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Stefan Kebekus
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.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
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.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
@@ -10,3 +10,4 @@
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||||
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und die Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QNach der Kettenregel für differenzierbare Funktionen gilt für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q also die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrix \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QVektor \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qkompl.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qkompl.\\E$"}
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||||
{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QAlso ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und damit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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@@ -179,11 +179,11 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
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\subsection{Elementare Fakten zur Wegintegration}
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\begin{prop}[Umkehrung des Weges]
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In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $\overline{γ}: [a,b] → U$
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derselbe Weg wie $γ$, nur umgekehrt durchlaufen: $\overline{γ}(t) = γ(b+a-t)$.
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||||
In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $\overlineγ: [a,b] → U$
|
||||
derselbe Weg wie $γ$, nur umgekehrt durchlaufen: $\overlineγ(t) = γ(b+a-t)$.
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||||
Dann ist
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\[
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||||
\int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = - \int_γ f(z) \, dz. \eqno\qed
|
||||
\int_{\overlineγ} f(z) \, dz = - \int_γ f(z) \, dz. \eqno\qed
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\]
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\end{prop}
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@@ -298,7 +298,7 @@ Fakten der Analysis und Topologie.
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stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und $γ'(0) =
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z_2$. Dann ist aber
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\[
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f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_{γ} 0 \, dz = 0.
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f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_γ 0 \, dz = 0.
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\]
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||||
Da dies für alle Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gilt, ist die Konstanz der Funktion
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$f$ gezeigt.
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@@ -309,18 +309,17 @@ Fakten der Analysis und Topologie.
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\sideremark{Vorlesung 5}
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Wir erinnern uns an die Ergebnisse des letzten Abschnitts: Es sei $U \subset
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\bC$ offen und es sei $f: U \to \bC$ stetig. Wenn $f$ eine Stammfunktion $F: U
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\to \bC$ besitzt, dann gilt für jeden (stückweise) stetig differenzierbaren Weg
|
||||
$\gamma: [a,b] \to U$ die Gleichung
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||||
Wir erinnern uns an die Ergebnisse des letzten Abschnitts: Es sei $U ⊂ ℂ$ offen
|
||||
und es sei $f: U → ℂ$ stetig. Wenn $f$ eine Stammfunktion $F: U → ℂ$ besitzt,
|
||||
dann gilt für jeden (stückweise) stetig differenzierbaren Weg $γ: [a,b] → U$ die
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||||
Gleichung
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||||
\[
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||||
\int_\gamma f(z)\, dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)).
|
||||
\int_γ f(z)\, dz = F(γ(b)) - F(γ(a)).
|
||||
\]
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||||
Das Wegintegral hängt also nur von Start- und Endpunkt ab. Insbesondere gilt:
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||||
Wenn der Weg $\gamma$ geschlossen ist (das bedeutet: $\gamma(a) = \gamma(b)$),
|
||||
dann ist
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||||
Das Wegintegral hängt also nur von Start- und Endpunkt ab. Insbesondere gilt:
|
||||
Wenn der Weg $γ$ geschlossen ist (das bedeutet: $γ(a) = γ(b)$), dann ist
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||||
\[
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||||
\int_\gamma f(z)\, dz = 0.
|
||||
\int_γ f(z)\, dz = 0.
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||||
\]
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||||
Ziel dieses Kapitels ist die Umkehrung dieser Aussage: Wir wollen zeigen, dass
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||||
die Existenz einer Stammfunktion bereits aus der Tatsache folgt, dass das
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@@ -328,77 +327,80 @@ Wegintegral nur von Start- und Endpunkt abhängt. Die folgende Beobachtung wird
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||||
beim Beweis helfen.
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\begin{beobachtung}
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||||
Es sei $U \subseteq \bC$ offen und es sei $f: U \to \bC$ eine Funktion, sodass
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für jeden geschlossenen Weg $\gamma$ stets $\int_\gamma f(z)\, dz = 0$ ist.
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||||
Gegeben seien zwei (stückweise) stetig differenzierbare Wege
|
||||
Es sei $U ⊆ ℂ$ offen und es sei $f: U → ℂ$ eine Funktion, sodass für jeden
|
||||
geschlossenen Weg $γ$ stets $\int_γ f(z)\, dz = 0$ ist. Gegeben seien zwei
|
||||
(stückweise) stetig differenzierbare Wege
|
||||
\[
|
||||
\gamma_1: [a_1, b_1] \to U \qquad \gamma_2: [a_2, b_2] \to U
|
||||
γ_1: [a_1, b_1] → U \qquad γ_2: [a_2, b_2] → U
|
||||
\]
|
||||
mit identischem Start- und Endpunkt,
|
||||
\[
|
||||
\gamma_1(a_1) = \gamma_2(a_2) =: z_a \quad\text{und}\quad \gamma_1(b_1) = \gamma_2(b_2) =: z_b.
|
||||
γ_1(a_1) = γ_2(a_2) =: z_a
|
||||
\quad\text{und}\quad
|
||||
γ_1(b_1) = γ_2(b_2) =: z_b.
|
||||
\]
|
||||
Wir wollen zeigen, dass die Wegintegrale über $\gamma_1$ und $\gamma_2$ gleich
|
||||
sind. Dazu betrachten wir den Weg, der zuerst $\gamma_1$ hin und dann
|
||||
$\gamma_2$ zurück durchläuft. Genauer: Betrachte den folgenden, stückweise
|
||||
stetig differenzierbaren Weg
|
||||
Wir wollen zeigen, dass die Wegintegrale über $γ_1$ und $γ_2$ gleich sind.
|
||||
Dazu betrachten wir den Weg, der zuerst $γ_1$ hin und dann $γ_2$ zurück
|
||||
durchläuft. Genauer: Betrachte den folgenden, stückweise stetig
|
||||
differenzierbaren Weg
|
||||
\[
|
||||
\delta: [a_1, (b_1 - a_1), (b_2 - a_2)] \to U, \quad t \mapsto
|
||||
δ: [a_1, (b_1 - a_1), (b_2 - a_2)] → U, \quad t ↦
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\gamma_1(t + a_1) & \text{falls } t < b_1 - a_1 \\
|
||||
\gamma_2(b_2 + b_2 - a_1 - t) & \text{sonst}.
|
||||
γ_1(t + a_1) & \text{falls } t < b_1 - a_1 \\
|
||||
γ_2(b_2 + b_2 - a_1 - t) & \text{sonst}.
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
0 & = \int_\delta f(z)\, dz && \text{weil $\delta$ geschlossen} \\
|
||||
& = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz.
|
||||
0 & = \int_{δ} f(z)\, dz && \text{weil $δ$ geschlossen} \\
|
||||
& = \int_{γ_1} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Also folgt:
|
||||
\[
|
||||
\int_{\gamma_1} f(z)\, dz = \int_{\gamma_2} f(z)\, dz.
|
||||
\int_{γ_1} f(z)\, dz = \int_{γ_2} f(z)\, dz.
|
||||
\]
|
||||
Zusammenfassung: Wenn das Wegintegral über jeden geschlossenen Weg
|
||||
verschwindet, dann hängen die Wegintegral $\int_{\bullet} f(d)\, dz$ nur von
|
||||
Start- und Endpunkt ab.
|
||||
verschwindet, dann hängen die Wegintegral $\int_• f(d)\, dz$ nur von Start-
|
||||
und Endpunkt ab.
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||||
\end{beobachtung}
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||||
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||||
\begin{satz}[Existenz von Stammfunktionen]\label{satz:3-3-9}%
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||||
Sei $U \subset \mathbb{C}$ offen, und sei $f: U \to \bC$ stetig. Falls die
|
||||
Wegintegral $\int_{\bullet} f(d)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt abhängen,
|
||||
dann existiert eine Stammfunktion.
|
||||
Sei $U ⊂ ℂ$ offen, und sei $f: U → ℂ$ stetig. Falls die Wegintegral $\int_•
|
||||
f(d)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt abhängen, dann existiert eine
|
||||
Stammfunktion.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
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||||
Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die offene Menge
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||||
$U$ zusammenhängend ist -- ansonsten betrachte die Zusammenhangskomponenten
|
||||
einzeln. Wähle einen Punkt $z_0 \in U$. Die Annahme, dass Wegintegrale nur von
|
||||
einzeln. Wähle einen Punkt $z_0 ∈ U$. Die Annahme, dass Wegintegrale nur von
|
||||
Start- und Endpunkt abhängen, erlaubt die Definition der folgenden Funktion:
|
||||
\[
|
||||
F: U \to \bC, \quad z \mapsto \int_\gamma f(z)\, dz, \text{ wobei $\gamma$ ein Weg ist, der $z_0$ und $z$ verbindet.}
|
||||
F: U → ℂ, \quad z ↦ \int_γ f(z)\, dz, \text{ wobei $γ$ ein Weg ist, der $z_0$ und $z$ verbindet.}
|
||||
\]
|
||||
Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Dazu müssen wir
|
||||
zeigen, dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass
|
||||
$F' = f$ gilt. Sei also ein Punkt $p \in U$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass
|
||||
$F' = f$ gilt. Sei also ein Punkt $p ∈ U$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass
|
||||
\begin{equation}\label{eq:3-3-9-1}
|
||||
\lim_{h \to 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p)
|
||||
\lim_{h → 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p)
|
||||
\end{equation}
|
||||
ist. Dazu wähle irgendeinen Weg $\delta: [0, 1] \to U$ mit $\delta(0) = z_0$,
|
||||
und $\delta(1) = p$. Für komplexe Zahlen $h$ von hinreichend kleinem Betrag
|
||||
ist die Kreisscheibe um $p$ mit Radius $|h|$ komplett in $U$ enthalten.
|
||||
Gegeben ein solches $h$, betrachten wir den Weg
|
||||
ist. Dazu wähle irgendeinen Weg $δ: [0, 1] → U$ mit $δ(0) = z_0$, und $δ(1) =
|
||||
p$. Für komplexe Zahlen $h$ von hinreichend kleinem Betrag ist die
|
||||
Kreisscheibe um $p$ mit Radius $|h|$ komplett in $U$ enthalten. Gegeben ein
|
||||
solches $h$, betrachten wir den Weg
|
||||
\[
|
||||
\gamma_h: [0, 1] \to U, \quad t \mapsto p + t \cdot h.
|
||||
γ_h: [0, 1] → U, \quad t ↦ p + t · h.
|
||||
\]
|
||||
Dann ist
|
||||
\[
|
||||
F(p) = \int_\delta f(z)\, dz \quad\text{und}\quad F(p+h) = \int_\delta f(z)\, dz + \int_{\gamma_h} f(z)\, dz.
|
||||
F(p) = \int_{δ} f(z)\, dz \quad\text{und}\quad F(p+h) = \int_{δ} f(z)\, dz + \int_{γ_h} f(z)\, dz.
|
||||
\]
|
||||
Also gilt für jede komplexe Zahl $h$ mit ausreichend kleinem Betrag die Gleichung
|
||||
Also gilt für jede komplexe Zahl $h$ mit ausreichend kleinem Betrag die
|
||||
Gleichung
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\frac{F(p+h) - F(h)}{h} & = \frac{\int_{\gamma_h} f(z)\, dz}{h} \\
|
||||
& = \frac{1}{h} \int_0^1 f(\gamma_h(t)) \cdot \gamma_h'(t)\, dt \\
|
||||
& = \frac{1}{h} \int_0^1 f(p + t \cdot h) \cdot h\, dt \\
|
||||
& = \int_0^1 f(p + th)\, dt.
|
||||
\frac{F(p+h) - F(h)}{h} & = \frac{\int_{γ_h} f(z)\, dz}{h} \\
|
||||
& = \frac{1}{h} \int_0¹ f(γ_h(t)) · γ_h'(t)\, dt \\
|
||||
& = \frac{1}{h} \int_0¹ f(p + t · h) · h\, dt \\
|
||||
& = \int_0¹ f(p + th)\, dt.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Gleichung~\eqref{eq:3-3-9-1} folgt sofort, weil $f$ bei $p$ stetig ist!
|
||||
\end{proof}
|
||||
@@ -407,15 +409,15 @@ beim Beweis helfen.
|
||||
\subsection{Rechteckwege}
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||||
|
||||
Satz~\ref{satz:3-3-9} gibt es sehr allgemein. Die Voraussetzung ist aber sehr
|
||||
stark: Das Wegintegral muss über jeden geschlossenen Weg verschwinden. Das ist
|
||||
stark: Das Wegintegral muss über jeden geschlossenen Weg verschwinden. Das ist
|
||||
in der Praxis schwer zu überprüfen. Wir wollen daher eine Variante des Satzes
|
||||
beweisen, die eine schwächere Voraussetzung hat. Dazu betrachten statt
|
||||
beliebigen nur noch achsenparallele Wege der folgenden Art.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
|
||||
\draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$\gamma_2$};
|
||||
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$γ_1$};
|
||||
\draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$γ_2$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
@@ -424,103 +426,101 @@ folgenden Art.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
|
||||
\draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$\gamma_2$};
|
||||
\draw[->] (2,1.5) -- (0,1.5) node[midway,above] {$\gamma_3$};
|
||||
\draw[->] (0,1.5) -- (0,0) node[midway,left] {$\gamma_4$};
|
||||
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$γ_1$};
|
||||
\draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$γ_2$};
|
||||
\draw[->] (2,1.5) -- (0,1.5) node[midway,above] {$γ_3$};
|
||||
\draw[->] (0,1.5) -- (0,0) node[midway,left] {$γ_4$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{notation}
|
||||
Gegeben eine offene Menge $U \subseteq \bC$, ein achsenparalleles Rechteck
|
||||
$\mathcal{R} \subset U$ und eine stetige Funktion $f : U \to \bC$, dann nennt
|
||||
man
|
||||
Gegeben eine offene Menge $U ⊆ ℂ$, ein achsenparalleles Rechteck $\mathcal{R}
|
||||
⊂ U$ und eine stetige Funktion $f : U → ℂ$, dann nennt man
|
||||
\[
|
||||
\int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\gamma_2} f(z)\, dz + \int_{\gamma_3} f(z)\, dz + \int_{\gamma_4} f(z)\, dz
|
||||
\int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{γ_2} f(z)\, dz + \int_{γ_3} f(z)\, dz + \int_{γ_4} f(z)\, dz
|
||||
\]
|
||||
das \emph{Randintegral}\index{Randintegral} über das Rechteck $\mathcal{R}$.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe]\label{satz:3-3-11}%
|
||||
Es sei $U = \{z \in \bC \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U \to
|
||||
\bC$ eine stetige Funktion, sodass das Randintegral über achsenparallele
|
||||
Rechtecke stets verschwindet. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
|
||||
Es sei $U = \{z ∈ ℂ \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U → ℂ$
|
||||
eine stetige Funktion, sodass das Randintegral über achsenparallele Rechtecke
|
||||
stets verschwindet. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Die Aussage „Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.“ ist nicht optimal. Es gilt:
|
||||
„Die Funktion $f$ besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn \ldots“. Die
|
||||
Die Aussage „Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.“ ist nicht optimal. Es
|
||||
gilt: „Die Funktion $f$ besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn …“. Die
|
||||
Umkehrrichtung ist ja schon aus dem letzten Kapitel bekannt.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Satz~\ref{satz:3-3-11} zeigt dieselbe Folgerung wie Satz~\ref{satz:3-3-9},
|
||||
aber unter schwächeren Voraussetzungen. Also ist der Beweis aufwändiger. Die
|
||||
aber unter schwächeren Voraussetzungen. Also ist der Beweis aufwändiger. Die
|
||||
Grundidee ist aber dieselbe.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-3-11} als Bildgeschichte]
|
||||
Gegeben irgendeinen Punkt $p \in U$, dann kann ich den $0$-Punkt wie folgt
|
||||
durch zwei achsenparallele Wege mit $p$ verbinden, die ganz innerhalb von $U$
|
||||
verlaufen. Hier benutze ich natürlich, dass $U$ eine Kreisscheibe ist.
|
||||
Gegeben irgendeinen Punkt $p ∈ U$, dann kann ich den $0$-Punkt wie folgt durch
|
||||
zwei achsenparallele Wege mit $p$ verbinden, die ganz innerhalb von $U$
|
||||
verlaufen. Hier benutze ich natürlich, dass $U$ eine Kreisscheibe ist.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw (0,0) circle (2cm);
|
||||
\draw[->] (0,0) -- (1.5,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
|
||||
\draw[->] (1.5,0) -- (1.5,1) node[midway,left] {$\gamma_2$};
|
||||
\draw[->] (0,0) -- (1.5,0) node[midway,below] {$γ_1$};
|
||||
\draw[->] (1.5,0) -- (1.5,1) node[midway,left] {$γ_2$};
|
||||
\node at (1.5,1) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=left:$p$] {};
|
||||
\node at (0,0) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=below:$0$] {};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Definiere damit eine Funktion
|
||||
\[
|
||||
F : U \to \bC, \quad p \mapsto \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\gamma_2} f(z)\, dz.
|
||||
F : U → ℂ, \quad p ↦ \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{γ_2} f(z)\, dz.
|
||||
\]
|
||||
Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Dazu müssen wir zeigen,
|
||||
dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass $F' = f$
|
||||
gilt. Sei also ein Punkt $p \in U$ gegeben.
|
||||
Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Dazu müssen wir
|
||||
zeigen, dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass
|
||||
$F' = f$ gilt. Sei also ein Punkt $p ∈ U$ gegeben.
|
||||
|
||||
Ich diskutiere erst einmal die partielle Ableitung von $F$ nach $x$. Gegeben
|
||||
eine hinreichend kleine reelle Zahl $h$, betrachte die folgenden Wege, die
|
||||
wieder vollständig innerhalb von $U$ verlaufen.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
|
||||
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
|
||||
\draw[->] (2,0) -- (3,0) node[midway,below] {$\delta_1$};
|
||||
\draw[->] (2,0) -- (2,2) node[midway,left] {$\gamma_2$};
|
||||
\draw[->] (3,0) -- (3,2) node[midway,right] {$\delta_2$};
|
||||
\draw[->] (3,2) -- (2,2) node[midway,above] {$\delta_3$};
|
||||
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$γ_1$};
|
||||
\draw[->] (2,0) -- (3,0) node[midway,below] {$δ_1$};
|
||||
\draw[->] (2,0) -- (2,2) node[midway,left] {$γ_2$};
|
||||
\draw[->] (3,0) -- (3,2) node[midway,right] {$δ_2$};
|
||||
\draw[->] (3,2) -- (2,2) node[midway,above] {$δ_3$};
|
||||
\node at (2,2) [circle,fill,inner sep=1pt,label=left:$p$] {};
|
||||
\node at (3,2) [circle,fill,inner sep=1pt,label=right:$p+h$] {};
|
||||
\node at (0,0) [circle,fill,inner sep=1pt,label=below:$0$] {};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Weil das Randintegral über das Rechteck verschwindet, ist
|
||||
Weil das Randintegral über das Rechteck verschwindet, ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
F(p + h) & = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_2} f(z)\, dz \\
|
||||
& = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_2} f(z)\, dz \\
|
||||
& \qquad - \bigl(\int_{\delta_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_2} f(z)\, dz + \int_{\delta_3} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz\bigr) \\
|
||||
& = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz - \bigl(\int_{\delta_3} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz\bigr) \\
|
||||
& = F(p) - \int_{\delta_3} f(z)\, dz.
|
||||
F(p + h) & = \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz \\
|
||||
& = \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz \\
|
||||
& \qquad - \bigl(\int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz + \int_{δ_3} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz\bigr) \\
|
||||
& = \int_{γ_1} f(z)\, dz - \bigl(\int_{δ_3} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz\bigr) \\
|
||||
& = F(p) - \int_{δ_3} f(z)\, dz.
|
||||
\intertext{Also ist}
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||||
F(p+h) - F(p) & = -\int_{\delta_3} f(z)\, dz = \int_0^1 f(p + t \cdot h) \cdot h\, dt \\
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||||
F(p+h) - F(p) & = -\int_{δ_3} f(z)\, dz = \int_0¹ f(p + t · h) · h\, dt \\
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||||
\end{align*}
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||||
und damit
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\[
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||||
\lim_{h \to 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p).
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||||
\lim_{h → 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p).
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||||
\]
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||||
Zusammenfassung: Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $x$
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||||
differenzierbar und es ist $\frac{\partial F}{\partial x}(p) = f(p)$. Analog
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||||
beweist man: Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $y$
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||||
differenzierbar und es ist $\frac{\partial F}{\partial y}(p) = i \cdot f(p)$.
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||||
Das hat zwei Konsequenzen.
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||||
differenzierbar und es ist $\frac{∂ F}{∂ x}(p) = f(p)$. Analog beweist man:
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||||
Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $y$ differenzierbar und es ist
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||||
$\frac{∂ F}{∂ y}(p) = i · f(p)$. Das hat zwei Konsequenzen.
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\begin{itemize}
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||||
\item Weil $f$ stetig ist, haben wir gezeigt, dass $F$ stetig partiell
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differenzierbar ist, also total differenzierbar.
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||||
\item Es ist $\frac{\partial F}{\partial \overline{z}} = \frac{\partial
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||||
F}{\partial x} + i \frac{\partial F}{\partial y} = 0$. Also erfüllen die
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partiellen Ableitungen von $F$ die Cauchy-Riemann-Differenzialgleichungen.
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||||
\item Es ist $\frac{∂ F}{∂ \overline{z}} = \frac{∂ F}{∂ x} + i \frac{∂ F}{∂
|
||||
y} = 0$. Also erfüllen die partiellen Ableitungen von $F$ die
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||||
Cauchy-Riemann-Differenzialgleichungen.
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||||
\end{itemize}
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In der Summe sehen wir, dass $F$ komplex differenzierbar ist und dass $F' = f$
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gilt.
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@@ -529,91 +529,88 @@ folgenden Art.
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\section{Homotopie von Wegen}
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Gegeben eine offene Menge $U \subset \bC$ und Punkte $z_0, z_1 \in U$, so
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||||
betrachten wir Wege, die $z_0$ und $z_1$ verbinden. Anschaulich ist klar, dass
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||||
manche dieser Wege stetig ineinander übergeführt werden können und andere nicht.
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||||
Gegeben eine offene Menge $U ⊂ ℂ$ und Punkte $z_0, z_1 ∈ U$, so betrachten wir
|
||||
Wege, die $z_0$ und $z_1$ verbinden. Anschaulich ist klar, dass manche dieser
|
||||
Wege stetig ineinander übergeführt werden können und andere nicht.
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||||
\begin{definition}[Homotopie von Wegen]\label{def:3-4-1}%
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||||
Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] \subset \bR$ ein kompaktes
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||||
Intervall. Zwei stetige Wege
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||||
Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] ⊂ ℝ$ ein kompaktes Intervall.
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||||
Zwei stetige Wege
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||||
\[
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||||
\gamma_0: [a, b] \to U, \quad \gamma_1: [a, b] \to U
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||||
γ_0: [a, b] → U, \quad γ_1: [a, b] → U
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||||
\quad\text{mit}\quad
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||||
\gamma_0(a) = \gamma_1(a), \quad \gamma_0(b) = \gamma_1(b)
|
||||
γ_0(a) = γ_1(a), \quad γ_0(b) = γ_1(b)
|
||||
\]
|
||||
heißen \emph{homotop}\index{homotop}, wenn es stetige Abbildung
|
||||
\[
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||||
\Gamma: [a, b] \times [0, 1] \longrightarrow U
|
||||
Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] \longrightarrow U
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||||
\]
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||||
gibt, sodass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $\forall s \in [0, 1] : \Gamma(a, s) = \gamma_0(a) \text{ und } \Gamma(b, s) = \gamma_0(b)$
|
||||
\item $\forall t \in [a, b] : \Gamma(t, 0) = \gamma_0(t) \text{ und } \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t)$.
|
||||
\item $\forall s ∈ [0, 1] : Γ(a, s) = γ_0(a) \text{ und } Γ(b, s) = γ_0(b)$
|
||||
\item $\forall t ∈ [a, b] : Γ(t, 0) = γ_0(t) \text{ und } Γ(t, 1) = γ_1(t)$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Eine Abbildung $\Gamma$ mit diesen Eigenschaften heißt \emph{Homotopie}\index{Homotopie}
|
||||
zwischen den Wegen $\gamma_0$ und $\gamma_1$.
|
||||
Eine Abbildung $Γ$ mit diesen Eigenschaften heißt
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||||
\emph{Homotopie}\index{Homotopie} zwischen den Wegen $γ_0$ und $γ_1$.
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} kann man die Homotopie als
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||||
Familie von Wegen auffassen, $\gamma_s := \Gamma(\bullet, s)$, die stetig
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||||
zwischen den Wegen $\gamma_0$ und $\gamma_1$ interpoliert.
|
||||
Familie von Wegen auffassen, $γ_s := Γ(•, s)$, die stetig zwischen den Wegen
|
||||
$γ_0$ und $γ_1$ interpoliert.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Zusammenziehbare Wege und einfach zusammenhängende Räume]\label{def:3-4-2}%
|
||||
Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] \subset \bR$ ein kompaktes
|
||||
Intervall. Ein \emph{geschlossener Weg}\index{geschlossener Weg} in $U$ ist
|
||||
ein stetiger Weg
|
||||
Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] ⊂ ℝ$ ein kompaktes Intervall.
|
||||
Ein \emph{geschlossener Weg}\index{geschlossener Weg} in $U$ ist ein stetiger
|
||||
Weg
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||||
\[
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||||
\gamma: [a, b] \to U \quad\text{mit}\quad \gamma(a) = \gamma(b).
|
||||
γ: [a, b] → U \quad\text{mit}\quad γ(a) = γ(b).
|
||||
\]
|
||||
Ein geschlossener Weg heißt \emph{zusammenziehbar}\index{zusammenziehbar} oder
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||||
\emph{kontrahierbar}\index{kontrahierbar}, wenn er homotop zu einem konstanten
|
||||
Weg ist. Der Raum $U$ heißt \emph{wegweise einfach
|
||||
Weg ist. Der Raum $U$ heißt \emph{wegweise einfach
|
||||
zusammenhängend}\index{wegweise einfach zusammenhängend}, wenn jeder
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||||
geschlossener Weg zusammenziehbar ist.
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
\begin{bsp}[Zentrierte geschlossene Wege in der Kreisscheibe]
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||||
Es sei $U \subset \bC$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $\gamma_0: [a, b]
|
||||
\to U$ ein Weg mit $\gamma_0(a) = \gamma_0(b) = 0$. Dann ist
|
||||
Es sei $U ⊂ ℂ$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $γ_0: [a, b] → U$ ein Weg
|
||||
mit $γ_0(a) = γ_0(b) = 0$. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\Gamma: [a, b] \times [0, 1] \to U, \quad (t, s) \mapsto (1 - t) \cdot \gamma_0(t)
|
||||
Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] → U, \quad (t, s) ↦ (1 - t) · γ_0(t)
|
||||
\]
|
||||
eine Homotopie zwischen dem Weg $\gamma_0$ und dem konstanten Weg $\gamma_1
|
||||
\equiv 0$. Also ist $\gamma_0$ zusammenziehbar.
|
||||
eine Homotopie zwischen dem Weg $γ_0$ und dem konstanten Weg $γ_1 \equiv 0$.
|
||||
Also ist $γ_0$ zusammenziehbar.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Allgemeine geschlossene Wege in der Kreisscheibe]\label{bsp:3-4-4}%
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||||
Es sei $U \subset \bC$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $\gamma_0: [a, b]
|
||||
\to U$ irgendein geschlossener Weg mit $\gamma_0(a) = \gamma_0(b) =: z$. Dann
|
||||
ist
|
||||
Es sei $U ⊂ ℂ$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $γ_0: [a, b] → U$
|
||||
irgendein geschlossener Weg mit $γ_0(a) = γ_0(b) =: z$. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\Gamma: [a, b] \times [0, 1] \to U, \quad (t, s) \mapsto (1 - s) \cdot (\gamma_0(t) - z) + z
|
||||
Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] → U, \quad (t, s) ↦ (1 - s) · (γ_0(t) - z) + z
|
||||
\]
|
||||
eine Homotopie zwischen $\gamma_0$ und dem konstanten Weg $\gamma_1 \equiv z$.
|
||||
Also ist die Kreisscheibe einfach zusammenhängend.
|
||||
eine Homotopie zwischen $γ_0$ und dem konstanten Weg $γ_1 \equiv z$. Also ist
|
||||
die Kreisscheibe einfach zusammenhängend.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}[Konvexe Mengen sind einfach zusammenhängend]
|
||||
Der wesentliche Punkt in Beispiel~\ref{bsp:3-4-4} ist, dass die Bildmenge von
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||||
$\Gamma$ ganz in der Kreisscheibe enthalten ist. Die zum Beweis notwendige
|
||||
$Γ$ ganz in der Kreisscheibe enthalten ist. Die zum Beweis notwendige
|
||||
Rechnung verwendet allerdings nur, dass die Kreisscheibe konvex ist.
|
||||
Tatsächlich sind alle konvexen Mengen wegweise einfach zusammenhängend.
|
||||
In nicht-konvexen Mengen können geschlossene Wege durchaus nicht
|
||||
zusammenziehbar sein.
|
||||
Tatsächlich sind alle konvexen Mengen wegweise einfach zusammenhängend. In
|
||||
nicht-konvexen Mengen können geschlossene Wege durchaus nicht zusammenziehbar
|
||||
sein.
|
||||
\end{bemerkung}
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||||
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||||
\begin{bemerkung}
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||||
Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Wege mit festen
|
||||
Anfangs- und Endpunkten. Insbesondere ist Homotopie reflexiv, symmetrisch und
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||||
Anfangs- und Endpunkten. Insbesondere ist Homotopie reflexiv, symmetrisch und
|
||||
transitiv.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
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||||
\begin{bemerkung}
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||||
Wir haben noch kein Kriterium dafür, dass eine Menge \emph{nicht} einfach
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||||
zusammenhängend ist. Der Integralsatz von Cauchy wird uns aber bald ein solches
|
||||
Kriterium liefern.
|
||||
zusammenhängend ist. Der Integralsatz von Cauchy wird uns aber bald ein
|
||||
solches Kriterium liefern.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
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||||
% !TEX root = Funktionentheorie
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||||
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||||
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||||
Binary file not shown.
Reference in New Issue
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