Cleanup

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -10,3 +10,4 @@
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und die Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QNach der Kettenregel für differenzierbare Funktionen gilt für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q also die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrix \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QVektor \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qkompl.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qkompl.\\E$"}
+{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QAlso ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und damit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

03-wegintegrale.tex

@@ -179,11 +179,11 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
 \subsection{Elementare Fakten zur Wegintegration}
 
 \begin{prop}[Umkehrung des Weges]
-  In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $\overline{γ}: [a,b] → U$
+  In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $\overlineγ: [a,b] → U$
-  derselbe Weg wie $γ$, nur umgekehrt durchlaufen: $\overline{γ}(t) = γ(b+a-t)$.
+  derselbe Weg wie $γ$, nur umgekehrt durchlaufen: $\overlineγ(t) = γ(b+a-t)$.
   Dann ist
   \[
-    \int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = - \int_γ f(z) \, dz.  \eqno\qed
+    \int_{\overlineγ} f(z) \, dz = - \int_γ f(z) \, dz.  \eqno\qed
   \]
 \end{prop}
 
@@ -298,7 +298,7 @@ Fakten der Analysis und Topologie.
   stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und $γ'(0) =
   z_2$.  Dann ist aber
   \[
-    f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_{γ} 0 \, dz = 0.
+    f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_γ 0 \, dz = 0.
   \]
   Da dies für alle Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gilt, ist die Konstanz der Funktion
   $f$ gezeigt.
@@ -309,18 +309,17 @@ Fakten der Analysis und Topologie.
 
 \sideremark{Vorlesung 5}
 
-Wir erinnern uns an die Ergebnisse des letzten Abschnitts: Es sei $U \subset
+Wir erinnern uns an die Ergebnisse des letzten Abschnitts: Es sei $U ⊂ ℂ$ offen
-\bC$ offen und es sei $f: U \to \bC$ stetig. Wenn $f$ eine Stammfunktion $F: U
+und es sei $f: U → ℂ$ stetig.  Wenn $f$ eine Stammfunktion $F: U → ℂ$ besitzt,
-\to \bC$ besitzt, dann gilt für jeden (stückweise) stetig differenzierbaren Weg 
+dann gilt für jeden (stückweise) stetig differenzierbaren Weg $γ: [a,b] → U$ die
-$\gamma: [a,b] \to U$ die Gleichung
+Gleichung
 \[
-\int_\gamma f(z)\, dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)).
+\int_γ f(z)\, dz = F(γ(b)) - F(γ(a)).
 \]
-Das Wegintegral hängt also nur von Start- und Endpunkt ab. Insbesondere gilt:
+Das Wegintegral hängt also nur von Start- und Endpunkt ab.  Insbesondere gilt:
-Wenn der Weg $\gamma$ geschlossen ist (das bedeutet: $\gamma(a) = \gamma(b)$),
+Wenn der Weg $γ$ geschlossen ist (das bedeutet: $γ(a) = γ(b)$), dann ist
-dann ist
 \[
-\int_\gamma f(z)\, dz = 0.
+\int_γ f(z)\, dz = 0.
 \]
 Ziel dieses Kapitels ist die Umkehrung dieser Aussage: Wir wollen zeigen, dass
 die Existenz einer Stammfunktion bereits aus der Tatsache folgt, dass das
@@ -328,77 +327,80 @@ Wegintegral nur von Start- und Endpunkt abhängt.  Die folgende Beobachtung wird
 beim Beweis helfen.
 
 \begin{beobachtung}
-  Es sei $U \subseteq \bC$ offen und es sei $f: U \to \bC$ eine Funktion, sodass
+  Es sei $U ⊆ ℂ$ offen und es sei $f: U → ℂ$ eine Funktion, sodass für jeden
-  für jeden geschlossenen Weg $\gamma$ stets $\int_\gamma f(z)\, dz = 0$ ist.
+  geschlossenen Weg $γ$ stets $\int_γ f(z)\, dz = 0$ ist.  Gegeben seien zwei
-  Gegeben seien zwei (stückweise) stetig differenzierbare Wege
+  (stückweise) stetig differenzierbare Wege
   \[
-    \gamma_1: [a_1, b_1] \to U \qquad \gamma_2: [a_2, b_2] \to U
+    γ_1: [a_1, b_1] → U \qquad γ_2: [a_2, b_2] → U
   \]
   mit identischem Start- und Endpunkt,
   \[
-    \gamma_1(a_1) = \gamma_2(a_2) =: z_a \quad\text{und}\quad \gamma_1(b_1) = \gamma_2(b_2) =: z_b.
+    γ_1(a_1) = γ_2(a_2) =: z_a
-  \] 
+    \quad\text{und}\quad
-  Wir wollen zeigen, dass die Wegintegrale über $\gamma_1$ und $\gamma_2$ gleich
+    γ_1(b_1) = γ_2(b_2) =: z_b.
-  sind. Dazu betrachten wir den Weg, der zuerst $\gamma_1$ hin und dann
+  \]
-  $\gamma_2$ zurück durchläuft. Genauer: Betrachte den folgenden, stückweise
+  Wir wollen zeigen, dass die Wegintegrale über $γ_1$ und $γ_2$ gleich sind.
-  stetig differenzierbaren Weg
+  Dazu betrachten wir den Weg, der zuerst $γ_1$ hin und dann $γ_2$ zurück
+  durchläuft.  Genauer: Betrachte den folgenden, stückweise stetig
+  differenzierbaren Weg
   \[
-    \delta: [a_1, (b_1 - a_1), (b_2 - a_2)] \to U, \quad t \mapsto 
+    δ: [a_1, (b_1 - a_1), (b_2 - a_2)] → U, \quad t ↦
     \begin{cases}
-      \gamma_1(t + a_1) & \text{falls } t < b_1 - a_1 \\
+      γ_1(t + a_1) & \text{falls } t < b_1 - a_1 \\
-      \gamma_2(b_2 + b_2 - a_1 - t) & \text{sonst}.
+      γ_2(b_2 + b_2 - a_1 - t) & \text{sonst}.
     \end{cases}
   \]
   Dann gilt:
   \begin{align*}
-    0 & = \int_\delta f(z)\, dz && \text{weil $\delta$ geschlossen} \\
+    0 & = \int_{δ} f(z)\, dz && \text{weil $δ$ geschlossen} \\
-    & = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz.
+    & = \int_{γ_1} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz.
   \end{align*}
   Also folgt:
   \[
-    \int_{\gamma_1} f(z)\, dz = \int_{\gamma_2} f(z)\, dz.
+    \int_{γ_1} f(z)\, dz = \int_{γ_2} f(z)\, dz.
   \]
   Zusammenfassung: Wenn das Wegintegral über jeden geschlossenen Weg
-  verschwindet, dann hängen die Wegintegral $\int_{\bullet} f(d)\, dz$ nur von
+  verschwindet, dann hängen die Wegintegral $\int_• f(d)\, dz$ nur von Start-
-  Start- und Endpunkt ab.
+  und Endpunkt ab.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{satz}[Existenz von Stammfunktionen]\label{satz:3-3-9}%
-  Sei $U \subset \mathbb{C}$ offen, und sei $f: U \to \bC$ stetig. Falls die
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen, und sei $f: U → ℂ$ stetig.  Falls die Wegintegral $\int_•
-  Wegintegral $\int_{\bullet} f(d)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt abhängen,
+  f(d)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt abhängen, dann existiert eine
-  dann existiert eine Stammfunktion.
+  Stammfunktion.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die offene Menge
   $U$ zusammenhängend ist -- ansonsten betrachte die Zusammenhangskomponenten
-  einzeln. Wähle einen Punkt $z_0 \in U$. Die Annahme, dass Wegintegrale nur von
+  einzeln.  Wähle einen Punkt $z_0 ∈ U$.  Die Annahme, dass Wegintegrale nur von
   Start- und Endpunkt abhängen, erlaubt die Definition der folgenden Funktion:
   \[
-    F: U \to \bC, \quad z \mapsto \int_\gamma f(z)\, dz, \text{ wobei $\gamma$ ein Weg ist, der $z_0$ und $z$ verbindet.}
+    F: U → ℂ, \quad z ↦ \int_γ f(z)\, dz, \text{ wobei $γ$ ein Weg ist, der $z_0$ und $z$ verbindet.}
   \]
   Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.  Dazu müssen wir
   zeigen, dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass
-  $F' = f$ gilt. Sei also ein Punkt $p \in U$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass
+  $F' = f$ gilt.  Sei also ein Punkt $p ∈ U$ gegeben.  Wir müssen zeigen, dass
   \begin{equation}\label{eq:3-3-9-1}
-    \lim_{h \to 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p)
+    \lim_{h → 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p)
   \end{equation}
-  ist.  Dazu wähle irgendeinen Weg $\delta: [0, 1] \to U$ mit $\delta(0) = z_0$,
+  ist.  Dazu wähle irgendeinen Weg $δ: [0, 1] → U$ mit $δ(0) = z_0$, und $δ(1) =
-  und $\delta(1) = p$.  Für komplexe Zahlen $h$ von hinreichend kleinem Betrag
+  p$.  Für komplexe Zahlen $h$ von hinreichend kleinem Betrag ist die
-  ist die Kreisscheibe um $p$ mit Radius $|h|$ komplett in $U$ enthalten.
+  Kreisscheibe um $p$ mit Radius $|h|$ komplett in $U$ enthalten. Gegeben ein
-  Gegeben ein solches $h$, betrachten wir den Weg 
+  solches $h$, betrachten wir den Weg
-  \[  
+  \[
-    \gamma_h: [0, 1] \to U, \quad t \mapsto p + t \cdot h.
+    γ_h: [0, 1] → U, \quad t ↦ p + t · h.
   \]
   Dann ist
   \[
-    F(p) = \int_\delta f(z)\, dz \quad\text{und}\quad F(p+h) = \int_\delta f(z)\, dz + \int_{\gamma_h} f(z)\, dz.
+    F(p) = \int_{δ} f(z)\, dz \quad\text{und}\quad F(p+h) = \int_{δ} f(z)\, dz + \int_{γ_h} f(z)\, dz.
   \]
-  Also gilt für jede komplexe Zahl $h$ mit ausreichend kleinem Betrag die Gleichung
+  Also gilt für jede komplexe Zahl $h$ mit ausreichend kleinem Betrag die
+  Gleichung
   \begin{align*}
-    \frac{F(p+h) - F(h)}{h} & = \frac{\int_{\gamma_h} f(z)\, dz}{h} \\
+    \frac{F(p+h) - F(h)}{h} & = \frac{\int_{γ_h} f(z)\, dz}{h} \\
-    & = \frac{1}{h} \int_0^1 f(\gamma_h(t)) \cdot \gamma_h'(t)\, dt \\
+    & = \frac{1}{h} \int_0¹ f(γ_h(t)) · γ_h'(t)\, dt \\
-    & = \frac{1}{h} \int_0^1 f(p + t \cdot h) \cdot h\, dt \\
+    & = \frac{1}{h} \int_0¹ f(p + t · h) · h\, dt \\
-    & = \int_0^1 f(p + th)\, dt.
+    & = \int_0¹ f(p + th)\, dt.
   \end{align*}
   Gleichung~\eqref{eq:3-3-9-1} folgt sofort, weil $f$ bei $p$ stetig ist!
 \end{proof}
@@ -407,15 +409,15 @@ beim Beweis helfen.
 \subsection{Rechteckwege}
 
 Satz~\ref{satz:3-3-9} gibt es sehr allgemein.  Die Voraussetzung ist aber sehr
-stark: Das Wegintegral muss über jeden geschlossenen Weg verschwinden. Das ist
+stark: Das Wegintegral muss über jeden geschlossenen Weg verschwinden.  Das ist
 in der Praxis schwer zu überprüfen.  Wir wollen daher eine Variante des Satzes
 beweisen, die eine schwächere Voraussetzung hat.  Dazu betrachten statt
 beliebigen nur noch achsenparallele Wege der folgenden Art.
 
 \begin{center}
   \begin{tikzpicture}
-  \draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
+  \draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$γ_1$};
-  \draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$\gamma_2$};
+  \draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$γ_2$};
   \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
@@ -424,103 +426,101 @@ folgenden Art.
 
 \begin{center}
   \begin{tikzpicture}
-    \draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
+    \draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$γ_1$};
-    \draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$\gamma_2$};
+    \draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$γ_2$};
-    \draw[->] (2,1.5) -- (0,1.5) node[midway,above] {$\gamma_3$};
+    \draw[->] (2,1.5) -- (0,1.5) node[midway,above] {$γ_3$};
-    \draw[->] (0,1.5) -- (0,0) node[midway,left] {$\gamma_4$};
+    \draw[->] (0,1.5) -- (0,0) node[midway,left] {$γ_4$};
   \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
 \begin{notation}
-  Gegeben eine offene Menge $U \subseteq \bC$, ein achsenparalleles Rechteck
+  Gegeben eine offene Menge $U ⊆ ℂ$, ein achsenparalleles Rechteck $\mathcal{R}
-  $\mathcal{R} \subset U$ und eine stetige Funktion $f : U \to \bC$, dann nennt
+  ⊂ U$ und eine stetige Funktion $f : U → ℂ$, dann nennt man
-  man
   \[
-    \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\gamma_2} f(z)\, dz + \int_{\gamma_3} f(z)\, dz + \int_{\gamma_4} f(z)\, dz
+    \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{γ_2} f(z)\, dz + \int_{γ_3} f(z)\, dz + \int_{γ_4} f(z)\, dz
   \]
   das \emph{Randintegral}\index{Randintegral} über das Rechteck $\mathcal{R}$.
 \end{notation}
 
 \begin{satz}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe]\label{satz:3-3-11}%
-  Es sei $U = \{z \in \bC \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U \to
+  Es sei $U = \{z ∈ ℂ \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U → ℂ$
-  \bC$ eine stetige Funktion, sodass das Randintegral über achsenparallele
+  eine stetige Funktion, sodass das Randintegral über achsenparallele Rechtecke
-  Rechtecke stets verschwindet. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
+  stets verschwindet.  Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
 \end{satz}
 
 \begin{bemerkung}
-  Die Aussage „Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.“ ist nicht optimal. Es gilt:
+  Die Aussage „Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.“ ist nicht optimal.  Es
-  „Die Funktion $f$ besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn \ldots“. Die
+  gilt: „Die Funktion $f$ besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn …“.  Die
   Umkehrrichtung ist ja schon aus dem letzten Kapitel bekannt.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}
   Satz~\ref{satz:3-3-11} zeigt dieselbe Folgerung wie Satz~\ref{satz:3-3-9},
-  aber unter schwächeren Voraussetzungen. Also ist der Beweis aufwändiger. Die
+  aber unter schwächeren Voraussetzungen.  Also ist der Beweis aufwändiger.  Die
   Grundidee ist aber dieselbe.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-3-11} als Bildgeschichte]
-  Gegeben irgendeinen Punkt $p \in U$, dann kann ich den $0$-Punkt wie folgt
+  Gegeben irgendeinen Punkt $p ∈ U$, dann kann ich den $0$-Punkt wie folgt durch
-  durch zwei achsenparallele Wege mit $p$ verbinden, die ganz innerhalb von $U$
+  zwei achsenparallele Wege mit $p$ verbinden, die ganz innerhalb von $U$
-  verlaufen. Hier benutze ich natürlich, dass $U$ eine  Kreisscheibe ist.
+  verlaufen.  Hier benutze ich natürlich, dass $U$ eine Kreisscheibe ist.
   \begin{center}
     \begin{tikzpicture}
       \draw (0,0) circle (2cm);
-      \draw[->] (0,0) -- (1.5,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
+      \draw[->] (0,0) -- (1.5,0) node[midway,below] {$γ_1$};
-      \draw[->] (1.5,0) -- (1.5,1) node[midway,left] {$\gamma_2$};
+      \draw[->] (1.5,0) -- (1.5,1) node[midway,left] {$γ_2$};
       \node at (1.5,1) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=left:$p$] {};
       \node at (0,0) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=below:$0$] {};
     \end{tikzpicture}
   \end{center}
   Definiere damit eine Funktion
   \[
-    F : U \to \bC, \quad p \mapsto \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\gamma_2} f(z)\, dz.
+    F : U → ℂ, \quad p ↦ \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{γ_2} f(z)\, dz.
   \]
-  Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.  Dazu müssen wir zeigen,
+  Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.  Dazu müssen wir
-  dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass $F' = f$
+  zeigen, dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass
-  gilt. Sei also ein Punkt $p \in U$ gegeben.
+  $F' = f$ gilt.  Sei also ein Punkt $p ∈ U$ gegeben.
 
   Ich diskutiere erst einmal die partielle Ableitung von $F$ nach $x$.  Gegeben
   eine hinreichend kleine reelle Zahl $h$, betrachte die folgenden Wege, die
   wieder vollständig innerhalb von $U$ verlaufen.
   \begin{center}
     \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
-      \draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
+      \draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$γ_1$};
-      \draw[->] (2,0) -- (3,0) node[midway,below] {$\delta_1$};
+      \draw[->] (2,0) -- (3,0) node[midway,below] {$δ_1$};
-      \draw[->] (2,0) -- (2,2) node[midway,left] {$\gamma_2$};
+      \draw[->] (2,0) -- (2,2) node[midway,left] {$γ_2$};
-      \draw[->] (3,0) -- (3,2) node[midway,right] {$\delta_2$};
+      \draw[->] (3,0) -- (3,2) node[midway,right] {$δ_2$};
-      \draw[->] (3,2) -- (2,2) node[midway,above] {$\delta_3$};
+      \draw[->] (3,2) -- (2,2) node[midway,above] {$δ_3$};
       \node at (2,2) [circle,fill,inner sep=1pt,label=left:$p$] {};
       \node at (3,2) [circle,fill,inner sep=1pt,label=right:$p+h$] {};
       \node at (0,0) [circle,fill,inner sep=1pt,label=below:$0$] {};
     \end{tikzpicture}
   \end{center}
-   Weil das Randintegral über das Rechteck verschwindet, ist
+  Weil das Randintegral über das Rechteck verschwindet, ist
   \begin{align*}
-    F(p + h) & = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_2} f(z)\, dz \\
+    F(p + h) & = \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz \\
-    & = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_2} f(z)\, dz \\
+    & = \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz \\
-    & \qquad - \bigl(\int_{\delta_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_2} f(z)\, dz + \int_{\delta_3} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz\bigr) \\
+    & \qquad - \bigl(\int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz + \int_{δ_3} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz\bigr) \\
-    & = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz - \bigl(\int_{\delta_3} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz\bigr) \\
+    & = \int_{γ_1} f(z)\, dz - \bigl(\int_{δ_3} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz\bigr) \\
-    & = F(p) - \int_{\delta_3} f(z)\, dz.
+    & = F(p) - \int_{δ_3} f(z)\, dz.
     \intertext{Also ist}
-    F(p+h) - F(p) & = -\int_{\delta_3} f(z)\, dz = \int_0^1 f(p + t \cdot h) \cdot h\, dt \\
+    F(p+h) - F(p) & = -\int_{δ_3} f(z)\, dz = \int_0¹ f(p + t · h) · h\, dt \\
   \end{align*}
   und damit
   \[
-    \lim_{h \to 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p).
+    \lim_{h → 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p).
   \]
   Zusammenfassung: Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $x$
-  differenzierbar und es ist $\frac{\partial F}{\partial x}(p) = f(p)$. Analog
+  differenzierbar und es ist $\frac{∂ F}{∂ x}(p) = f(p)$.  Analog beweist man:
-  beweist man: Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $y$
+  Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $y$ differenzierbar und es ist
-  differenzierbar und es ist $\frac{\partial F}{\partial y}(p) = i \cdot f(p)$.
+  $\frac{∂ F}{∂ y}(p) = i · f(p)$. Das hat zwei Konsequenzen.
-  Das hat zwei Konsequenzen.
   \begin{itemize}
     \item Weil $f$ stetig ist, haben wir gezeigt, dass $F$ stetig partiell
     differenzierbar ist, also total differenzierbar.
 
-    \item Es ist $\frac{\partial F}{\partial \overline{z}} = \frac{\partial
+    \item Es ist $\frac{∂ F}{∂ \overline{z}} = \frac{∂ F}{∂ x} + i \frac{∂ F}{∂
-    F}{\partial x} + i \frac{\partial F}{\partial y} = 0$. Also erfüllen die
+    y} = 0$.  Also erfüllen die partiellen Ableitungen von $F$ die
-    partiellen Ableitungen von $F$ die Cauchy-Riemann-Differenzialgleichungen.
+    Cauchy-Riemann-Differenzialgleichungen.
   \end{itemize}
   In der Summe sehen wir, dass $F$ komplex differenzierbar ist und dass $F' = f$
   gilt.
@@ -529,91 +529,88 @@ folgenden Art.
 
 \section{Homotopie von Wegen}
 
-Gegeben eine offene Menge $U \subset \bC$ und Punkte $z_0, z_1 \in U$, so
+Gegeben eine offene Menge $U ⊂ ℂ$ und Punkte $z_0, z_1 ∈ U$, so betrachten wir
-betrachten wir Wege, die $z_0$ und $z_1$ verbinden.  Anschaulich ist klar, dass
+Wege, die $z_0$ und $z_1$ verbinden.  Anschaulich ist klar, dass manche dieser
-manche dieser Wege stetig ineinander übergeführt werden können und andere nicht.
+Wege stetig ineinander übergeführt werden können und andere nicht.
 
 \begin{definition}[Homotopie von Wegen]\label{def:3-4-1}%
-  Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] \subset \bR$ ein kompaktes
+  Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] ⊂ ℝ$ ein kompaktes Intervall.
-  Intervall. Zwei stetige Wege
+  Zwei stetige Wege
   \[
-    \gamma_0: [a, b] \to U, \quad \gamma_1: [a, b] \to U 
+    γ_0: [a, b] → U, \quad γ_1: [a, b] → U
-    \quad\text{mit}\quad 
+    \quad\text{mit}\quad
-    \gamma_0(a) = \gamma_1(a), \quad \gamma_0(b) = \gamma_1(b)
+    γ_0(a) = γ_1(a), \quad γ_0(b) = γ_1(b)
   \]
   heißen \emph{homotop}\index{homotop}, wenn es stetige Abbildung
   \[
-    \Gamma: [a, b] \times [0, 1] \longrightarrow U
+    Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] \longrightarrow U
   \]
   gibt, sodass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
   \begin{itemize}
-    \item $\forall s \in [0, 1] : \Gamma(a, s) = \gamma_0(a) \text{ und } \Gamma(b, s) = \gamma_0(b)$
+    \item $\forall s ∈ [0, 1] : Γ(a, s) = γ_0(a) \text{ und } Γ(b, s) = γ_0(b)$
-    \item $\forall t \in [a, b] : \Gamma(t, 0) = \gamma_0(t) \text{ und } \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t)$.
+    \item $\forall t ∈ [a, b] : Γ(t, 0) = γ_0(t) \text{ und } Γ(t, 1) = γ_1(t)$.
   \end{itemize}
-  Eine Abbildung $\Gamma$ mit diesen Eigenschaften heißt \emph{Homotopie}\index{Homotopie}
+  Eine Abbildung $Γ$ mit diesen Eigenschaften heißt
-  zwischen den Wegen $\gamma_0$ und $\gamma_1$.
+  \emph{Homotopie}\index{Homotopie} zwischen den Wegen $γ_0$ und $γ_1$.
 \end{definition}
 
 In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} kann man die Homotopie als
-Familie von Wegen auffassen, $\gamma_s := \Gamma(\bullet, s)$, die stetig
+Familie von Wegen auffassen, $γ_s := Γ(•, s)$, die stetig zwischen den Wegen
-zwischen den Wegen $\gamma_0$ und $\gamma_1$ interpoliert.
+$γ_0$ und $γ_1$ interpoliert.
 
 \begin{definition}[Zusammenziehbare Wege und einfach zusammenhängende Räume]\label{def:3-4-2}%
-  Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] \subset \bR$ ein kompaktes
+  Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] ⊂ ℝ$ ein kompaktes Intervall.
-  Intervall. Ein \emph{geschlossener Weg}\index{geschlossener Weg} in $U$ ist
+  Ein \emph{geschlossener Weg}\index{geschlossener Weg} in $U$ ist ein stetiger
-  ein stetiger Weg
+  Weg
   \[
-    \gamma: [a, b] \to U \quad\text{mit}\quad \gamma(a) = \gamma(b).
+    γ: [a, b] → U \quad\text{mit}\quad γ(a) = γ(b).
   \]
   Ein geschlossener Weg heißt \emph{zusammenziehbar}\index{zusammenziehbar} oder
   \emph{kontrahierbar}\index{kontrahierbar}, wenn er homotop zu einem konstanten
-  Weg ist. Der Raum $U$ heißt \emph{wegweise einfach
+  Weg ist.  Der Raum $U$ heißt \emph{wegweise einfach
   zusammenhängend}\index{wegweise einfach zusammenhängend}, wenn jeder
   geschlossener Weg zusammenziehbar ist.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}[Zentrierte geschlossene Wege in der Kreisscheibe]
-  Es sei $U \subset \bC$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $\gamma_0: [a, b]
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $γ_0: [a, b] → U$ ein Weg
-  \to U$ ein Weg mit $\gamma_0(a) = \gamma_0(b) = 0$. Dann ist
+  mit $γ_0(a) = γ_0(b) = 0$.  Dann ist
   \[
-    \Gamma: [a, b] \times [0, 1] \to U, \quad (t, s) \mapsto (1 - t) \cdot \gamma_0(t)
+    Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] → U, \quad (t, s) ↦ (1 - t) · γ_0(t)
   \]
-  eine Homotopie zwischen dem Weg $\gamma_0$ und dem konstanten Weg $\gamma_1
+  eine Homotopie zwischen dem Weg $γ_0$ und dem konstanten Weg $γ_1 \equiv 0$.
-  \equiv 0$. Also ist $\gamma_0$ zusammenziehbar.
+  Also ist $γ_0$ zusammenziehbar.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Allgemeine geschlossene Wege in der Kreisscheibe]\label{bsp:3-4-4}%
-  Es sei $U \subset \bC$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $\gamma_0: [a, b]
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $γ_0: [a, b] → U$
-  \to U$ irgendein geschlossener Weg mit $\gamma_0(a) = \gamma_0(b) =: z$. Dann
+  irgendein geschlossener Weg mit $γ_0(a) = γ_0(b) =: z$.  Dann ist
-  ist
   \[
-    \Gamma: [a, b] \times [0, 1] \to U, \quad (t, s) \mapsto (1 - s) \cdot (\gamma_0(t) - z) + z
+    Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] → U, \quad (t, s) ↦ (1 - s) · (γ_0(t) - z) + z
   \]
-  eine Homotopie zwischen $\gamma_0$ und dem konstanten Weg $\gamma_1 \equiv z$.
+  eine Homotopie zwischen $γ_0$ und dem konstanten Weg $γ_1 \equiv z$. Also ist
-  Also ist die Kreisscheibe einfach zusammenhängend.
+  die Kreisscheibe einfach zusammenhängend.
 \end{bsp}
 
 \begin{bemerkung}[Konvexe Mengen sind einfach zusammenhängend]
   Der wesentliche Punkt in Beispiel~\ref{bsp:3-4-4} ist, dass die Bildmenge von
-  $\Gamma$ ganz in der Kreisscheibe enthalten ist. Die zum Beweis notwendige
+  $Γ$ ganz in der Kreisscheibe enthalten ist.  Die zum Beweis notwendige
   Rechnung verwendet allerdings nur, dass die Kreisscheibe konvex ist.
-  Tatsächlich sind alle konvexen Mengen wegweise einfach zusammenhängend.  
+  Tatsächlich sind alle konvexen Mengen wegweise einfach zusammenhängend. In
-  In nicht-konvexen Mengen können geschlossene Wege durchaus nicht
+  nicht-konvexen Mengen können geschlossene Wege durchaus nicht zusammenziehbar
-  zusammenziehbar sein.
+  sein.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}
   Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Wege mit festen
-  Anfangs- und Endpunkten. Insbesondere ist Homotopie reflexiv, symmetrisch und
+  Anfangs- und Endpunkten.  Insbesondere ist Homotopie reflexiv, symmetrisch und
   transitiv.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}
   Wir haben noch kein Kriterium dafür, dass eine Menge \emph{nicht} einfach
-  zusammenhängend ist.  Der Integralsatz von Cauchy wird uns aber bald ein solches
+  zusammenhängend ist.  Der Integralsatz von Cauchy wird uns aber bald ein
-  Kriterium liefern.
+  solches Kriterium liefern.
 \end{bemerkung}
 
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 % !TEX root = Funktionentheorie
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