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\selectlanguage{german}
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\chapter{Zerfällungskörper}
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Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von „Symmetrie“ gesprochen und
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dabei als Beispiel immer nur die Konjugationsabbildung der komplexen Zahlen
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diskutiert. Das ist ein bisschen dünn. Wir brauchen mehr Beispiele!
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Tatsächlich liefert fast jedes Polynom ein interessantes Beispiel, den
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Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt.
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\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf}%
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Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Ein
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Oberkörper $L/K$ heißt \emph{Zerfällungskörper von
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$f$}\index{Zerfällungskörper}, falls Folgendes gilt.
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\begin{itemize}
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\item Das Polynom $f ∈ L[x]$ zerfällt in Linearfaktoren. Mit anderen Worten:
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es gibt Elemente $a, a_1, …, a_n ∈ L$, sodass die Gleichheit
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$f=a·(x-a_1)⋯(x-a_n)$ gilt.
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\item Mit der Notation von oben gilt $L = K(a_1, …, a_n)$.
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\end{itemize}
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}
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Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die
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Nullstellen des Polynoms $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente
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$a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung.
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\end{bemerkung}
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Der folgende Satz fasst die ersten Eigenschaften von Zerfällungskörpern
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zusammen.
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\begin{satz}\label{satz:13-0-3}
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Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.
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Dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item Das Polynom $f$ besitzt einen Zerfällungskörper.
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\item Je zwei Zerfällungskörper von $f$ sind $K$-isomorph. Genauer: Wenn
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$K_1/K$ und $K_2/K$ zwei Zerfällungskörper von $f$ sind, dann gibt es einen
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$K$-Isomorphismus $K_1 → K_2$.
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\item Ist $L$ ein Zerfällungskörper von $f$, dann ist $[L:K] ≤ (\deg f)!$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{13-3}
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\end{proof}
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Zerfällungskörper sind also eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Wie
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schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von „dem“
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Zerfällungskörper gesprochen.
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\begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper]
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Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Wenn
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ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann zeigt der
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Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper kommt.
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Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ „lediglich“ die Nullstellen $a_1, …, a_n$
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bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen.
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\end{bemerkung}
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Ein wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen
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Körper $K$ und zu einem gegebenen Polynom $f ∈ K[x]$ den Zerfällungskörper zu
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bestimmen. Dabei ist mit „bestimmen“ meistens gemeint, dass man den
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Erweiterungsgrad des Zerfällungskörpers bestimmen und ein möglichst kleinen Satz
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von möglichst einfachen Erzeugern angeben soll. Meistens ist in diesen
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Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der
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komplexen Zahlen konstruieren wird.
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\begin{bsp}
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Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x²-2 ∈ ℚ[x]$. Dann ist
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$L = ℚ(\sqrt 2,-\sqrt2) = ℚ(\sqrt2) ⊆ ℝ$ ein Zerfällungskörper
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von $f$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Betrachte die komplexe Zahl
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$ξ := e^{\frac{2π i}{3}}$. Dann sind die komplexen Zahlen
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$a_0 := \sqrt[3]{2}$, $a_1 := ξ·\sqrt[3]{2}$ und $a_2 := ξ_3²·\sqrt[3]{2}$
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genau die komplexen Nullstellen von $f$. Also ein Zerfällungskörper gegeben
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durch
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\[
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L = ℚ(a_0, a_1, a_2) = ℚ \Bigl(\sqrt[3]{2}, ξ \Bigr).
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\]
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Wir wissen sofort, dass
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\[
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[L : ℚ] ≤ 3! = 6,
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\]
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ist, aber wie groß ist der Grad wirklich? Wir überlegen, dass $[ℚ
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\bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$. Also gilt $3| [L:Q]$ und man muss
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lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist. Das ist aber nicht der Fall,
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denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$. Also ist $[L:ℚ] =6$.
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\end{bsp}
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\section{Symmetrien, schon wieder}
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\label{sec:13-1}
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\sideremark{Vorlesung 14}Ich komme zu meinem Lieblingsthema zurück. Jetzt kann
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ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von „Symmetrien“ auf
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sich hat.
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\begin{situation}\label{sit:gal}
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Es sei $K$ ein Körper, es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom und es
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sei $L/K$ ein Zerfällungskörper von $f$. Weiter seien $a_1, …, a_n$ die
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Nullstellen von $f$ in $L$.
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\end{situation}
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Ich frage: wie viele $K$-Morphismen $\varphi: L → L$ gibt es? Die folgenden
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beiden Beobachtungen klären die Frage fast vollständig. Die Beobachtungen
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zeigen auch, dass es sich bei der Frage um ein kombinatorisches Problem handelt,
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das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
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\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen geben Permutationen]\label{beob:p1}
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In Situation~\ref{sit:gal} sei $\varphi: L → L$ ein $K$-Morphismus. Schreibe
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$f(x) = \sum b_i·xⁱ$. Wenn $a_• ∈ L$ eine der Nullstellen von $f$ ist, dann
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ist
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\begin{align*}
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0 & = \varphi(0) = \varphi\Bigl(\sum b_i·a_•ⁱ \Bigr) \\
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& = \sum \varphi(b_i)·\varphi(a_•)ⁱ && \text{$\varphi$ ist Körpermorphismus}\\
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& = \sum b_i·\varphi(a_•)ⁱ && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $b_i ∈ K$}\\
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& = f\bigl(\varphi(a_•)\bigr).
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\end{align*}
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Wir erkennen: die Abbildung $\varphi$ bildet Nullstellen von $f$ auf
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Nullstellen von $f$ ab. Wir erhalten also einen Gruppenmorphismus
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\begin{equation}\label{eq:jtzrtt}
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\Bigl\{ K\text{-isomorphismen } L → L \Bigr\} →
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\Bigl\{ \text{Permutationen der Menge } \{ a_1, …, a_n \} \Bigr\}.
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\end{equation}
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\end{beobachtung}
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\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen sind durch Permutationen eindeutig beschrieben]\label{beob:p2}
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In Situation~\ref{sit:gal} wissen wir schon, dass $L = K(a_1, …, a_n)$ ist.
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Ich kann also jedes Element $ℓ ∈ L$ als endliche Summe schreiben,
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\[
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ℓ = \sum β_{i_1,…,i_n}·a^{i_1}_1⋯ a^{i_n}_n, \quad \text{wobei }
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β_{•, …, •} ∈ K.
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\]
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Wenn ich jetzt einen $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ habe, dann ist
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\begin{align*}
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\varphi(ℓ) & = \sum \varphi(β_{i_1,…,i_n})·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n} \\
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& = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}. && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$.}
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\end{align*}
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Wir erkennen: Der $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ ist eindeutig dadurch
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festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet! Die
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Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die
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„Symmetriegruppe“ von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$ als
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Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen.
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\end{beobachtung}
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\section{Ringadjunktion}
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Ich würde jetzt gern weiter über Symmetrien schreiben, weil ich das Thema so
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gern mag. Geht aber nicht, denn auf dem Lehrplan steht jetzt erst einmal wieder
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ein wenig Sprache.
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\begin{notation}[Polynomring in unendlich vielen Variablen]
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Es sei $R$ ein Ring und es sei $Λ$ eine Menge. Dann bezeichne
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$R\bigl[(x_λ)_{λ ∈ Λ}\bigr]$ den Polynomring in den (eventuell unendlich
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vielen) Variablen $(x_λ)_{λ∈ Λ}$.
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\end{notation}
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Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser Stelle den
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Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren. Ich
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finde das aber arg formell und hoffe, Sie verzeihen mir, wenn ich das jetzt
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einfach mal nicht mache. Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer
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\emph{endliche} Summen sind. Insbesondere treten in jedem einzelnen Polynom
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immer nur endlich viele Variablen auf.
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\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:ringad}
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Es sei $S$ ein Ring und es sei $R ⊂ S$ ein Unterring. Weiter sei
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$(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Familie von Elementen aus $S$. Dann bezeichnet man mit
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$R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ das Bild von $R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ unter
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dem Substitutionsmorphismus
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\[
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R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr] → S, \quad f(x_{λ_1}, …, x_{λ_m}) ↦
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f(a_{λ_1}, …, a_{λ_m})
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\]
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Man sagt, der Unterring $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊂ S$ entsteht aus
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$R$ durch \emph{Adjunktion} der Elemente $(a_λ)_{λ∈Λ}$. Den Vorgang nennt
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man \emph{Ringadjunktion}\index{Ringadjunktion}.
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\end{defn}
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\begin{beobachtung}
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In der Situation von Definition~\ref{def:ringad} gilt: Ein Element $s ∈ S$ ist
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genau dann in $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ enthalten, wenn es endlich viele
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Elemente $λ_1, …, λ_n ∈ Λ$ und eine Darstellung
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\[
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s = \sum β_{1,…, n}·a^{i_1}_{λ_1}⋯ a^{i_n}_{λ_n}, \quad \text{mit }
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β_{•, …, •} ∈ K
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\]
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gibt. Genau wie bei der Körperadjunktion ist $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ der
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kleinste Unterring von $S$, der $R$ und alle $a_λ$ enthält.
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\end{beobachtung}
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\subsection{Ringadjunktion vs.~Körperadjunktion}
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Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von $L$,
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dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper
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$K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)$ vergleichen. Offenbar gilt immer
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\[
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K ⊆ K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊆ K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)
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⊆ L.
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\]
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Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht. Die Sätze klären auch
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noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert
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$\sqrt{5}$“ mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet. Schauen Sie sich vielleicht
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auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
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\begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Teilmenge
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von $L$. Dann ist
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\begin{equation*}
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K \bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) = Q\Bigl(K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]\Bigr),
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\end{equation*}
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wobei $Q(⋯)$ den Quotientenkörper bezeichnet.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Wir wissen schon, dass $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ der kleinste Unterring des
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Körpers $L$ ist, der $K$ und $(a_λ)_{λ∈Λ}$ enthält. Gemäß der universellen
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Eigenschaft ist der Quotientenkörper der kleinste Körper, der
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$K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ enthält, also gleich $K\bigl((a_λ)_{λ∈Λ}\bigr)$.
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\end{proof}
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\begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Ein Element $a ∈ L$ ist genau dann
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algebraisch, wenn $K(a) = K[a]$ ist.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Es gibt zwei Fälle. Wenn $a$ algebraisch ist, dann wissen wir schon, dass wir
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$K(a)$ schreiben können als
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\begin{equation*}
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K(a) = K + K·a + ⋯ + K·a^{n-1}
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\end{equation*}
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wobei $n= [a : K]$ ist. Also ist $K(a) = K[a]$. Wenn das Elemente $a$
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transzendent ist, dann ist $K[x] ≅ K[a]$ kein Körper und deshalb ist
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$K[a] ≠ K(a)$.
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\end{proof}
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\begin{kor}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es seien $a_1, …, a_n∈ L$. Dann sind
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folgende Aussagen äquivalent.
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\begin{itemize}
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\item Es ist $K(a_1, …, a_n) = K[a_1, …, a_n]$.
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\item Alle Elemente $a_1, …, a_n$ sind algebraisch über $K$.
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\end{itemize}
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Induktion nach $n$ und der Korollar~\vref{kor:TdA} („Transitivität der
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Algebraizität“).
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}[Endlichkeit ist wichtig]
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Für beliebige Körpererweiterungen $L/K$ und beliebige Teilmengen $(a_λ)_{λ∈Λ}
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⊂ L$ ist die Äquivalenz
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\begin{equation*}
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K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) = K\bigr[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr] \quad⇔\quad\text{alle $a_λ$ sind algebraisch}
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\end{equation*}
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ganz falsch. Also sowas von falsch. \textbf{Falsch!!} Als Beispiel nehme man
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die ganz-und-gar-nicht-algebraische Körpererweiterung $ℂ/ℚ$ und betrachte die
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Menge $(λ)_{λ ∈ ℂ}$.
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\end{bemerkung}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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