Fix typo

.gitmodules

@@ -0,0 +1,6 @@
+[submodule "bibliography"]
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+	url = git@git.cplx.vm.uni-freiburg.de:kebekus/bibliography.git
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+	path = tex
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.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -29,3 +29,183 @@ Beutelspacher
 Erlärvideo
 nullteilerfrei
 nullteilerfreien
+Transzendenzbeweis
+Lorettoberg
+Normiertheit
+hinzuadjungieren
+Algebraizität
+Gerolamo
+Cardano
+Girolamo
+Cardanus
+Mediolanensis
+Cardan
+Nicolo
+Tartaglia
+Scipione
+del
+Ferro
+Radikalerweiterung
+Teilbarkeitsfragen
+Polynom-
+Teilbarkeitsüberlegungen
+schrecklicherweise
+Teilerkette
+Teilerkettensatz
+Bryn
+Mawr
+prim
+faktoriell
+UFD
+faktorieller
+Repräsentantensystem
+Teilbarkeitseigenschaften
+kgV
+faktoriellen
+Geodät
+Quotientenkörper
+Quotientenkörpers
+Irreduzibilitätskriterien
+Irreduzibilitätskriterium
+Teilbarkeitsbetrachtungen
+Teilerpolynome
+Lodovico
+Lagrangia
+Interpolationsformel
+Schönemann
+Driesen
+Friedebergischer
+reduzibel
+Einsetzungskomposition
+Substitutionsmorphismus
+Konstruierbarkeitsfragen
+konjungierte
+konstruierbare
+Konstruierbarkeitsfrage
+transzendent
+Rechtsideale
+Sorau
+Dedekind
+nicht-faktoriellen
+Hauptideale
+Erzeugendensysteme
+Gödelschen
+Erzeugendensystems
+Erzeugendensystem
+Teiler-
+Hauptidealen
+Faktorialität
+Quotientenvektoraumes
+Quotientenvektorräumen
+Quotientenvektorräume
+Quotientenring
+Repräsentantensystems
+Homomorphiesatzes
+Homomorphiesatz
+Quotientenabbildung
+Urbildmenge
+Primideale
+Primideals
+Primideal
+Summenideal
+Teilerfremdheit
+Funktionenkörper
+Kodierungstheorie
+Substitutionsabbildung
+Steinitz
+Laurahütte
+nicht-Kanonizität
+Zerfällungskörpern
+inseparable
+Teilbarkeitsrelationen
+Frobenius-Morphismus
+Frobenius-Endomorphismus
+Einselements
+separabel
+inseparabel
+Separabilität
+Substitutionsmorphismen
+Separabilitätsgrad
+inseparablen
+Galoiserweiterung
+Quotientengruppe
+Galoisgruppen
+Signumsabbildung
+Kleinsche
+Primzahlordnung
+Klassifikationssatzes
+Klassifikationsprogramms
+Solomon
+Gorenstein
+.ten
+.ter
+.te
+.tes
+Primteiler
+Galoisch
+Fermatsche
+Fermatzahl
+Bunsenstraße
+Courant
+Foliaten
+Koeffizientenschemata
+Gauss
+MSRI
+Galoissche
+Bourg-la-Reine
+quadratfreie
+Évariste
+Galoisschen
+Galoiserweiterungen
+Konjugation
+galoiskonjugierten
+Nichtkonstruierbarkeitsbeweisen
+Nichtkonstruierbarkeitsbeweise
+Fixkörper
+Artin
+Automorphismengruppe
+Frobeniusmorphismus
+Fixkörperkonstruktion
+Äquivalenzklassen
+Sylow
+Primzahlpotenzteiler
+Christiania
+Cauchy
+Bahnengleichung
+Sceaux
+Sylowuntergruppe
+Sylowuntergruppen
+Normalisator
+Camille
+Zykel
+Signums-Abbildung
+Sylow-Satz
+Isotropiegruppe
+Moduln
+Torsionsanteil
+Feb
+Radikalerweiterungen
+Gradformel
+Legendre-Symbol
+Repräsentantenniveau
+Identifikationen
+Legendre-Symbole
+Summationsreihenfolge
+Legendre-Symbolen
+uninspirierend
+Zornschen
+Bloomington
+Helsingfors
+Bahnenraum
+Stabilisatorgruppen
+Zentralisator
+Untergruppen
+Leonhardus
+Eulerus
+Diedergruppe
+Beaumont-de-Lomagne
+Département
+Tarn-et-Garonne
+Castres
+inklusionsumkehrend
+indexerhaltend

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -13,3 +13,86 @@
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QVorlesung 2 Ein Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt Schiefkörper, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q invertierbar sind, wenn also \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Unterring, aber kein Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Minimaler Grad] Zuerst betrachten wir nur solche Polynome, deren Grad minimal ist unter allen nicht-konstanten Polynomen, die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als Nullstelle haben.\\E$"}
+{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 3 3-1 und 3-2.\\E$"}
+{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann bildet die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist algebraisch über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q einen Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, genannt der algebraische Abschluss von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q im Oberkörper \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3-6\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QErklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, etc. Nach Korollar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q können wir schreiben \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QAus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q folgt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein kommutativer Ring und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q seien Elemente.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"}
+{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 6\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\QggT und kgV.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann, wenn für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWenn Sie bei mir die Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende Definition sehr vertraut vorkommen.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringhomomorphismus, dann ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringmorphismus.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QSetze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q [Substitutionsmorphismus] Es sei ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten] Ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringhomomorphismus, dann ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringmorphismus.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch verzichte deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so geht, wie in der Linearen Algebra“.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QStellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung „Lineare Algebra“ erinnern.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QGenau wie die Quotientenvektorräume der Linearen Algebra sind Restklassenringe durch folgende universelle Eigenschaft definiert.\\E$"}
+{"rule":"DE_SUBJECT_VERB_AGREEMENT","sentence":"^\\QEin Restklassenring oder Quotientenring ist ein kommutativer Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q mit Eins zusammen mit einem Ringmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist und so, dass die folgende universelle Eigenschaft gilt: ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein weiterer Ringmorphismus mit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau einen Ringmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass das folgende Diagramm kommutiert, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QErinnerung an die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q = Menge der Äquivalenzklassen\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen Eigenschaft.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Wie sieht der Kern von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus?] Ein Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist offenbar genau dann im von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Kern, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QFür den Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDer Chinesische Restsatz.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDer Chinesische Restsatz ist langweilig, darf aber in keiner Vorlesung fehlen und kommt auch in den allermeisten Klausuren und Prüfungen vor.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind, dann ist diese notwendige Bedingung automatisch erfüllt, und der Chinesische Restsatz sagt, dass das Gleichungssystem dann auch lösbar ist.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ist der kanonische Ringhomomorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QAdd.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDer Körper der algebraischen Zahlen, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein algebraischer Abschluss \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QIn einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma zeigen, dass diese naive Idee tatsächlich trägt.\\E$"}
+{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QZorn's Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in diesem Teil der Vorlesung?.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEin wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen Körper \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und zu einem gegebenen Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q den Zerfällungskörper zu bestimmen.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir erhalten also einen Gruppenmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-isomorphismen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QPermutationen der Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn alles 100%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn alles 100%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser Stelle den Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Sätze klären auch noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q adjungiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q“ mit QQ[sqrt(5)] bezeichnet.\\E$"}
+{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QFür beliebige Körpererweiterungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und beliebige Teilmengen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist die Äquivalenz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind algebraisch ganz falsch.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTES_AUSRUFEZEICHEN","sentence":"^\\QFalsch!!\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Ist mir zu langweilig.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann gilt nach dem Chinesischen Restsatz, Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QFür alle Tupel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von paarweise verschiedene Primzahlen und alle Tupel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QFür jede Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Aussage über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist trivial.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QAußerdem sind linke und rechte Seite von Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q normiert.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QPrimzahlen der Form \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißen Fermatsche PrimzahlenIm August 1640 vermutete Fermat, dass alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q?.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es?.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QHatten Sie sich gewundert, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q adjungiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q“ mit QQ[sqrt(5)] bezeichnet?\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWohin geht die Reise?.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qquadratfrei = kein Primteiler tritt doppelt auf\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.p.-Gruppen und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.p.-Sylowuntergruppen.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QAlso ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QSatz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Mit den gleichen Voraussetzungen wie in Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q den Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q teilt, dann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDie Antwort kennen Sie wahrscheinlich aus der Vorlesung „Lineare Algebra II“, wo man diese Frage im Zusammenhang mit der Konstruktion von Jordan-Basen diskutiert.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 12:] Die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q der geraden Permutationen, also der Kern der Signums-Abbildung, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, ist eine Untergruppe von Ordnung 12.\\E$"}
+{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 12:] Die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q der geraden Permutationen, also der Kern der Signums-Abbildung, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, ist eine Untergruppe von Ordnung 12.\\E$"}
+{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
+{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.\\E$"}
+{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.\\E$"}
+{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QPartition Repräsentant Geometrische Anschauung Ordnung Anzahl der Elemente in der Konjugationsklasse abcd () Identität 1 1 aabc (12) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 4 2=6 aabb (12)(34) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 6/2 = 3 aaab (123) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3 4· 2 = 8 aaaa (1234) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 4 3· 2 = 6 Konjugationsklassen in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
+{"rule":"LEERZEICHEN_RECHENZEICHEN","sentence":"^\\QPartition Repräsentant Geometrische Anschauung Ordnung Anzahl der Elemente in der Konjugationsklasse abcd () Identität 1 1 aabc (12) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 4 2=6 aabb (12)(34) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 6/2 = 3 aaab (123) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3 4· 2 = 8 aaaa (1234) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 4 3· 2 = 6 Konjugationsklassen in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
+{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.n.-Ecks.\\E$"}
+{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QDann schreibe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q quadratischer Rest modulo \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q quadratischer Nichtrest modulo \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Vielfaches von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDas Buch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nennt 196 unterschiedliche, publizierte Beweise; die Autorenliste ist ein Who-is-Who der Mathematik seit Gauß und Euler.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Behauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ungerade.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWas ist in dieser Vorlesung eigentlich passiert?.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QIch hatte oben geschrieben „[Der Hauptsatz der Galoistheorie] reduziert die Frage nach Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem“.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qfür alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\Q“Restklassengruppen” oder “Gruppenquotienten” kennen wir schon lange.\\E$"}
+{"rule":"DE_SUBJECT_VERB_AGREEMENT","sentence":"^\\QEine Restklassengruppe oder Gruppenquotient ist eine Gruppe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammen mit einem Gruppenmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist und so, dass folgende universelle Eigenschaft gilt.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Untergruppen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind leicht zu bestimmen.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15. April 1707 in Basel; † 7. Septemberjul./ 18. September 1783greg.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Gruppe der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Ecks.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie vollständige Symmetriegruppe des \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Ecks enthält neben Drehungen noch Spiegelungen.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Gruppe der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.ten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Ecks.\\E$"}
+{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\QNach Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (“Satz von Lagrange”) ist die Ordnung von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, also die Größe der von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q erzeugten Untergruppe, ein Teiler von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

01.tex

@@ -123,7 +123,7 @@ zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist!
   $s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen sind.
   Die Vorüberlegung zeigt aber, dass
   \begin{equation*}
-    d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ^+}·s
+    d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ⁺}·s
   \end{equation*}
   die Kantenlänge eines kleineren $5$-Ecks ist, das eine Sekante der Länge $a$
   hat.  Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist.

03.tex

@@ -3,9 +3,6 @@
 
 \chapter{Algebraische und transzendente Elemente}
 
-Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
-\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
-bereitgestellt.
 
 \section{Körpererweiterungen}
 
@@ -20,32 +17,32 @@ nicht alle Elemente des größeren Körpers gleich sind.
   \begin{itemize}
   \item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie
     \emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben deren
-    Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen ``algebraisch''.
+    Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen „algebraisch“.
     
-  \item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von
-    Polynomen kommen --- diese Zahlen heißen ``transzendent''.
+  \item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von Polynomen
+    kommen --- diese Zahlen heißen „transzendent“.
   \end{itemize}
 \end{beobachtung}
 
 Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst
 einmal ein wenig Sprache fällig.
 
-\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}
+\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}%
   Es sei $K$ ein Körper.  Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit
   Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring}
 \end{definition}
 
 \begin{warnung}[Polynome und Funktionen]
   In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine
-  Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen!
-  Im Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
-  Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele
-  Abbildungen von $K$ nach $K$!
+  Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen!  Im
+  Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
+  Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele Abbildungen
+  von $K$ nach $K$!
 \end{warnung}
 
 \begin{bsp}[Polynomring]
-  Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$.  Das Polynom
-  $π·x + e$ liegt in $ℝ[x]$.
+  Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$.  Das Polynom $π·x + e$ liegt
+  in $ℝ[x]$.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Polynomring]
@@ -57,7 +54,7 @@ einmal ein wenig Sprache fällig.
   ein typisches Polynom aus $K[x]$.
 \end{bsp}
 
-Die korrekte Definition von ``algebraisch'' und ``transzendent'' ist jetzt die
+Die korrekte Definition von „algebraisch“ und „transzendent“ ist jetzt die
 Folgende.
 
 \begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente]
@@ -81,11 +78,11 @@ Folgende.
   algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist.  Der
   Freiburger Mathematiker Ferdinand
   Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl
-      Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.  April
-    1852 in Hannover; † 6.  März 1939 in München) war ein deutscher
-    Mathematiker.  Lindemann hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem
-    Spaziergang auf dem Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten
-  Arbeit \cite{MR1510165}, dass die Zahl $π$ transzendent ist.
+  Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.~April 1852 in
+  Hannover; † 6.~März 1939 in München) war ein deutscher Mathematiker.  Lindemann
+  hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem Spaziergang auf dem
+  Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten Arbeit \cite{MR1510165},
+  dass die Zahl $π$ transzendent ist.
 \end{bsp}
 
 
@@ -95,22 +92,22 @@ Der Zahlentheoretiker interessiert sich natürlich besonders für die
 Körpererweiterung $ℂ/ℚ$.  Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert.
 
 \begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen]
-  Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man
-  \emph{algebraische Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}.  Die anderen Elemente
-  heißen \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
+  Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man \emph{algebraische
+  Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}.  Die anderen Elemente heißen
+  \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
 \end{defn}
 
 Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen.  Der folgende Satz zeigt, dass
 jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen
 enthält.
 
-\begin{satz}\label{satz:3-2-2}
+\begin{satz}\label{satz:3-2-2}%
   Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit
-  Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar.  Jedes Polynom hat aber nur
-  endlich viele Nullstellen.
+  Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar.  Jedes Polynom hat aber nur endlich
+  viele Nullstellen.
 \end{proof}
 
 
@@ -142,9 +139,9 @@ enthält.
 
 \section{Das Minimalpolynom}
 
-Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
-Per Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle
-hat.  Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
+Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.  Per
+Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat.
+Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
 irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das
 ebenfalls $a$ als Nullstelle hat.  Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$
 als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar
@@ -160,7 +157,7 @@ Zusatzbedingungen stellt.
     f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x]
   \end{equation*}
   ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung:
-    ``normiert'' bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
+    „normiert“ bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
   \begin{equation*}
     \frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x]
   \end{equation*}
@@ -194,9 +191,9 @@ Grad von $f_1$!
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
-  Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$.  Dann ist
-  $[a:ℚ] ≤ 3$, denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms
-  $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Aber ist $f$ auch das Minimalpolynom?
+  Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$.  Dann ist $[a:ℚ] ≤ 3$,
+  denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Aber ist $f$ auch
+  das Minimalpolynom?
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}
@@ -209,9 +206,9 @@ Grad von $f_1$!
 \end{beobachtung}
 
 \begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel]
-  Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$).  Weiter
-  sei $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: es gilt die
-  Gleichung $a² = b$).  Dann gilt
+  Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$).  Weiter sei
+  $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: Es gilt die Gleichung
+  $a² = b$).  Dann gilt
   \[
     [a:K] =
     \left\{
@@ -247,12 +244,12 @@ Definition.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
-  Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder
-  endlich-dimensionale $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
+  Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder endlich-dimensionale
+  $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
 \end{bsp}
 
-\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}
-  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$.  Dann gilt die
+\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}%
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$.  Dann gilt die
   Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3}
 \end{satz}
 \begin{proof}
@@ -264,11 +261,11 @@ Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}; wir wiederholen die Argumentation deshalb an
 dieser Stelle nicht.
 
 \begin{kor}
-  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$.  Falls $[a:K] < ∞$
-  ist, dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$.  \qed
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$.  Falls $[a:K] < ∞$ ist,
+  dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$.  \qed
 \end{kor}
 
-\begin{kor}\label{kro:eord}
+\begin{kor}\label{kro:eord}%
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom
   Grad $n$.  Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als
   \[
@@ -278,10 +275,10 @@ dieser Stelle nicht.
 \end{kor}
 
 Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$
-schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als
-$b = c_0 + c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind.  Das ist ziemlich
-nützlich!  Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für
-beliebige einfache Körpererweiterungen.
+schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als $b = c_0 +
+c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind.  Das ist ziemlich nützlich!
+Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für beliebige
+einfache Körpererweiterungen.
 
 
 \section{Ketten von Körpererweiterungen}
@@ -291,11 +288,10 @@ haben, und dann nach und nach einige Elemente eines Oberkörpers
 hinzuadjungieren.  Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden
 Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
 
-\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}
+\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}%
   \index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von
-  Körpererweiterungen.  Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention
-    $∞·∞ = ∞$ und $∞ ·n = ∞$ falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die
-  Gleichung
+  Körpererweiterungen.  Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention $∞·∞ = ∞$
+  und $∞·n = ∞$, falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die Gleichung
   \[
     [M:K] = [M:L]·[L:K].
   \]
@@ -305,10 +301,9 @@ Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}
-  Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen.  Wenn
-  $[M:K]$ endlich ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von
-  $[M:K]$.  Insbesondere gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein
-  Teiler von $[M:K]$ ist.  \qed
+  Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen.  Wenn $[M:K]$ endlich
+  ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von $[M:K]$.  Insbesondere
+  gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist.  \qed
 \end{kor}
 
 \begin{kor}
@@ -316,10 +311,11 @@ Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
   ist.  Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist.  \qed
 \end{kor}
 
-\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}
-  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei.  Dann entsteht $L$ aus $K$
-  durch Adjunktion einer Quadratwurzel.  Genauer: es gibt Elemente $a ∈ L$ und
-  $b ∈ K$, sodass Folgendes gilt.
+\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}%
+  Es sei $K$ ein Körper, in dem das Element $2 := 1+1$ ungleich $0$ ist (zum
+  Beispiel $K = ℚ$).  Weiter sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei.
+  Dann entsteht $L$ aus $K$ durch Adjunktion einer Quadratwurzel.  Genauer: es
+  gibt Elemente $a ∈ L$ und $b ∈ K$, sodass Folgendes gilt.
   \begin{itemize}
   \item Es gilt die Gleichung $a² = b$.
     
@@ -327,7 +323,8 @@ Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
   \end{itemize}
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  \video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte Verbesserung im Skript des Beweises.
+  \video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte
+  Verbesserung im Skript des Beweises.
 \end{proof}
 
 Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
@@ -338,18 +335,18 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
   \item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$.
     
   \item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$
-    und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass
-    $L = K(a_1, …, a_n)$ ist.
+    und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass $L = K(a_1, …,
+    a_n)$ ist.
     
   \item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$,
-    die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen:
-    $L = K(a_1, …, a_n)$.
+    die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen: $L =
+    K(a_1, …, a_n)$.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}]
-  Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also
-  sind alle diese Elemente algebraisch.  Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man
-  zum Beispiel einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
+  Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also sind alle
+  diese Elemente algebraisch.  Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man zum Beispiel
+  einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}]
@@ -357,15 +354,15 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}]
-  Sei $L = K(a_1, …, a_n)$.  Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und die
-  Kette von Erweiterungen
+  Sei $L = K(a_1, …, a_n)$.  Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und
+  die Kette von Erweiterungen
   \[
     K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L.
   \]
   Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$;
-  insbesondere ist per Annahme (``$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$'') und
-  Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich.  Wiederholte
-  Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
+  insbesondere ist per Annahme („$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$“) und
+  Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich.
+  Wiederholte Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
   \[
     [L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i],
   \]
@@ -378,9 +375,9 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
 Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus
 Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig
 sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen.  Der erste ist der Satz über
-die ``Transitivität der Algebraizität''.
+die „Transitivität der Algebraizität“.
 
-\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}
+\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}%
   Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen.  Dann ist auch
   $M/K$ algebraisch.
 \end{kor}
@@ -413,9 +410,9 @@ die ``Transitivität der Algebraizität''.
   von $ℂ$.  \qed
 \end{kor}
 
-\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}
+\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}%
   Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von
-  ``algebraischem Abschluss'' diskutieren, der nicht von der Wahl eines
+  „algebraischem Abschluss“ diskutieren, der nicht von der Wahl eines
   Oberkörpers abhängt.  Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln!
 \end{warnung}
 

04.tex

@@ -14,21 +14,21 @@ Für Gleichungen 3.\ und 4.\ Grades haben italienische Mathematiker der
 Renaissance komplizierte Formeln gefunden.  In der westlichen Welt wurden diese
 Formeln erstmals 1545 von Gerolamo
 Cardano\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano}{Gerolamo
-    Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan,
-  lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24.  September 1501 in Pavia;
-  † 21.  September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und
-  Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch
+Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan,
+lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24.~September 1501 in Pavia; †
+21.~September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und
+Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch
 \cite{Cardano45} veröffentlicht.  Die Lösungsformeln für reduzierte kubischen
 Gleichungen wurden wohl von Nicolo
 Tartaglia\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Tartaglia}{Niccolò
-    Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13.  Dezember 1557 in
-  Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine
-  Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist.  } entdeckt; laut
+Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13.~Dezember 1557 in
+Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine
+Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist.  } entdeckt; laut
 Cardano sogar noch früher durch Scipione del
 Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione
-    del Ferro} (* 6.  Februar 1465 in Bologna; † 5.  November 1526 ebenda) war ein
-  italienischer Mathematiker.  Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und
-  Geometrie an der Universität von Bologna.  }.
+del Ferro} (* 6.~Februar 1465 in Bologna; † 5.~November 1526 ebenda) war ein
+italienischer Mathematiker.  Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und
+Geometrie an der Universität von Bologna.}.
 
 \begin{bsp}
   Es seien $a$, $b$ und $c$ komplexe Zahlen.  Gesucht sind komplexe Lösungen der
@@ -52,54 +52,53 @@ Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione
 \end{bsp}
 
 Für Polynome vom Grad 5 wurde keine solche Formel gefunden.  Das wirft Fragen
-auf.  Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm?  Gibt es eine
-solche Formel überhaupt?  Die Frage war etliche Jahrhunderte offen.  Tatsächlich
-ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und durch die
-Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar.  Wir präzisieren die Fragestellung
-hier nur.
+auf.  Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm?  Gibt es
+eine solche Formel überhaupt?  Die Frage war etliche Jahrhunderte offen.
+Tatsächlich ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und
+durch die Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar.  Wir präzisieren die
+Fragestellung hier nur.
 
-\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}
+\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}%
   Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
-  Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente
-  $a_1, …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt.
+  Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente $a_1,
+  …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt.
   \begin{itemize}
   \item Es ist $L = K(a_1, …, a_n)$.
     
-  \item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist
-    $a_i^{r_i} ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$.
+  \item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist $a_i^{r_i}
+    ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$.
   \end{itemize}
 \end{defn}
 
 Erklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass $a_1$ die
 $r_1$-te Wurzel eines Elements aus $K$, dass $a_2$ die $r_2$-te Wurzel eines
-Elements aus $K(a_1)$, etc.  Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir
-schreiben
+Elements aus $K(a_1)$, etc.  Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir schreiben
 \begin{align*}
   K(a_1) & = K+ K· a_1+K· a_1²+\dots+ K· a_1^{r_1-1}\\
   K(a_1, a_2)&= K(a_1)+K(a_1)· a_2+ \dots + K(a_1)· a_2^{r_2-1}\\
          &\:\:\: \vdots \\
   K(a_1, …, a_n)&= K(a_1, …, a_{n-1})+K(a_1, …, a_{n-1})· a_n + \dots + K(a_1, …, a_{n-1})· a_n^{r_n-1}.
 \end{align*}
-Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem nur
-(höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen.
+Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem
+nur (höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen.
 
-\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}
-  Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$.  Man sagt, die
-  Gleichung $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit
-    durch Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine
+\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}%
+  Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$.  Man sagt, die Gleichung
+  $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit durch
+  Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine
   Nullstelle hat\footnote{Genauer: …, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt
   und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}.
 \end{defn}
 
 Bei der klassischen Frage nach den Lösungen von Polynomen interessiert uns unter
-anderem ob ein Polynom
+anderem, ob ein Polynom
 \begin{equation*}
   f(x) = x^n+b_1·x^{n-1} + \dots + b_{n-1}·x + b_n ∈ ℂ[x]
 \end{equation*}
-über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat,
-das heißt, ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von
-rationalen Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken
-lässt -- falls nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen.
+über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat, das heißt,
+ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von rationalen
+Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken lässt -- falls
+nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen.
 
 
 %%% Local Variables:

05.tex

@@ -3,21 +3,16 @@
 
 \chapter{Teilbarkeit}
 
-Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
-\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
-bereitgestellt.
-
-
-\section{Wohin geht die Reise…?}
+\section{Wohin geht die Reise… ?}
 
 In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff
-``Minimalpolynom'' schrecklich wichtig ist.  Wir haben aber noch nie darüber
+„Minimalpolynom“ schrecklich wichtig ist.  Wir haben aber noch nie darüber
 gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet.
 
 \begin{problem}
   Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes
   Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$.  Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das
-  Minimalpolynom ist oder nicht.
+  Minimalpolynom ist oder nicht?
 \end{problem}
 
 Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und
@@ -26,15 +21,15 @@ welche Richtung die Argumentation geht.
 
 \begin{beobachtung}
   Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch
-  über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$.  Wenn jetzt
-  $g(x) ∈ K[x]$ irgend ein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule
-  gelernt, dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können.  Am Ende
-  schreibt man
+  über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$.  Wenn jetzt $g(x) ∈
+  K[x]$ irgendein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule gelernt,
+  dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können.  Am Ende schreibt
+  man
   \begin{equation*}
-    g(x) = q(x)·f(x)+ r(x)
+    g(x) = q(x)·f(x)+ r(x),
   \end{equation*}
-  wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist.  Angenommen $g$ hat $a$ als
-  Nullstelle.  Dann gilt:
+  wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist.  Angenommen $g$ hat $a$
+  als Nullstelle.  Dann gilt:
   \begin{equation*}
     0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}-r(a).
   \end{equation*}
@@ -50,11 +45,11 @@ welche Richtung die Argumentation geht.
 \section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen}
 
 Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik
-machen können.  Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den ``Ring $K[x]$ der
-Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$'' eingeführt.  Das geht auch mit Ringen
+machen können.  Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den „Ring $K[x]$ der
+Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$“ eingeführt.  Das geht auch mit Ringen
 statt Körpern.
 
-\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}
+\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring.  Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der
   Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring!mit
   Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring
@@ -62,8 +57,8 @@ statt Körpern.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}
-  Betrachte den Ring $R = ℤ$.  Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und
-  $4x²+3xy+y⁷ ∈ ℤ[x,y]$.
+  Betrachte den Ring $R = ℤ$.  Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und $4x²+3xy+y⁷ ∈
+  ℤ[x,y]$.
 \end{bsp}
 
 \begin{beobachtung}
@@ -79,11 +74,11 @@ Der Grad von Polynomen ist definiert wie üblich: Das Polynom
 $3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$.  In Integritätsringen
 verhält sich der Grad gut.
 
-\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}
+\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}%
   Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring.  Dann gilt für alle
   Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$.  Wir
-    verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle
-    $n ≥ 0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
+  verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle $n ≥
+  0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
   \begin{equation*}
     \deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q).
   \end{equation*}
@@ -92,10 +87,10 @@ verhält sich der Grad gut.
 \begin{proof}
   Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $p,q ≠ 0$.  Sei
   $n := \deg p$ und $m := \deg q$.  Dann finden wir Elemente $r_•$ und $s_•$ aus
-  $R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, so dass wir schreiben können:
+  $R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, sodass wir schreiben können:
   \begin{align*}
     p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\
-    q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m
+    q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m.
   \end{align*}
   Dann ist weiter
   \begin{equation*}
@@ -106,9 +101,9 @@ verhält sich der Grad gut.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}
-  Ist $R$ ein kommutativer Integritätsring und ist $n ∈ ℕ$, dann ist auch
-  $R[x_1, …, x_n]$ ein kommutativer Integritätsring.  Für die Gruppe der
-  Einheiten gilt
+  Ist $R$ ein kommutativer Integritätsring und ist $n ∈ ℕ$, dann ist auch der
+  Polynomring $R[x_1, …, x_n]$ ein kommutativer Integritätsring.  Für die Gruppe
+  der Einheiten gilt
   \begin{equation*}
     R[x_1, …, x_n]^* = R^*,
   \end{equation*}
@@ -117,9 +112,9 @@ verhält sich der Grad gut.
 \end{kor}
 \begin{proof}
   Die erste Aussage folgt mit Induktion aus Satz~\vref{Satz_Polynom_Grad}.  Die
-  zweite Aussage folgt ebenfalls mit Induktion, sobald wir zeigen, dass
-  $R[x]^* = R^*$ ist.  Sei also $p ∈ R[x]^*$.  Das bedeutet per Definition: es
-  existiert ein Polynom $q$ mit $p·q = 1$.  Dann folgt aber
+  zweite Aussage folgt ebenfalls mit Induktion, sobald wir zeigen, dass $R[x]^*
+  = R^*$ ist.  Sei also $p ∈ R[x]^*$.  Das bedeutet per Definition: Es existiert
+  ein Polynom $q$ mit $p·q = 1$.  Dann folgt aber
   \[
     \deg p ≤ \deg p + \deg q = \deg (p·q) = \deg 1 = 0.
   \]
@@ -137,12 +132,12 @@ verhält sich der Grad gut.
 
 \section{Teilbarkeit in Ringen}
 
-In der (Grund-)schule haben wir den Begriff ``Teiler'' kennen gelernt.  In
+In der (Grund-)Schule haben wir den Begriff „Teiler“ kennengelernt.  In
 allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
 
 \begin{defn}[Teiler]
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $r$, $s ∈ R$.  Man nennt $r$ einen
-  \emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, so dass $r·q = s$
+  \emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, sodass $r·q = s$
   ist.  Wir schreiben dann $r|s$.
 \end{defn}
 
@@ -171,7 +166,7 @@ allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
 
 Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war
 das Vorzeichnen meist nicht wichtig.  Die folgende Definition formalisiert in
-bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''.
+bombastischer Sprache die Phrase „unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen“.
 
 \begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente]
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei
@@ -179,19 +174,18 @@ bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''.
   \begin{enumerate}
   \item\label{Satz_assoziiert_1} Es gilt gleichzeitig $r|s$ und $s|r$.
     
-  \item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, so dass
+  \item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, sodass
     $ε·r=s$ ist.
   \end{enumerate}
   Sind die Bedingungen erfüllt, nennt man $r$ und $s$ \emph{zueinander
     assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente} und schreibt $r \sim s$.
 \end{satzdef}
 \begin{proof}
-  Wir beweisen die Richtung
-  \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}.  Wegen
-  $ε· r = s$ gilt $r|s$.  Multiplikation mit $ε^{-1}$
-  liefert $r = ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$.  Wir beweisen als nächstes
-  die Richtung \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}.
-  Nach Annahme existieren $u,v∈ R$ mit
+  Wir beweisen die Richtung \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}.
+  Wegen $ε· r = s$ gilt $r|s$.  Multiplikation mit $ε^{-1}$ liefert $r =
+  ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$.  Wir beweisen als Nächstes die Richtung
+  \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}.  Nach Annahme existieren
+  $u,v∈ R$ mit
   \begin{equation*}
     u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r.
   \end{equation*}
@@ -209,7 +203,7 @@ Teiler.
 \begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente]
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei
   Elemente.  Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{echter
-    Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten
+    Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten.
   \begin{itemize}
   \item Es gilt $r|s$.
     
@@ -233,26 +227,26 @@ Teiler.
 
 \begin{warnung}
   Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich.  Wir werden später für
-  beliebige Ringe Ringe auch noch einen Begriff von ``Primelement'' definieren.
+  beliebige Ringe auch noch einen Begriff von „Primelement“ definieren.
 \end{warnung}
 
 
 \section{Zerlegbarkeit von Elementen}
 
 In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich
-ausführlich diskutiert: jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
-irreduziblen Elementen (=so genannte ``Primzahlen'') schreiben,
+ausführlich diskutiert: Jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
+irreduziblen Elementen (=sogenannte „Primzahlen“) schreiben,
 \begin{equation*}
   m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n),
 \end{equation*}
 wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen
 eindeutig festgelegt ist.  So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
 
-\begin{warning}\label{war:nufd}
+\begin{warning}\label{war:nufd}%
   Zu früh gefreut.  Geht nicht.  Ich behaupte, dass die folgende Menge von
   komplexen Zahlen,
   \[
-    R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\}.
+    R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\},
   \]
   einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit
   $ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet.  Ich behaupte auch, dass die Elemente
@@ -274,35 +268,35 @@ eindeutig festgelegt ist.  So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
 eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt.  Dazu sind folgende Definitionen
 relevant.
 
-\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}
+\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring.  Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette}
-  in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, so dass für alle
-  $n ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
+  in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, sodass für alle $n
+  ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
 \end{defn}
 
-\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}
+\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring.  Man sagt \emph{in $R$ gilt der
-    Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn
-  für jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, so dass für alle
-  $k ≥ n_0$ gilt: die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
+  Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn für
+  jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, sodass für alle $k ≥
+  n_0$ gilt: Die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
 \end{defn}
 
 \begin{rem}
-  Die Forderung ``für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind
-  assoziiert'' lässt sich auch so ausdrücken: es gibt nur endlich viele
-  $n ∈ ℕ$, so dass $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
+  Die Forderung „für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind assoziiert“
+  lässt sich auch so ausdrücken: Es gibt nur endlich viele $n ∈ ℕ$, sodass
+  $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
 \end{rem}
 
 \begin{bsp}
   In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann
-  gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von
-  $r_{n}$ ist, dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
+  gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist,
+  dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}
   Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper
-  $K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt.  Dazu betrachte man den Grad von
-  Polynomen anstelle des Betrages.
+  $K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt.  Dazu betrachte man den Grad
+  von Polynomen anstelle des Betrages.
 \end{bsp}
 
 \begin{warnung}
@@ -312,17 +306,17 @@ relevant.
 
 Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf
 Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von
-    Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3.\
-  Jahrhundert v.\ Chr.\ in Alexandria gelebt hat.} zurück.  Der Beweis, den wir
+Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im
+3.~Jahrhundert v.~Chr.~in Alexandria gelebt hat.} zurück.  Der Beweis, den wir
 hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy
 Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy
-    Noether} (Emmy war der Rufname; geb.  am 23.  März 1882 in Erlangen; gest.  am
-  14.  April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin,
-  die grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
-  lieferte.  Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
-  revolutioniert.  Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
-  zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen
-  an.}.  Die Beweismethode ist heute als ``Noethersche Induktion'' bekannt.
+Noether} (Emmy war der Rufname; * 23.~März 1882 in Erlangen; † 14.~April 1935 in
+Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die grundlegende
+Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik lieferte.
+Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
+revolutioniert.  Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
+zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen an.}.
+Die Beweismethode ist heute als „Noethersche Induktion“ bekannt.
 
 \begin{satz}\label{satz:tksgz}
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring in dem der Teilerkettensatz für Elemente
@@ -341,7 +335,7 @@ Nach dem Kriterium für die Existenz einer Zerlegung kommen wir jetzt zur Frage
 der Eindeutigkeit.  Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis
 auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge.  Zwei
 Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne
-wir ``äquivalent''.
+wir „äquivalent“.
 
 \begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen]
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es
@@ -351,7 +345,7 @@ wir ``äquivalent''.
   \]
   zwei Darstellungen von $r$ als Produkt von irreduziblen Elementen.  Die
   Darstellungen heißen \emph{äquivalent}\index{äquivalente Darstellungen}, wenn
-  gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, so dass für alle
+  gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, sodass für alle
   Indizes gilt $p_i \sim q_{σ(i)}$.
 \end{defn}
 
@@ -367,7 +361,7 @@ wichtig.
 \begin{definition}[Primelemente eines Ringes]
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring.  Ein Element $p ∈ R$ heißt
   \emph{prim}\index{Primelement eines Ringes}, wenn $p$ keine Einheit ist,
-  $p \neq 0$ gilt und wenn für alle $a,b ∈ R$ mit $p|(a·b)$ schon folgt, dass
+  $p ≠ 0$ gilt und wenn für alle $a,b ∈ R$ mit $p|(a·b)$ schon folgt, dass
   $p|a$ oder $p|b$ gilt.
 \end{definition}
 
@@ -380,7 +374,7 @@ wichtig.
   \item\label{Satz_Prim_3} $p$ und $q$ sind prim und $p|q$ $⇒$
     $p \sim q$.
   \item\label{Satz_Prim_4} $p$ ist prim und $p|(a_1 ⋯ a_n)$
-    $⇒$ Es existiert ein $i$ mit $p|a_i$.
+    $⇒$ es existiert ein $i$ mit $p|a_i$.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 \begin{proof}
@@ -407,21 +401,20 @@ wichtig.
     a· b = p(q_1· q_2· p+ q_1· b_1+ q_2· a_1)+a_1· b_1,
   \end{equation*}
   also $p|(a_1· b_1)$.  Betrachte jetzt die kleinste natürliche Zahl, die als
-  Produkt $a· b$ geschrieben werden kann mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$
-  und $p \nmid b$.  Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also
-  $1 < a· b < p²$.  Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also
-  $p· h = a· b$.  Dann gilt $1<h$, weil $p$ irreduzibel ist und $h<p$,
-  weil $a· b <p²$.  Sei nun $p^\prime$ ein positiver irreduzibler Faktor von
-  $h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn $h$ irreduzibel ist).  Dann gilt
-  natürlich auch $p^\prime< p$.  Nach Wahl von $p$ (kleinste Zahl, die
-  irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim.  Da $p^\prime|h$,
-  $h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt $p^\prime|a$ oder
-  $p^\prime|b$.
+  Produkt $a·b$ geschrieben werden kann, mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$ und $p
+  \nmid b$.  Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also $1 < a· b
+  < p²$.  Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also $p· h = a· b$.  Dann gilt $1<h$, weil
+  $p$ irreduzibel ist und $h<p$, weil $a· b <p²$.  Sei nun $p^\prime$ ein
+  positiver irreduzibler Faktor von $h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn
+  $h$ irreduzibel ist).  Dann gilt natürlich auch $p^\prime< p$.  Nach Wahl von
+  $p$ (kleinste Zahl, die irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim.
+  Da $p^\prime|h$, $h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt
+  $p^\prime|a$ oder $p^\prime|b$.
   
   Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass $p^\prime|a$ gilt.  Dann ist
   $a=p^\prime· a^\prime$ und $h=p^\prime· h^\prime$ und somit
   \begin{equation*}
-    p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime· b
+    p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime·b.
   \end{equation*}
   Weil $a^\prime· b< a· b$ ist, folgt $p|a^\prime$ oder $p|b$ nach Wahl
   von $a· b$.  Es folgt $p|a$ oder $p|b$, Widerspruch!
@@ -467,7 +460,7 @@ wichtig.
 \end{definition}
 
 \begin{rem}
-  In der Literatur findet man statt ``faktoriell'' manchmal auch die Adjektive
+  In der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive
   \emph{ZPE}\index{ZPE} (= \textbf{Z}erlegung in \textbf{P}rimelemente ist
   \textbf{E}indeutig) oder \emph{UFD}\index{UFD} (= \textbf{U}nique
   \textbf{F}actorization \textbf{D}omain).
@@ -484,7 +477,7 @@ wichtig.
 
 Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
  
-\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30.  April 1777 in Braunschweig; † 23.  Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}
+\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30.~April 1777 in Braunschweig; † 23.~Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}
   Es sei $R$ ein faktorieller Ring.  Dann ist auch der Polynomring
   $R[x_1, …, x_n]$ faktoriell.
 \end{satz}
@@ -496,7 +489,7 @@ Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
 Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
   6}
 
-\begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}
+\begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring.  Ist $p ∈ R$ ein Primelement,
   dann ist $p$ auch im Polynomring $R[x]$ prim.
 \end{lem}
@@ -512,26 +505,26 @@ Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
 \section{Primfaktorzerlegung}
 
 Wenn $R$ ein faktorieller Ring ist, dann haben wir schon gesehen, dass ich jedes
-Element auf ``nahezu eindeutige Weise'' als Produkt von Primelementen schreiben
-kann.  So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$
-darstellbar.  Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden,
-denn wir finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative.  Eine
-derartige Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
+Element auf „nahezu eindeutige Weise“ als Produkt von Primelementen schreiben
+kann.  So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$ darstellbar.
+Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden, denn wir
+finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative.  Eine derartige
+Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
 
-Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation ``äquivalent'' eine
-Äquivalenzrelation auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge
-deshalb in Äquivalenzklassen.  Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu
-machen, müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen.  Dann
-sind wir in der folgenden Situation.
+Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation „äquivalent“ eine Äquivalenzrelation
+auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge deshalb in
+Äquivalenzklassen.  Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu machen,
+müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen.  Dann sind wir
+in der folgenden Situation.
 
-\begin{situation}\label{sit:5-5-1}
+\begin{situation}\label{sit:5-5-1}%
   Es sei $R$ ein faktorieller Ring und $(p_i)_{i ∈ I}$ sei ein
   Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen (das bedeutet:
-  für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, so dass
-  $p \sim p_i$ ist).
+  für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, sodass $p \sim
+  p_i$ ist).
 \end{situation}
 
-Ein ``Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen'' existiert
+Ein „Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen“ existiert
 wegen des Auswahlaxioms natürlich immer, aber manchmal gibt es besonders
 einleuchtende Wahlen.
 
@@ -551,7 +544,7 @@ einleuchtende Wahlen.
     r = ε·\prod_{i∈I} (p_i)^{ν_i}
   \end{equation*}
   wobei $ε ∈ R^*$ und $ν_i ∈ ℕ$ sind; außerdem sind alle bis auf endlich viele
-  Exponenten gleich $0$.  Dies Darstellung heißt \emph{normierte
+  Exponenten gleich $0$.  Diese Darstellung heißt \emph{normierte
     Primfaktorzerlegung}\index{normierte
     Primfaktorzerlegung}\index{Primfaktorzerlegung!normiert} von $r$ zum
   Repräsentantensystem $(p_i)_{i ∈ I}$.
@@ -560,7 +553,7 @@ einleuchtende Wahlen.
   Hier ist nicht viel zu beweisen.  Ist $r ∈ R^*$, so wähle $ε = r$ und setzt
   $ν_i = 0$ für alle $i$.  Ansonsten zerlege $r$ in irreduzible Faktoren,
   $r = p'_{i_1}⋯p'_{i_n}$.  Jeder Faktor $p'_{i_j}$ ist zu einem der $p_{i_j}$
-  assoziiert, also gib es $ε_j ∈ R^*$, so dass $p'_{i_j} = ε_j·p_{i_j}$ ist.
+  assoziiert, also gib es $ε_j ∈ R^*$, sodass $p'_{i_j} = ε_j·p_{i_j}$ ist.
   Setze $ε = \prod_{j=1}^n ε_j$ und fasse die Faktoren $p_•$, die mehrfach
   auftauchen, zusammen.  Die Eindeutigkeit ist klar.
 \end{proof}
@@ -581,7 +574,7 @@ sofort ablesen.
     gilt.
     
   \item Es ist $r || s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ die Ungleichung
-    $ν_i ≤ μ_i$ gilt und wenn zusätzlich ein $j∈I$ existiert, so dass
+    $ν_i ≤ μ_i$ gilt und wenn zusätzlich ein $j∈I$ existiert, sodass
     $ν_j < μ_j$ ist.
     
   \item Es ist $r \sim s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ gilt, dass $ν_i = μ_i$
@@ -593,14 +586,14 @@ sofort ablesen.
 \section{ggT und kgV}
 
 Je nach Geburtsjahrgang haben Sie in Kindergarten, Vorschule, Grundschule,
-Gymnasium oder Studium den Begriff ``größter gemeinsamer Teiler'' und
-``kleinstes gemeinsames Vielfaches'' kennen gelernt.  Auch diese Begriffe
-übertragen sich ohne weiteres auf Ringe.
+Gymnasium oder Studium den Begriff „größter gemeinsamer Teiler“ und „kleinstes
+gemeinsames Vielfaches“ kennengelernt.  Auch diese Begriffe übertragen sich ohne
+weiteres auf Ringe.
 
 \begin{defn}[Größter gemeinsamer Teiler]
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente.
   Ein Element $g ∈ R$ heißt \emph{größter gemeinsamer Teiler\index{größter
-      gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$} wenn Folgendes gilt.
+      gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$}, wenn Folgendes gilt.
   \begin{itemize}
   \item Es ist $g|r$ und $g|s$.
     
@@ -612,11 +605,11 @@ Gymnasium oder Studium den Begriff ``größter gemeinsamer Teiler'' und
 \begin{defn}[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]
   Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente.  Ein
   Element $v ∈ R$ heißt \emph{kleines gemeinsames Vielfaches}\index{kleinstes
-    gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$ wenn Folgendes gilt.
+    gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$, wenn Folgendes gilt.
   \begin{itemize}
   \item Es ist $r|v$ und $s|v$.
     
-  \item Für alle $t ∈ R$ gilt:, $r|t$ und $s|t$ impliziert $v|t$.
+  \item Für alle $t ∈ R$ gilt: $r|t$ und $s|t$ impliziert $v|t$.
   \end{itemize}
   Man schreibt in dieser Situation oft $v = \kgV(r,s)$\index{kgV}.
 \end{defn}
@@ -627,11 +620,11 @@ Gymnasium oder Studium den Begriff ``größter gemeinsamer Teiler'' und
 \end{definition}
 
 \begin{warnung}
-  Obwohl man oft von ``dem größten gemeinsamen Teiler'' spricht, ist der größte
+  Obwohl man oft von „dem größten gemeinsamen Teiler“ spricht, ist der größte
   gemeinsame Teiler nicht eindeutig!  Wenn $g$ ein größter gemeinsame Teiler ist
-  und $ε ∈ R^*$, dann ist auch $ε·g$ ein größter
-  gemeinsame Teiler!  Mit unserer Definition ist sowohl $3 = \ggT(6,9)$ als auch
-  $-3 = \ggT(6,9)$.  Dito für $\kgV$.
+  und $ε ∈ R^*$, dann ist auch $ε·g$ ein größter gemeinsame Teiler!  Mit unserer
+  Definition ist sowohl $3 = \ggT(6,9)$ als auch $-3 = \ggT(6,9)$.  Dito für
+  $\kgV$.
 \end{warnung}
 
 \begin{warnung}
@@ -665,7 +658,7 @@ keine Gedanken machen.
 \subsection{Der Euklidische Algorithmus}
 
 Die Primfaktorzerlegung eines Elementes in einem faktoriellen Ring zu bestimmen,
-ist fast immer sehr schwer.  In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen
+ist fast immer sehr schwer.  In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen,
 ohne die Primfaktorzerlegung explizit zu kennen.
 
 \begin{bsp}\label{bsp:5-6-7}
@@ -674,14 +667,18 @@ ohne die Primfaktorzerlegung explizit zu kennen.
   $f,g∈ K[x]$ gegeben.  Dann betrachte die Kette von Gleichungen, die man durch
   Division mit Rest bekommt
   \begin{align}
-    f(x)&= q_1(x)· g(x)+r_1(x)&&\text{mit }\deg r_1 < \deg g\label{eq:Euklid_1}\\
-    g(x)&= q_2(x)· r_1(x)+r_2(x)&&\text{mit }\deg r_2 < \deg r_1\label{eq:Euklid_2}\\
+    f(x) &= q_1(x)· g(x)+r_1(x)&&\text{mit }\deg r_1 < \deg g\label{eq:Euklid_1}\\
+    g(x) &= q_2(x)·r_1(x)+r_2(x)&&\text{mit }\deg r_2 < \deg r_1\label{eq:Euklid_2}\\
+    r_1(x)&= q_3(x)·r_2(x)+r_3(x)&&\text{mit }\deg r_3 < \deg r_2 \\
+    r_2(x)&= q_4(x)·r_3(x)+r_4(x)&&\text{mit }\deg r_4 < \deg r_3 \\
+    r_3(x)&= q_5(x)·r_4(x)+r_5(x)&&\text{mit }\deg r_5 < \deg r_4 \\
+    r_4(x)&= q_6(x)·r_5(x)+r_6(x)&&\text{mit }\deg r_6 < \deg r_5 \\
           &\qquad\vdots&&\qquad\vdots\nonumber\\
-    r_{n-2}(x)&=q_n(x)· r_{n-1}(x)+r_n(x)&&\text{mit } \deg r_{n} < \deg r_{n-1}\label{eq:Euklid_3}\\
-    \intertext{und zuletzt}
-    r_{n-1}(x)&= q_{n+1}(x)· r_n(x)\label{eq:Euklid_4}
+    \intertext{denn da die Grade immer kleiner werden, muss die Division irgendwann aufgehen}
+    r_{n-2}(x) &= q_n(x)· r_{n-1}(x)+r_n(x)&&\text{mit } \deg r_{n} < \deg r_{n-1}\label{eq:Euklid_3}\\
+    r_{n-1}(x) &= q_{n+1}(x)· r_n(x)\label{eq:Euklid_4}
   \end{align}
-  denn da die Grade immer kleiner werden, muss die Division irgendwann aufgehen.
+  
 \end{bsp}
 
 \begin{satz}

06.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 % spell checker language
 \selectlanguage{german}
 
-\chapter{Der Quotientenkörper eines Integritätsringes}
+\chapter{Der Quotientenkörper eines Integritätsrings}
 
 \section{Worum geht es?}
 
@@ -30,20 +30,20 @@ Quotientenkörper.
   Integritätsring an.
 \end{obs}
 
-Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem ``möglichst
-kleinen Körper, der $R$ enthält'' eigentlich genau meinen.  Wenn Sie bei mir die
-Vorlesung ``Lineare Algebra'' gehört haben, dann wird Ihnen die folgende
+Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem „möglichst kleinen
+Körper, der $R$ enthält“ eigentlich genau meinen.  Wenn Sie bei mir die
+Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende
 Definition sehr vertraut vorkommen.  Falls nicht, ist jetzt die perfekte
-Gelegenheit, alles über ``universelle Eigenschaften'' zu lernen.
+Gelegenheit, alles über „universelle Eigenschaften“ zu lernen.
 
 \begin{definition}[Quotientenkörper]
   Sei $R$ ein Integritätsring.  Ein \emph{Quotientenkörper von
-    $R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem
-  injektiven Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle
-  Eigenschaft gilt: Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus
-  von $R$ in einem Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus
-  $h:K→ L$, sodass $j=h◦ i$ ist.  Mit anderen Worten, es existiert genau ein
-  Ringhomomorphismus, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
+  $R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem injektiven
+  Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle Eigenschaft gilt:
+  Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus von $R$ in einem
+  Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus $h:K→ L$, sodass $j=h◦
+  i$ ist.  Mit anderen Worten, es existiert genau ein Ringhomomorphismus, sodass
+  das folgende Diagramm kommutiert,
   \[
     \begin{tikzcd}
       R \ar[r, hook, "ι"] \ar[d, equals] & K \ar[d, "∃ !  h"] \\
@@ -93,15 +93,15 @@ Quotientenkörpers.  Den folgenden Beweis sollten Sie genau verstehen!
 \end{proof}
 
 Der Witz ist, dass die Abbildung $h$ aus Satz~\ref{satz:edvq} eindeutig gegeben
-ist.  Die Aussage ``es existiert eine eindeutiger Morphismus'' ist eine viel
-bessere Aussage als ``es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion
-vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)''.  Das ist
-super-wichtig!  Man sagt, ``Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische
-Isomorphie''.
+ist.  Die Aussage „es existiert eine eindeutiger Morphismus“ ist eine viel
+bessere Aussage als „es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion
+vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)“.  Das ist
+super-wichtig!  Man sagt, „Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische
+Isomorphie“.
 
 \begin{notation}
   Obwohl Quotientenkörper nur bis auf kanonische Isomorphie eindeutig sind,
-  spricht man oft von ``dem'' Quotientenkörper.  Die Notation $Q(R)$ ist üblich.
+  spricht man oft von „dem“ Quotientenkörper.  Die Notation $Q(R)$ ist üblich.
 \end{notation}
 
 \begin{satz}[Existenz von Quotientenkörpern]

07.tex

@@ -12,8 +12,8 @@ ist.
 
 Für Polynome $f ∈ ℚ[x]$ werden wir die Frage nach der Irreduzibilität
 vollständig beantworten.  Wir erinnern uns daran, wie die Frage nach der
-Konstruierbarkeit der ``Verdoppelung des Würfels'' mit der Frage zusammenhing,
-ob das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
+Konstruierbarkeit der „Verdoppelung des Würfels“ mit der Frage zusammenhing, ob
+das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
 
 \begin{beobachtung}
   Im Ring $ℤ[x]$ sind Teilbarkeitsfragen oft durch Teilbarkeitsbetrachtungen der
@@ -40,7 +40,7 @@ ob das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
 Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriterium
   von Gauß} zeigt, dass $x³-2$ dann auch irreduzibel in $ℚ[x]$ ist!
 
-\begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}
+\begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}%
   Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und es
   sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ von positivem Grad gegeben.  Wenn $f$ in $R[x]$
   irreduzibel ist, dann ist $f$ auch in $K[x]$ irreduzibel.
@@ -49,18 +49,18 @@ Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriteri
 Als Vorbereitung zum Beweis zeigen wir erst einmal das folgende Lemma.  Das
 Lemma zeigt auch, wie natürlich das Kriterium von Gauß ist.
 
-\begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}
-  Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und
-  $g ∈ K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom.  Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass
-  $a· g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich
-  $1$ ist.
+\begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}%
+  Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und $g ∈
+  K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom.  Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass $a·
+  g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich $1$
+  ist.
 \end{lemma}
 
 \begin{bemerkung}
   Wir hatten nur den $\ggT$ für zwei Elemente definiert, die Definition geht
-  genau so für mehr als zwei Elemente.  Für Polynome
-  $a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m ∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$
-  notwendig, aber nicht hinreichend für die Irreduzibilität.
+  genau so für mehr als zwei Elemente.  Für Polynome $a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m
+  ∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$ notwendig, aber nicht
+  hinreichend für die Irreduzibilität.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}]
@@ -81,21 +81,20 @@ in endlich vielen Rechenschritten entscheiden ($→$Klausur).  Ein Verfahren sol
 jetzt ganz kurz skizziert werden.  Den folgenden Satz kennen Sie vielleicht aus
 den Anfängervorlesungen.
 
-\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25.  Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10.  April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]
+\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25.~Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10.~April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]%
   Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$
-  ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_1, …, a_{n+1}∈ K$ paarweise
-  verschiedene Elemente.  Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_1), …, f(a_{n+1})$
+  ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_0, …, a_n∈ K$ paarweise
+  verschiedene Elemente.  Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_0), …, f(a_n)$
   eindeutig festgelegt.  Genauer gilt:
   \begin{equation*}
-    f(x) = \sum_{i=1}^{n+1}f(a_i)\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0}{j≠ i}}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}.
+    f(x) = \sum_{i=0…n}f(a_i)\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0…n}{j≠i}}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}.
   \end{equation*}
 \end{erinnerung}
 \begin{proof}
-  Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom $R(x)$ vom Grad $≤ n$, für das
-  gilt
+  Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom $R(x) ∈ K[x]$ vom Grad $\deg
+  R = n$, sodass für alle Indices $i$ gilt:
   \[
-    R(a_i) = f(a_i)·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0}{j≠
-        i}}\frac{a_i-a_j}{a_i-a_j}=f(a_i).
+    R(a_i) = f(a_i)·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0…n}{j≠i}}\frac{a_i-a_j}{a_i-a_j}=f(a_i).
   \]
   Dann ist $f-R$ ein Polynom vom Grad $≤ n$, das $n+1$ Nullstellen hat, also das
   Nullpolynom.
@@ -137,16 +136,16 @@ Frage nach der Irreduzibilität zwar beantworten, allerdings sind die nötigen
 Rechnungen ziemlich aufwändig (besonders bei Zeitdruck in einer Klausur!).  Das
 folgende Kriterium von Theodor
 Schönemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Theodor_Sch\%C3\%B6nemann}{Theodor
-    Schönemann} (* 4.  April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; †
-  16.  Januar 1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.},
-das in der Literatur durchgehend falsch mit ``Eisenstein-Kriterium''
+Schönemann} (* 4.~April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; † 16.~Januar
+1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.}, das in der
+Literatur durchgehend falsch mit „Eisenstein-Kriterium“
 bezeichnet\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein}{Ferdinand
-    Gotthold Max Eisenstein} (* 16.  April 1823 in Berlin; † 11.  Oktober 1852
-  ebenda) war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie
-  und über elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller.  Es
-ist so wichtig, dass es dazu sogar
+Gotthold Max Eisenstein} (* 16.~April 1823 in Berlin; † 11.~Oktober 1852 ebenda)
+war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie und über
+elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller.  Es ist so
+wichtig, dass es dazu sogar
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium}{eine eigene Seite auf
-  Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
+Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
 
 \begin{satz}[Eisenstein Kriterium]\label{Satz_Eisenstein_Kriterium}
   Es sei $R$ ein faktorieller Ring und es sei
@@ -163,7 +162,7 @@ ist so wichtig, dass es dazu sogar
 
 \begin{notation}
   Ein Polynom, das die Bedingung von Satz~\ref{Satz_Eisenstein_Kriterium}
-  erfüllt, nennt man \emph{Eisenstein-Polynom}\index{Eisenstein-Polynom}.
+  erfüllt, nennt man \emph{Eisen\-stein-Polynom}\index{Eisenstein-Polynom}.
 \end{notation}
 
 \begin{bsp}
@@ -182,8 +181,8 @@ ist so wichtig, dass es dazu sogar
   \begin{equation*}
     x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n]
   \end{equation*}
-  über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$
-  irreduzibel ist.
+  über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …,
+  x_n)$ als Element von $R[x_2, …, x_n]$ irreduzibel ist.
 \end{bsp}
 
 
@@ -201,10 +200,10 @@ einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
   jetzt $\varphi(f) ∈ S$ irreduzibel ist, dann ist auch $f∈ R[x]$ irreduzibel.
 \end{lem}
 \begin{proof}
-  Angenommen, $f$ wäre reduzibel.  Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei $g$
-  und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind.  Weil der größte gemeinsame
-  Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils positiven
-  Grad haben.  Die Gleichung
+  Angenommen, $f$ wäre reduzibel.  Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei
+  $g$ und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind.  Weil der größte
+  gemeinsame Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils
+  positiven Grad haben.  Die Gleichung
   \begin{equation*}
     \varphi(f) = \varphi(g)·\varphi(h)
   \end{equation*}
@@ -214,20 +213,20 @@ einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
 Ringmorphismen, die man in der Praxis brauchen kann, entstehen oft auf die
 folgenden Weisen.
 \begin{description}
-\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist
+\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten] Ist
   $\varphi : R → S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist auch
   \begin{equation*}
     Φ: R[x] → S[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})x^ν
   \end{equation*}
   ein Ringmorphismus.
   
-\item[Einsetzungskomposition:]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine
+\item[Einsetzungskomposition]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine
   Abbildung $\varphi : R → S$ und es sei ein Element $t ∈ S$ gegeben.  Setze
   \begin{equation*}
     Φ : R[x] → S, \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})t^ν
   \end{equation*}
   
-\item[Substitutionsmorphismus:]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein
+\item[Substitutionsmorphismus]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein
   Element $a∈ R$ gegeben.  Dann betrachte die Abbildung
   \begin{equation*}
     Φ : R[x] → R[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum a_{ν}(x-a)^ν.
@@ -238,25 +237,42 @@ folgenden Weisen.
 
 \begin{bsp}\label{bsp:7.2.7}
   Es sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl und es sei
-  \begin{equation}\label{eq:Rechnungen_S68}
+  \[
     f = x^{p-1}+x^{p-2}+ ⋯ + x+1 ∈ ℤ[x].
-  \end{equation}
-  Auf $f$ kann man das Eisenstein-Kriterium nicht direkt anwenden.  Aber es gilt:
+  \]
+  Auf $f$ kann man das Eisenstein-Kriterium nicht direkt anwenden.  Wir wollen
+  den Substitutionsmorphismus $\varphi : ℤ[x] → ℤ[x]$, $x ↦ x+1$
+  anwenden.  Es ist
+  \[
+    \varphi(f) = (x+1)^{p-1}+(x+1)^{p-2}+ ⋯ + (x+1)+1 ∈ ℤ[x],
+  \]
+  aber das ist schwer auszurechnen.  Deshalb ein Trick: man beobachte, dass sich
+  das Polynom $f$ durch Multiplikation mit $x-1$ mächtig vereinfacht,
   \begin{equation*}
-    (x-1)· f=x^p-1.
+    (x-1)·f = x^p-1.
   \end{equation*}
-  Wenn wir den Substitutionsmorphismus $x→ x+1$ anwenden, erhalten wir
-  \begin{equation*}
-    \varphi((x-1)· f) = x· \varphi(f) = (x+1)^p-1 = \sum_{ν = 0}^{p}\binom{p}{ν}x^ν -1.
-  \end{equation*}
-  Also ist
-  \begin{equation*}
-    \varphi(f) = \sum_{ν=1}^{p}\binom{p}{ν}x^{ν-1}.
-  \end{equation*}
-  Das ist ein Eisenstein-Polynom, denn $p|\binom{p}{ν}$ für alle $ν$ mit
-  $1 ≤ ν < p$.  Zusätzlich gilt $p² \nmid \binom{p}{1}=p$ und
-  $\binom{p}{p}=1$.  Also sind $\varphi(f)$ und $f$ in $ℚ[x]$ jeweils
-  irreduzibel.
+  Dann ist auf der einen Seite
+  \begin{align*}
+    \varphi( (x-1)·f ) & = \varphi(x-1)·\varphi(f) = x·\varphi(f)
+    \intertext{und auf der anderen Seite ist}
+    \varphi( (x-1)·f ) & = \varphi( x^p-1 ) = (x+1)^p-1 \\
+      & = \sum_{ν = 0}^{p}\binom{p}{ν}x^ν -1 = \sum_{ν = 1}^{p}\binom{p}{ν}x^ν.
+    \intertext{Ein Vergleich der beiden Seiten zeigt dann}
+    \varphi(f) & = \sum_{ν=1}^{p}\binom{p}{ν}x^{ν-1}.
+  \end{align*}
+  Das ist ein Eisenstein-Polynom in $ℤ[x]$, denn es gilt Folgendes.
+  \begin{itemize}
+  \item Für alle Zahlen $1 ≤ ν < p$ gilt $p|\binom{p}{ν}$.
+    
+  \item Es ist $\binom{p}{1}=p$, also $p² \nmid \binom{p}{1}$.
+
+  \item Es ist $\binom{p}{p}=1$, sodass der ggT der Koeffizienten ganz sicher
+  gleich eins ist.
+  \end{itemize}
+  Also sind $\varphi(f)$ und $f$ in $ℤ[x]$ jeweils irreduzibel.  Nach
+  Satz~\ref{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus} („Irreduzibilitätskriterium von
+  Gauß“) sind $\varphi(f)$ und $f$ dann auch im Polynomring
+  $ℚ[x]$ irreduzibel.
 \end{bsp}
 
       

08.tex

@@ -17,8 +17,8 @@ Debatte war.
 
 Der nächste Satz stellt die Verbindung zwischen Körpertheorie und
 Konstruierbarkeit her.  Die Formulierung des Satzes verwendet den Begriff
-``konjugierte Menge''.  Dabei ist ``konjugiert'' wie immer nur eine bombastische
-Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
+„konjugierte Menge“.  Dabei ist „konjugiert“ wie immer nur eine bombastische
+Formulierung für „an der reellen Achse gespiegelt“.
 
 \begin{notation}[Konjungierte Menge]
   Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge.  Dann betrachte die Menge
@@ -29,14 +29,13 @@ Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
 \begin{rem}
   Im Fall, wo die Menge $M$ die Elemente $0$ und $1$ enthält, kann man die
   Spiegelung an der reellen Achse mit Zirkel und Lineal konstruieren.  Damit ist
-  klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist.  Es ist in diesem Fall auch
-  klar, dass $i ∈ \Kons(M)$ ist.
+  klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist.  Es ist in diesem Fall auch klar,
+  dass $i ∈ \Kons(M)$ ist.
 \end{rem}
 
-\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}
-  Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$.  Sei weiter
-  $K = ℚ(M ∪ \overline{M})$.  Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die
-  Gleichheit
+\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}%
+  Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$.  Sei weiter $K = ℚ(M ∪
+  \overline{M})$.  Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die Gleichheit
   \begin{equation*}
     [K(z) : K] = 2^k
   \end{equation*}
@@ -47,9 +46,8 @@ Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
 
 \section{Verdopplung des Würfels}
 
-Das klassische Konstruktionsproblem ``Verdopplung des Würfels'' ist mit Zirkel
-und Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist
-$ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
+Das klassische Konstruktionsproblem „Verdopplung des Würfels“ ist mit Zirkel und
+Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist $ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
 \[
   [ℚ(\sqrt[3]{2}): ℚ ] = 3,
 \]
@@ -62,7 +60,7 @@ $\sqrt[3]{2}$ ist.
 Bevor wir die Frage nach der Dreiteilung des Winkel abschließend beantworten,
 beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
 
-\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
+\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}%
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ ein über $K$
   transzendentes Element.  Dann ist $K(a)$ isomorph zum Körper der
   gebrochen-rationalen Funktionen\footnote{Siehe Beispiel~\ref{bsp:2-3-3} im
@@ -77,11 +75,11 @@ beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
 
 Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
 
-\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
+\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}%
   Gegeben sei eine reelle Zahl $\varphi ∈ (0, 2·π)$.  Falls $e^{i\varphi}$
-  transzendent ist, dann ist
-  $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$.  Die Dreiteilung des
-  Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal nicht möglich.
+  transzendent ist, dann ist $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi
+  i}\})$.  Die Dreiteilung des Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal
+  nicht möglich.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   \video{9-3}
@@ -93,14 +91,14 @@ Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
   Konstruktionsverfahren für die Dreiteilung des Winkels.
 \end{bemerkung}
 \begin{proof}
-  Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch
-  $\overline{z} = e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und
-  $\overline{z}$ haben beide dasselbe Minimalpolynom.  Also ist auch der Realteil
+  Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch $\overline{z} =
+  e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und $\overline{z}$ haben beide
+  dasselbe Minimalpolynom.  Also ist auch der Realteil
   \begin{equation*}
     \operatorname{Re}(z) =\frac12(z+\overline{z})
   \end{equation*}
-  algebraisch über $ℚ$.  Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für
-  die $e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist.
+  algebraisch über $ℚ$.  Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für die
+  $e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist.
 \end{proof}
 
 

09.tex

@@ -4,25 +4,20 @@
 \chapter{Ideale}
 \label{chapt:09}
 
-Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
-\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
-bereitgestellt.
-
-
-\section{Wohin geht die Reise}
+\section{Wohin geht die Reise?}
 
 Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach
 der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu
 können, müssen wir die Symmetrien von Körpererweiterungen verstehen … und
-vielleicht irgendwann auch definieren, was mit ``Symmetrie einer
-Körpererweiterung'' gemeint sein soll.  All das wird voraussetzen, dass wir
+vielleicht irgendwann auch definieren, was mit „Symmetrie einer
+Körpererweiterung“ gemeint sein soll.  All das wird voraussetzen, dass wir
 Körpererweiterungen besser beschreiben.  Die Idee ist die: gegeben eine
 einfache, algebraische Erweiterung $K(α)/K$ vom Grad $n$, dann wissen wir schon,
 dass wir alle Elemente des Oberkörpers $K(α)$ als Linearkombinationen der Form
 \[
   k_0 + k_1·α + k_2·α² + ⋯ k_{n-1}·α^{n-1}
 \]
-schreiben könne, wobei die $k_{•}$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$
+schreiben könne, wobei die $k_•$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$
 sind.  Diese Einsicht ist natürlich extrem hilfreich --- wir kennen das von den
 komplexen Zahlen, die sich alle in der Form $k_0 + k_1·\sqrt{-1}$ schreiben
 lassen.  Der Sachverhalt lässt sich auch anders formulieren: Der
@@ -36,16 +31,16 @@ liegt es dann nahe, den Körper $K(α)$ als Quotient zu beschreiben,
   K(α) = \factor{K[x]}{\ker φ}.
 \end{equation}
 Diese Beschreibung\footnote{\label{foot:sage}Hatten Sie sich gewundert, warum
-  SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$''
-  mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet?  Der Grund ist, das runde Klammern in der
-  Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben.
-  Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation
-  ganz sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem
-vertrauten Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper
-$K(α)$.  Um alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal
-überlegen, was für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was
-``Quotient'' genau bedeuten soll.  Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die
-Menge $\ker φ$ ist das typische Beispiel eines ``Ideals im Ring $K[x]$''.
+SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$“ mit
+\texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet?  Der Grund ist, das runde Klammern in der
+Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben.
+Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation ganz
+sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem vertrauten
+Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper $K(α)$.  Um
+alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal überlegen, was
+für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was „Quotient“ genau
+bedeuten soll.  Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die Menge $\ker φ$ ist das
+typische Beispiel eines „Ideals im Ring $K[x]$“.
 
 
 \section{Elementare Definitionen}
@@ -75,23 +70,23 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
 \begin{bemerkung}
   Der Name \emph{Ideal} geht auf
   Kummer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer}{Ernst
-      Eduard Kummer} (* 29.  Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14.  Mai 1893
-    in Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor
-    allem mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und
+  Eduard Kummer} (* 29.~Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14.~Mai 1893 in
+  Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor allem
+  mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und
   Dedekind\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind}{Julius
-      Wilhelm Richard Dedekind} (* 6.  Oktober 1831 in Braunschweig; †
-    12.  Februar 1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück.  Kummer
-  hatte bei der Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen
-  Ringen wie $ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt.  Dedekind
-  hat dann den Idealbegriff geprägt.
+  Wilhelm Richard Dedekind} (* 6.~Oktober 1831 in Braunschweig; † 12.~Februar
+  1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück.  Kummer hatte bei der
+  Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen Ringen wie
+  $ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt.  Dedekind hat dann den
+  Idealbegriff geprägt.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bsp}[Triviale Ideale]
   In jedem kommutativen Ring $R$ sind $I= \{0\}$ und $I=R$ trivialerweise
   Ideale.  Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind das auch die einzigen Ideale.
   Grund: wenn $R$ ein Körper und $I ⊂ R$ ein Ideal ist und $a ∈ I∖ \{0\}$, dann
-  ist auch jedes andere Körperelement in $I$.  Sei nämlich irgendein Element
-  $r ∈ R$ gegeben.  Nach Definition~\ref{def:ideal} ist
+  ist auch jedes andere Körperelement in $I$.  Sei nämlich irgendein Element $r
+  ∈ R$ gegeben.  Nach Definition~\ref{def:ideal} ist
   \[
     r = (r·a^{-1})·a ∈ I.
   \]
@@ -153,10 +148,10 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
     V= \{ \vec{x} ∈ K^n \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x})=0 \}
   \]
   wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind.  Man nennt ein
-  solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische Varietät}.
-  Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel.  Im Internet finden Sie
-  \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier} und
-  \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne
+  solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische
+  Varietät}.  Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel.  Im Internet finden
+  Sie \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier}
+  und \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne
   Beispiele.
 
   Definiere dann das Ideal
@@ -170,7 +165,7 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
 In der \emph{Algebraischen Geometrie}, dem Gebiet auf dem ich und meine
 Mitarbeiter arbeiten, geht es darum, geometrische Räume mithilfe von
 algebraischen Objekten wie etwa Idealen zu beschreiben.  Tatsächlich lässt sich
-ein fast vollständiges Wörterbuch ``Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie''
+ein fast vollständiges Wörterbuch „Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie“
 aufstellen.
 
 
@@ -179,8 +174,8 @@ aufstellen.
 \sideremark{Vorlesung 10}Es gibt noch eine andere, ganz wichtige Klasse von
 Beispielen, die wir in ähnlicher Form schon aus der linearen Algebra kennen.
 Gegeben einen $K$-Vektorraum $V$ und eine beliebige Teilmenge $M ⊂ V$, so
-betrachteten wir in der linearen Algebra den ``von $M$ erzeugten
-Untervektorraum'' und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder
+betrachteten wir in der linearen Algebra den „von $M$ erzeugten Untervektorraum“
+und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder
 $\operatorname{Span}(M)$.  Per Definition gilt: Ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ liegt
 genau dann in $\langle M \rangle_K$, wenn $\vec{v}$ sich als Linearkombination
 der Elemente von $M$ schreiben lässt.  Wenn die Menge $M$ unendlich ist, was
@@ -222,26 +217,27 @@ Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können.
 \end{defn}
 
 \begin{beobachtung}[Hauptideale und Teilbarkeit]
-  Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins.  Weiter seien $a_1, a_2 ∈ R$.
-  Dann gilt offensichtlich
+  Gegeben sei ein Integritätsring $R$.  Weiter seien $a_1, a_2 ∈ R$.  Dann gilt
+  offensichtlich
   \begin{align*}
     (a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\
-    (a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2
+    (a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2.
   \end{align*}
   Die Hauptideale in $R$ entsprechen also eindeutig Klassen von zueinander
   assoziierten Elementen.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{warnung}
-  Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen ``Basisaustauschsatz'',
+  Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen „Basisaustauschsatz“,
   denn zum Beweis des Basisaustauschsatzes ist es absolut notwendig zu
   dividieren!  Es ist nicht immer richtig, dass zwei minimale Erzeugendensysteme
   eines Ideals,
   \[
     I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m),
   \]
-  immer gleiche Mächtigkeit haben.  Falls sie vorhatten, die ``Dimension'' eines
-  Ideals zu definieren -- nice try!
+  immer gleiche Mächtigkeit haben.  Das geht schon im Ring $ℤ$ der ganzen
+  Zahlen schief, dort ist $(1) = (2,3)$.  Falls sie vorhatten, die „Dimension“
+  eines Ideals zu definieren -- \foreignlanguage{english}{Nice try}!
 \end{warnung}
 
 Ein Ideal ist in der Praxis nur dann handhabbar, wenn ich eine möglichst
@@ -345,35 +341,33 @@ Satz sollte ihnen bekannt vorkommen.
     Angenommen, es gäbe eine nicht-leere Menge $M$ von Idealen aus $R$ ohne
     maximales Element.  Dann gibt es zu jedem $I_0∈ M$ ein $I_1∈ M$ mit
     $I_0\subsetneqq I_1$, genau so mit $I_2,I_3,\dots$.  Wir erhalten einen
-    Widerspruch zur Annahme, dass der ``Teilerkettensatz für Ideale'' gilt.
+    Widerspruch zur Annahme, dass der „Teilerkettensatz für Ideale“ gilt.
 
-  \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei
-    $I⊂ R$ ein Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt
-    und in $I$ enthalten sind.  Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$.  Also
-    gibt es per Annahme ein maximales Element $J∈ M$.  Nach Annahme ist $J$
-    endlich erzeugt, also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass
-    $J = I$ ist.  Wenn es aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre
-    $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$ enthält.  Ein Widerspruch zur
-    Annahme.  \qedhere
+  \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei $I⊂ R$ ein
+    Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt und in $I$
+    enthalten sind.  Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$.  Also gibt es per
+    Annahme ein maximales Element $J∈ M$.  Nach Annahme ist $J$ endlich erzeugt,
+    also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass $J = I$ ist.  Wenn es
+    aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$
+    enthält.  Ein Widerspruch zur Annahme.  \qedhere
   \end{description}
 \end{proof}
 
 Der folgende Satz von David
 Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
-    Hilbert} (* 23.  Januar 1862 in Königsberg; † 14.  Februar 1943 in
-  Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.  Er gilt als einer der
-  bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit.  Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet
-  der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige
-  Forschungsgebiete.  Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute
-  bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und
-  veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und
-  des mathematischen Beweises.  Diese Analysen führten zum Gödelschen
-  Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die
-  von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht
-  gänzlich erfüllt werden kann.  Hilberts programmatische Rede auf dem
-  internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine
-  Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
-  mathematische Forschung des 20.  Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem
+Hilbert} (* 23.~Januar 1862 in Königsberg; † 14.~Februar 1943 in Göttingen) war
+ein deutscher Mathematiker.  Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker
+der Neuzeit.  Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik und
+mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete.  Mit seinen
+Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische Auffassung von
+den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische Analyse der
+Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen Beweises.  Diese
+Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt,
+dass das Hilbertprogramm, die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung
+der Mathematik, nicht gänzlich erfüllt werden kann.  Hilberts programmatische
+Rede auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der
+er eine Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
+mathematische Forschung des 20.  Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem
 Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss} von Gauß und ist mindestens genauso wichtig.
 Historisch war der Satz ein Meilenstein.  Hilbert's Beweis erregte auch deshalb
 großes Aufsehen, weil die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems mithilfe

10.tex

@@ -3,25 +3,21 @@
 
 \chapter{Restklassenringe}
 
-\sideremark{Vorlesung 11}Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf
-unserem \href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
-bereitgestellt.
-
-Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon gesagt, warum wir uns für
-Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des
-Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen
-konstruieren.  Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit
-``Quotientenvektorräumen'' haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die
-Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und
-Beweistechniken noch einmal zu wiederholen.  In diesem Semester geht das nicht,
-denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren.  Ich verzichte
-deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass ``alles genau so
-geht, wie in der Linearen Algebra''.
+\sideremark{Vorlesung 11}Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon
+gesagt, warum wir uns für Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der
+Konstruktion des Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen
+Quotienten von Ringen konstruieren.  Ich weiß aus Erfahrung, dass viele
+Studierende ihre Probleme mit „Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser
+Stelle normalerweise die Gelegenheit, um mit der Konstruktion des
+Restklassenringes die Begriffe und Beweistechniken noch einmal zu wiederholen.
+In diesem Semester geht das nicht, denn das Semester ist deutlich kürzer als in
+normalen Jahren.  Ich verzichte deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und
+behaupte, dass „alles genau so geht, wie in der Linearen Algebra“.
 
 \begin{warnung}
-  Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die VL ``Lineare
-  Algebra'' erinnern.  Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst -- solche
-  Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
+  Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung
+  „Lineare Algebra“ erinnern.  Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst --
+  solche Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
 \end{warnung}
 
 
@@ -48,8 +44,8 @@ durch folgende universelle Eigenschaft definiert.
 
 Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn
 Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie.  Man
-spricht deswegen oft nicht ganz richtig von ``dem'' Restklassenring und
-bezeichnet ``den'' Restklassenring mit $R/I$.
+spricht deswegen oft nicht ganz richtig von „dem“ Restklassenring und bezeichnet
+„den“ Restklassenring mit $R/I$.
 
 
 \section{Konstruktion von Restklassenringen}
@@ -60,17 +56,17 @@ universellen Eigenschaft -- mit einer Ausnahme: Existenz.  Wir beweisen die
 Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion
 eines Restklassenringes angeben.
 
-\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}
+\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal.  Zwei
   Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo
-    Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist.  In diesem Fall ist die Schreibweise
-  $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
+  Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist.  In diesem Fall ist die Schreibweise $a \equiv b
+  \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
 \end{defn}
 
-\begin{lem}\label{lem:10-1-2}
+\begin{lem}\label{lem:10-1-2}%
   In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist
   eine Äquivalenzrelation auf $R$.  Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die
-  die Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
+  Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
   \begin{equation*}
     a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed
   \end{equation*}
@@ -82,19 +78,18 @@ eines Restklassenringes angeben.
 \end{notation}
 
 \begin{bsp}
-  Der Name ``Restklasse'' kommt von folgendem Beispiel.  Sei $R = ℤ$, sei
-  $m ∈ ℕ$ eine Zahl, und sei $I = (m)$.  Dann ist
-  $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der
-  Division durch $m$ denselben Rest haben.  Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt
-  $ℤ$ also genau in die Restklassen
+  Der Name „Restklasse“ kommt von folgendem Beispiel.  Sei $R = ℤ$, sei $m ∈ ℕ$
+  eine Zahl, und sei $I = (m)$.  Dann ist $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod}
+  I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der Division durch $m$ denselben Rest
+  haben.  Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt $ℤ$ also genau in die Restklassen
   \begin{equation*}
     0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m).
   \end{equation*}
 \end{bsp}
 
-\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}
+\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}%
   Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal.  Die
-  Äquivalenzrelation ``Kongruenz modulo $I$'' werde mit $\sim$ bezeichnet.  Dann
+  Äquivalenzrelation „Kongruenz modulo $I$“ werde mit $\sim$ bezeichnet.  Dann
   sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an
   die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der
   Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert:
@@ -129,8 +124,8 @@ diese Art und Weise direkt beschreiben.
   \begin{equation*}
     \bigl(g_1+(f)\bigr)· \bigl(g_2+(f)\bigr) = h + (f)
   \end{equation*}
-  wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist.  Ist
-  $\deg f ≥ 1$, dann ist die Abbildung
+  wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist.  Ist $\deg f
+  ≥ 1$, dann ist die Abbildung
   \begin{equation*}
     K → \factor{K[x]}{(f)}, \quad λ ↦ λ+(f)
   \end{equation*}
@@ -144,7 +139,7 @@ diese Art und Weise direkt beschreiben.
 Der folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen
 Eigenschaft.
 
-\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}
+\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei $ψ : R → S$ ein
   surjektiver Ringmorphismus.  Dann ist die induzierte Abbildung
   \begin{equation*}
@@ -181,18 +176,18 @@ zum Restklassenring $K[x]/(f)$ ist.
 \section{Ideale oben und unten}
 
 Neben dem Homomorphiesatz für Ringe gelten noch einige andere Sätze, die wir aus
-der linearen Algebra kennen (``Kürzen'' von Untervektorräumen).  Um diese Sätze
-korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie ``Ideale in $R$'' und
-``Ideale in $R/I$'' zusammenhängen.  Der folgende Satz formuliert den
-Zusammenhang nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für
-beliebige Ringmorphismen.  Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer
-Ideale.  Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus
-surjektiv ist --- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
+der linearen Algebra kennen („Kürzen“ von Untervektorräumen).  Um diese Sätze
+korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie „Ideale in $R$“ und
+„Ideale in $R/I$“ zusammenhängen.  Der folgende Satz formuliert den Zusammenhang
+nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für beliebige
+Ringmorphismen.  Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer Ideale.
+Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus surjektiv ist
+--- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
 
 \begin{satz}[Urbilder von Idealen]
-  Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins.
-  Wenn $I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein
-  Ideal in $R$.  Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
+  Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins.  Wenn
+  $I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein Ideal in
+  $R$.  Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
   \begin{equation*}
     \begin{matrix}
       \{\text{Ideale in }S \} & → & \{ \text{Ideale $J$ in $R$ mit $\ker ψ ⊆ J$}\} \\
@@ -238,8 +233,8 @@ surjektiv ist --- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
 \end{kor}
 
 \begin{bsp}
-  Es sei $K$ ein Körper, es sei $I ⊆ K[x_1, …, x_n]$ ein Ideal.  Dann ist
-  $K[x_1, …, x_n]/I$ noethersch.
+  Es sei $K$ ein Körper, es sei $I ⊆ K[x_1, …, x_n]$ ein Ideal.  Dann ist der
+  Quotientenring $K[x_1, …, x_n]/I$ noethersch.
 \end{bsp}
 
 Der folgende Satz ist wieder eine Konsequenz der universellen Eigenschaft.  Die
@@ -260,10 +255,10 @@ Formulierung verwendet Notation~\ref{not:xx}.
 Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein
 Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist.  Etwas
 bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei?  Für den Ring
-$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung ``Lineare Algebra'' kennengelernt.
-Der Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies
-ist genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist.  Also müssen wir statt
-``Primzahl'' jetzt den Begriff des ``Primideals'' einführen.
+$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt.  Der
+Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies ist
+genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist.  Also müssen wir statt
+„Primzahl“ jetzt den Begriff des „Primideals“ einführen.
 
 \begin{defn}[Primideal]
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
@@ -355,7 +350,7 @@ lösbar ist.
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}
-  Was hat diese Definition mit ``Teilerfremdheit'' zu tun?  Schauen Sie sich den
+  Was hat diese Definition mit „Teilerfremdheit“ zu tun?  Schauen Sie sich den
   Euklidischen Algorithmus aus Beispiel~\vref{bsp:5-6-7} noch einmal an.  In der
   Situation des Beispiels~\ref{bsp:5-6-7} sind zwei Elemente $f$ und $g$
   gegeben.  Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, ist $\ggT(f,g)=1$.  Der
@@ -364,12 +359,12 @@ lösbar ist.
   dass $(f) + (g)$ der gesamte Ring ist.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}
+\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}%
   \index{Chinesischer Restsatz}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es
   seien $I_1, …, I_n ⊂ R$ paarweise teilerfremde Ideale.  Dann ist der
   kanonische Ringhomomorphismus
   \begin{equation*}
-    α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add.  und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
+    α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add.~und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
   \end{equation*}
   surjektiv und es ist $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$.
 \end{satz}

11.tex

@@ -6,12 +6,12 @@
 \sideremark{Vorlesung 12}Bevor es richtig losgeht, stelle ich schnell noch
 einige Grundbegriffe zusammen, die wir später an allen möglichen Stellen
 brauchen.  Den ersten Begriff erkläre ich am besten an einem Beispiel: betrachte
-den Körper $ℂ$.  Wenn $K ⊂ ℂ$ irgendein Unterkörper ist, dann enthält
-$K$ auf jeden Fall die Zahlen $0$ und $1$, und damit auch $2=1+1$, das additive
-Inverse $-2$, das multiplikative Inverse $\frac{1}{2}$, ….  Am Ende erkennen wir,
-dass $K$ den gesamten Unterkörper $ℚ$ enthalten muss.  In diesem Sinne ist
-$ℚ$ also der kleinste Unterkörper von $ℂ$.  Das definieren wir jetzt für
-beliebige Körper.  Die folgende Beobachtung wiederholt \vref{bsp:3-1-2a}.
+den Körper $ℂ$.  Wenn $K ⊂ ℂ$ irgendein Unterkörper ist, dann enthält $K$ auf
+jeden Fall die Zahlen $0$ und $1$, und damit auch $2=1+1$, das additive Inverse
+$-2$, das multiplikative Inverse $\frac{1}{2}$, ….  Am Ende erkennen wir, dass
+$K$ den gesamten Unterkörper $ℚ$ enthalten muss.  In diesem Sinne ist $ℚ$ also
+der kleinste Unterkörper von $ℂ$.  Das definieren wir jetzt für beliebige
+Körper.  Die folgende Beobachtung wiederholt \vref{bsp:3-1-2a}.
 
 \begin{beobachtung}
   Es sei $L$ ein Körper, und es seien $(K_i)_{i ∈ I}$ Unterkörper.  Dann ist
@@ -27,8 +27,8 @@ definieren.
 \end{definition}
 
 \begin{notation}
-  Sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl.  Dann ist $(p) ⊂ ℤ$ ein maximales Ideal
-  und $ℤ/(p)$ ist ein Körper, der mit $𝔽_p$ bezeichnet wird.
+  Sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl.  Dann ist $(p) ⊂ ℤ$ ein maximales Ideal und $ℤ/(p)$
+  ist ein Körper, der mit $𝔽_p$ bezeichnet wird.
 \end{notation}
 
 Für Primkörper gibt es gar nicht viele Möglichkeiten.
@@ -50,15 +50,15 @@ Für Primkörper gibt es gar nicht viele Möglichkeiten.
 \end{definition}
 
 \begin{satz}
-  Es sei $K$ ein endlicher Körper.  Dann hat $K$ hat positive Charakteristik,
-  $p = \operatorname{char}(K) > 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, so das
-  $K$ genau $p^m$ Elemente hat.
+  Es sei $K$ ein endlicher Körper.  Dann hat $K$ hat positive Charakteristik, $p
+  = \operatorname{char}(K) > 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, so das $K$ genau
+  $p^m$ Elemente hat.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen.  Also ist
-  $p = \operatorname{char}(K) > 0$.  Weil $K$ endlich ist, ist der
-  Erweiterungsgrad $m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich.  Ein
-  $m$-dimensionaler Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente.
+  Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen.  Also ist $p =
+  \operatorname{char}(K) > 0$.  Weil $K$ endlich ist, ist der Erweiterungsgrad
+  $m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich.  Ein $m$-dimensionaler
+  Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente.
 \end{proof}
 
 Ich erinnere noch einmal an einige Körper, die wir in den vergangenen Kapiteln

12.tex

@@ -5,10 +5,10 @@
 
 \section{Worum geht es in diesem Teil der Vorlesung?}
 
-Wir sind immer noch an ``Symmetrien vor Körpererweiterungen'' interessiert, aber
+Wir sind immer noch an „Symmetrien vor Körpererweiterungen“ interessiert, aber
 ich habe ihnen bislang nicht erklärt, was ich damit meine.  Das einfachste
 Beispiel ist vielleicht die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$.  In diesem Fall ist die
-relevante ``Symmetrie'' die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der
+relevante „Symmetrie“ die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der
 komplexen Ebene an der reellen Gerade.  Die komplexe Konjugation ist ein
 Körpermorphismus $ℂ → ℂ$ (sogar ein Isomorphismus) mit der interessanten
 Eigenschaft, dass die reellen Zahlen genau diejenigen Punkte der komplexen Ebene
@@ -18,12 +18,12 @@ und $ℝ$ vom höheren Standpunkt aus verstehen.  Warum ist die Erweiterung $ℂ
 so wichtig?  Wenn ich statt $ℝ$ einen anderen Körper betrachte (zum Beispiel
 $𝔽_p(X)$), welcher Körper würde dann die Rolle von $ℂ$ spielen?
 
-Die Antwort kommt aus der Vorlesung ``Analysis'' oder ``Funktionentheorie''.
-Dort beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
+Die Antwort kommt aus der Vorlesung „Analysis“ oder „Funktionentheorie“.  Dort
+beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
 komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$
 besitzt eine komplexe Nullstelle.  Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$
-als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann.  Man sagt: ``die
-komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen''.  Wir werden später sehen, was
+als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann.  Man sagt: „Die
+komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.“ Wir werden später sehen, was
 diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat.
 
 \begin{frage}
@@ -36,19 +36,16 @@ Der folgende Satz beantwortet die bescheidenere Frage, ob ein einzelnes
 gegebenes Polynom $f ∈ K[x]$ immer eine Nullstelle in einem geeigneten
 Oberkörper hat.
 
-\begin{satz}\label{satz:12-1-2}
+\begin{satz}\label{satz:12-1-2}%
   Sei $K$ ein Körper und $f∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.  Dann gibt es
   einen Oberkörper $L ⊃ K$, in dem $f$ eine Nullstelle hat.  Genauer: es sei $g$
-  ein nicht-konstanter irreduzibler Faktor von $f$.  Dann hat $g$ im Körper
-  $L := K[x]/(g)$ eine Nullstelle.
+  ein nicht-konstanter irreduzibler Faktor von $f$.  Dann hat $g$ im Körper $L
+  := K[x]/(g)$ eine Nullstelle.
 \end{satz}
 
 Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt
 Studentinnen und Studenten oft.  Ich diskutiere vor dem Beweis deshalb erst noch
-ein kleines Beispiel.  Auf unserem
-\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} habe ich
-Ihnen ein weiteres, ganz konkretes Beispiel bereitgestellt.
-
+ein kleines Beispiel.
 \begin{erkl}
   Das Polynom $x²+1 ∈ ℝ[x]$ hat keine Nullstelle in $ℝ$, aber es hat eine
   Nullstelle in $ℂ$, nämlich die Zahl $i$; wir wissen natürlich auch noch, dass
@@ -110,7 +107,7 @@ wirklich sein soll.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}
-  Wenn $L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist und $K⊂ L$ ein
+  Wenn $L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist und $K ⊂ L$ ein
   Unterkörper, dann ist der aus Satz und Definition~\vref{satzdef:aaieO}
   bekannte algebraische Abschluss von $K$ in $L$,
   \[
@@ -122,11 +119,11 @@ wirklich sein soll.
   $f ∈ \overline{K}[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.  Weil $L$ algebraisch
   abgeschlossen ist, hat $f$ eine Nullstelle in $a∈ L$.  Das Element $a$ ist
   logischerweise algebraisch über $\overline{K}$ und deshalb wegen
-  Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der Algebraizität'') auch algebraisch
+  Korollar~\vref{kor:TdA} („Transitivität der Algebraizität“) auch algebraisch
   über $K$.  Also ist $a∈\overline{K}$.
 \end{bsp}
 
-\begin{defn}[Algebraischer Abschluss eines Körpers]\label{def:aAeK}
+\begin{defn}[Algebraischer Abschluss eines Körpers]\label{def:aAeK}%
   Es sei $K$ ein Körper.  Ein Oberkörper $L/K$ heißt \emph{algebraischer
   Abschluss von $K$}\index{Algebraischer Abschluss!eines Körpers}, wenn
   Folgendes gilt.
@@ -155,13 +152,17 @@ natürlich, Satz~\ref{satz:12-1-2} für alle Polynome in $K[x]$ auf einmal
 anzuwenden und so sicherzustellen, dass jedes Polynom eine Nullstelle hat.  Das
 ist aber nicht so einfach: denn wenn ich den Körper durch Hinzunahme von
 Polynomen größer mache, gibt es neue Polynome, die ebenfalls Nullstellen haben
-müssen.  In einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma\footnote{Zorn's
-  Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms} zeigen, dass diese naive Idee
-tatsächlich trägt.  Weil das Semester in diesem Jahr deutlich kürzer ist, muss
-an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten.  Der folgende Satz ist als Satz
-von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
-    Steinitz} (* 13.  Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29.  September
-  1928 in Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt.
+müssen.  In einem normalen Jahr würde ich mithilfe des
+\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Zorn}{Zornschen
+Lemmas}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Max_August_Zorn}{Max August
+Zorn} (* 6.~Juni 1906 in Krefeld; † 9.~März 1993 in Bloomington, Indiana, USA)
+war ein US-amerikanischer Professor der Mathematik deutscher Abstammung.}
+zeigen, dass diese naive Idee tatsächlich trägt.  Weil das Semester in diesem
+Jahr deutlich kürzer ist, muss an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten.  Der
+folgende Satz ist als Satz von
+Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
+Steinitz} (* 13.~Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29.~September 1928 in
+Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt.
 
 \begin{satz}[Existenz des Algebraischen Abschluss]\label{Satz_von_Steinitz}
   Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluss.  \qed
@@ -173,7 +174,7 @@ von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
 Als Nächstes müssen wir diskutieren, inwieweit ein algebraischer Abschluss
 eindeutig ist.  Wie immer folgt die Eindeutigkeit aus einer universellen
 Eigenschaft.  Den folgenden Begriff hatten wir oben schon informell unter dem
-Schlagwort ``Symmetrien einer Körpererweiterung'' diskutiert.
+Schlagwort „Symmetrien einer Körpererweiterung“ diskutiert.
 
 \begin{definition}[$K$-Morphismus]
   Es seien $R$ und $S$ Oberringe desselben Unterringes $K$.  Ein Ringmorphismus
@@ -182,8 +183,8 @@ Schlagwort ``Symmetrien einer Körpererweiterung'' diskutiert.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}
-  Betrachte die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$.  Die komplexe Konjugation
-  $\varphi: ℂ → ℂ$ ist ein $ℝ$-Morphismus von $ℂ$ nach $ℂ$.
+  Betrachte die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$.  Die komplexe Konjugation $\varphi: ℂ →
+  ℂ$ ist ein $ℝ$-Morphismus von $ℂ$ nach $ℂ$.
 \end{bsp}
 
 Der folgende Satz beschreibt die universelle Eigenschaft des algebraischen
@@ -191,33 +192,32 @@ Abschluss.  Dieser Satz ist absolut zentral für die kommende Diskussion; er ist
 der eigentliche Grund, warum Galois-Theorie überhaupt funktioniert.  Wieder
 werde ich den Satz aus Zeitgründen nicht beweisen.
 
-\begin{satz}[Universelle Eigenschaft des algebraischen Abschluss]\label{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}
+\begin{satz}[Universelle Eigenschaft des algebraischen Abschluss]\label{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}%
   Es sei $K$ ein Körper und es sei $\overline{K}$ ein algebraischer Abschluss
-  von $K$.  Zusätzlich seien weitere algebraische Körpererweiterungen
-  $K ⊆ L_0 ⊆ L$ von $K$ gegeben, sowie ein $K$-Morphismus
+  von $K$.  Zusätzlich seien weitere algebraische Körpererweiterungen $K ⊆ L_0 ⊆
+  L$ von $K$ gegeben, sowie ein $K$-Morphismus
   \begin{equation*}
     \varphi_0 : L_0 → \overline{K}.
   \end{equation*}
   Dann existiert eine Fortsetzung von $\varphi_0$ zu einem $K$-Morphismus
   $\varphi : L → \overline{K}$.  Mit anderen Worten: es existiert ein
-  $K$-Morphismus $\varphi : L → \overline{K}$, sodass
-  $\varphi|_{L_0} = \varphi_0$ ist.  \qed
+  $K$-Morphismus $\varphi : L → \overline{K}$, sodass $\varphi|_{L_0} =
+  \varphi_0$ ist.  \qed
 \end{satz}
 
 \begin{bsp}
-  Es sei $K = L_0 = ℝ$, es sei $\overline{K} = L = ℂ$.  Weiter sei
-  $\varphi_0 : ℝ → ℝ$ die Identität.  Dann gibt es \emph{zwei} Fortsetzungen von
-  $\varphi_0$ zu einem $ℝ$-Morphismus $\varphi: ℂ → ℂ$; wir können für $\varphi$
-  einerseits die Identität nehmen, andererseits ist auch die
-  Konjugationsabbildung möglich.
+  Es sei $K = L_0 = ℝ$, es sei $\overline{K} = L = ℂ$.  Weiter sei $\varphi_0 :
+  ℝ → ℝ$ die Identität.  Dann gibt es \emph{zwei} Fortsetzungen von $\varphi_0$
+  zu einem $ℝ$-Morphismus $\varphi: ℂ → ℂ$; wir können für $\varphi$ einerseits
+  die Identität nehmen, andererseits ist auch die Konjugationsabbildung möglich.
 \end{bsp}
 
 Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des
 algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie.  Obwohl die
 Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz
-korrekt von ``dem'' Quotientenkörper.
+korrekt von „dem“ algebraischen Abschluss.
 
-\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa}
+\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa}%
   Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei
   algebraische Abschlüsse.  Dann gibt es einen $K$-Isomorphismus $K_1 → K_2$.
 \end{kor}
@@ -234,7 +234,7 @@ korrekt von ``dem'' Quotientenkörper.
 Ich wiederhole noch einmal: Die nicht-Eindeutigkeit der Abbildung $\varphi$ aus
 Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} und nicht-Kanonizität der Abbildung aus
 Korollar~\ref{cor:edaa} sind der Grund dafür, warum die Diskussion von
-``Symmetrie'' überhaupt sinnvoll ist.  Das ist ganz anders als bei dem
+„Symmetrie“ überhaupt sinnvoll ist.  Das ist ganz anders als bei dem
 Quotientenkörper!
 
 

13.tex

@@ -3,13 +3,13 @@
 
 \chapter{Zerfällungskörper}
 
-Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von ``Symmetrie'' gesprochen und
+Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von „Symmetrie“ gesprochen und
 dabei als Beispiel immer nur die Konjugationsabbildung der komplexen Zahlen
 diskutiert.  Das ist ein bisschen dünn.  Wir brauchen mehr Beispiele!
 Tatsächlich liefert fast jedes Polynom ein interessantes Beispiel, den
 Zerfällungskörper.  Was das ist, erkläre ich jetzt.
 
-\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf}
+\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf}%
   Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.  Ein
   Oberkörper $L/K$ heißt \emph{Zerfällungskörper von
   $f$}\index{Zerfällungskörper}, falls Folgendes gilt.
@@ -24,16 +24,16 @@ Zerfällungskörper.  Was das ist, erkläre ich jetzt.
 
 \begin{bemerkung}
   Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die
-  Nullstellen des Polynomes $f ∈ L[x]$.  Insbesondere sind die Elemente
-  $a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung.
+  Nullstellen des Polynoms $f ∈ L[x]$.  Insbesondere sind die Elemente $a_1, …,
+  a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung.
 \end{bemerkung}
 
 Der folgende Satz fasst die ersten Eigenschaften von Zerfällungskörpern
 zusammen.
 
-\begin{satz}\label{satz:13-0-3}
-  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.
-  Dann gilt Folgendes.
+\begin{satz}\label{satz:13-0-3}%
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.  Dann
+  gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item Das Polynom $f$ besitzt einen Zerfällungskörper.
     
@@ -49,37 +49,35 @@ zusammen.
 \end{proof}
 
 Zerfällungskörper sind also eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie.  Wie
-schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von ``dem''
+schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von „dem“
 Zerfällungskörper gesprochen.
 
 \begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper]
-  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.
-  Wenn ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann
-  zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper
-  kommt.  Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ ``lediglich'' die Nullstellen
-  $a_1, …, a_n$ bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen.
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.  Wenn
+  ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann zeigt der
+  Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper kommt.
+  Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ „lediglich“ die Nullstellen $a_1, …, a_n$
+  bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen.
 \end{bemerkung}
 
 Ein wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen
 Körper $K$ und zu einem gegebenen Polynom $f ∈ K[x]$ den Zerfällungskörper zu
-bestimmen.  Dabei ist mit ``bestimmen'' meistens gemeint, dass man den
+bestimmen.  Dabei ist mit „bestimmen“ meistens gemeint, dass man den
 Erweiterungsgrad des Zerfällungskörpers bestimmen und ein möglichst kleinen Satz
 von möglichst einfachen Erzeugern angeben soll.  Meistens ist in diesen
 Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der
 komplexen Zahlen konstruieren wird.
 
 \begin{bsp}
-  Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x²-2 ∈ ℚ[x]$.  Dann ist
-  $L = ℚ(\sqrt 2,-\sqrt2) = ℚ(\sqrt2) ⊆ ℝ$ ein Zerfällungskörper
-  von $f$.
+  Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x²-2 ∈ ℚ[x]$.  Dann ist $L = ℚ(\sqrt 2,-\sqrt2)
+  = ℚ(\sqrt2) ⊆ ℝ$ ein Zerfällungskörper von $f$.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}
-  Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Betrachte die komplexe Zahl
-  $ξ := e^{\frac{2π i}{3}}$.  Dann sind die komplexen Zahlen
-  $a_0 := \sqrt[3]{2}$, $a_1 := ξ·\sqrt[3]{2}$ und $a_2 := ξ_3²·\sqrt[3]{2}$
-  genau die komplexen Nullstellen von $f$.  Also ein Zerfällungskörper gegeben
-  durch
+  Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Betrachte die komplexe Zahl $ξ
+  := e^{\frac{2π i}{3}}$.  Dann sind die komplexen Zahlen $a_0 := \sqrt[3]{2}$,
+  $a_1 := ξ·\sqrt[3]{2}$ und $a_2 := ξ_3²·\sqrt[3]{2}$ genau die komplexen
+  Nullstellen von $f$.  Also ein Zerfällungskörper gegeben durch
   \[
     L = ℚ(a_0, a_1, a_2) = ℚ \Bigl(\sqrt[3]{2}, ξ \Bigr).
   \]
@@ -87,11 +85,10 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
   \[
     [L : ℚ] ≤ 3!  = 6,
   \]
-  ist, aber wie groß ist der Grad wirklich?  Wir überlegen, dass
-  $[ℚ \bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$.  Also gilt $3| [L:Q]$ und man
-  muss lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist.  Das ist aber nicht der
-  Fall, denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$.  Also ist
-  $[L:ℚ] =6$.
+  ist, aber wie groß ist der Grad wirklich?  Wir überlegen, dass $[ℚ
+  \bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$.  Also gilt $3| [L:Q]$ und man muss
+  lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist.  Das ist aber nicht der Fall,
+  denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$.  Also ist $[L:ℚ] =6$.
 \end{bsp}
 
 
@@ -99,10 +96,10 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
 \label{sec:13-1}
 
 \sideremark{Vorlesung 14}Ich komme zu meinem Lieblingsthema zurück.  Jetzt kann
-ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von ``Symmetrien'' auf
+ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von „Symmetrien“ auf
 sich hat.
 
-\begin{situation}\label{sit:gal}
+\begin{situation}\label{sit:gal}%
   Es sei $K$ ein Körper, es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom und es
   sei $L/K$ ein Zerfällungskörper von $f$.  Weiter seien $a_1, …, a_n$ die
   Nullstellen von $f$ in $L$.
@@ -113,7 +110,7 @@ beiden Beobachtungen klären die Frage fast vollständig.  Die Beobachtungen
 zeigen auch, dass es sich bei der Frage um ein kombinatorisches Problem handelt,
 das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
 
-\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen geben Permutationen]\label{beob:p1}
+\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen geben Permutationen]\label{beob:p1}%
   In Situation~\ref{sit:gal} sei $\varphi: L → L$ ein $K$-Morphismus.  Schreibe
   $f(x) = \sum b_i·xⁱ$.  Wenn $a_• ∈ L$ eine der Nullstellen von $f$ ist, dann
   ist
@@ -131,7 +128,7 @@ das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
   \end{equation}
 \end{beobachtung}
 
-\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen sind durch Permutationen eindeutig beschrieben]\label{beob:p2}
+\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen sind durch Permutationen eindeutig beschrieben]\label{beob:p2}%
   In Situation~\ref{sit:gal} wissen wir schon, dass $L = K(a_1, …, a_n)$ ist.
   Ich kann also jedes Element $ℓ ∈ L$ als endliche Summe schreiben,
   \[
@@ -141,13 +138,13 @@ das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
   Wenn ich jetzt einen $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ habe, dann ist
   \begin{align*}
     \varphi(ℓ) & = \sum \varphi(β_{i_1,…,i_n})·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n} \\
-               & = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}.  && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$}
+               & = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}.  && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$.}
   \end{align*}
   Wir erkennen: Der $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ ist eindeutig dadurch
-  festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet!
-  Die Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die
-  ``Symmetriegruppe'' von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$
-  als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen.
+  festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet!  Die
+  Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die
+  „Symmetriegruppe“ von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$ als
+  Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen.
 \end{beobachtung}
 
 
@@ -163,25 +160,25 @@ ein wenig Sprache.
   vielen) Variablen $(x_λ)_{λ∈ Λ}$.
 \end{notation}
 
-Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den
+Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser Stelle den
 Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.  Ich
 finde das aber arg formell und hoffe, Sie verzeihen mir, wenn ich das jetzt
 einfach mal nicht mache.  Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer
 \emph{endliche} Summen sind.  Insbesondere treten in jedem einzelnen Polynom
 immer nur endlich viele Variablen auf.
 
-\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:ringad}
+\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:ringad}%
   Es sei $S$ ein Ring und es sei $R ⊂ S$ ein Unterring.  Weiter sei
   $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Familie von Elementen aus $S$.  Dann bezeichnet man mit
-  $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ das Bild von $R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ unter
-  dem Substitutionsmorphismus
+  $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ das Bild von $R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ unter dem
+  Substitutionsmorphismus
   \[
     R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr] → S, \quad f(x_{λ_1}, …, x_{λ_m}) ↦
     f(a_{λ_1}, …, a_{λ_m})
   \]
-  Man sagt, der Unterring $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊂ S$ entsteht aus
-  $R$ durch \emph{Adjunktion} der Elemente $(a_λ)_{λ∈Λ}$.  Den Vorgang nennt
-  man \emph{Ringadjunktion}\index{Ringadjunktion}.
+  Man sagt, der Unterring $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊂ S$ entsteht aus $R$ durch
+  \emph{Adjunktion} der Elemente $(a_λ)_{λ∈Λ}$.  Den Vorgang nennt man
+  \emph{Ringadjunktion}\index{Ringadjunktion}.
 \end{defn}
 
 \begin{beobachtung}
@@ -197,19 +194,18 @@ immer nur endlich viele Variablen auf.
 \end{beobachtung}
 
 
-\subsection{Ringadjunktion vs Körperadjunktion}
+\subsection{Ringadjunktion vs.~Körperadjunktion}
 
 Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von $L$,
 dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper
 $K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)$ vergleichen.  Offenbar gilt immer
 \[
-  K ⊆ K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊆ K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)
-  ⊆ L.
+  K ⊆ K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊆ K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) ⊆ L.
 \]
 Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht.  Die Sätze klären auch
-noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$
-adjungiert $\sqrt{5}$'' mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet.  Schauen Sie sich
-vielleicht auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
+noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert
+$\sqrt{5}$“ mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet.  Schauen Sie sich vielleicht
+auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
 
 \begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Teilmenge
@@ -222,8 +218,8 @@ vielleicht auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
 \begin{proof}
   Wir wissen schon, dass $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ der kleinste Unterring des
   Körpers $L$ ist, der $K$ und $(a_λ)_{λ∈Λ}$ enthält.  Gemäß der universellen
-  Eigenschaft ist der Quotientenkörper der kleinste Körper, der
-  $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ enthält, also gleich $K\bigl((a_λ)_{λ∈Λ}\bigr)$.
+  Eigenschaft ist der Quotientenkörper der kleinste Körper, der $K\bigl[
+  (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ enthält, also gleich $K\bigl((a_λ)_{λ∈Λ}\bigr)$.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
@@ -237,8 +233,8 @@ vielleicht auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
     K(a) = K + K·a + ⋯ + K·a^{n-1}
   \end{equation*}
   wobei $n= [a : K]$ ist.  Also ist $K(a) = K[a]$.  Wenn das Elemente $a$
-  transzendent ist, dann ist $K[x] ≅ K[a]$ kein Körper und deshalb ist
-  $K[a] ≠ K(a)$.
+  transzendent ist, dann ist $K[x] ≅ K[a]$ kein Körper und deshalb ist $K[a] ≠
+  K(a)$.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
@@ -251,13 +247,13 @@ vielleicht auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
   \end{itemize}
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  Induktion nach $n$ und der Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der
-  Algebraizität'').
+  Induktion nach $n$ und der Korollar~\vref{kor:TdA} („Transitivität der
+  Algebraizität“).
 \end{proof}
 
-\begin{bemerkung}
-  Für beliebige Körpererweiterungen $L/K$ und beliebige Teilmengen
-  $(a_λ)_{λ∈Λ} ⊂ L$ ist die Äquivalenz
+\begin{bemerkung}[Endlichkeit ist wichtig]
+  Für beliebige Körpererweiterungen $L/K$ und beliebige Teilmengen $(a_λ)_{λ∈Λ}
+  ⊂ L$ ist die Äquivalenz
   \begin{equation*}
     K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) = K\bigr[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr] \quad⇔\quad\text{alle $a_λ$ sind algebraisch}
   \end{equation*}

14.tex

@@ -13,7 +13,7 @@ Nullstellen beschrieben sind, frage ich mich vermutlich als erstes, wie viele
 Nullstellen es eigentlich gibt.  Kann es überhaupt vorkommen, dass $a$ eine
 mehrfache Nullstelle von $f$ ist?
 
-\begin{beobachtung}\label{beo:14-0-1}
+\begin{beobachtung}\label{beo:14-0-1}%
   Wenn $K = ℚ$ ist, geht das nicht.  Denn wenn $a$ eine mehrfache Nullstelle
   ist, also $f = (x-a)²·g ∈ ℂ[x]$ wäre, dann kann ich die Ableitung betrachten,
   \[
@@ -46,14 +46,14 @@ Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren:
       \end{matrix}
     \right.
   \]
-  In der Praxis ist man meist zu faul und schreibt statt $φ(n) ∈ R$ einfach
-  $n ∈ R$.  Aber Achtung!  Die Abbildung $φ$ ist nicht immer injektiv!  Es gilt
-  zum Beispiel $p = 0 ∈ 𝔽_p$.
+  In der Praxis ist man meist zu faul und schreibt statt $φ(n) ∈ R$ einfach $n ∈
+  R$.  Aber Achtung!  Die Abbildung $φ$ ist nicht immer injektiv!  Es gilt zum
+  Beispiel $p = 0 ∈ 𝔽_p$.
 \end{notation}
 
-\begin{definition}[Formale Ableitung]\label{Def_formale_Ableitung}
-  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Wenn jetzt ein Polynom
-  $f = \sum_{i=0}^{n}a_i·xⁱ ∈ R[x]$ gegeben ist, dann nenne das Polynom
+\begin{definition}[Formale Ableitung]\label{Def_formale_Ableitung}%
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Wenn jetzt ein Polynom $f =
+  \sum_{i=0}^{n}a_i·xⁱ ∈ R[x]$ gegeben ist, dann nenne das Polynom
   \begin{equation*}
     f' = \sum_{i=1}^{n} i· a_i· x^{i-1}∈ R[x]
   \end{equation*}
@@ -62,7 +62,7 @@ Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren:
   Iteration der Ableitung definiert.
 \end{definition}
 
-\begin{bemerkung}[Ableitung kann überraschend verschwinden]\label{bem:14-1-3}
+\begin{bemerkung}[Ableitung kann überraschend verschwinden]\label{bem:14-1-3}%
   Es kann vorkommen, dass $\deg f >0$ ist, aber trotzdem $f' = 0$.  Wenn nämlich
   Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$, beispielsweise $K = 𝔽_p$.  Dann
   ist $p = 0 ∈ R$ und das Polynom $f(x) = x^p$ hat daher die formale Ableitung
@@ -72,7 +72,7 @@ Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren:
   Trotzdem ist $f$ aber nicht konstant, denn $f(1) = 1$ und $f(0) = 0$.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{satz}[Rechenregeln für die formale Ableitung]\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung}
+\begin{satz}[Rechenregeln für die formale Ableitung]\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $f$, $g ∈ R[x]$.
   Weiter sei ein Element $r ∈ R$ gegeben.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
@@ -107,7 +107,7 @@ bestimmen.  Was war noch einmal die Ordnung?
   in $R[x]$ gelten.
 \end{defn}
 
-\begin{kor}\label{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle}
+\begin{kor}\label{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei ein Polynom $f ∈ R[x]$
   der Form $f = (x-a)^m· g$ gegeben, mit $a∈ R$ und $g∈ R[x]$.  Dann ist
   \begin{equation*}
@@ -124,38 +124,37 @@ bestimmen.  Was war noch einmal die Ordnung?
   \begin{equation*}
     f(a) = f'(a) = ⋯ = f^{(m-1)}(a) = 0
   \end{equation*}
-  ist.  Wenn $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, also insbesondere
-  $m!  ≠ 0 ∈ R$ ist, dann ist $f^{(m)}(a) ≠ 0$, wenn $a$ eine $m$-fache
-  Nullstelle von $f$ ist.  Wir haben aber schon in Bemerkung~\ref{bem:14-1-3}
-  gesehen, dass man über beliebigen Körpern die Nullstellenordnung so nicht
-  bestimmen kann!
+  ist.  Wenn $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, also insbesondere $m!  ≠
+  0 ∈ R$ ist, dann ist $f^{(m)}(a) ≠ 0$, wenn $a$ eine $m$-fache Nullstelle von
+  $f$ ist.  Wir haben aber schon in Bemerkung~\ref{bem:14-1-3} gesehen, dass man
+  über beliebigen Körpern die Nullstellenordnung so nicht bestimmen kann!
 \end{beobachtung}
 
 
-\section{Der Frobenius Morphismus}
+\section{Der Frobenius-Morphismus}
 
 Über Körpern und Ringen der Charakteristik $p > 0$ gibt es einen ganz
 unglaublichen Körpermorphismus, den wir noch nicht kennen: den
 Frobenius-Morphismus\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius}{Ferdinand
-    Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26.  Oktober 1849 in Berlin; † 3.
-  August 1917 in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein
-  deutscher Mathematiker.  Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin
-  und setzte dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}.  Der Morphismus ist
-eigentlich ganz einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$.  Das
-unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
+Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26.~Oktober 1849 in Berlin; † 3.~August 1917
+in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein deutscher
+Mathematiker.  Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin und setzte
+dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}.  Der Morphismus ist eigentlich ganz
+einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$.  Das unglaubliche ist, dass
+diese Abbildung \textbf{linear} ist!
 
 \begin{defn}[Charakeristik eines Ringes]
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Die
   \emph{Charakteristik}\index{Charakteristik!eines Ringes} von $R$ ist die
-  kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ^+$, sodass die $n$-fache Summe des
-  Einselementes gleich dem Nullelement wird, also
+  kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ⁺$, sodass die $n$-fache Summe des
+  Einselements gleich dem Nullelement wird, also
   \[
     \underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n ⨯} =0.
   \]
   Gibt es eine solche Zahl nicht, so sagt man, dass $R$ Charakteristik 0 hat.
 \end{defn}
 
-\begin{satzdef}[Frobenius-Endomorphismus]\label{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus}
+\begin{satzdef}[Frobenius-Endomorphismus]\label{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus}%
   Es sei $p$ eine Primzahl und es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins der
   Charakteristik $p$.  Dann ist die Abbildung
   \begin{equation*}
@@ -174,8 +173,8 @@ unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
 
 \begin{notation}
   In der Situation von Satz~\ref{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} ist die
-  Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring.  Dieser wird als ``Menge der
-  $p$-Potenzen'' bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert.
+  Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring.  Dieser wird als „Menge der
+  $p$-Potenzen“ bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert.
 \end{notation}
 
 \begin{beobachtung}
@@ -190,7 +189,7 @@ unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
 \section{Separable und inseparable Polynome}
 
 Ich hatte oben gefragt, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen haben
-kann.  Die ehrliche Antwort lautet: ``vielleicht'' und begründet die folgende
+kann.  Die ehrliche Antwort lautet: „vielleicht“ und begründet die folgende
 Definition.
 
 \begin{defn}[Separable und inseparable Polynome]
@@ -199,8 +198,7 @@ Definition.
   \emph{separabel}\index{separabel!Polynom}, wenn $f$ keine mehrfachen
   Nullstellen in $\overline{K}$ hat.  Ein beliebiges nicht-konstantes Polynom
   heißt separabel, wenn alle irreduziblen Faktoren separabel sind.
-  Nicht-separable Polynome heißen
-  \emph{inseparabel}\index{inseparabel!Polynom}.
+  Nicht-separable Polynome heißen \emph{inseparabel}\index{inseparabel!Polynom}.
 \end{defn}
 
 \begin{warnung}
@@ -210,7 +208,7 @@ Definition.
 Separable Polynome können mithilfe des Frobenius-Morphismus genau beschrieben
 werden.
 
-\begin{satz}\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel}
+\begin{satz}\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel}%
   Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein irreduzibles Polynom.  Dann
   sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
@@ -222,7 +220,7 @@ werden.
     
   \item\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3} Die Charakteristik von
     $K$ ist eine Primzahl $p>0$, es existiert ein irreduzibles und separables
-    Polynom $g ∈ K[x]$ und eine Zahl $e ∈ ℕ^+$, sodass
+    Polynom $g ∈ K[x]$ und eine Zahl $e ∈ ℕ⁺$, sodass
     \begin{equation*}
       f(x) = g \Bigl( x^{(p^e)} \Bigr)
     \end{equation*}
@@ -288,7 +286,7 @@ werden.
 
 \begin{bsp}
   Sei $K = 𝔽_p(t) = Q\bigl( 𝔽_p[t] \bigr)$.  Nach dem
-  Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} (``Eisenstein-Kriterium'') ist
+  Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} („Eisenstein-Kriterium“) ist
   \begin{equation*}
     f = x^p-t ∈ K[x]
   \end{equation*}
@@ -318,36 +316,36 @@ separabel, wenn alle Elemente separabel sind.
 
 \sideremark{Vorlesung 15}
 
-\begin{satz}\label{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper}
+\begin{satz}\label{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper}%
   Wenn $L/K$ eine separable Körpererweiterung ist und $Z$ ein Zwischenkörper,
   dann sind auch $L/Z$ und $Z/K$ separabel.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Es ist klar, dass $Z/K$ separabel ist.  Sei jetzt also $a ∈ L$.  Wir müssen
   zeigen, dass $a$ separabel über $Z$ ist.  Dazu beobachten wird, dass das
-  Minimalpolynom von $a$ über $Z$ das Minimalpolynom von $a$ über $K$ teilt.  Das
-  letztere hat aber keine mehrfachen Nullstellen, also hat auch das erste keine
-  mehrfachen Nullstellen.
+  Minimalpolynom von $a$ über $Z$ das Minimalpolynom von $a$ über $K$ teilt.
+  Das letztere hat aber keine mehrfachen Nullstellen, also hat auch das erste
+  keine mehrfachen Nullstellen.
 \end{proof}
 
 
 \subsection{Separabilität und Anzahl von $K$-Morphismen}
 
 Im Folgenden ist ein wesentlicher Punkt, dass sich endliche separable
-Körpererweiterungen $L/K$ durch die Anzahl der $K$-Homomorphismen
-$L → \overline{K}$ charakterisieren lassen.  Als Anwendung erhalten wir eine
-Reihe von Sätzen und Korollaren über separable Erweiterungen, die wir schon in
-ganz ähnlicher Form (und mit ganz ähnlichen Beweisen) für algebraische
-Erweiterungen kennen.  Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
+Körpererweiterungen $L/K$ durch die Anzahl der $K$-Homomorphismen $L →
+\overline{K}$ charakterisieren lassen.  Als Anwendung erhalten wir eine Reihe
+von Sätzen und Korollaren über separable Erweiterungen, die wir schon in ganz
+ähnlicher Form (und mit ganz ähnlichen Beweisen) für algebraische Erweiterungen
+kennen.  Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
 
-\begin{lemma}\label{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen}
+\begin{lemma}\label{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen}%
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $a ∈ L$ sei algebraisch über $K$, mit
   Minimalpolynom $f ∈ K[x] ⊆ L[x]$.  Wenn $m$ die Anzahl der Nullstellen von $f$
-  in $L$ bezeichnet, dann gibt es genau $m$ verschiedene $K$-Morphismen
-  $σ : K(a) → L$.
+  in $L$ bezeichnet, dann gibt es genau $m$ verschiedene $K$-Morphismen $σ :
+  K(a) → L$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-  Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: jeder
+  Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: Jeder
   potenzielle $K$-Morphismus $σ$ bildet $a$ auf eine der $m$ Nullstellen von $f$
   an, und ist durch dieses Bild eindeutig festgelegt.  Jetzt müssen wir
   lediglich noch zeigen, dass jede dieser $m$ verschiedenen Möglichkeiten
@@ -357,9 +355,9 @@ Erweiterungen kennen.  Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
     \varphi_a : K[x] → K(a), \quad g ↦ g(a) \qquad\text{und}\qquad \varphi_b : K[x] → L, \quad g ↦ g(b).
   \end{equation*}
   Weil $f(a) = f(b) = 0$ ist, ist $f ∈ \ker \varphi_a$ und $f ∈ \ker \varphi_b$.
-  Weil $f$ irreduzibel ist, muss aber schon die Gleichheit
-  $(f) = \ker \varphi_a = \ker \varphi_b$ gelten.  Also liefern $\varphi_a$ und
-  $\varphi_b$ $K$-Morphismen
+  Weil $f$ irreduzibel ist, muss aber schon die Gleichheit $(f) = \ker \varphi_a
+  = \ker \varphi_b$ gelten.  Also liefern $\varphi_a$ und $\varphi_b$
+  $K$-Morphismen
   \begin{equation*}
     \factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_a} K(a) \qquad\text{und}\qquad \factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_b} L,
   \end{equation*}
@@ -370,10 +368,10 @@ Erweiterungen kennen.  Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
 
 Mit diesen Vorbereitungen können wir separable Abbildungen in präziser Art durch
 die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren.  Als Konsequenz erhalten wir
-eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der ``algebraischen
-Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen.
+eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der „algebraischen
+Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen.
 
-\begin{satz}\label{Satz_11_10}
+\begin{satz}\label{Satz_11_10}%
   Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung
   und es sei $n := [L:K]$.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
@@ -396,9 +394,9 @@ Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen.
   Man bette $M$ in $\overline{K}$ ein.
 \end{proof}
 
-\begin{kor}
-  Sei $L = K[a_1, …, a_t]$, wobei $a_i$ stets separabel über
-  $K[a_1, …, a_{i-1}]$ ist.  Dann ist $L/K$ separabel.
+\begin{kor}\label{cor:14-4-7}%
+  Sei $L = K(a_1, …, a_t)$, wobei $a_i$ stets separabel über $K(a_1, …,
+  a_{i-1})$ ist.  Dann ist $L/K$ separabel.
 \end{kor}
 \begin{proof}
   Der Beweis von \ref{Satz_11_10} zeigt, dass es $n=\prod n_i$ viele
@@ -411,22 +409,25 @@ Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen.
   separabel.
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  Wir wissen schon, dass $M/K$ algebraisch ist.  Sei $a∈ M$ ein Element und
+  Wir wissen schon, dass $M/K$ algebraisch ist.  Sei also $a ∈ M$ irgendein
+  Element.  Wir müssen zeigen, dass $a$ separabel über $K$ ist.  Betrachte dazu
+  das Minimalpolynom von $a$ über dem Zwischenkörper $L$,
   \begin{equation*}
-    f = \underbrace{a_0+a_1· x+\dots +a_{n-1}x^{n-1}+x^n}_{∈ L[x]}
+    f = a_0+a_1· x+\dots +a_{n-1}·x^{n-1}+x^n ∈ L[x].
   \end{equation*}
-  das zugehörige Minimalpolynom.  Es gilt, dass $a$ separabel über
-  $K[a_0, …, a_{n-1}] =: L^{n-1}$ ist.  Weil die $a_i$ aber separabel über $K$
-  sind, ist $L^\prime[a] = K[a_0, …, a_{n-1}, a]$ separabel.  Insbesondere ist
-  $a$ separabel.
+  Es gilt, dass $a$ separabel über $K(a_0, …, a_{n-1})$ ist.  Gegeben einen
+  Index $i$, dann gilt nach Satz~\ref{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper} auch,
+  dass die $a_i$ separabel über $K(a_0, …, a_{i-1})$ sind.  Also ist $K(a_0, …,
+  a_{n-1}, a)$ nach Korollar~\ref{cor:14-4-7} separabel über $K$.  Insbesondere
+  ist $a$ separabel über $K$.
 \end{proof}
 
 
 \subsection{Der separable Abschluss}
 
-Erinnern Sie sich an den ``algebraischen Abschluss einer Körpers in einem
-Oberkörper'', den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben?  Auch
-dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
+Erinnern Sie sich an den „algebraischen Abschluss eines Körpers in einem
+Oberkörper“, den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben?  Auch dieser
+Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
 übertragen.
 
 \begin{satzdef}[Separabler algebraischer Abschluss, Separabilitätsgrad]
@@ -458,7 +459,7 @@ dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
   unpassenden Witzen an, die sich nicht zum Abdruck eignen.
 \end{bsp}
 
-\begin{satz}\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen}
+\begin{satz}\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen}%
   Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$.  Dann sind folgende Aussagen
   äquivalent.
   \begin{enumerate}
@@ -481,10 +482,10 @@ dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
 \end{proof}
 
 \begin{bemerkung}
-  Das einfachste Beispiel für einen unvollkommenen Körper ist $K = 𝔽_p(t)$.  Das
-  einfachste inseparable Polynom ist $x^p-t ∈ K[x]$.  Wenn wir eine Nullstelle
-  dieses Polynoms in $\overline{K}$ wählen und sinnigerweise mit $\sqrt[p]{t}$
-  bezeichnen, dann ist
+  Das einfachste Beispiel für einen unvollkommenen Körper ist $K = 𝔽_p(t)$.
+  Das einfachste inseparable Polynom ist $x^p-t ∈ K[x]$.  Wenn wir eine
+  Nullstelle dieses Polynoms in $\overline{K}$ wählen und sinnigerweise mit
+  $\sqrt[p]{t}$ bezeichnen, dann ist
   \[
     \factor{K \Bigl( \sqrt[p]{t} \Bigr)}{K}
   \]

15.tex

@@ -10,10 +10,10 @@
 seit der Vorlesung 10 hin gearbeitet habe: die Symmetriegruppe von
 Körpererweiterungen, auch bekannt als
 Galois\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Evariste_Galois}{Évariste
-    Galois} (* 25.  Oktober 1811 in Bourg-la-Reine; † 31.  Mai 1832 in Paris)
-  war ein französischer Mathematiker.  Er starb im Alter von nur 20 Jahren bei
-  einem Duell, erlangte allerdings durch seine Arbeiten zur Lösung algebraischer
-  Gleichungen, der sogenannten Galoistheorie, postum Anerkennung.}-Gruppe.  Die
+Galois} (* 25.~Oktober 1811 in Bourg-la-Reine; † 31.~Mai 1832 in Paris) war ein
+französischer Mathematiker.  Er starb im Alter von nur 20 Jahren bei einem
+Duell, erlangte allerdings durch seine Arbeiten zur Lösung algebraischer
+Gleichungen, der sogenannten Galoistheorie, postum Anerkennung.}-Gruppe.  Die
 folgende Definition haben wir informell schon an mehreren Stellen diskutiert.
 
 \begin{defn}[Galoisgruppe einer Körpererweiterung]
@@ -28,30 +28,30 @@ folgende Definition haben wir informell schon an mehreren Stellen diskutiert.
 \begin{defn}[Galoisgruppe eines Polynoms]
   Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom.  Weiter sei $L$ der
   Zerfällungskörper von $f$ über $K$.  Dann wird die Galoisgruppe der
-  Körpererweiterung $L/K$ oft auch mit $\Gal(f)$ notiert und als ``Galoisgruppe
-  von $f$'' bezeichnet.\index{Galoisgruppe!eines Polynoms}
+  Körpererweiterung $L/K$ oft auch mit $\Gal(f)$ notiert und als „Galoisgruppe
+  von $f$“ bezeichnet.\index{Galoisgruppe!eines Polynoms}
 \end{defn}
 
 Eine wichtige Aufgabe der Algebra, Algebra-Klausur und der mündlichen
-Algebra-Prüfung ist es, die Galois-Gruppe einer gegebenen Körpererweiterung zu
-beschreiben.  Dabei bedeutet ``beschreiben'' mindestens, das man die Anzahl der
+Algebra-Prüfung ist es, die Galoisgruppe einer gegebenen Körpererweiterung zu
+beschreiben.  Dabei bedeutet „beschreiben“ mindestens, das man die Anzahl der
 Elemente angeben kann.  Besser ist es, Erzeuger und Relationen der Gruppe
 anzugeben.  Noch besser ist es, die Gruppe mit einer bekannten Gruppe, etwa der
 \href{https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN516762672}{Symmetriegruppe eines
-  schicken platonischen Körpers}, zu identifizieren.  Die allererste Beobachtung
+schicken platonischen Körpers}, zu identifizieren.  Die allererste Beobachtung
 ist, dass die Gruppe in vielen relevanten Fällen zumindest endlich ist.  Wir
 können sogar eine Abschätzung für die Größe der Gruppe angeben und die Größe in
 einigen Fällen sogar exakt bestimmen.
 
-\begin{beobachtung}[Größenabschätzung für die Galoisgruppe]\label{beob:gg}
+\begin{beobachtung}[Größenabschätzung für die Galoisgruppe]\label{beob:gg}%
   Wenn $L/K$ eine endliche Körpererweiterung ist, $n := [L:K]$, dann zeigt
-  Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} (``Universelle Eigenschaft des
-  algebraischen Abschluss'') zusammen mit Satz~\ref{Satz_11_10}, dass es 
-  höchstens $n$ verschiedene $K$-Morphismen $L → L$ gibt.  Also ist
-  $|\Gal(L/K)| ≤ n$.
+  Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} („Universelle Eigenschaft des
+  algebraischen Abschluss“) zusammen mit Satz~\ref{Satz_11_10}, dass es
+  höchstens $n$ verschiedene $K$-Morphismen $L → L$ gibt.  Also ist $|\Gal(L/K)|
+  ≤ n$.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{beobachtung}
+\begin{beobachtung}[Einfache Erweiterungen]
   Wenn $L/K$ eine einfache\footnote{Definition~\vref{def:einfach}: einfach = es
   gibt eine Element $a ∈ L$, sodass die Gleichung $L=K(a)$ gilt.}
   Körpererweiterung ist, dann zeigt
@@ -70,7 +70,7 @@ einigen Fällen sogar exakt bestimmen.
   \end{equation*}
   Also hat $\Gal(L/K)$ genau zwei Elemente.  Wir wissen auch schon, welche.  Ein
   Element ist die Identität; diese bildet $a$ auf $a$ ab.  Das andere Element
-  heißt ``Konjugation''; dies ist der eindeutige $ℚ$-Automorphismus von $L$, der
+  heißt „Konjugation“; dies ist der eindeutige $ℚ$-Automorphismus von $L$, der
   $a$ auf $-a$ abbildet.
 \end{bsp}
 
@@ -107,9 +107,9 @@ einigen Fällen sogar exakt bestimmen.
 \section{Normale Körpererweiterungen}
 
 Wir interessieren uns besonders für Körpererweiterungen, die maximal viele
-Automorphismen besitzen; diese werden wir in Kürze ``Galoisch'' nennen.  Ich muss
+Automorphismen besitzen; diese werden wir in Kürze „Galoisch“ nennen.  Ich muss
 aber erst noch kurz den folgenden Begriff einführen, der den Begriff des
-``Zerfällungskörpers'' verallgemeinert; wir hatten ja schon gesehen, wie wichtig
+„Zerfällungskörpers“ verallgemeinert; wir hatten ja schon gesehen, wie wichtig
 Zerfällungskörper in der Diskussion von Symmetrien sind.
 
 \begin{defn}[Normale Körpererweiterung]\label{def:normal}
@@ -140,12 +140,12 @@ charakterisieren.
     Körpererweiterung $L/K$ ist normal.
     
   \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_2} Es existiert eine
-    Familie $(f_{λ})_{λ∈Λ}$ von Polynomen, $f_{λ}∈ K[x]$, sodass $L$ aus $K$
-    durch Adjunktion sämtlicher Nullstellen der $f_{λ}$ im algebraischen
-    Abschluss $\overline{L}$ von $L$ entsteht.
+    Familie $(f_{λ})_{λ∈Λ}$ von Polynomen, $f_λ ∈ K[x]$, sodass $L$ aus $K$
+    durch Adjunktion sämtlicher Nullstellen der $f_λ$ im algebraischen Abschluss
+    $\overline{K} = \overline{L}$ entsteht.
     
   \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_3} Für jeden
-    $K$-Morphismus $σ: L → \overline{L}$ gilt, dass $σ(L) = L$ ist.  Das heißt:
+    $K$-Morphismus $σ: L → \overline{K}$ gilt, dass $σ(L) = L$ ist.  Das heißt:
     $σ$ induziert einen $K$-Automorphismus von $L$.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
@@ -158,14 +158,13 @@ charakterisieren.
   dann ist auch $L/Z$ normal.  \qed
 \end{kor}
 
-Für endliche Körpererweiterungen ist der Begriff ``normal'' weniger
-geheimnisvoll, als es auf den ersten Blick vielleicht scheint: in diesem Kontext
-bedeutet ``normal'' nichts anderes als ``Zerfällungskörper eines geeigneten
-Polynoms''.
+Für endliche Körpererweiterungen ist der Begriff „normal“ weniger geheimnisvoll,
+als es auf den ersten Blick vielleicht scheint: in diesem Kontext bedeutet
+„normal“ nichts anderes als „Zerfällungskörper eines geeigneten Polynoms“.
 
 \begin{satz}\label{satz:x1}
   Eine endliche Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann normal, wenn $L$ der
-  Zerfällungskörper eines Polynomes $f ∈ K[x]$ ist.
+  Zerfällungskörper eines Polynoms $f ∈ K[x]$ ist.
 \end{satz}
 \begin{proof}[Beweis ``$⇒$'']
   Angenommen, $L/K$ ist endlich und normal.  Dann gibt es per Annahme endlich
@@ -180,10 +179,10 @@ Polynoms''.
   Satz~\ref{satz:h4} gesehen, dass $L$ normal ist.
 \end{proof}
 
-Eine wesentliches Fakt zu normalen Erweiterungen ist, dass sich jede
+Ein wesentlicher Fakt zu normalen Erweiterungen ist, dass sich jede
 Körpererweiterung immer zu einer normalen Körpererweiterung vergrößern lässt.
 Der folgende Satz sagt, dass es unter all diesen Vergrößerungen eine kleinste
-gibt, die sogar eindeutig ist.  Dabei bedeutet ``eindeutig'' wie meistens in
+gibt, die sogar eindeutig ist.  Dabei bedeutet „eindeutig“ wie meistens in
 dieser Vorlesung: eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie.
 
 \begin{satzdef}[Normale Hülle einer Körpererweiterung]
@@ -209,13 +208,12 @@ dieser Vorlesung: eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie.
 
 \section{Galoissche Körpererweiterungen}
 
-Ich sagte es schon: Die besten Körpererweiterung sind die, die maximal viele
-Symmetrien (=Automorphismen) haben.  Dabei bedeutet ``maximal'' nach
-Beobachtung~\ref{beob:gg}: die Anzahl der Automorphismen ist gleich dem
+Ich sagte es schon: Die besten Körpererweiterungen sind die, die maximal viele
+Symmetrien (=Automorphismen) haben.  Dabei bedeutet „maximal“ nach
+Beobachtung~\ref{beob:gg}: Die Anzahl der Automorphismen ist gleich dem
 Erweiterungsgrad.  Diese Körpererweiterungen werden zu Ehren von Évariste Galois
-die ``Galoischen'' Körpererweiterungen genannt.  Das Studium dieser
-Erweiterungen und ihrer Symmetriegruppe wird heute mit ``Galois-Theorie''
-bezeichnet.
+die „Galoisschen“ Körpererweiterungen genannt.  Das Studium dieser Erweiterungen
+und ihrer Symmetriegruppe wird heute mit „Galoistheorie“ bezeichnet.
 
 \begin{satzdef}[Galoische Körpererweiterungen]
   Es sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung.  Dann sind folgende Aussagen
@@ -250,14 +248,14 @@ bezeichnet.
   Polynomen aus $K[x]$.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}\label{bsp:c-r}
+\begin{bsp}[Einfachstes Beispiel]\label{bsp:c-r}
   Die einfachste aller Galoiserweiterungen ist $ℂ/ℝ$.  Die Galoisgruppe ist
   $\Gal(ℂ/ℝ) = \{ \Id, \text{Konjugation} \}$.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}\label{Markierung_fuer_Beweis_Hauptsatz_Galois_Aussage_1_1}
+\begin{bsp}\label{Markierung_fuer_Beweis_Hauptsatz_Galois_Aussage_1_1}%
   Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $K ⊆ Z ⊆ L$ ein Zwischenkörper, dann
-  ist auch $L/Z$ Galoisch.  Das folgt zum Beispiel so: der Körper $L$ ist nach
+  ist auch $L/Z$ Galoisch.  Das folgt zum Beispiel so: Der Körper $L$ ist nach
   Punkt~\ref{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_2} der
   Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $f ∈ K[x]$.  Dann ist $L$ aber
   auch der Zerfällungskörper von $f ∈ Z[x]$.  Die Galoisgruppe $\Gal(L/Z)$ ist
@@ -274,8 +272,8 @@ Galoisgruppe eines Polynoms jetzt schon folgendes sagen.
 
 \begin{lem}
   Es sei $K$ ein Körper und es sei $L$ der Zerfällungskörper eines separablen
-  Polynoms $f ∈ K[x]$ vom Grad $n$.  Die Nullstellen von $f$ in $L$ seien
-  $a_1, …, a_n$.  Dann gilt Folgendes.
+  Polynoms $f ∈ K[x]$ vom Grad $n$.  Die Nullstellen von $f$ in $L$ seien $a_1,
+  …, a_n$.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:y1} Jedes Gruppenelement $σ ∈ \Gal(f)$ permutiert die
     Nullstellen $a_1, …, a_n$.  Ein Gruppenelement $σ$ ist durch diese
@@ -283,7 +281,7 @@ Galoisgruppe eines Polynoms jetzt schon folgendes sagen.
     Untergruppe der Gruppe $S_n$ der Permutationen der Menge $\{a_1, …, a_n\}$
     auffassen.  Insbesondere gilt
     \begin{equation*}
-      |\Gal(f)| ≤ |S_n| = n!
+      |\Gal(f)| ≤ |S_n| = n!.
     \end{equation*}
     
   \item\label{il:y2} Die Nullstellen der irreduziblen Faktoren von $f$ werden
@@ -303,7 +301,7 @@ Galoisgruppe eines Polynoms jetzt schon folgendes sagen.
   (wo?).  Die anderen Aussagen beweise ich im \video{17-1}.
 \end{proof}
 
-Das Wort ``Konjugation'' aus Beispiel~\vref{bsp:c-r} wird in der Literatur auch
+Das Wort „Konjugation“ aus Beispiel~\vref{bsp:c-r} wird in der Literatur auch
 allgemeiner für beliebige Galoiserweiterungen verwendet.
 
 \begin{defn}[Konjungierte Elemente]
@@ -316,11 +314,11 @@ allgemeiner für beliebige Galoiserweiterungen verwendet.
   \emph{galoiskonjugierten}\index{galoiskonjugierte Elemente} von $a$.
 \end{defn}
 
-\begin{bsp}\label{bsp:x-2}
+\begin{bsp}\label{bsp:x-2}%
   Wir setzen das Beispiel~\vref{bsp:x-1} fort.  Dort haben wir schon gesehen,
   dass $ℚ(\sqrt[3]{2})/ℚ$ nicht Galoisch ist.  Der Zerfällungskörper des
   Polynoms $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist nämlich\footnote{Preisfrage: warum bezeichne
-    ich den Zerfällungskörper mit dem Symbol ``$N$''?}
+  ich den Zerfällungskörper mit dem Symbol „$N$“?}
   \[
     N = ℚ\bigl(a, ξ·a, ξ²·a\bigr).
   \]

16.tex

@@ -15,7 +15,7 @@ wohl ebenfalls eine Zweierpotenz sein muss.
 Ich in diesem Skript immer wieder geschrieben, dass für schwierigere
 Nichtkonstruierbarkeitsbeweise eine einfache Betrachtung von Erweiterungsgraden
 nicht reicht, und das wir Symmetrien betrachten müssen.  Inzwischen ist klar,
-dass ich mit ``Symmetrie'' die Galoisgruppe meine.  Jetzt ist es an der Zeit zu
+dass ich mit „Symmetrie“ die Galoisgruppe meine.  Jetzt ist es an der Zeit zu
 sagen, wie Symmetrien genutzt werden können, um Ketten von Körpererweiterungen
 zu untersuchen.  Am Ende werden wir sehen, dass die relevanten
 Körpererweiterungen für Konstruktionsprobleme nicht nur Grad $2^n$ über $ℚ$
@@ -24,7 +24,7 @@ Unterkörper, die von konstruierbaren Punkten kommen, müssen dann ebenfalls rec
 speziell sein.
 
 \begin{bemerkung}
-  Der Hauptsatz der Galoistheorie wird ``Hauptsatz der Galoistheorie'' genannt,
+  Der Hauptsatz der Galoistheorie wird „Hauptsatz der Galoistheorie“ genannt,
   weil er in der Theorie der Galoiserweiterungen eine zentrale Rolle einnimmt.
   Es ist vielleicht eine gute Idee, diesen Satz ernst zu nehmen.
 \end{bemerkung}
@@ -49,10 +49,10 @@ ist eine Hausaufgabe.
 \end{satzdef}
 
 Der folgende Satz von Emil
-Artin\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin}{Emil Artin} (* 3.
-  März 1898 in Wien; † 20.  Dezember 1962 in Hamburg) war ein österreichischer
-  Mathematiker und einer der führenden Algebraiker des 20.
-  Jahrhunderts.}\footnote{Emil Artin $\not =$ Michael Artin} sagt, dass
+Artin\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin}{Emil Artin} (*
+3.~März 1898 in Wien; † 20.~Dezember 1962 in Hamburg) war ein österreichischer
+Mathematiker und einer der führenden Algebraiker des
+20.~Jahrhunderts.}\footnote{Emil Artin $\not =$ Michael Artin} sagt, dass
 Fixkörper stets Beispiele für Galoiserweiterungen liefern.
 
 \begin{satz}[Satz von Emil Artin]\label{Theorem_von_E_Artin}
@@ -65,13 +65,13 @@ Fixkörper stets Beispiele für Galoiserweiterungen liefern.
 Der Beweis des Satzes von Emil Artin ist nicht trivial.  Wir geben einen Beweis
 im Abschnitt~\vref{ssec:16-3}, müssen als Vorbereitung aber zuerst die lineare
 Unabhängigkeit von Charakteren beweisen.  Wahrscheinlich muss ich auch noch
-erklären, was ein ``Charakter'' eigentlich ist.
+erklären, was ein „Charakter“ eigentlich ist.
 
 
 \subsection{Die lineare Unabhängigkeit von Charakteren}
 
 Um eine gegebene Gruppe $H$ zu verstehen, kann man untersuchen, welche
-Gruppenmorphism der Form $H → L^*$ es gibt, wobei $L^*$ die multiplikative
+Gruppenmorphismen der Form $H → L^*$ es gibt, wobei $L^*$ die multiplikative
 Gruppe eines Körpers $L$ sein soll.  Leute, die viel mit Gruppen arbeiten,
 meinen, dass solche Abbildungen die Gruppe charakterisieren.  Ich finde diese
 Wortwahl nicht sehr überzeugend, aber mich fragt ja keiner.
@@ -218,7 +218,7 @@ eigentlich schon im Abschnitt~\ref{sec:gruppen} hätte bringen sollen.
   \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4} Für jedes $σ ∈ G$ und
     jeden Zwischenkörper $Z$ ist $σ(Z)$ ein Zwischenkörper und es ist
     \begin{equation*}
-      \Gal\bigl(\factor{L}{σ(Z)}\bigr) = σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1}
+      \Gal\bigl(\factor{L}{σ(Z)}\bigr) = σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1}.
     \end{equation*}
     
   \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} Für einen Zwischenkörper
@@ -227,7 +227,7 @@ eigentlich schon im Abschnitt~\ref{sec:gruppen} hätte bringen sollen.
     \begin{equation*}
       σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1} = \Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)
     \end{equation*}
-    ist.  Ist dies der Fall, dann ist
+    ist.  Wenn dies der Fall sein sollte, dann ist
     \begin{equation*}
       \Gal\bigl(\factor{Z}{K}\bigr) ≅ \factor{\Gal\bigl(\factor{L}{K}\bigr)}{\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)}.
     \end{equation*}
@@ -274,12 +274,12 @@ und folgende Zwischenkörper von $N/ℚ$,
   \begin{tikzcd}[column sep=tiny]
     & & ℚ \ar[dll, hook] \ar[dl, hook] \ar[dr, hook] \ar[drr, hook] \\
     ℚ(a_3) \ar[drr, hook] & ℚ(a_2) \ar[dr, hook] & & ℚ(a_1) \ar[dl, hook]& ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr) \ar[dll, hook]\\
-    & & N
+    & & N.
   \end{tikzcd}
 \]
-Diese Behauptung wirft die Frage auf, wieso der Fixkörper der Gruppe
-$\{\Id, (123), (132)\}$ gleich $ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr)$ sein sollte.  Sie haben
-sich vermutlich schon in Beispiel~\ref{bsp:x-2} gefragt, wieso die komplexe Zahl
+Diese Behauptung wirft die Frage auf, wieso der Fixkörper der Gruppe $\{\Id,
+(123), (132)\}$ gleich $ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr)$ sein sollte.  Sie haben sich
+vermutlich schon in Beispiel~\ref{bsp:x-2} gefragt, wieso die komplexe Zahl
 $\sqrt3·i$ überhaupt in $N$ liegt.  Dann haben Sie nachgerechnet und konnten
 $\sqrt3·i$ mithilfe der $a_1$, $a_2$ und $a_3$ ausdrücken.  Schauen Sie sich
 diesen Ausdruck einmal ganz scharf an.  Wenn Sie nicht weiterkommen, sprechen

17.tex

@@ -4,12 +4,12 @@
 \chapter{Grundbegriffe}
 \label{chap:17}
 
-Ich hatte oben geschrieben ``[Der Hauptsatz der Galoistheorie] reduziert die
-Frage nach Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem''.  Also befasst
+Ich hatte oben geschrieben „[Der Hauptsatz der Galoistheorie] reduziert die
+Frage nach Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem“.  Also befasst
 sich der laufende Teil der Vorlesung mit gruppentheoretischen Problemen.  Um die
 vorgesehene Stoffmenge in diesem verkürzten Semester unterzubringen, werde ich
-mich oft kurzfassen und auch einige Beweise weglassen.  Ich hoffe, Sie sehen
-mir das nach.
+mich oft kurzfassen und auch einige Beweise weglassen.  Ich hoffe, Sie sehen mir
+das nach.
 
 \begin{defn}[Ordnung einer Gruppe]
   Es sei $G$ eine Gruppe.  Die Anzahl der Elemente von $G$ heißt \emph{Ordnung}
@@ -81,9 +81,9 @@ wir in der einen oder anderen Form im Laufe der Vorlesung auch schon verwendet.
 
 \begin{defn}[(In)effektivität, Treue]
   Gegeben sei eine Gruppenwirkung $α : G ⨯ M → M$ wie in
-  Definition~\ref{defn:gruppenwirkung} Der Kern des Gruppenmorphismus $φ_α$ aus
-  Beobachtung~\ref{beo:mup} heißt \emph{Ineffektivität} der Gruppenwirkung.  Die
-  Gruppenwirkung heißt \emph{treu}\index{treue Gruppenwirkung} oder
+  Definition~\ref{defn:gruppenwirkung}.  Der Kern des Gruppenmorphismus $φ_α$
+  aus Beobachtung~\ref{beo:mup} heißt \emph{Ineffektivität} der Gruppenwirkung.
+  Die Gruppenwirkung heißt \emph{treu}\index{treue Gruppenwirkung} oder
   \emph{effektiv}\index{effektive Gruppenwirkung}, wenn der Gruppenmorphismus
   $φ$ aus Beobachtung~\ref{beo:mup} injektiv ist.
 \end{defn}
@@ -112,13 +112,13 @@ wir in der einen oder anderen Form im Laufe der Vorlesung auch schon verwendet.
   Der Einfachheit halber nehmen wir einmal an, dass Funktionen $γ_p$ mit der
   gewünschten Eigenschaft existieren -- der Satz von
   Picard\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emile_Picard}{Charles
-      Émile Picard} (* 24.  Juli 1856 in Paris; † 11.  Dezember 1941 ebenda) war
-    ein französischer
+  Émile Picard} (* 24.~Juli 1856 in Paris; † 11.~Dezember 1941 ebenda) war ein
+  französischer
   Mathematiker.}-Lindelöf\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Leonard_Lindelöf}{Ernst
-      Leonard Lindelöf} (* 7.  März 1870 in Helsingfors (Helsinki),
-    Großfürstentum Finnland; † 4.  Juni 1946 in Helsinki) war ein finnischer
-    Mathematiker.} sagt ihnen unter anderem, dass die $γ_p$ dann auch eindeutig
-  sind.  Dann erhalten wir durch die Vorschrift
+  Leonard Lindelöf} (* 7.~März 1870 in Helsingfors (Helsinki), Großfürstentum
+  Finnland; † 4.~Juni 1946 in Helsinki) war ein finnischer Mathematiker.} sagt
+  ihnen unter anderem, dass die $γ_p$ dann auch eindeutig sind.  Dann erhalten
+  wir durch die Vorschrift
   \[
     γ : ℝ ⨯ ℝ² → ℝ², \quad (t, p) ↦ γ_p(t)
   \]
@@ -131,14 +131,14 @@ wir in der einen oder anderen Form im Laufe der Vorlesung auch schon verwendet.
 Gruppenwirkungen sind fundamental und treten in jedem Teilbereich der Mathematik
 prominent auf.  Deshalb gibt es auch unendliche viele Definitionen und
 Begriffsbildungen rund um dieses Konzept.  Ich beschränke mich hier auf die
-Allerwesentlichsten.
+Wesentlichsten.
 
 \begin{defn}[Bahn und Fixpunkt]
-  Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$.
-  Weiter sei ein Element $m ∈ M$ gegeben.  Die Menge
-  $G· m := \{g· m\::\: g∈ G\}$ wird \emph{Bahn}\index{Bahn} oder
-  \emph{Orbit}\index{Orbit} von $G$ durch $m$ genannt.  Falls $G·m = \{m\}$ ist,
-  dann nennt man $m$ einen \emph{Fixpunkt} der Gruppenwirkung.
+  Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$.  Weiter
+  sei ein Element $m ∈ M$ gegeben.  Die Menge $G· m := \{g· m\::\: g∈ G\}$ wird
+  \emph{Bahn}\index{Bahn} oder \emph{Orbit}\index{Orbit} von $G$ durch $m$
+  genannt.  Falls $G·m = \{m\}$ ist, dann nennt man $m$ einen \emph{Fixpunkt}
+  der Gruppenwirkung.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
@@ -152,10 +152,10 @@ Allerwesentlichsten.
   folgenden elementaren Aussagen: gegeben zwei Punkte $m_1, m_2∈ M$, dann sind
   die Bahnen $G·m_1$ und $G·m_2$ entweder gleich oder disjunkt.  Folgern Sie,
   dass $M$ ist die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, und das die Relation
-  ``hat dieselbe Bahn wie'' eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist.  Die Menge der
+  „hat dieselbe Bahn wie“ eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist.  Die Menge der
   Bahnen (= der Quotient unter dieser Äquivalenzrelation) wird als
-  \emph{Bahnenraum}\index{Bahnenraum} bezeichnet.  Wenn die Gruppenwirkung klar,
-  wird der Bahnenraum oft mit $M/G$ bezeichnet.
+  \emph{Bahnenraum}\index{Bahnenraum} bezeichnet.  Wenn die Gruppenwirkung klar
+  ist, wird der Bahnenraum oft mit $M/G$ bezeichnet.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{defn}[Transitive Wirkung]
@@ -182,9 +182,14 @@ ein Maß dafür, wie sehr ein Punkt davon entfernt ist, ein Fixpunkt zu sein.
 Statt nur einzelne Punkte zu betrachten, definiere ich die Isotropiegruppe
 gleich für Untermengen statt für Punkte.
 
-\begin{defn}[Isotropie und Stabilisator]\label{def:ius}
+\begin{defn}[Isotropie und Stabilisator]\label{def:ius}%
   Es sei $α : G⨯M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$.  Weiter
-  sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge.
+  sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge.  Gegeben ein Element $g ∈ G$, so schreiben wir
+  kurz
+  \[
+    g·N := \{ g·n \::\: n ∈ N \}.
+  \]
+
   \begin{itemize}
   \item Die Untergruppe
     \[
@@ -194,15 +199,16 @@ gleich für Untermengen statt für Punkte.
 
   \item Die Untergruppe
     \[
-      \Stab(N) := \{ g ∈ G \::\: \forall n ∈ N: g·n ∈ N \} ⊆ G
+      \Stab(N) := \{ g ∈ G \::\: g·N = N \} ⊆ G
     \]
     wird als \emph{Stabilisator}\index{Stabilisator} der Menge $N$ bezeichnet.
   \end{itemize}
 \end{defn}
 
-\begin{notation}\label{not:17.1.5}
+\begin{notation}\label{not:17.1.5}%
   Im Fall, dass die Menge $N$ aus Definition~\ref{def:ius} nur aus einem Element
-  besteht, $N = \{m\}$, schreibt man statt $\Iso(\{m\})$ häufig kurz $\Iso(m)$.
+  besteht, $N = \{m\}$, gilt $\Stab(N) = \Iso(N)$.  In diesem Fall schreibt man
+  statt $\Iso(\{m\})$ häufig kurz $\Iso(m)$.
 \end{notation}
 
 \begin{bemerkung}
@@ -213,8 +219,8 @@ gleich für Untermengen statt für Punkte.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}
-  In der älteren deutschen Literatur findet man statt ``Isotropiegruppe'' oft
-  auch das Wort ``Standgruppe'', was heute als anzüglich empfunden wird.
+  In der älteren deutschen Literatur findet man statt „Isotropiegruppe“ oft auch
+  das Wort „Standgruppe“, was heute als anzüglich empfunden wird.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bsp}
@@ -243,7 +249,7 @@ Ich nenne drei besonders relevante Beispiele.
   \]
   zwei treue Wirkungen von $G$ auf sich selbst definiert, die
   \emph{Linksmultiplikation}\index{Linksmultiplikation} und
-  \emph{Rechtsmultiplikation}\index{Rechtsmultiplikation} genannt werden.
+  \emph{Rechts\-multiplikation}\index{Rechtsmultiplikation} genannt werden.
 \end{bsp}
 
 \begin{frage}
@@ -312,7 +318,7 @@ der Untergruppen.  Die folgende Definition macht das präzise.
 \begin{achtung}
   In Definition~\ref{defn:normalisator} wirkt die Gruppe $G$ auf die Menge
   \[
-    M := \bigl\{ \text{Untergruppen von } G \bigr\}
+    M := \bigl\{ \text{Untergruppen von } G \bigr\}.
   \]
   Die Untergruppe $U$ ist hier ein \emph{Element} der Menge $M$.  Also ist
   $\Iso(U)$ gemäß Notation~\ref{not:17.1.5} zu verstehen!
@@ -320,11 +326,11 @@ der Untergruppen.  Die folgende Definition macht das präzise.
 
 \begin{bemerkung}
   In der Situation aus Definition~\ref{defn:normalisator} ist $N(U)$ stets eine
-  Obergruppe von $U$; wir erhalten also eine Kette von Untergruppen
-  $U ⊆ N(U) ⊆ G$.  Überlegen Sie sich, dass die Gruppe $U$ stets eine normale
-  Untergruppe von $N(U)$ ist.  Überlegen Sie sich auch, dass die Untergruppe
-  $N(U)$ die eindeutige, maximale Zwischengruppe mit dieser Eigenschaft ist.
-  Was meine ich mit ``eindeutig, maximal'' eigentlich ganz genau?
+  Obergruppe von $U$; wir erhalten also eine Kette von Untergruppen $U ⊆ N(U) ⊆
+  G$.  Überlegen Sie sich, dass die Gruppe $U$ stets eine normale Untergruppe
+  von $N(U)$ ist.  Überlegen Sie sich auch, dass die Untergruppe $N(U)$ die
+  eindeutige, maximale Zwischengruppe mit dieser Eigenschaft ist.  Was meine ich
+  mit „eindeutig, maximal“ eigentlich ganz genau?
 \end{bemerkung}
 
 
@@ -362,8 +368,8 @@ Isotropiegruppe.  Der folgende Satz quantifiziert das.
   Elemente wie $\Iso(m)$.
 \end{proof}
 
-Wir hatten in Beobachtung~\vref{obs:Index} schon den Begriff des ``Indexes einer
-Untergruppe'' eingeführt.  Ich wiederhole das noch einmal.
+Wir hatten in Beobachtung~\vref{obs:Index} schon den Begriff des „Indexes einer
+Untergruppe“ eingeführt.  Ich wiederhole das noch einmal.
 
 \begin{bsp}[Linksmultiplikation und Rechtsnebenklassen]
   Sei $G$ eine Gruppe und $U⊂ G$ eine Untergruppe, dann operiert $U$ auf $G$
@@ -412,11 +418,11 @@ bezeichnet.
   \end{equation*}
   Die Anzahl der Elemente in einer Konjugationsklasse ist stets ein Teiler der
   Gruppenordnung $|G|$.  Wenn jetzt $h_1, …, h_n∈ G$ ein vollständiges
-  Repräsentantsystem für die Konjugationsklassen in $G$ sind, dann ist $G$ die
+  Repräsentantensystem für die Konjugationsklassen in $G$ sind, dann ist $G$ die
   disjunkte Vereinigung dieser Konjugationsklassen, und deshalb gilt die
   \emph{Klassengleichung}\index{Klassengleichung}
   \begin{equation}\label{eq_Klassengleichung_I}
-    |G| = \sum_{i=1}^{n} [G : \Zentralisator(h_i)]
+    |G| = \sum_{i=1}^{n} [G : \Zentralisator(h_i)].
   \end{equation}
   Manchmal schreibt man die Klassengleichung auch anders.  Dazu beobachte man,
   dass die Elemente des Zentrums $\Zentralisator(G)$ exakt diejenigen Elemente
@@ -429,7 +435,7 @@ bezeichnet.
 
 \section{Restklassengruppen}
 
-``Restklassengruppen'' oder ``Gruppenquotienten'' kennen wir schon lange.  Der
+„Restklassengruppen“ oder „Gruppenquotienten“ kennen wir schon lange.  Der
 lieben Vollständigkeit halber zähle ich die wesentlichen Eigenschaften noch
 einmal auf.  Alle Beweise sollten Ihnen bekannt sein… Wie immer gilt es, eine
 elegante universelle Eigenschaft formulieren.
@@ -440,8 +446,8 @@ elegante universelle Eigenschaft formulieren.
   \emph{Gruppenquotient}\index{Gruppenquotient} ist eine Gruppe $Q$ zusammen mit
   einem Gruppenmorphismus $q : G → Q$, sodass $\ker q = N$ ist und so, dass
   folgende universelle Eigenschaft gilt.  Wenn ein Gruppenmorphismus $α : G → H$
-  mit $N ⊂ \ker α$ gegeben ist, dann existiert genau ein Gruppenmorphismus
-  $β : Q → H$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
+  mit $N ⊂ \ker α$ gegeben ist, dann existiert genau ein Gruppenmorphismus $β :
+  Q → H$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
   \[
     \begin{tikzcd}
       G \ar[r, "q"] \ar[d, equal] & Q \ar[d, "β"] \\
@@ -540,7 +546,7 @@ Dank Beobachtung~\ref{beo:xx} ergeben die folgenden Sätze Sinn.
 Die Diskussion in diesem Kapitel ist recht ähnlich zur Diskussion des
 Primkörpers eines Körpers.  Die vielleicht einfachste Gruppe ist $(ℤ,+)$.  Die
 Untergruppen von $ℤ$ sind leicht zu bestimmen.  Wenn nämlich $U ⊂ ℤ$ eine
-Untergruppe ist, dann ist für alle $n∈ℤ^+$ und für alle $u ∈ U$
+Untergruppe ist, dann ist für alle $n∈ℤ⁺$ und für alle $u ∈ U$
 \begin{equation*}
   n·u=\underbrace{u+\dots+u}_{n⨯}∈ U.
 \end{equation*}
@@ -618,10 +624,9 @@ der Beantwortung der Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks
 noch sehr wichtig wird.  Die Abbildung, die jeder Zahl $n$ die Anzahl der
 primitiven Elemente von $ℤ/(n)$ zuordnet, wird
 Eulersche\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler}{Leonhard
-    Euler} (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15.  April 1707 in Basel; † 7.
-  Septemberjul./ 18.  September 1783greg.  in Sankt Petersburg) war ein
-  Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur.}
-$φ$-Funktion genannt.
+Euler} (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15.~April 1707 in Basel; † 7.~September
+1783 in Sankt Petersburg) war ein Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom,
+Geograf, Logiker und Ingenieur.} $φ$-Funktion genannt.
 
 \begin{defn}[Eulersche $φ$-Funktion]
   Man nennt die Funktion
@@ -636,18 +641,18 @@ $φ$-Funktion genannt.
   neutralen Element sind alle Elemente primitiv.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Einheitswurzeln]\label{bsp:ehw}
-  Die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln,
+\begin{bsp}[Einheitswurzeln]\label{bsp:ehw}%
+  Die Menge der $n$.ten Einheitswurzeln,
   \[
     \Bigl\{ e^{\frac{2π i}{n}· a} \::\: 0≤ a< n\Bigr\} ⊂ ℂ,
   \]
   also die Nullstellen von $x^n-1 ∈ ℂ[n]$ bilden bezüglich der Multiplikation
   eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$.  Die primitiven Erzeuger heißen
   \emph{primitive Einheitswurzeln}\index{primitive Einheitswurzeln}.  Die Gruppe
-  der $n$-ten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären $n$-Ecks.
+  der $n$.ten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären $n$-Ecks.
   Die vollständige Symmetriegruppe des $n$-Ecks enthält neben Drehungen noch
   Spiegelungen.  Man nennt diese Gruppe \emph{Diedergruppe}\index{Diedergruppe}.
-  Die Diedergruppe $D_n$ hat die Ordnung $2· n$ und ist nicht abelsch.
+  Die Diedergruppe $D_n$ hat die Ordnung $2·n$ und ist nicht abelsch.
 \end{bsp}
 
 Der folgende Satz liefert weitere Beispiele.
@@ -660,10 +665,13 @@ Der folgende Satz liefert weitere Beispiele.
 Vor dem Beweis von Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}
 zuerst zwei kleine Lemmas.  Das erste können Sie selbst beweisen.
 
-\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Ordnung_teilen}
-  Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $g,h∈ G$ zwei Elemente, die
-  kommutieren\footnote{das bedeutet: $g· h= h· g$}.  Weiter sei
-  $\ggT(\ord g, \ord h) = 1$.  Dann ist $\ord(g· h) = (\ord g)·(\ord h)$.  \qed
+\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Ordnung_teilen}%
+  Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $g,h∈ G$ zwei Elemente endlicher Ordnung,
+  die zusätzlich auch noch kommutieren\footnote{Das bedeutet: $g·h= h·g$.}.
+  Weiter sei $\ggT(\ord g, \ord h) = 1$.  Dann ist 
+  \[
+    \ord(g·h) = (\ord g)·(\ord h).  \eqno \qed
+  \]
 \end{lemma}
 
 \begin{lemma}\label{Lemma_Ordnung_teilen}
@@ -724,10 +732,10 @@ $R^*$ beweisen.
 
 Der kleine Satz von
 Fermat\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre de
-    Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne,
-  heute im Département Tarn-et-Garonne; † 12.  Januar 1665 in Castres) war ein
-  französischer Mathematiker und Jurist.} ist eine zahlentheoretische Aussage,
-die sich trivial aus dem Gesagten ergibt.  Wir halten die Aussage für spätere
+Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, heute
+im Département Tarn-et-Garonne; † 12.~Januar 1665 in Castres) war ein
+französischer Mathematiker und Jurist.} ist eine zahlentheoretische Aussage, die
+sich trivial aus dem Gesagten ergibt.  Wir halten die Aussage für spätere
 Anwendungen noch einmal fest.
 
 \begin{satz}[Kleiner Satz von Fermat]\label{satz:kleinerFermat}
@@ -736,16 +744,16 @@ Anwendungen noch einmal fest.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Falls $a$ ein Vielfaches von $p$ ist, ist die Sache klar.  Ansonsten liefert
-  die Restklasse von $a$ ein nicht-verschwindendes Element
-  $\overline{a} ∈ ℤ/(p) = 𝔽_p$, also ein Element der multiplikativen Gruppe
-  $𝔽^*_p$, welche $p-1$ Elemente hat.  Nach
-  Satz~\ref{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz} (``Satz von Lagrange'') ist die
-  Ordnung von $g$, also die Größe der von $g$ erzeugten Untergruppe, ein Teiler
-  von $|𝔽^*_p| = p-1$.  Es gilt also $\overline{a}^{p-1} = 1 ∈ 𝔽^*_p$ oder
-  äquivalent $a^p \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)$.
+  die Restklasse von $a$ ein nicht-verschwindendes Element $\overline{a} ∈ ℤ/(p)
+  = 𝔽_p$, also ein Element der multiplikativen Gruppe $𝔽^*_p$, welche $p-1$
+  Elemente hat.  Nach Satz~\ref{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz} („Satz von
+  Lagrange“) ist die Ordnung von $g$, also die Größe der von $g$ erzeugten
+  Untergruppe, ein Teiler von $|𝔽^*_p| = p-1$.  Es gilt also
+  $\overline{a}^{p-1} = 1 ∈ 𝔽^*_p$ oder äquivalent $a^p \equiv a
+  \:\:(\operatorname{mod} p)$.
 \end{proof}
 
-\begin{bemerkung}\label{bem:kleinerFermat}
+\begin{bemerkung}\label{bem:kleinerFermat}%
   Bei Anwendungen von Satz~\ref{satz:kleinerFermat} verwendet man häufig die
   äquivalenten Formulierungen $a^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p)$ oder
   $p|(a^{p-1}-1)$.

18.tex

@@ -11,9 +11,9 @@ dass $|H|$ ein Teiler von $|G|$.  Aber existiert auch zu jedem Teiler von $|G|$
 auch tatsächlich eine Untergruppe?  Für Primzahlpotenzteiler werden die Sätze
 von
 Sylow\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow}{Peter
-    Ludwig Mejdell Sylow} (* 12.  Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; † 7.
-  September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende
-  Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten.
+Ludwig Mejdell Sylow} (* 12.~Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; †
+7.~September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende
+Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten.
 
 \begin{notation}
   Im Folgenden sei $p$ stets eine Primzahl.
@@ -25,9 +25,9 @@ Sylow\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow}{P
 Die zentrale Beobachtung, auf der der ganze Inhalt dieses Kapitels aufbaut, ist
 die folgende.
 
-\begin{lemma}[Zentrales Schlüssellemma]\label{lem:zsl}
-  Es sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $p^m$, die auf einer endlichen Menge $M$
-  operiert.  Weiter sei
+\begin{lemma}[Zentrales Schlüssellemma]\label{lem:zsl}%
+  Es sei $n ∈ ℕ$ und es sei $p$ eine Primzahl.  Weiter sei $G$ eine Gruppe
+  der Ordnung $p^m$, die auf einer endlichen Menge $M$ operiert.  Weiter sei
   \begin{equation*}
     M_0 = \{ m ∈ M \::\: \forall g ∈ G: g· m = m \}
   \end{equation*}
@@ -39,18 +39,18 @@ die folgende.
   Bahnen, die mehr als ein Element haben.  Wir bezeichnen diese Bahnen mit
   $B_1, …, B_n$.  Weil $M$ die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, gilt:
   \begin{equation*}
-    |M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|,
+    |M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|.
   \end{equation*}
   Wir wissen aus der Bahnengleichung, Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}, dass
   die Zahlen $|B_i|$ stets Teiler von $|G| = p^m$ sind.  Also ist $|B_i|$ ein
-  Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung
-  $|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$.
+  Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung $|M| \equiv |M_0|
+  \:\:(\operatorname{mod} p)$.
 \end{proof}
 
 Der Satz von
 Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Augustin-Louis
-    Cauchy} (* 21.  August 1789 in Paris; † 23.  Mai 1857 in Sceaux) war ein
-  französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine
+Cauchy} (* 21.~August 1789 in Paris; † 23.~Mai 1857 in Sceaux) war ein
+französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine
 endliche Gruppe an, um die Existenz von Gruppenelementen mit interessanter
 Ordnung zu beweisen.
 
@@ -73,11 +73,10 @@ Ordnung zu beweisen.
   Als Nächstes brauchen wir eine schicke Gruppenwirkung, denn wir wollen das
   zentrale Schlüssellemma anwenden.  Dazu lassen wir die zyklische Gruppe
   $ℤ/(p)$ auf $M$ durch zyklisches Vertauschen wirken\footnote{Die zyklische
-    Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch
-    $b· a = e$ gilt.  Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch
-    die zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$,
-    $(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, … auch wieder in $M$ liegen.}.  Die Fixpunktmenge
-  dieser Wirkung ist
+  Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch $b· a =
+  e$ gilt.  Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch die
+  zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$, $(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, …
+  auch wieder in $M$ liegen.}.  Die Fixpunktmenge dieser Wirkung ist
   \[
     M_0 = \{ (a, …, a) ∈ G^p \::\: a^p=e\}.
   \]
@@ -93,15 +92,16 @@ Ordnung zu beweisen.
 \end{proof}
 
 
-\section{$p$-Gruppen und $p$-Sylowuntergruppen}
+\section{\texorpdfstring{$p$}{p}-Gruppen und \texorpdfstring{$p$}{p}-Sylowuntergruppen}
 
 Wenn man den Satz von Cauchy ernst nimmt, dann scheinen diejenigen Gruppen
 besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzen.  Die
 folgende Definition beschreibt den Extremfall.
 
 \begin{definition}[$p$-Gruppe]
-  Eine Gruppe $G$ heißt \emph{$p$-Gruppe}\index{p-Gruppe=$p$-Gruppe}, wenn die
-  Ordnung jedes Elements eine Potenz von $p$ ist.
+  Es sei $p$ eine Primzahl.  Eine Gruppe $G$ heißt
+  \emph{$p$-Gruppe}\index{p-Gruppe=$p$-Gruppe}, wenn die Ordnung jedes Elements
+  eine Potenz von $p$ ist.
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[An der Gruppenordnung sollt ihr sie erkennen]
@@ -112,7 +112,7 @@ folgende Definition beschreibt den Extremfall.
   Wenn $|G| = p^n$ ist, dann hat jedes Element $g ∈ G$ eine Ordnung, die $p^n$
   teilt, also eine Potenz von $p$.  Wenn $|G|$ keine Potenz von $p$ ist, dann
   gibt es eine Primzahl $q ≠ p$, die Ordnung $|G|$ teilt.  Nach
-  Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von Cauchy'') gibt es dann aber auch ein
+  Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} („Satz von Cauchy“) gibt es dann aber auch ein
   Element der Ordnung $q$, und $G$ kann keine $p$-Gruppe sein.
 \end{proof}
 
@@ -135,16 +135,16 @@ dieser Situation kann man immerhin noch nach den $p$-Gruppen fragen, die in $G$
 enthalten sind.  Dabei sind die maximal großen $p$-Untergruppen natürlich
 besonders gut.
 
-\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG}
+\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG}%
   Es sei $G$ eine endliche Gruppe.  Eine \emph{$p$-Sylowunter\-gruppe von
   $G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$.
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}
-  In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet ``maximal'' natürlich ``maximal
-  bezüglich Inklusion''.  Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil
-  $\{e\}$ eine $p$-Untergruppe ist.  Für \emph{endliche} Gruppen ist die
-  Existenz von $p$-Sylowuntergruppen klar.
+  In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet „maximal“ natürlich „maximal bezüglich
+  Inklusion“.  Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil $\{e\}$ eine
+  $p$-Untergruppe ist.  Für \emph{endliche} Gruppen ist die Existenz von
+  $p$-Sylowuntergruppen klar.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{lem}
@@ -162,7 +162,7 @@ besonders gut.
   $g^{-1}·H·g =G_p$ und $H = g·G_p·g^{-1}$.
 \end{proof}
 
-\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze}
+\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze}%
   Sei $U$ eine $p$-Untergruppe einer endlichen Gruppe $G$.  Wie in
   Definition~\ref{defn:normalisator} sei $N(U)$ der Normalisator von $U$.  Dann
   gilt
@@ -171,10 +171,13 @@ besonders gut.
   \end{equation*}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-  Die Gruppe $U$ wirkt durch Linksmultiplikation auf der Menge $M$ der
-  Linksnebenklassen,
+  Betrachte die Menge $M$ der Linksnebenklassen,
   \[
-    M := \{ g· U \::\: g ∈ G\}.
+    M := \{ g·U \::\: g ∈ G\}.
+  \]
+  Die Gruppe $U$ wirkt durch Linksmultiplikation auf dieser Menge
+  \[
+    U\times M \to M, \quad (u, g·U) \mapsto (u·g)·U.
   \]
   Wie immer sei $M_0 ⊆ M$ die Menge der Fixpunkte dieser Wirkung.  Wann ist eine
   Nebenklasse $g·U$ ein Fixpunkt dieser Wirkung?  Antwort: es ist
@@ -185,9 +188,9 @@ besonders gut.
               & ⇔ g ∈ N(U).
   \end{align*}
   Also ist
-  \begin{equation*}
-    [N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U].\qedhere
-  \end{equation*}
+  \[
+    [N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Schlüssel-Lemma~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U].  \qedhere
+  \]
 \end{proof}
       
 \begin{kor}
@@ -291,13 +294,13 @@ Fall auch einmal in den
 
 Wir betrachten die Wirkung von $S_n$ auf sich selbst durch Konjugation.  Ich
 frage zuerst, wie viele Konjugationsklassen es gibt.  Die Antwort kennen Sie
-wahrscheinlich aus der Vorlesung ``Lineare Algebra II'', wo man diese Frage im
+wahrscheinlich aus der Vorlesung „Lineare Algebra II“, wo man diese Frage im
 Zusammenhang mit der Konstruktion von
 Jordan\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie
-    Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.  Januar 1838 in
-  Lyon; † 21.  Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen
-diskutiert.  Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind,
-wiederhole ich die Sache noch einmal.
+Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.~Januar 1838 in Lyon; †
+21.~Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen diskutiert.
+Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich die
+Sache noch einmal.
 
 \begin{fakt}
   Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Dann gibt eine Bijektion zwischen der Menge der
@@ -373,13 +376,13 @@ können also nur die folgenden Ordnungen haben.
   12 existieren.
   
 \item[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.  Die Anzahl $s_2$
-  der 2-Sylowuntergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} (``Dritter
-  Sylow-Satz'') ein Teiler von 24 mit
-  $s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$, also $s_2=1$ oder $s_2=3$.  Wir
-  wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins} (``Erster Sylow-Satz''), dass jedes
-  Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer 2-Sylowuntergruppe enthalten
-  ist.  Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16 solche Elemente gibt.
-  Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente.  Also ist $s_2 = 3$.
+  der 2-Sylow\-untergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} („Dritter
+  Sylow-Satz“) ein Teiler von 24 mit $s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$,
+  also $s_2=1$ oder $s_2=3$.  Wir wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins}
+  („Erster Sylow-Satz“), dass jedes Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer
+  2-Sylowuntergruppe enthalten ist.  Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16
+  solche Elemente gibt.  Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente.
+  Also ist $s_2 = 3$.
   
 \item[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.
   

19.tex

@@ -5,14 +5,14 @@
 \label{chap:19}
 
 \sideremark{Vorlesung 21}Die allereinfachsten Gruppen sind Abelsch.  Bevor wir
-uns im nächsten Kapitel mit den etwas interessanteren, ``auflösbaren'' Gruppen
+uns im nächsten Kapitel mit den etwas interessanteren, „auflösbaren“ Gruppen
 auseinandersetzen, diskutieren wir jetzt erst einmal diesen einfachen Fall.  Im
 Vergleich zur Stoff-Fülle der vorherigen Vorlesungen ist dieses Kapitel echt
 dünn.  Zeit zum Luftholen!
 
 \begin{notation}
   Wie allgemein üblich werden wir die Gruppenverknüpfung bei Abelschen Gruppen
-  (fast) immer additiv schreiben und das ``+''-Symbol verwenden.  Das neutrale
+  (fast) immer additiv schreiben und das „+“-Symbol verwenden.  Das neutrale
   Element wird dann logischerweise mit $0$ oder $0_G$ bezeichnet.
 \end{notation}
 
@@ -54,15 +54,15 @@ dünn.  Zeit zum Luftholen!
     n(a+b)=n·a + n·b \qquad \forall n∈ℤ,\ a, b ∈ G.
   \end{equation*}
   Sagen Sie den folgenden Satz dreimal laut auf und beweisen Sie ihn dann als
-  Hausaufgabe: ``Abelsche Gruppen sind dasselbe wie $ℤ$-Moduln''.
+  Hausaufgabe: „Abelsche Gruppen sind dasselbe wie $ℤ$-Moduln“.
 \end{konstruktion}
 
-Ein Vektorraum ist ``endlich-dimensional'', wenn es ein endliches
+Ein Vektorraum ist „endlich-dimensional“, wenn es ein endliches
 Erzeugendensystem gibt.  Das geht genau so bei Gruppen.
 
 \begin{definition}[Basics zu Abelschen Gruppen und $ℤ$-Moduln]
   Eine abelsche Gruppe $G$ ist \emph{endlich erzeugt}\index{endlich erzeugte
-    abelsche Gruppe}, wenn es endlich viele Elemente $g_1, …, g_r∈ G$ gibt,
+    abelsche Gruppe}, wenn es endlich viele Elemente $g_1, …, g_r ∈ G$ gibt,
   sodass sich jedes Element $g∈ G$ als $ℤ$-Linearkombination
   \begin{equation*}
     g=\sum n_i·g_i
@@ -125,7 +125,7 @@ für Abelsche Gruppen.  Es gibt Sätze, bei deren Beweis man dividieren muss.
   \end{enumerate}
 \end{warnung}
 
-Der folgende ``Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen'' klassifiziert
+Der folgende „Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen“ klassifiziert
 die Gruppen vollständig und klärt eigentlich jede Frage, die es zum Thema gibt.
 Der Satz wird in dieser Vorlesung aus Zeitgründen leider nicht bewiesen.
 Tatsächlich gilt aber sogar ein allgemeinerer Satz für endlich erzeugte Moduln

20.tex

@@ -67,7 +67,7 @@ Auflösbare Gruppen sind also (auf noch zu klärende Weise) aus Abelschen Gruppe
 zusammengesetzt.  Wir werden später noch sehen, dass die in Kapitel~\ref{sec:4}
 gestellte Frage nach der Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale eng mit
 der Frage nach der Auflösbarkeit gewisser Galoisgruppen zusammenhängt.  Der Name
-``auflösbare Gruppe'' ist vermutlich aus diesem Kontext heraus entstanden.
+„auflösbare Gruppe“ ist vermutlich aus diesem Kontext heraus entstanden.
 
 \begin{bsp}
   Die Permutationsgruppe $S_4$ ist auflösbar, denn es ist
@@ -128,7 +128,7 @@ Der folgende Satz gibt eine Idee, was möglich ist.
   sodass folgende Eigenschaften gelten.
   \begin{enumerate}
   \item\label{Satz_18_4_Aussage_1} Die Gruppe $N$ kommt in der Auflösungskette
-    vor.  Mit anderen Worten: $N ∈ \{N_{ℓ}, …, N_0\}$.
+    vor.  Mit anderen Worten: Es ist $N ∈ \{N_{ℓ}, …, N_0\}$.
     
   \item\label{Satz_18_4_Aussage_2} Die Quotienten $N_{i+1}/N_i$ sind zyklisch
     und von Primzahlordnung.
@@ -148,8 +148,8 @@ Der folgende Satz gibt eine Idee, was möglich ist.
 \section{Einfache Gruppen: hier teilt und herrscht garantiert niemand}
 
 \sideremark{Vorlesung 22}Es gibt natürlich Gruppen, bei denen die
-Auflösungsstrategie völlig versagt.  Das absolute Gegenteil einer ``auflösbaren
-Gruppe'' ist eine Gruppe, die überhaupt keinen Normalteiler hat --- und damit
+Auflösungsstrategie völlig versagt.  Das absolute Gegenteil einer „auflösbaren
+Gruppe“ ist eine Gruppe, die überhaupt keinen Normalteiler hat --- und damit
 auch keinen interessanten Gruppenmorphismus in irgendeine andere Gruppe.
 
 \begin{definition}[Einfache Gruppe]
@@ -161,10 +161,10 @@ auch keinen interessanten Gruppenmorphismus in irgendeine andere Gruppe.
   Wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist die Quotientengruppe $ℤ/(p)$ einfach.
 \end{bsp}
 
-Das Wort ``einfach'' ist historisch begründet.  Es bedeutet nicht ``leicht zu
-verstehen'', sondern ``mithilfe der Auflösungsstrategie nicht weiter zu
-zerlegen''.  Vielleicht hätte man statt dem missverständlichen Wort ``einfach''
-besser von ``atomaren'' Gruppen sprechen sollen.  Aber auf mich hört ja niemand.
+Das Wort „einfach“ ist historisch begründet.  Es bedeutet nicht „leicht zu
+verstehen“, sondern „mithilfe der Auflösungsstrategie nicht weiter zu zerlegen“.
+Vielleicht hätte man statt dem missverständlichen Wort „einfach“ besser von
+„atomaren“ Gruppen sprechen sollen.  Aber auf mich hört ja niemand.
 
 \begin{rem}
   Wenn man alle endlichen Gruppen klassifizieren oder durch Auflösung
@@ -182,18 +182,18 @@ besser von ``atomaren'' Gruppen sprechen sollen.  Aber auf mich hört ja niemand
     alle Beweise auch publiziert worden.  Über 100 Mathematiker waren von Ende
     der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt.
 
-  \item Nach der ``Fertigstellung'' des Beweises um 1980 ist von führenden
+  \item Nach der „Fertigstellung“ des Beweises um 1980 ist von führenden
     Mathematikern des Klassifikationsprogramms […] ein Programm aufgenommen
     worden, den Beweis zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren.  Dabei
     sind auch Lücken entdeckt worden, von denen die meisten ohne größere
-    Komplikationen geschlossen werden konnten.  Eine Lücke erwies sich allerdings
-    als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein Beweis
-    erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war.
+    Komplikationen geschlossen werden konnten.  Eine Lücke erwies sich
+    allerdings als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein
+    Beweis erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war.
 
   \item Ronald Solomon, Richard Lyons und Daniel Gorenstein begannen 1994 eine
     auf 12 Bände angelegte Darstellung des Beweises (GLS Projekt), das bei der
-    American Mathematical Society erscheint und voraussichtlich 2023
-    abgeschlossen sein wird.
+    American Mathematical Society erscheint und voraussichtlich \sout{2023}
+    niemals abgeschlossen sein wird.
   \end{itemize}
 \end{rem}
 
@@ -212,7 +212,7 @@ Der Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe} verwendet folgendes Lemma.
   noch einen 3-Zyklus enthält, dann ist $N = A_n$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Hilfssatz_algernierende_Gruppe}]
-  \video{22-1}, verbessert am 09Feb21.
+  \video{22-1}, verbessert am 9.~Februar 2021.
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe}]

21.tex

@@ -4,27 +4,21 @@
 \chapter{Der Satz vom primitiven Element}
 \label{chap:21}
 
-Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
-\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
-bereitgestellt.
-
-\bigskip
-
 Ich erinnere noch einmal an Definition~\ref{def:einfach} vom Anfang der
-Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element
-$a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist.  Das sind die Körpererweiterungen, die uns
-am wenigsten Angst machen --- dachten wir!  Als erste Anwendung der
-Galoistheorie möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen vor denen wir
-schon immer Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind.  Vielleicht haben wir
-uns nicht genug gefürchtet?
+Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element $a ∈
+L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist.  Das sind die Körpererweiterungen, die uns am
+wenigsten Angst machen --- dachten wir!  Als erste Anwendung der Galoistheorie
+möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen vor denen wir schon immer
+Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind.  Vielleicht haben wir uns nicht
+genug gefürchtet?
 
 \begin{satz}\label{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}
   Eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann einfach und algebraisch, wenn es
   nur endlich viele Zwischenkörper gibt.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  Die Implikation ``einfach und algebraisch $⇒$ nur endliche viele
-  Zwischenkörper'' beweisen wir im \video{22-3}.  Die Umkehrrichtung wird im
+  Die Implikation „einfach und algebraisch $⇒$ nur endliche viele
+  Zwischenkörper“ beweisen wir im \video{22-3}.  Die Umkehrrichtung wird im
   \video{22-4} gezeigt.
 \end{proof}
 

22.tex

@@ -17,7 +17,7 @@ ist der Zerfällungskörper des Polynoms $x^n-1$.
 
 \begin{definition}[Kreisteilungskörper, Einheitswurzeln]\label{def:ktk}
   Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Der Zerfällungskörper des Polynoms
-  $f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ wird als \emph{$n$-ter Kreisteilungskörper über
+  $f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ wird als \emph{$n$.ter Kreisteilungskörper über
     $ℚ$}\index{Kreisteilungskörper} bezeichnet.  Die Schreibweise $L_n/ℚ$ ist
   üblich.
 \end{definition}
@@ -75,17 +75,16 @@ ist der Zerfällungskörper des Polynoms $x^n-1$.
 
 \sideremark{Vorlesung 23}Bevor es weitergeht, erinnere ich noch einmal an
 Beispiel~\vref{bsp:ehw} und an die Notation, die dort eingeführt wurde: Die
-$n$-ten Einheitswurzeln waren genau die Nullstellen von $f_n$ im Körper
-$L_n ⊂ \overline{ℚ} ⊂ ℂ$.  Die $n$-ten Einheitswurzeln bilden mit der
-Multiplikation als komplexe Zahlen eine zyklische Gruppe, die isomorph zu
-$ℤ/(n)$ ist.  Eine $n$-te Einheitswurzel heißt \emph{primitiv}, falls sie die
-Gruppe erzeugt.  Abbildung~\ref{fig:ehw} illustriert das am Beispiel der $6$.ten
-und $8$.ten Einheitswurzeln.  Wir hatten in Beobachtung~\vref{beo:pe} auch schon
-diskutiert, wie viele primitive Einheitswurzeln es in der Gruppe der $n$.ten
-Einheitswurzeln jeweils gibt: Die Anzahl wird durch die Eulersche $φ$-Funktion
-gegeben.  Um die Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks
-vollständig zu beantworten, müssen wir noch ein paar Dinge über diese Funktion
-beweisen.
+$n$.ten Einheitswurzeln waren genau die Nullstellen von $f_n$ im Körper $L_n ⊂
+\overline{ℚ} ⊂ ℂ$.  Die $n$.ten Einheitswurzeln bilden mit der Multiplikation
+als komplexe Zahlen eine zyklische Gruppe, die isomorph zu $ℤ/(n)$ ist.  Eine
+$n$.te Einheitswurzel heißt \emph{primitiv}, falls sie die Gruppe erzeugt.
+Abbildung~\ref{fig:ehw} illustriert das am Beispiel der $6$.ten und $8$.ten
+Einheitswurzeln.  Wir hatten in Beobachtung~\vref{beo:pe} auch schon diskutiert,
+wie viele primitive Einheitswurzeln es in der Gruppe der $n$.ten Einheitswurzeln
+jeweils gibt: Die Anzahl wird durch die Eulersche $φ$-Funktion gegeben.  Um die
+Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks vollständig zu
+beantworten, müssen wir noch ein paar Dinge über diese Funktion beweisen.
 
 
 \begin{satz}[Mupltiplikative Eigenschaften der Eulerschen $φ$-Funktion]\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion}
@@ -141,19 +140,19 @@ beweisen.
 
 \section{Kreisteilungspolynome}
 
-Die $n$-ten Einheitswurzeln sind natürlich Nullstellen des Polynoms
-$x^n-1 ∈ ℚ[x]$.  Leider haben wir schon in Beispiel~\vref{bsp:7.2.7} gesehen,
-dass diese Polynome im Allgemeinen nicht irreduzibel sind.  Um die
-Kreisteilungskörper besser zu verstehen, müssen wir also die irreduziblen
-Faktoren diskutieren.  Das kommt jetzt.
+Die $n$.ten Einheitswurzeln sind natürlich Nullstellen des Polynoms $x^n-1 ∈
+ℚ[x]$.  Leider haben wir schon in Beispiel~\vref{bsp:7.2.7} gesehen, dass diese
+Polynome im Allgemeinen nicht irreduzibel sind.  Um die Kreisteilungskörper
+besser zu verstehen, müssen wir also die irreduziblen Faktoren diskutieren.  Das
+kommt jetzt.
 
 \begin{definition}[$n$-tes Kreisteilungspolynom]
-  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Bezeichne die primitiven $n$-ten Einheitswurzeln
+  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Bezeichne die primitiven $n$.ten Einheitswurzeln
   mit $ξ_1, …, ξ_{φ(n)}$.  Das Polynom
   \begin{equation*}
     Φ_n := \prod_{i=1}^{φ(n)} (x-ξ_i) ∈ ℂ[x]
   \end{equation*}
-  heißt $n$-tes \emph{Kreisteilungspolynom}\index{Kreisteilungspolynom}.  Es
+  heißt $n$.tes \emph{Kreisteilungspolynom}\index{Kreisteilungspolynom}.  Es
   gilt $\deg Φ_n = φ(n)$.
 \end{definition}
 
@@ -163,16 +162,16 @@ Kreisteilungspolynomen zusammen.
 \begin{satz}[Wesentliche Eigenschaften von Kreisteilungspolynomen]\label{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom}
   Es ist $Φ_1(x)= x-1$.  Für jede Zahl $n ∈ ℕ$ gilt die Gleichung
   \begin{equation}\label{eq:x2}
-    x^n-1=\prod_{d|n}Φ_d(x)
+    x^n-1=\prod_{d|n}Φ_d(x).
   \end{equation}
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Die Aussage über $φ_1$ ist trivial.  Wenn eine Zahl $n ∈ ℕ$ und eine beliebige
-  $n$-te Einheitswurzel $ξ$ ist, mit Ordnung $d := \ord ξ$, dann ist $ξ$ eine
-  primitive $d$-te Einheitswurzel.  Also ist $ξ$ eine Nullstelle von $Φ_d$ --
+  $n$.te Einheitswurzel $ξ$ ist, mit Ordnung $d := \ord ξ$, dann ist $ξ$ eine
+  primitive $d$.te Einheitswurzel.  Also ist $ξ$ eine Nullstelle von $Φ_d$ --
   und von keinem anderen Kreisteilungspolynom $φ_{d'}$!  Wir erkennen, dass auf
   der linken und der rechten Seite von \eqref{eq:x2} zwei komplexe Polynome
-  stehen, deren Nullstellenmenge jeweils exakt die Menge der $n$-ten
+  stehen, deren Nullstellenmenge jeweils exakt die Menge der $n$.ten
   Einheitswurzeln ist.  Außerdem haben sowohl die linke als auch rechte Seite
   von Gleichung \eqref{eq:x2} nur einfache Nullstellen.  Außerdem sind linke und
   rechte Seite von Gleichung \eqref{eq:x2} normiert.  Dann müssen die Seiten der
@@ -209,7 +208,7 @@ aber ein wenig langwierig.  Ich lasse ihn daher weg.
   für alle $n ∈ ℕ$ ist $Φ_n(x) ∈ ℤ[x]$.  \qed
 \end{fakt}
 
-Durch ``Reduktion modulo $p$'' zeigt man folgenden Fakt, den wir hier ebenfalls
+Durch „Reduktion modulo $p$“ zeigt man folgenden Fakt, den wir hier ebenfalls
 nicht beweisen.
 
 \begin{fakt}
@@ -220,11 +219,11 @@ nicht beweisen.
 \section{Die Kreisteilungskörper}
 
 Wir hatten in Definition~\ref{def:ktk} den Zerfällungskörper des Polynoms
-$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$-ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genannt und
+$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$.ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genannt und
 mit $L_n/ℚ$ bezeichnet.  Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/ℚ$
 natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen.  Wähle dazu
-eine primitive $n$-te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$
-ist.  Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$-te
+eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$
+ist.  Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$.te
 Kreisteilungspolynom $Φ_n$.  Also ist
 \begin{equation*}
   [L_n : ℚ ] = \deg Φ_n = φ(n).
@@ -243,7 +242,7 @@ Die Galoisgruppe ist jetzt kein Geheimnis mehr.
 \end{proof}
 
 
-\section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks}
+\section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären \texorpdfstring{$n$}{n}-Ecks}
 
 Damit kommen wir zu einem der Ergebnisse, auf die wir das ganze Semester über
 hin gearbeitet haben: die vollständige Antwort auf die Frage nach der
@@ -307,33 +306,32 @@ Satz unser erstes \emph{positives} Resultat.
 Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist \emph{viel} besser, als er aussieht.  Schauen
 Sie sich den Beweis genau an: Sie sehen, wie wir im Beweis aus einer
 \emph{Auflösungskette} für geeignete Galoisgruppen eine
-\emph{Konstruktionsvorschrift} für den Punkt $z$ machen.  Der Beweis ist also
+\emph{Konstruktions\-vorschrift} für den Punkt $z$ machen.  Der Beweis ist also
 kein abstraktes Existenzresultat, sondern liefert (bei entsprechender Arbeit)
 eine konkrete Vorschrift, wie man an den gegebenen Punkt $z$ kommt -- ob der so
 erhaltene Konstruktionsweg dann immer besonders elegant oder praktisch gut
 umsetzbar ist, steht natürlich noch auf einem anderen Blatt.
 
 \begin{aufgabe}
-  Warten Sie das Ende der Pandemie ab.  Wenn Sie überleben, kaufen Sie sich
-  weiße Zauberkünstlerhandschuhe und fahren Sie nach Göttingen.  Ziehen Sie sich
-  gut an (sie müssen seriös wirken!) und begeben Sie sich in die Bunsenstraße
-  3--5.
+  Warten Sie die Klausur ab.  Wenn Sie überleben, kaufen Sie sich weiße
+  Zauberkünstlerhandschuhe und fahren Sie nach Göttingen.  Ziehen Sie sich gut
+  an (sie müssen seriös wirken!) und begeben Sie sich in die Bunsenstraße 3--5.
   \begin{enumerate}
   \item Bewundern Sie das schlichte, lichtdurchflutete und funktionale Gebäude,
     das 1929 von David Hilbert und Richard
     Courant\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Courant}{Richard
-        Courant} (* 8.  Januar 1888 in Lublinitz, Oberschlesien; † 27.  Januar
-      1972 in New York) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.} eröffnet
-    wurde, dessen Planung aber noch auf Felix
+    Courant} (* 8.~Januar 1888 in Lublinitz, Oberschlesien; † 27.~Januar 1972 in
+    New York) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.} eröffnet wurde,
+    dessen Planung aber noch auf Felix
     Klein\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein}{Felix
-        Christian Klein} (* 25.  April 1849 in Düsseldorf; † 22.  Juni 1925 in
+    Christian Klein} (* 25.~April 1849 in Düsseldorf; † 22.~Juni 1925 in
     Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.} zurückgeht.  Der Bau wurde
     damals, vermutlich zu Ehren von Hilbert, von der amerikanischen
     Rockefeller-Stiftung finanziert.  Er gilt noch heute als Meilenstein der
     Architektur.
 
   \item\label{il:f45} Betreten Sie die Bibliothek und bitten Sie die
-    Bibliothekarin sehr höflich um ``den Koffer''.  Zeigen Sie ihre weißen
+    Bibliothekarin sehr höflich um „den Koffer“.  Zeigen Sie ihre weißen
     Handschuhe.  Lächeln Sie, um alle Umstehenden von ihren harmlosen Absichten
     zu überzeugen.
   \end{enumerate}
@@ -346,7 +344,7 @@ großformatigen, fein beschriebenen Blättern das 65.537-Eck mit Zirkel und Line
 konstruiert.  Mit ihren Handschuhen können Sie umblättern, ohne das alte Papier
 zu beschädigen.
 \href{https://www.zeit.de/2012/34/Algebra-Koffer-Johann-Gustav-Hermes/komplettansicht}{Die
-  Zeit} schreibt über dieses etwas Zen-Buddhistisch angehauchte
+Zeit} schreibt über dieses etwas Zen-Buddhistisch angehauchte
 Konstruktionsprojekt:
 \begin{quotation}
   Ein filigranes Geflecht von Punkten, Linien und Kreisen breitet sich über die
@@ -355,18 +353,19 @@ Konstruktionsprojekt:
   Koeffizientenschemata, die sich am Ende zu einem Zahlen- und Symbolmix
   gewaltigen Ausmaßes fügen.
 \end{quotation}
-Im Gegensatz zur ``Zeit'' sahen die Göttinger Kollegen Hermes' Bemühungen damals
-recht kritisch: ``Ich rechne ja auch nicht die binomische Formel für alle Werte
-bis 10.000.000 nach''.  Dennoch empfehle ich den Besuch.  Bewundern Sie die
+Im Gegensatz zur „Zeit“ sahen die Göttinger Kollegen Hermes' Bemühungen damals
+recht kritisch: „Ich rechne ja auch nicht die binomische Formel für alle Werte
+bis 10.000.000 nach.“ Dennoch empfehle ich den Besuch.  Bewundern Sie die
 feinen Konstruktionen und die enorme handwerkliche Qualität.  Suhlen Sie sich in
 der Aura der Sinnlosigkeit.  Beenden Sie Ihren Besuch, indem Sie sich die
 historische Sammlung mathematischer Modelle anschauen.
 
 \begin{aufgabe}
-  Finden Sie heraus, warum das weltberühmte \emph{Mathematical Sciences Research
-    Institute} in Berkeley, Kalifornien die Adresse ``17 Gauss Way'' hat, obwohl
-  das MSRI der einzige Gebäudekomplex der Straße ist.  Fahren Sie hin und
-  schauen Sie sich die Tafel am Eingang an.  Oder lesen Sie
+  Finden Sie heraus, warum das weltberühmte
+  \foreignlanguage{english}{\emph{Mathematical Sciences Research Institute}} in
+  Berkeley, Kalifornien die Adresse „\foreignlanguage{english}{17 Gauss Way}“
+  hat, obwohl das MSRI der einzige Gebäudekomplex in der Straße ist.  Fahren Sie
+  hin und schauen Sie sich die Tafel am Eingang an.  Oder lesen Sie
   \href{https://www.msri.org/people/staff/levy/files/17gon/poster1.pdf}{hier}.
 \end{aufgabe}
 

23.tex

@@ -75,9 +75,9 @@ noch zwei Korollare vorstellen.
 \section{Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen}
 
 Um die zentrale Idee zu illustrieren, erkläre ich den Zusammenhang zwischen den
-Fragen: ``Ist $f$ durch Radikale auflösbar?'' und ``Wie sieht die Galoisgruppe
-von $f$ aus?'' zuerst im besonders einfachen Fall von ``reinen'' Polynomen, bei
-denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
+Fragen: „Ist $f$ durch Radikale auflösbar?“, und „Wie sieht die Galoisgruppe von
+$f$ aus?“ zuerst im besonders einfachen Fall von „reinen“ Polynomen, bei denen
+die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
 
 \begin{defn}[Reines Polynom]
   Es sei $K$ ein Körper.  Ein Polynom $f ∈ K[x]$ heißt \emph{rein}\index{reines
@@ -94,7 +94,7 @@ denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
 \begin{satz}[Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen]\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins}
   Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl.  Falls
   $\operatorname{char} K = p > 0$ ist, nehmen wir noch an, dass $p\nmid n$ ist.
-  Wenn $K$ alle $n$-ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes.
+  Wenn $K$ alle $n$.ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1} Für jedes $a ∈ K^*$ ist die
     Galoisgruppe des reinen Polynoms $f=x^n-a∈ K[x]$ zyklisch.
@@ -117,9 +117,9 @@ denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
 \section{Radikalerweiterungen von Galoiserweiterungen}
 
 Unsere Debatte krankt noch an einer wesentlichen Stelle: in der Definition von
-``Radikalerweiterung'', Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht},
-dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{ging auch gar nicht, weil
-  Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}.  Der
+„Radikalerweiterung“, Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht},
+dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{Das ging auch gar nicht, weil
+Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}.  Der
 folgende Satz behebt diesen Mangel.
 
 \begin{satz}\label{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}\label{satz:23.2.1}
@@ -143,7 +143,7 @@ folgende Satz behebt diesen Mangel.
   sagt, dass es eine größere Radikalerweiterung $L'/K$, sodass $f$ über $L'$ in
   Linearfaktoren zerfällt.  Also gibt es eine Radikalerweiterung, die
   \emph{alle} Nullstellen von $f$ enthält.  Kurz gesagt: wenn $f$ irreduzible
-  ist und \emph{eine} Nullstelle als ``Wurzelausdruck'' geschrieben werden kann,
+  ist und \emph{eine} Nullstelle als „Wurzelausdruck“ geschrieben werden kann,
   dann können \emph{alle} Nullstellen als Wurzelausdruck geschrieben werden.
 \end{bemerkung}
 
@@ -189,17 +189,17 @@ folgende Satz behebt diesen Mangel.
 Vor dem Beweis von Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} noch zwei
 Vorüberlegungen.
 
-\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1}
+\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1}%
   Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $ξ ∈ \overline{L}$ eine primitive
-  $n$-te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch.  Denn
-  wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynomes $g ∈ K[x]$ schreiben, dann
-  ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynomes $g·(x^n-1) ∈ K[x]$.  Also ist
+  $n$.te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch.  Denn
+  wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynoms $g ∈ K[x]$ schreiben, dann
+  ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynoms $g·(x^n-1) ∈ K[x]$.  Also ist
   $L(ξ)/K$ Galoisch und die Zwischenerweiterung $L(ξ)/K(ξ)$ ebenfalls.
 \end{claim-de}
 
-\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2}
-  Wenn $ξ$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann
-  ist $ξ^l$ eine primitive $m$-te Einheitswurzel.  Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$,
+\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2}%
+  Wenn $ξ$ eine primitive $n$.te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann
+  ist $ξ^l$ eine primitive $m$.te Einheitswurzel.  Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$,
   …, $ξ^{m· l}$ sind paarweise verschieden.
 \end{claim-de}
 

24.tex

@@ -6,7 +6,7 @@
 
 \sideremark{Vorlesung 25}
 
-In diesem Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' hatten wir bislang
+In diesem Skript zur Vorlesung „Algebra und Zahlentheorie“ hatten wir bislang
 noch sehr wenig Zahlentheorie.  Dass muss ich jetzt, auf dem letzten Meter, noch
 ändern.  Oberflächlich betrachtet geht es beim quadratischen Reziprozitätsgesetz
 darum, zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest einer anderen Zahl
@@ -23,26 +23,26 @@ ist.
     $p$}.
 \end{definition}
 
-Wikipedia schreibt sinngemäß ``Die Entdeckung des quadratischen
+Wikipedia schreibt sinngemäß „Die Entdeckung des quadratischen
 Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (erschienen 1801 in
 den
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae}{Disquisitiones
-  Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die
-Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.''.  Tatsächlich
-handelt es sich um einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte,
-von dem wir hier aber nur die Oberfläche ankratzen.  Schauen Sie einmal in das
-Buch der Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz
-  \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.}
+Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte
+der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.“ Tatsächlich handelt es sich um
+einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte, von dem wir hier aber
+nur die Oberfläche ankratzen.  Schauen Sie einmal in das Buch der
+Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz
+\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.}
 \cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} für viele weitere Erklärungen, elementare
 Beweise und historische Anmerkungen.
 
-\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp}
+\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp}%
   Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl.  Die Frage, ob eine Zahl $a ∈ ℤ$ ein
   quadratischer Rest modulo $p$ ist, hängt natürlich nur von der Restklasse von
-  $a$ in $𝔽_p$ ab.  Man nennt erweitert daher den Begriff von ``quadratischem
-  Rest'' häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn
-  die Gleichung $x² = b$ in $𝔽_p$ lösbar ist.  Die quadratischen Reste sind also
-  die Elemente von
+  $a$ in $𝔽_p$ ab.  Man nennt erweitert daher den Begriff von „quadratischem
+  Rest“ häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn
+  die Gleichung $x² = b$ in $𝔽_p$ lösbar ist.  Die quadratischen Reste sind
+  also die Elemente von
   \[
     (𝔽^*_p)² := \img \Bigl( 𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x²
     \Bigr) ⊂ 𝔽^*_p.
@@ -67,11 +67,11 @@ Wie viele quadratische Reste gibt es überhaupt?  Die Antwort ist einfach.
 
 \section{Das Legendre-Symbol}
 
-Um den Begriff ``quadratischer Rest'' etwas quantitativer zu erfassen, führen
-wir das
+Um den Begriff „quadratischer Rest“ etwas quantitativer zu erfassen, führen wir
+das
 Legendre\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre}{Adrien-Marie
-    Legendre} (* 18.  September 1752 in Paris; † 9.  Januar 1833 ebenda) war ein
-  französischer Mathematiker.}-Symbol ein.
+Legendre} (* 18.~September 1752 in Paris; † 9.~Januar 1833 ebenda) war ein
+französischer Mathematiker.}-Symbol ein.
 
 \begin{definition}[Legendre-Symbol]
   Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$.  Dann schreibe
@@ -93,7 +93,7 @@ Legendre\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre}{Adr
   Nichtreste gibt, ist $\sum_{k=1}^{p-1} \left(\frac{k}{p}\right) = 0$ und
   deshalb
   \begin{equation}\label{eq:g4.2}
-    \sum_{k=1}^{p-2} \left(\frac{k}{p}\right) = -\left(\frac{p-1}{p}\right) = -\left(\frac{-1}{p}\right) ∈ F.
+    \sum_{k=1}^{p-2} \left(\frac{k}{p}\right) = -\left(\frac{p-1}{p}\right) = -\left(\frac{-1}{p}\right) ∈ \bN.
   \end{equation}
 \end{beobachtung}
 
@@ -112,8 +112,8 @@ Wir können noch etwas mehr über das Legendre-Symbol sagen.
   $p-1$ Elemente, ist also isomorph zur (additiven Gruppe) $ℤ/(p-1)$.  Wir
   beobachten, dass die quadratischen Reste unter diesem Isomorphismus genau mit
   den geradzahligen Elementen von $ℤ/(p-1)$ identifiziert werden --- die Zahl
-  $(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff ``geradzahligen Elementen von
-  $ℤ/(p-1)$'' sinnvoll verwendet werden kann.
+  $(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff „geradzahligen Elementen von
+  $ℤ/(p-1)$“ sinnvoll verwendet werden kann.
   
   Als Nächstes setzen wir $n := \frac{p-1}{2}$ und betrachten den folgenden
   Morphismus, den wir auf Repräsentantenniveau definieren\footnote{Vielleicht
@@ -181,7 +181,7 @@ formulieren.
   überhaupt nicht klar, was die beiden Ausdrücke $\left(\frac{p}{q}\right)$ und
   $\left(\frac{q}{p}\right)$ miteinander zu tun haben!  Es gibt in der
   Zahlentheorie, Arithmetik und der arithmetischen Geometrie eine Reihe weiterer
-  ``Reziprozitätsgesetze'', bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr
+  „Reziprozitätsgesetze“, bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr
   tiefe, überraschende und gar nicht einsichtige Resultate handelt.
 \end{rem}
 
@@ -193,9 +193,9 @@ effizient ausrechnen kann.  Statt großer Theorie mache ich einfach ein Beispiel
   Ist 7 ein quadratischer Rest modulo 17?
   \begin{align*}
     \left(\frac{7}{17}\right) & = \left(\frac{17}{7}\right)·(-1)^{8·3} = \left(\frac{3}{7}\right) && \text{quadratische Reziprozität und } 17 \equiv 3 \:\:(\operatorname{mod} 7) \\
-                              & = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3)
+                              & = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3).
   \end{align*}
-  Also ist die Antwort: ``nein!''
+  Also ist die Antwort: „Nein!“
 \end{bsp}
 
 
@@ -212,27 +212,27 @@ abgeschrieben.  Wenn Sie den Beweis nicht mögen, finden Sie in den
 hervorragenden Skripten des Bayreuther Kollegen
 \href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/}{Michael Stoll} einen
 \href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/teaching/EinfZAS-WS2014/Skript-EinfZAS-pub-screen.pdf}{anderen
-  Beweis}.  Annette Huber bevorzugt in ihrem Skript einen
+Beweis}.  Annette Huber bevorzugt in ihrem Skript einen
 \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws17/azt/algebra17.pdf}{Beweis
-  mithilfe der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern}.
+mithilfe der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern}.
 
 \bigskip
 
 Es sei $F$ der endliche Körper mit $q^{p-1}$ Elementen.  Der Primkörper von $F$
-is $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$.  Nach
+ist $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$.  Nach
 Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} ist die multiplikative
 Gruppe $F^*$ ist zyklisch, mit $q^{p-1}-1$ vielen Elementen.  Nach dem kleinen
 Satz von Fermat, Satz~\vref{satz:kleinerFermat} und
 Bemerkung~\ref{bem:kleinerFermat} ist die Zahl $q^{p-1}-1$ ist ein Vielfaches
-von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von
-Cauchy'') ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$.  Wir beobachten schon einmal,
-dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit
-$ξ ∈ F^*$ nicht ändert.  Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt,
+von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} („Satz von
+Cauchy“) ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$.  Wir beobachten schon einmal,
+dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit $ξ ∈
+F^*$ nicht ändert.  Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt,
 \begin{equation}\label{eq:g4.1}
   \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = -1 ∈ F.
 \end{equation}
 
-Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
+Als Nächstes betrachten wir die folgende „Gaußsche“ Summe im Körper $F$:
 \[
   G := \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ ∈ F.
 \]
@@ -243,7 +243,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
   \[
     \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = \sum_{i=1}^{p-1} ξ^{i·n}
     \quad\text{und}\quad \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ =
-    \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n}
+    \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n}.
   \]
 \end{behauptung}
 \begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:0}]
@@ -268,7 +268,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
     G^q & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)^q = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)^q·ξ^{i·q} && \text{wir sind in Charakteristik $q$!} \\
         & = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{$q$ ist ungerade} \\
         & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{iq}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\
-        & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}}
+        & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}.}
   \end{align*}
   Damit ist die Behauptung bewiesen.  \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:1})}
 \end{proof}
@@ -290,7 +290,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
        & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) + \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\
        & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) - \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.1}} \\
        & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·p && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.2}} \\
-       & = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}}
+       & = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}.}
   \end{align*}
   Damit ist die Behauptung bewiesen.  \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:2})}
 \end{proof}
@@ -302,7 +302,7 @@ auszudrücken, und die so entstandenen Formeln zu vergleichen.
   \left( \frac{q}{p} \right)·G & = G^q && \text{Behauptung~\ref{beh:1}} \\
                                & = G·(G²)^{\frac{q-1}{2}} && \text{Die Zahl $q$ ist ungerade.}\\
                                & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·p^{\frac{q-1}{2}} && \text{Behauptung~\ref{beh:2}} \\
-                               & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}}
+                               & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}.}
 \end{align*}
 Weil wir in Behauptung~\ref{beh:2} gesehen haben, dass $G ≠ 0$ ist, dürfen wir
 kürzen und erhalten die gewünschte Gleichung.  \qed

AlgebraZahlentheorie.tex

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 \author{Stefan Kebekus}
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