient vor $(z-p)^{-1}$ in der
+  Laurententwicklung von $f$ gleich
+  \[
+    \frac{1}{(ν-1)!}·g^{(ν-1)}(p).
+  \]
+  Die Behauptung folgt.
+\end{proof}
+  
+
+\section{Anwendungen des Residuensatzes}
+
+\begin{situation}\label{sit:12-5-1}%
+  ---
+  \begin{itemize}
+    \item Es sei $U ⊂ ℂ$ Gebiet und es sei $P ⊂ U$ eine abgeschlossene und
+      diskrete Teilmenge.
+    
+    \item Es sei $f ∈ 𝒪(U ∖ P)$ eine holomorphe Funktion mit isolierten
+      Singularitäten.  Wir nehmen an, dass $f$ nicht die Nullfunktion ist und
+      keine essenziellen Singularitäten hat.  Für jeden Punkt $z ∈ U$ sei
+      $ν_z(f)$ die Polstellenordnung von $f$ in $z$; diese ist positiv, wenn $f$
+      bei $z$ eine Polstelle hat und negativ bei Nullstellen.
+
+    \item Es sei $N = \{z ∈ U \mid f(z) = 0\}$ die Menge der Nullstellen von
+      $f$.
+
+    \item Es sei $γ: [a,b] → U ∖ (N ∪ P)$ sei ein in $U$ zusammenziehbarer Weg.
+  \end{itemize}
+\end{situation}
+
+\begin{bemerkung}
+  In Situation~\ref{sit:12-5-1} sind die Zahlen $ν_z(f)$ für fast alle $z ∈ U$
+  gleich null, und höchstens für $z ∈ P$ positiv.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}\label{bem:12-5-3}%
+  In Situation~\ref{sit:12-5-1} sagt die „Goldene Regel 2“, dass die
+  Umlaufzahlen $\Um(γ, p)$ höchstens auf einer kompakten Teilmenge von $U$
+  ungleich null sind.  Da der Schnitt einer diskreten Menge mit einer kompakten
+  Menge endlich ist, gibt es nur endlich viele Punkte $z ∈ U$, für die das
+  Produkt $\Um(γ, p) · ν_p(f)$ ungleich null ist.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}[Zählen von Null- und Polstellen]\label{satz:12-5-1}%
+  In Situation~\ref{sit:12-5-1} betrachte den Weg $f ◦ γ : [a,b] → ℂ$. Dann gilt
+  \[
+    \Um(f ◦ γ, 0) = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f).
+  \]
+  Beachte, dass nach Bemerkung~\ref{bem:12-5-3} nur endlich viele der Summanden
+  auf der rechten Seite ungleich null sind.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Es gilt
+  \begin{align*}
+    \Um(f ◦ γ, 0) & = \frac{1}{2π i} \int_{f◦ γ} \frac{1}{z} \, dz && \text{Definition Umlaufzahl} \\
+    & = \frac{1}{2π i} \int_γ \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz && \text{Definition Wegintegral, Kettenregel} \\
+    & = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f) && \text{Residuensatz, Bemerkung~\ref{bem:12-4-2}.}
+  \end{align*}
+  Damit ist Satz~\ref{satz:12-5-1} bewiesen.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Satz von Rouché\footnote{Eugène Rouché (* 18.~August 1832 in
+    Sommières, Département Hérault; † 19.~August 1910 in Lunel) war ein
+    französischer Mathematiker.  }]\label{kor:12-5-2}%
+  \index{Satz von Rouché}Sei $U ⊂ ℂ$ offen, $f ∈ 𝒪(U)$ und $K ⊂ U$ eine
+  abgeschlossene Kreisscheibe. Sei außerdem eine holomorphe Funktion $g ∈ 𝒪(U)$
+  gegeben, sodass für jedes $z ∈ δ K$ die Ungleichung
+  \begin{equation}\label{eq:12-5-5}%
+    |f(z)| > |g(z)|
+  \end{equation}
+  gilt.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+    \item\label{il:12-5-5-1} Alle Nullstellen von $f$ und $f+g$ auf $K$ liegen
+      im Inneren von $K$.
+
+    \item\label{il:12-5-5-2} Mit Vielfachheit gezählt haben $f$ und $f+g$ die
+      gleiche Anzahl an Nullstellen auf $K$.
+  \end{enumerate}
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Für $t ∈ [0,1]$ betrachte die Familie von Funktionen $h_t(z) := f(z) +
+  t·g(z)$.  Ungleichung~\eqref{eq:12-5-5} zeigt sofort, dass für jedes $t ∈
+  [0,1]$ und jedes $z ∈ ∂K$ die Ungleichung
+  \[
+    h_t(z)
+  \]
+  gilt.  Damit ist~\ref{il:12-5-5-1} bewiesen.  Als Nächstes betrachte
+  \[
+    N : [0,1] → ℂ, \quad t ↦ \frac{1}{2π i} \int_{∂K} \frac{h_t'(z)}{h_t(z)} \, dz.
+  \]
+  Auf der einen Seite sagt der Satz über parameterabhängige Integrale, dass $N$
+  stetig ist.  Auf der anderen Seite gilt nach Satz~\ref{satz:12-5-1} für jedes
+  $t ∈ [0,1]$ die Gleichung
+  \[
+    N(t) = \text{Anzahl der Nullstellen von $h_t$ in $K$}.
+  \]
+  Da $N(t)$ also ganzzahlig ist, ist $N$ konstant.  Somit gilt insbesondere
+  $N(0) = N(1)$.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}\label{bsp:12-5-3}%
+  Wir behaupten, dass die Funktion
+  \[
+    \frac{1}{10} z⁷ + 1 + 5 z²
+  \]
+  in $B_1(0)$ genau $2$ Nullstellen hat.  Schreibe dazu $f(z) = 5z²$, $g(z) =
+  \frac{1}{10} z⁷ + 1$ und beobachte, dass für jedes $z$ mit $|z| = 1$ die
+  Ungleichung
+  \[
+    |f(z)| = 5 > 1 + \frac{1}{10} ≥ |g(z)|
+  \]
+  gilt.  Der Satz von Rouché zeigt nun die Behauptung.
+\end{bsp}
+
+
 % !TEX root = Funktionentheorie