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12-residuum.tex

@@ -52,8 +52,8 @@ Der Begriff „Umlaufzahl“ präzisiert die in \ref{bem:12-0-2} gemachte
 Beobachtung.
 
 \begin{satz}[Umlaufzahl]\label{satz:12-2-1}%
-  Sei $p ∈ ℂ$ und $γ: [0,1] → ℂ ∖ \{p\}$ ein geschlossener Weg.  Dann gibt es
-  genau eine Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
+  Sei $p ∈ ℂ$ und $γ: [0,1] → ℂ ∖ \{p\}$ ein stetiger, geschlossener Weg.  Dann
+  gibt es genau eine Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
   \[
     [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ p + \exp(2π int)
   \]
@@ -156,4 +156,106 @@ deren Gültigkeit an.  Details sind Inhalt der Vorlesung „Topologie“.
   Damit ist die Goldene Regel 3 zumindest halbwegs gerechtfertigt.
 \end{proof}
 
+
+\subsection{Beweis des Satzes~\ref*{satz:12-2-1} über die Umlaufzahl}
+
+Wir bewiesen Satz~\ref{satz:12-2-1} in mehreren Schritten.
+
+\begin{bemerkung}
+  Nach Anwendung einer geeigneten Verschiebung können wir ohne Beschränkung der
+  Allgemeinheit annehmen, dass $p$ der Nullpunkt ist, $p = 0$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{behauptung}[Existenz eines Logarithmus-Wegs]\label{beh:12-2-3}%
+  Sei $a ∈ ℂ$ ein Logarithmus von $γ(0)$ (das bedeutet: $\exp(a) = γ(0)$).  Dann
+  gibt es einen stetigen Weg $\widetilde{γ}: [0,1] → ℂ$ mit  $\widetilde{γ}(0) =
+  a$, sodass für jedes $t \in [0,1]$ die Gleichung
+  \[
+    γ(t) = exp \bigl( \widetilde{γ}(t) \bigr)
+  \]
+  gilt.
+\end{behauptung}
+\begin{proof}[Beweis von Behauptung~\ref{beh:12-2-3}]
+  Einige Fälle sind einfach.
+  \begin{itemize}
+  \item Falls $\Bild(γ)$ ganz in der geschlitzten Ebene $S \subseteq \bC$ liegt,
+    nehmen wir
+    \[
+      \widetilde{γ}(t) = \log (γ(t)) + 2π i k.
+    \]
+    Dabei ist $\log$ der Hauptzweig des Logarithmus und $k ∈ ℤ$ ist so gewählt,
+    dass $\widetilde{γ}(0) = a$ ist.
+  
+  \item Falls $\Bild(γ)$ ganz in $-S \subseteq \bC$ liegt, können wir analog
+    vorgehen.
+  \end{itemize}
+  Im Allgemeinen wird das Bild von $\gamma$ weder in $S$ noch in $-S$ liegen.
+  Dann zerlegen wir das Intervall $[0,1]$ durch Zwischenpunkte, $0 = t_0 < t_1 <
+  … < t_r = 1$ so, dass $γ([t_{i-1}, t_i])$ jeweils in einem $S$ oder in $-S$
+  enthalten ist.  Wähle dann induktiv Logarithmus-Wege
+  \[
+    \widetilde{γ}_i: [t_{i-1}, t_i] → ℂ
+    \quad\text{mit}\quad
+    \widetilde{γ}_i(t_{i-1}) = 
+    \begin{cases}
+      a & \text{falls } i = 1 \\
+      \widetilde{γ}_{i-1}(t_{i-1}) & \text{sonst}
+    \end{cases}
+  \] 
+  und erhalte durch Zusammenfügen der Wege $\widetilde{γ}_i$ den gewünschten Weg
+  $\widetilde{γ}$.
+\end{proof}
+
+\begin{behauptung}[Existenz von $n$]\label{beh:12-2-4}%
+  Es gibt eine Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
+  \[
+    \delta_n : [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ \exp(2πin·t)
+  \]
+  ist.
+\end{behauptung}
+\begin{proof}[Beweis von Behauptung~\ref{beh:12-2-4}]
+  Es ist
+  \[
+    \exp(\widetilde{γ}(0)) = γ(0) = γ(1) = \exp(\widetilde{γ}(1)).
+  \]
+  Also ist $\widetilde{γ}(1) - \widetilde{γ}(0) ∈ \ker(\exp) = 2π i ℤ$. Demnach
+  gibt es eine Zahl $n ∈ ℤ$ mit
+  \[
+    \widetilde{γ}(1) = \widetilde{γ}(0) + 2π i·n.
+  \]
+  Wir erinnern uns daran, dass der Topologische Raum $\bC$ einfach
+  zusammenhängend ist.  Daher ist der  $\widetilde{γ}$ in $ℂ$ homotop zu jedem
+  anderen Weg mit denselben Anfangs- und Endpunkt.  Insbesondere ist
+  $\widetilde{γ}$ homotop zu
+  \[
+  β: [0,1] → ℂ, \quad t ↦ \widetilde{γ}(0) + 2πin·t.
+  \]
+  Also ist der Weg $γ = \exp \circ \widetilde{γ}$ in $\bC^*$ homotop zu 
+  \[
+    \exp \circ β: [0,1] → ℂ, \quad t ↦ γ(0)·\exp(2πin·t).
+  \]
+  Dieser Weg wiederum ist in $ℂ^*$ frei homotop zu $\delta_n$.  Damit ist die
+  Existenz von $n$ gezeigt.
+\end{proof}
+
+\begin{behauptung}[Eindeutigkeit von $n$]\label{beh:12-2-5}%
+  Es gibt genau Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
+  \[
+    \delta_n : [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ \exp(2πin·t)
+  \]
+  ist, nämlich 
+  \[
+    n = \frac{1}{2π i} \int_{γ} \frac{1}{z} \, dz.
+  \]
+\end{behauptung}
+\begin{proof}[Beweis von Behauptung~\ref{beh:12-2-5}]
+  Sei  $n$ eine Zahl mit der Eigenschaft, dass $γ$ frei homotop zu $\delta_n$
+  ist.  Dann ist 
+  \begin{align*}
+    n & = \frac{1}{2π i} \int_{\delta_n} \frac{1}{z} \, dz && \text{Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}} \\
+    & = \frac{1}{2π i} \int_{β} \frac{1}{z} \, dz. && \text{Satz~\ref{satz:4-3-6}.}
+  \end{align*}
+  Damit ist die Zahl $n$ eindeutig bestimmt.
+\end{proof}
+
 % !TEX root = Funktionentheorie