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03-wegintegraleDiffbar.tex

@@ -583,8 +583,8 @@ einer Viertelungsargumentation basiert.
 
 \begin{satz}[Satz von Goursat]\label{satz:3-4-6}%
   \index{Satz von Goursat!über Wegintegrale}Es sei $U ⊆ ℂ$ offen, es sei $f ∈
-  𝒪(U)$ holomorph und sei $\mathcal{R} ⊂ G$ ein achsenparalleles Rechteck.
-  Dann gilt:
+  𝒪(U)$ holomorph und sei $\mathcal{R} ⊂ U$ ein achsenparalleles Rechteck. Dann
+  gilt:
   \begin{equation}\label{eq:3-4-6-1}
     \int_{∂ R} f(z) \, dz = 0
   \end{equation}
@@ -692,8 +692,8 @@ einer Viertelungsargumentation basiert.
 
   \paragraph{Schritt 6: Integralabschätzung}
 
-  Für hinreichend großes $n$ liegt $R^{(n)}$ ganz in der $δ$-Umgebung von $z_0$.
-  Für jedes $z ∈ ∂ R^{(n)}$ mit $|z - z_0| ≤ d_n = 2^{-n} d$ gilt dann
+  Für hinreichend großes $n$ liegt $R^{(n)}$ ganz in der $δ$-Um\-gebung von
+  $z_0$. Für jedes $z ∈ ∂ R^{(n)}$ mit $|z - z_0| ≤ d_n = 2^{-n} d$ gilt dann
   nach~\eqref{eq:3-4-6-7} die Ungleichung
   \begin{equation}\label{eq:3-4-6-8}
     |r(z)| ≤ ε · 2^{-n} d.
@@ -702,7 +702,6 @@ einer Viertelungsargumentation basiert.
   \begin{align*}
     \left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z) \, dz \right| &= \left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0) + r(z) \, dz \right| && \text{\eqref{eq:3-4-6-6}}\\
     & = \left|\int_{∂ R^{(n)}} r(z) \, dz \right| && \text{Beweis im Spezialfall} \\
-    & = \int_{∂ R^{(n)}} \left|r(z) \right| \, dz && \text{Dreiecksungleichung} \\
     & ≤ \int_{∂ R^{(n)}} \left|r(z) \right| \, dz && \text{Dreiecksungleichung} \\
     & ≤ \max_{z ∈ ∂ R^{(n)}} |r(z)| · U_n && \text{Monotonie} \\
     & ≤ ε · 2^{-n}·d·U_n && \text{\eqref{eq:3-4-6-7}} \\

04-wegintegraleStetig.tex

@@ -5,6 +5,8 @@
 
 \section{Wegintegrale}
 
+\sideremark{Vorlesung 6}
+
 In Definition~\ref{def:3-2-1} haben wir Wegintegrale nur für stetig
 differenzierbare Wege definiert.  In vielen Situationen ist es aber nützlich,
 Wegintegrale auch für stetige Wege zu definieren.  Als Vorbereitung erinnern wir
@@ -185,8 +187,6 @@ $γ_0$ und $γ_1$ interpoliert.
 
 \section{Der Integralsatz von Cauchy}
 
-\sideremark{Vorlesung 6}
-
 Nach den vorhergehenden Abschnitten werden Sie sich schon denken, was jetzt
 kommt: Wegintegrale über homotope Wege sind gleich.  Der folgende Satz stellt
 dies präzise dar.