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\selectlanguage{german}
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\chapter{Grundbegriffe}
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\label{chap:17}
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Ich hatte oben geschrieben „[Der Hauptsatz der Galoistheorie] reduziert die
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Frage nach Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem“. Also befasst
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sich der laufende Teil der Vorlesung mit gruppentheoretischen Problemen. Um die
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vorgesehene Stoffmenge in diesem verkürzten Semester unterzubringen, werde ich
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mich oft kurzfassen und auch einige Beweise weglassen. Ich hoffe, Sie sehen mir
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das nach.
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\begin{defn}[Ordnung einer Gruppe]
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Es sei $G$ eine Gruppe. Die Anzahl der Elemente von $G$ heißt \emph{Ordnung}
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von $G$ und wird mit dem Symbol $|G|$ oder $\#G$ bezeichnet.
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\end{defn}
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\section{Gruppenwirkungen}
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Ich beginne mit einem Kapitel über die wesentlichen Grundbegriffe, obwohl Sie
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vieles von dem Stoff vermutlich schon kennen. Einige der folgenden Sätze haben
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wir in der einen oder anderen Form im Laufe der Vorlesung auch schon verwendet.
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\begin{defn}[Gruppenwirkung]\label{defn:gruppenwirkung}
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Es sei $(G, ·)$ eine Gruppe und es sei $M$ eine Menge. Eine
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\emph{Wirkung}\index{Wirkung}\index{Gruppenwirkung} oder
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\emph{Operation}\index{Operation} von $G$ auf $M$ ist eine Abbildung
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\[
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α : G ⨯ M → M,
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\]
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sodass Folgendes gilt.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Def_Operation_Aussage_1} Es sei $e ∈ G$ das neutrale Element.
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Dann gilt für alle $m ∈ M$ die Gleichung $α(e,m) = m$.
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\item\label{Def_Operation_Aussage_2} Es seien $g$ und $h$ in $G$ zwei
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Elemente. Dann gilt für alle $m ∈ M$ die Gleichung
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$α \bigl(h, α(g,m)\bigr) = α(h· g,m)$.
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\end{enumerate}
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Gegeben ein Element $g ∈ G$, so wird die zugehörige Abbildung
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\[
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α_g : M → M, \quad m ↦ α(g,m)
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\]
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als \emph{Translationsabbildung}\index{Translationsabbildung!einer
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Gruppenwirkung} des Elementes $g$ bezeichnet.
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\end{defn}
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\begin{notation}
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Wenn klar ist, von welcher Gruppe, welcher Menge und welcher Wirkung die Rede
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ist, schreibt man statt $α(g,m)$ häufig einprägsam $g·m$.
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\end{notation}
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\begin{beobachtung}[Gruppenwirkungen und Morphismen in die Permutationsgruppe]\label{beo:mup}
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In der Situation aus Definition~\ref{defn:gruppenwirkung} erhalten wir eine
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Abbildung von $G$ in die Permutationsgruppe von $M$, also die Gruppe der
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bijektiven Abbildungen $M → M$
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\[
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φ_α : G → \text{Permutationen von } M, \quad g ↦ α_g.
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\]
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Mit dieser Notation ist Eigenschaft~\ref{Def_Operation_Aussage_1} äquivalent
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zu der Aussage, dass $φ_α(e) = \Id_M$ ist.
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Eigenschaft~\ref{Def_Operation_Aussage_1} ist äquivalent zu der Aussage, dass
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für alle $g$ und $h$ aus $G$ die Gleichung $φ_α(h·g) = φ_α(h)◦ φ_α(g)$ ist.
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Mit anderen Worten, $φ_α$ ist ein Gruppenmorphismus.
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Umgekehrt kann ich zu jeden Gruppenmorphismus
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\[
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ψ : G → \text{Permutationen von } M
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\]
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mithilfe von
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\[
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β_ψ : G ⨯ M → M, \quad (g,m) ↦ \bigl(ψ(g)\bigr)(m)
|
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\]
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eine Gruppenwirkung definieren. Rechnen Sie sofort nach, das $β_ψ$
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tatsächlich eine Gruppenwirkung ist und beweisen Sie, dass ich auf diese Weise
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eine Bijektion zwischen der Menge der Gruppenwirkungen und der Menge der
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Gruppenmorphismen erhalte.
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\end{beobachtung}
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\begin{defn}[(In)effektivität, Treue]
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Gegeben sei eine Gruppenwirkung $α : G ⨯ M → M$ wie in
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Definition~\ref{defn:gruppenwirkung}. Der Kern des Gruppenmorphismus $φ_α$
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aus Beobachtung~\ref{beo:mup} heißt \emph{Ineffektivität} der Gruppenwirkung.
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Die Gruppenwirkung heißt \emph{treu}\index{treue Gruppenwirkung} oder
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\emph{effektiv}\index{effektive Gruppenwirkung}, wenn der Gruppenmorphismus
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$φ$ aus Beobachtung~\ref{beo:mup} injektiv ist.
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\end{defn}
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\begin{bsp}[Matrix-Vektor-Multiplikation]
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Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Gruppe $\GL_n(K)$
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operiert mithilfe der Matrix-Vektor-Multiplikation treu auf dem Vektorraum
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$K^n$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Wirkung der Galoisgruppe]
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Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom. Dann operiert die
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Galoisgruppe $G(f)$ auf dem Zerfällungskörper $L$ von $f$, aber auch auf der
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Menge der Nullstellen oder der Menge der Zwischenkörper von $L/K$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Dynamische Systeme]
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Es sei $\vec{v} : ℝ² → ℝ²$ ein $\cC^{∞}$-Vektorfeld. Wir fassen $\vec{v}$ als
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Differenzialgleichung auf: gegeben ein Punkt $p ∈ ℝ²$, so suchen wir
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Abbildungen $γ_p : ℝ → ℝ²$, so folgendes gilt:
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\begin{itemize}
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\item Es ist $γ_p(0) = p$ und
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\item für alle $t ∈ ℝ$ ist $γ'_p(t) = \vec{v}(γ_p(t))$.
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\end{itemize}
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Der Einfachheit halber nehmen wir einmal an, dass Funktionen $γ_p$ mit der
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gewünschten Eigenschaft existieren -- der Satz von
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Picard\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emile_Picard}{Charles
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Émile Picard} (* 24.~Juli 1856 in Paris; † 11.~Dezember 1941 ebenda) war ein
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französischer
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Mathematiker.}-Lindelöf\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Leonard_Lindelöf}{Ernst
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||
Leonard Lindelöf} (* 7.~März 1870 in Helsingfors (Helsinki), Großfürstentum
|
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Finnland; † 4.~Juni 1946 in Helsinki) war ein finnischer Mathematiker.} sagt
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ihnen unter anderem, dass die $γ_p$ dann auch eindeutig sind. Dann erhalten
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wir durch die Vorschrift
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\[
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γ : ℝ ⨯ ℝ² → ℝ², \quad (t, p) ↦ γ_p(t)
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\]
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eine Wirkung der Gruppe $(ℝ, +)$ auf $ℝ²$.
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\end{bsp}
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\subsection{Bahnen und Fixpunkte}
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Gruppenwirkungen sind fundamental und treten in jedem Teilbereich der Mathematik
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prominent auf. Deshalb gibt es auch unendliche viele Definitionen und
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Begriffsbildungen rund um dieses Konzept. Ich beschränke mich hier auf die
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Wesentlichsten.
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\begin{defn}[Bahn und Fixpunkt]
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Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. Weiter
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sei ein Element $m ∈ M$ gegeben. Die Menge $G· m := \{g· m\::\: g∈ G\}$ wird
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\emph{Bahn}\index{Bahn} oder \emph{Orbit}\index{Orbit} von $G$ durch $m$
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genannt. Falls $G·m = \{m\}$ ist, dann nennt man $m$ einen \emph{Fixpunkt}
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der Gruppenwirkung.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Betrachte die Ebene $ℝ²$. Die Gruppe $G = (ℝ,+)/(2π·ℤ)$ wirkt durch Drehungen
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um den Nullpunkt auf die Ebene. Der Nullpunkt ist ein Fixpunkt. Die Bahnen
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dieser Wirkung sind der Nullpunkt und die Kreise um den Nullpunkt.
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\end{bsp}
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\begin{beobachtung}
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Eine Gruppe $G$ wirke auf einer Menge $M$. Beweisen Sie als Hausaufgabe die
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folgenden elementaren Aussagen: gegeben zwei Punkte $m_1, m_2∈ M$, dann sind
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die Bahnen $G·m_1$ und $G·m_2$ entweder gleich oder disjunkt. Folgern Sie,
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dass $M$ ist die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, und das die Relation
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„hat dieselbe Bahn wie“ eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist. Die Menge der
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Bahnen (= der Quotient unter dieser Äquivalenzrelation) wird als
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\emph{Bahnenraum}\index{Bahnenraum} bezeichnet. Wenn die Gruppenwirkung klar
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ist, wird der Bahnenraum oft mit $M/G$ bezeichnet.
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\end{beobachtung}
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\begin{defn}[Transitive Wirkung]
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Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. Man
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nennt die Wirkung \emph{transitiv}\index{transitive Wirkung}, falls es nur
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eine einzige Bahn gibt.
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\end{defn}
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\begin{beobachtung}
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Eine Gruppenwirkung $α : G⨯ M → M$ ist genau dann transitiv, wenn für alle
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Paare $a$, $b ∈ M$ ein Gruppenelement $g∈ G$ gibt, sodass die Gleichung
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$a = g·b$ gilt.
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\end{beobachtung}
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\begin{bsp}
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Die natürliche Wirkung der Gruppe $\GL_2(ℝ)$ auf $ℝ²$ ist nicht transitiv.
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Die Wirkung der Gruppe $\GL_2(ℝ)$ auf $ℝ² ∖ \{ \vec{0} \}$ ist transitiv.
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\end{bsp}
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\subsection{Isotropie und Stabilisator}
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Die Isotropiegruppe eines Punktes, die wir jetzt gleich definieren werden, ist
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ein Maß dafür, wie sehr ein Punkt davon entfernt ist, ein Fixpunkt zu sein.
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Statt nur einzelne Punkte zu betrachten, definiere ich die Isotropiegruppe
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gleich für Untermengen statt für Punkte.
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\begin{defn}[Isotropie und Stabilisator]\label{def:ius}%
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Es sei $α : G⨯M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. Weiter
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sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge. Gegeben ein Element $g ∈ G$, so schreiben wir
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kurz
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\[
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g·N := \{ g·n \::\: n ∈ N \}.
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\]
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\begin{itemize}
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||
\item Die Untergruppe
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||
\[
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||
\Iso(N) := \{ g ∈ G \::\: \forall n ∈ N: g·n = n \} ⊆ G
|
||
\]
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||
als \emph{Isotropie}\index{Isotropie} der Menge $N$ bezeichnet.
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||
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||
\item Die Untergruppe
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||
\[
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||
\Stab(N) := \{ g ∈ G \::\: g·N = N \} ⊆ G
|
||
\]
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||
wird als \emph{Stabilisator}\index{Stabilisator} der Menge $N$ bezeichnet.
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||
\end{itemize}
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\end{defn}
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\begin{notation}\label{not:17.1.5}%
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||
Im Fall, dass die Menge $N$ aus Definition~\ref{def:ius} nur aus einem Element
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besteht, $N = \{m\}$, gilt $\Stab(N) = \Iso(N)$. In diesem Fall schreibt man
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statt $\Iso(\{m\})$ häufig kurz $\Iso(m)$.
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\end{notation}
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\begin{bemerkung}
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In der Situation von Definition~\ref{def:ius} gilt für jedes Element
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$g ∈ \Stab(N)$ per Definition die Inklusion $φ_g(N) ⊆ N$ --- dabei bezeichnet
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||
$φ_g$ wieder die zu $g$ gehörende Translationsabbildung. Überlegen Sie sich,
|
||
dass tatsächlich die Gleichheit $φ_g(N) = N$ gilt.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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||
In der älteren deutschen Literatur findet man statt „Isotropiegruppe“ oft auch
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das Wort „Standgruppe“, was heute als anzüglich empfunden wird.
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\end{bemerkung}
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\begin{bsp}
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Es sei $L/K$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Dann wirkt $G$ auf
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der Menge $L$; die Wirkung ist gegeben durch
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\[
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||
G ⨯ L → L, \quad (σ, z) ↦ σ(z).
|
||
\]
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||
Mit dieser Wirkung gilt für jeden Zwischenkörper $Z$ die Gleichung
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||
$\Gal(L/Z) = \Iso(Z)$.
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\end{bsp}
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\subsection{Linksmultiplikation, Rechtsmultiplikation, Konjugation}
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Bei der Untersuchung von (endlichen) Gruppen interessiert man sich ganz
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besonders für Wirkungen, bei denen eine gegebene Gruppe auf sich selbst wirkt.
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Ich nenne drei besonders relevante Beispiele.
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\begin{bsp}[Linksmultiplikation, Rechtsmultiplikation]
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||
Es sei $G$ eine Gruppe. Dann werden durch die Vorschriften
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\[
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||
G⨯ G → G, \quad (g,h) ↦ g· h %
|
||
\quad \text{und} \quad %
|
||
G⨯ G → G, \quad (g,h) ↦ h· g^{-1}
|
||
\]
|
||
zwei treue Wirkungen von $G$ auf sich selbst definiert, die
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||
\emph{Linksmultiplikation}\index{Linksmultiplikation} und
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||
\emph{Rechts\-multiplikation}\index{Rechtsmultiplikation} genannt werden.
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\end{bsp}
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\begin{frage}
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||
Warum schreibe ich bei der Definition der Rechtsmultiplikation statt
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$h·g^{-1}$ nicht einfach $h·g$? Ist doch viel einfacher.
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\end{frage}
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\begin{bsp}[Konjugation von Elementen]\label{bsp:konju}
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||
Es sei $G$ eine Gruppe, dann wird durch die Vorschrift
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||
\[
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||
G⨯ G → G, \quad (g,h) ↦ g· h·g^{-1}
|
||
\]
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||
eine Wirkung von $G$ auf sich selbst definiert, die
|
||
\emph{Konjugationswirkung}\index{Konjugationswirkung} genannt wird. Die
|
||
Bahnen dieser Wirkung werden
|
||
\emph{Konjugationsklassen}\index{Konjugationsklassen} genannt.
|
||
\end{bsp}
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\begin{bsp}
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||
Finden Sie sofort ein Beispiel für eine Gruppe, bei der die
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Konjugationswirkung auf $G$ treu ist! Finden Sie sofort ein Beispiel für eine
|
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Gruppe, bei der diese Wirkung nicht treu ist, sondern trivial!
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\end{bsp}
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||
Die Konjugationswirkung ist natürlich besonders wichtig. Die relevanten
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Isotropie- und Stabilisatorgruppen haben deshalb besondere Namen.
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\begin{defn}[Zentralisator]
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Es sei $G$ eine Gruppe. Wir betrachten die Konjugationswirkung von $G$ auf
|
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sich selbst. Gegeben eine Teilmenge $M ⊂ G$, dann wird die Untergruppe
|
||
$\Iso(M) ⊆ G$ auch als \emph{Zentralisator}\index{Zentralisator} von $M$
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bezeichnet. Die Untergruppe $\Iso(G) ⊆ G$ wird als \emph{Zentralisator von
|
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$G$} oder \emph{Zentrum von $G$}\index{Zentrum} bezeichnet.
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\end{defn}
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\begin{beobachtung}
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Ein Element $g ∈ G$ liegt genau dann im Zentralisator von $M$, wenn es mit
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jedem Element aus $M$ kommutiert. In anderen Worten, wenn für jedes Element
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||
$m ∈ M$ die Gleichung $g·m = m·g$ gilt. Ein Element $g ∈ G$ liegt genau dann
|
||
im Zentralisator von $G$, wenn es mit jedem Element kommutiert.
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\end{beobachtung}
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Neben der Konjugation von einzelnen Elementen betrachtet man in der
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Gruppentheorie häufig auch noch die induzierte Konjugationswirkung auf der Menge
|
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der Untergruppen. Die folgende Definition macht das präzise.
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\begin{bsp}[Konjugation von Untergruppen]\label{bsp:konUG}
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||
Es sei $G$ eine Gruppe, dann wird durch die Vorschrift
|
||
\[
|
||
G⨯ \bigl\{ \text{Untergruppen von }G \bigr\} → \bigl\{ \text{Untergruppen
|
||
von }G \bigr\}, \quad (g,H) ↦ g· H·g^{-1}
|
||
\]
|
||
eine Wirkung von $G$ auf der Menge aller Untergruppen definiert. Diese wird
|
||
ebenfalls als \emph{Konjugationswirkung}\index{Konjugationswirkung}
|
||
bezeichnet. Eine Untergruppe $N ⊆ G$ ist genau dann normal, wenn
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||
$N ∈ \{ \text{Untergruppen} \}$ ein Fixpunkt dieser Wirkung ist.
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||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{defn}[Normalisator einer Untergruppe]\label{defn:normalisator}
|
||
Es sei $G$ eine Gruppe und $U ⊆ G$ sei eine Untergruppe. Betrachte die
|
||
Konjugation von Untergruppen aus Beispiel~\ref{bsp:konUG}. Dann wird die
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||
Untergruppe $\Iso(U)$ als \emph{Normalisator von $U$}\index{Normalisator}
|
||
bezeichnet. Die Bezeichnung $N(U)$ ist üblich.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{achtung}
|
||
In Definition~\ref{defn:normalisator} wirkt die Gruppe $G$ auf die Menge
|
||
\[
|
||
M := \bigl\{ \text{Untergruppen von } G \bigr\}.
|
||
\]
|
||
Die Untergruppe $U$ ist hier ein \emph{Element} der Menge $M$. Also ist
|
||
$\Iso(U)$ gemäß Notation~\ref{not:17.1.5} zu verstehen!
|
||
\end{achtung}
|
||
|
||
\begin{bemerkung}
|
||
In der Situation aus Definition~\ref{defn:normalisator} ist $N(U)$ stets eine
|
||
Obergruppe von $U$; wir erhalten also eine Kette von Untergruppen $U ⊆ N(U) ⊆
|
||
G$. Überlegen Sie sich, dass die Gruppe $U$ stets eine normale Untergruppe
|
||
von $N(U)$ ist. Überlegen Sie sich auch, dass die Untergruppe $N(U)$ die
|
||
eindeutige, maximale Zwischengruppe mit dieser Eigenschaft ist. Was meine ich
|
||
mit „eindeutig, maximal“ eigentlich ganz genau?
|
||
\end{bemerkung}
|
||
|
||
|
||
\section{Die Bahnengleichung}
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||
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||
\sideremark{Vorlesung 19}Wenn eine Gruppe auf eine Menge wirkt, dann gibt es
|
||
natürlich einen Zusammenhang zwischen der Größe der Bahn und der Größe der
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||
Isotropiegruppe. Der folgende Satz quantifiziert das.
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||
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||
\begin{satz}[Bahnengleichung]\label{Satz_Seite_156_und_157}
|
||
Sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einer Menge $M$ operiert. Weiter sei
|
||
$m ∈ M$. Dann gilt die folgende Gleichung,
|
||
\begin{equation*}
|
||
|G| = |\Iso(m)|·|G·m|.
|
||
\end{equation*}
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
Betrachte die Abbildung
|
||
\[
|
||
φ : G → G·m, \quad g ↦ g·m.
|
||
\]
|
||
Jedes Element von $G$ liegt genau in einer Faser. Also ist
|
||
\[
|
||
|G| = \sum_{n ∈ G·m} |φ^{-1}(n)|.
|
||
\]
|
||
Wir rechnen die Größe der Fasern einfach aus. Gegeben ein Element $h·m$ der
|
||
Bahn, dann gilt für jedes Gruppenelement $g ∈ G$:
|
||
\begin{align*}
|
||
g ∈ φ^{-1}(h·m) & ⇔ g·m = h· m \\
|
||
& ⇔ h^{-1}· g· m = m \\
|
||
& ⇔ (h^{-1} · g)∈ \Iso(m) \\
|
||
& ⇔ g∈ h· \Iso(m).
|
||
\end{align*}
|
||
Also ist $φ^{-1}(h·m) = h· \Iso(m)$. Diese Gruppe enthält aber genau so viele
|
||
Elemente wie $\Iso(m)$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Wir hatten in Beobachtung~\vref{obs:Index} schon den Begriff des „Indexes einer
|
||
Untergruppe“ eingeführt. Ich wiederhole das noch einmal.
|
||
|
||
\begin{bsp}[Linksmultiplikation und Rechtsnebenklassen]
|
||
Sei $G$ eine Gruppe und $U⊂ G$ eine Untergruppe, dann operiert $U$ auf $G$
|
||
durch Linksmultiplikation. Die Bahn eines Elements $g ∈ G$ unter dieser
|
||
Operation, $U· g = \{u· g \::\: u∈ U\}$ heißt
|
||
\emph{Rechtsnebenklasse}\index{Rechtsnebenklasse} von $g$ modulo $U$. Die
|
||
Menge der Rechtsnebenklassen wird mit $\ifactor{U}{G}$ bezeichnet, die Anzahl
|
||
der Rechtsnebenklassen heißt \emph{Index}\index{Index der Untergruppe $U ⊆ G$}
|
||
und wird in der Literatur mit $[G:U]$ bezeichnet.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{bemerkung}
|
||
In der Literatur wird der Index manchmal auch mit Rechtsmultiplikation und
|
||
Linksnebenklassen eingeführt. Diese Definition stimmen überein!
|
||
\end{bemerkung}
|
||
|
||
Für den Fall der Linksmultiplikation wird die Bahnengleichung auch als Satz von
|
||
Lagrange\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis
|
||
de Lagrange} (* 25. Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; †
|
||
10. April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}
|
||
bezeichnet.
|
||
|
||
\begin{satz}[Satz von Lagrange]\label{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz}
|
||
Es sei $G$ eine endliche Gruppe und es sei $U ⊂ G$ eine Untergruppe. Dann ist
|
||
$|G| = [G:U]·|U|$.
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
Die Gruppe $G$ wirkt wie folgt auf der Menge $U\backslash G$ der
|
||
Rechtsnebenklassen,
|
||
\[
|
||
G ⨯ \Bigl( \ifactor{U}{G} \Bigr) → \ifactor{U}{G}, \quad (g, U·h) ↦
|
||
U·hg^{-1}.
|
||
\]
|
||
Überlegen Sie sich, dass dies tatsächlich eine (wohldefinierte!)
|
||
Gruppenwirkung ist, dass diese Wirkung transitiv ist und dass $\Iso(U·e)=U$
|
||
ist. Der Satz von Lagrange folgt dann sofort aus der Bahnengleichung,
|
||
Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{bemerkung}
|
||
Interessant ist wieder die Operation der Gruppe $G$ auf sich selbst durch
|
||
Konjugation. Wenn $h ∈ G$ ist, dann gilt nach der Bahnengleichung die
|
||
Gleichheit
|
||
\begin{equation*}
|
||
|\{ ghg^{-1} \::\: g∈ G \}| = [G : \Zentralisator(h)].
|
||
\end{equation*}
|
||
Die Anzahl der Elemente in einer Konjugationsklasse ist stets ein Teiler der
|
||
Gruppenordnung $|G|$. Wenn jetzt $h_1, …, h_n∈ G$ ein vollständiges
|
||
Repräsentantensystem für die Konjugationsklassen in $G$ sind, dann ist $G$ die
|
||
disjunkte Vereinigung dieser Konjugationsklassen, und deshalb gilt die
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||
\emph{Klassengleichung}\index{Klassengleichung}
|
||
\begin{equation}\label{eq_Klassengleichung_I}
|
||
|G| = \sum_{i=1}^{n} [G : \Zentralisator(h_i)].
|
||
\end{equation}
|
||
Manchmal schreibt man die Klassengleichung auch anders. Dazu beobachte man,
|
||
dass die Elemente des Zentrums $\Zentralisator(G)$ exakt diejenigen Elemente
|
||
sind, deren Konjugationsklassen nur aus einem Element bestehen. Also gilt
|
||
\begin{equation}\label{eq_Klassengleichung_II}
|
||
|G| = |\Zentralisator(G)| + \sum_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{h_i \text{ mit}}{[G:\Zentralisator(h_i)]>1}} [G:\Zentralisator(h_i)]
|
||
\end{equation}
|
||
\end{bemerkung}
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\section{Restklassengruppen}
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„Restklassengruppen“ oder „Gruppenquotienten“ kennen wir schon lange. Der
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lieben Vollständigkeit halber zähle ich die wesentlichen Eigenschaften noch
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einmal auf. Alle Beweise sollten Ihnen bekannt sein… Wie immer gilt es, eine
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elegante universelle Eigenschaft formulieren.
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\begin{defn}[Restklassengruppen]
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Es sei $G$ eine Gruppe und $N ⊂ G$ sei eine normale Untergruppe. Eine
|
||
\emph{Restklassengruppe}\index{Restklassengruppe} oder
|
||
\emph{Gruppenquotient}\index{Gruppenquotient} ist eine Gruppe $Q$ zusammen mit
|
||
einem Gruppenmorphismus $q : G → Q$, sodass $\ker q = N$ ist und so, dass
|
||
folgende universelle Eigenschaft gilt. Wenn ein Gruppenmorphismus $α : G → H$
|
||
mit $N ⊂ \ker α$ gegeben ist, dann existiert genau ein Gruppenmorphismus $β :
|
||
Q → H$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
G \ar[r, "q"] \ar[d, equal] & Q \ar[d, "β"] \\
|
||
G \ar[r, "α"'] & H
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
\end{defn}
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||
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Wie immer folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassengruppen
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eindeutig sind bis auf kanonische Isomorphie, falls sie überhaupt existieren.
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\begin{satzdef}[Existenz von Restklassengruppen]
|
||
Es sei $G$ eine Gruppe und des sei $N ⊂ G$ eine normale Untergruppe. Dann
|
||
lässt sich auf der Menge der Linksnebenklassen,
|
||
\[
|
||
\factor{G}{N} = \{g· N \::\: g∈ G\}
|
||
\]
|
||
auf genau eine Weise eine Gruppenstruktur erklären, sodass die
|
||
Quotientenabbildung
|
||
\begin{equation*}
|
||
q : G → \factor{G}{N}, \quad g ↦ g· N
|
||
\end{equation*}
|
||
ein Gruppenmorphismus ist. Dies ist dann automatisch ein Gruppenquotient.
|
||
\qed
|
||
\end{satzdef}
|
||
|
||
\begin{satz}[Homomorphiesatz für Gruppen]
|
||
Es sei $α : G → H$ ein surjektiver Gruppenmorphismus. Dann ist $\ker(α)$
|
||
normal und $H ≅ G/\ker α$. \qed
|
||
\end{satz}
|
||
|
||
\begin{satz}[Normale Untergruppen unten und oben]\label{Satz_Seite_160}
|
||
Es sei $α : G → H$ ein Gruppenmorphismus. Dann gilt Folgendes.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item\label{Satz_Seite_160_Aussage_1} Das Bild einer Untergruppe von $G$ ist
|
||
eine Untergruppe von $H$ und das Urbild einer Untergruppe von $H$ ist eine
|
||
Untergruppe von $G$.
|
||
|
||
\item\label{Satz_Seite_160_Aussage_2} Das Urbild eines Normalteilers von $H$
|
||
ist ein Normalteiler von $G$ und das Bild eines Normalteilers von $G$ ist
|
||
ein Normalteiler in $H$, wenn $α$ surjektiv ist.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
Sehr ähnlich zum analogen Satz für Ideale,
|
||
Satz~\vref{Satz_Ringmorphismus_Eigenschaften}. \qed
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{beobachtung}\label{beo:xx}
|
||
Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $N ⊂ G$ eine normale Untergruppe. Weiter
|
||
sei $U ⊂ G$ irgendeine Untergruppe. Dann ist
|
||
\[
|
||
U· N =\{u· n \::\: u∈ U, n∈ N\}
|
||
\]
|
||
wieder eine Untergruppe. Zum Beweis müssen wir lediglich zeigen, dass $U·N$
|
||
abgeschlossen unter der Gruppenoperation ist. Mit anderen Worten, wir müssen
|
||
zeigen, dass für alle $n_1$, $n_2 ∈ N$ für alle $u_1$, $u_2 ∈ U$ die Inklusion
|
||
\begin{equation*}
|
||
(u_1· n_1)· (u_2· n_2) ∈ U· N
|
||
\end{equation*}
|
||
gilt. Wir wissen, dass $N$ normal ist. Also ist
|
||
$\widetilde{n_1} := u_2^{-1} n_1u_2 ∈ N$ und es gilt
|
||
$n_1u_2=u_2\widetilde{n_1}$. Demnach ist
|
||
\begin{equation*}
|
||
u_1n_1u_2n_2=u_1u_2·\widetilde{n_1}n_2∈ U· N.
|
||
\end{equation*}
|
||
Fertig ist der Beweis. Man beachte: wenn $N$ nicht normal ist, ist diese
|
||
Beobachtung im Allgemeinen ganz falsch!
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||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
Dank Beobachtung~\ref{beo:xx} ergeben die folgenden Sätze Sinn.
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||
|
||
\begin{satz}[Erster Noetherscher Isomorphiesatz]\label{Satz_Erster_Noetherscher_Isomorphiesatz}
|
||
Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $N ⊂ G$ eine normale Untergruppe. Weiter
|
||
sei $U ⊂ G$ irgendeine Untergruppe. Dann induziert der die komponierte
|
||
Abbildung
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||
\begin{equation*}
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
U \ar[r, hook] & G \ar[r, "q"] & \factor{G}{N}
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\end{equation*}
|
||
einen Isomorphismus $U/(U∩N) ≅ (U·N)/N$. \qed
|
||
\end{satz}
|
||
|
||
\begin{satz}[Zweiter Noetherscher Isomorphiesatz]\label{Satz_Zweiter_Noetherscher_Isomorphiesatz}
|
||
Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $N_2 ⊂ N_1⊂ G$ zwei Normalteiler. Dann
|
||
ist $N_1/N_2$ normal in $G/N_2$ und
|
||
\begin{equation*}
|
||
\factor{ \factor{G}{N_2} }{ \factor{N_1}{N_2} } ≅ \factor{G}{N_1}. \eqno \qed
|
||
\end{equation*}
|
||
\end{satz}
|
||
|
||
|
||
\section{Zyklische Gruppen und die Ordnung von Elementen}
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||
Die Diskussion in diesem Kapitel ist recht ähnlich zur Diskussion des
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||
Primkörpers eines Körpers. Die vielleicht einfachste Gruppe ist $(ℤ,+)$. Die
|
||
Untergruppen von $ℤ$ sind leicht zu bestimmen. Wenn nämlich $U ⊂ ℤ$ eine
|
||
Untergruppe ist, dann ist für alle $n∈ℤ⁺$ und für alle $u ∈ U$
|
||
\begin{equation*}
|
||
n·u=\underbrace{u+\dots+u}_{n⨯}∈ U.
|
||
\end{equation*}
|
||
Analog für negative $n$. Also ist $U$ ein Ideal und deshalb von der Form
|
||
$U= (α)$.
|
||
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||
\begin{beobachtung}\label{beob:lx}
|
||
Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $g∈ G$ ein Element. Dann existiert genau
|
||
ein Gruppenmorphismus $ζ : ℤ → G$ mit $ζ(1) = g$. Für positive Zahlen $n$ ist
|
||
\begin{equation*}
|
||
ζ(n) = \underbrace{g ⋯ g}_{n⨯},
|
||
\end{equation*}
|
||
für negative Zahlen analog.
|
||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
\begin{defn}[Zyklische (Unter)gruppe, primitives Element]
|
||
Es sei $G$ eine Gruppe.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Gegeben ein Element $g ∈ G$, sei $ζ$ die Abbildung aus
|
||
Beobachtung~\ref{beob:lx}. Das Bild von $ζ$ heißt die \emph{von $g$
|
||
erzeugte zyklische Untergruppe}\index{Zyklische Untergruppe}. Das Bild
|
||
von $ζ$ wird oft $(g)$ geschrieben.
|
||
|
||
\item Die Gruppe $G$ heißt \emph{zyklisch}\index{zyklische Gruppe}, wenn ein
|
||
$g∈ G$ existiert, sodass $G = (g)$ ist. Man nennt $g$ dann ein
|
||
\emph{primitives Element von $G$}\index{primitives Element einer zyklischen
|
||
Gruppe}.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{bemerkung}
|
||
Eine zyklische Gruppe ist also entweder isomorph zu $(ℤ,+)$ oder zu einer
|
||
endlichen Gruppe der Form $ℤ/(n)$.
|
||
\end{bemerkung}
|
||
|
||
\begin{defn}[Ordnung von Gruppenelementen]\label{def:orge}
|
||
Es sei $G$ eine Gruppe und $g∈ G$ sei ein Element. Die \emph{Ordnung von
|
||
$g$}\index{Ordnung!eines Gruppenelements} ist die Ordnung der Gruppe $(g)$.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{bemerkung}
|
||
In der Situation von Definition~\ref{def:orge} ist die Ordnung von $g$
|
||
entweder $∞$ oder $n ∈ ℕ$, wobei $n$ die kleinste Zahl mit $g^n=e$ ist.
|
||
\end{bemerkung}
|
||
|
||
\begin{satz}\label{Satz_Seite_163}
|
||
Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $g ∈ G$ ein Element.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item\label{Satz_Seite_163_Aussage_1} Gilt $g^m=e$ für ein $m ∈ ℤ$, dann ist
|
||
die Ordnung von $g$ ein Teiler von $m$.
|
||
|
||
\item\label{Satz_Seite_163_Aussage_2} Wenn die Ordnung von $g$ gleich $m$ ist
|
||
und $n ∈ ℕ$ irgendeine weitere Zahl, dann hat $g^n$ die Ordnung
|
||
$m/ \ggT(n,m)$. Insbesondere gilt Folgendes.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Die Ordnung von $g^n$ ist gleich $m$, falls $\ggT(n,m)=1$ ist.
|
||
|
||
\item Die Ordnung von $g^n$ ist gleich $m/n$, falls $n$ ein Teiler von $m$
|
||
ist. \qed
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{satz}
|
||
|
||
\begin{beobachtung}\label{beo:pe}
|
||
Es sei $G$ zyklisch der Ordnung $m$ und es sei $g ∈ G$ ein primitives Element.
|
||
Dann folgt aus Satz~\ref{Satz_Seite_163}, dass die Menge der primitiven
|
||
Elemente sind exakt die folgende Menge ist,
|
||
\begin{equation*}
|
||
\{ g^a \::\: 1 ≤ a ≤ m: \ggT(a,m)=1\}.
|
||
\end{equation*}
|
||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
Die Größe der Menge aus Beobachtung~\ref{beo:pe} ist eine Zahl, die später bei
|
||
der Beantwortung der Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks
|
||
noch sehr wichtig wird. Die Abbildung, die jeder Zahl $n$ die Anzahl der
|
||
primitiven Elemente von $ℤ/(n)$ zuordnet, wird
|
||
Eulersche\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler}{Leonhard
|
||
Euler} (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15.~April 1707 in Basel; † 7.~September
|
||
1783 in Sankt Petersburg) war ein Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom,
|
||
Geograf, Logiker und Ingenieur.} $φ$-Funktion genannt.
|
||
|
||
\begin{defn}[Eulersche $φ$-Funktion]
|
||
Man nennt die Funktion
|
||
\begin{equation*}
|
||
φ : ℕ → ℕ, \quad m ↦ \# \{a∈ ℕ \::\: 1≤ a≤ m: \ggT(a,m) = 1\}
|
||
\end{equation*}
|
||
die \emph{Eulersche $φ$-Funktion}\index{Eulersche $φ$-Funktion}.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Jede Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, ist zyklisch. Abgesehen von dem
|
||
neutralen Element sind alle Elemente primitiv.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{bsp}[Einheitswurzeln]\label{bsp:ehw}%
|
||
Die Menge der $n$.ten Einheitswurzeln,
|
||
\[
|
||
\Bigl\{ e^{\frac{2π i}{n}· a} \::\: 0≤ a< n\Bigr\} ⊂ ℂ,
|
||
\]
|
||
also die Nullstellen von $x^n-1 ∈ ℂ[n]$ bilden bezüglich der Multiplikation
|
||
eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Die primitiven Erzeuger heißen
|
||
\emph{primitive Einheitswurzeln}\index{primitive Einheitswurzeln}. Die Gruppe
|
||
der $n$.ten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären $n$-Ecks.
|
||
Die vollständige Symmetriegruppe des $n$-Ecks enthält neben Drehungen noch
|
||
Spiegelungen. Man nennt diese Gruppe \emph{Diedergruppe}\index{Diedergruppe}.
|
||
Die Diedergruppe $D_n$ hat die Ordnung $2·n$ und ist nicht abelsch.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
Der folgende Satz liefert weitere Beispiele.
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||
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||
\begin{satz}\label{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}
|
||
Sei $R$ ein Integritätsring und $G ⊂ R^*$ sei eine endliche (multiplikative)
|
||
Gruppe. Dann ist $G$ zyklisch.
|
||
\end{satz}
|
||
|
||
Vor dem Beweis von Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}
|
||
zuerst zwei kleine Lemmas. Das erste können Sie selbst beweisen.
|
||
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||
\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Ordnung_teilen}%
|
||
Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $g,h∈ G$ zwei Elemente endlicher Ordnung,
|
||
die zusätzlich auch noch kommutieren\footnote{Das bedeutet: $g·h= h·g$.}.
|
||
Weiter sei $\ggT(\ord g, \ord h) = 1$. Dann ist
|
||
\[
|
||
\ord(g·h) = (\ord g)·(\ord h). \eqno \qed
|
||
\]
|
||
\end{lemma}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{Lemma_Ordnung_teilen}
|
||
Es sei $G$ eine endliche abelsche Gruppe und es sei
|
||
$m := \max \{\ord g \::\: g∈ G\}$. Dann gilt für alle $g∈ G$ die Relation
|
||
$(\ord g)| m$.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
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||
Seien $\ord g = \prod_{\{p\}}p^{ν_p}$ und $m = \prod_{\{p\}}p^{μ_p}$ die
|
||
Primfaktorzerlegungen von $\ord g$ und von und $m$. Weiter sei $h∈ G$ ein
|
||
Element mit $\ord h =m$ und $g∈ G$ sei irgendein Element. Gegeben eine
|
||
Primzahl $p$, so schreiben wir
|
||
\begin{equation*}
|
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\ord g = p^{ν_p}· n_p\quad\text{und}\quad \ord h = m = p^{μ_p}· m_p;
|
||
\end{equation*}
|
||
dabei gilt $p \nmid n_p$ und $p \nmid m_p$ gilt. Weil $p$ und $n_p$
|
||
beziehungsweise $m_p$ sogar teilerfremd sind, gilt
|
||
\begin{equation*}
|
||
\ord g^{n_p} = p^{ν_p} \quad\text{und}\quad \ord h^{p^{μ_p}} = m_p.
|
||
\end{equation*}
|
||
Also folgt aus Lemma~\vref{Lemma_vor_Ordnung_teilen}, dass
|
||
\begin{equation*}
|
||
\ord \bigl(g^{n_p}· h^{p^{μ_p}} \bigr) = p^{ν_p}· m_p≤ m = p^{μ_p}· m_p
|
||
\end{equation*}
|
||
ist, wobei die Ungleichung gilt, weil $m$ das Maximum war. Also folgt
|
||
$ν_p < μ_p$. Weil das für jede Primzahl gilt, folgt $(\ord g)|m$ gelten.
|
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\end{proof}
|
||
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||
Mit dieser Vorbereitung können wir jetzt den Satz über die Untergruppen von
|
||
$R^*$ beweisen.
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}]
|
||
Jeder Integritätsring ist in seinen Quotientenkörper eingebettet. Deshalb
|
||
können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $R$ ein Körper ist. Nach
|
||
Lemma~\vref{Lemma_Ordnung_teilen} gilt dann mit
|
||
\[
|
||
m := \max \{ \ord g \::\: g∈ G \}
|
||
\]
|
||
für alle $g ∈ G$, dass $g^m=1$ ist. Die Elemente aus $G$ sind also alles
|
||
Nullstellen des Polynoms $x^m-1∈ R[x]$. Nun gibt es einerseits höchstens $m$
|
||
solche Nullstellen, andererseits ist für ein $h ∈ G$ mit $\ord h =m$ schon
|
||
\begin{equation*}
|
||
(h) = \{h^n \::\: n ∈ ℤ\}⊂ G
|
||
\end{equation*}
|
||
eine Menge mit $m$ Elementen. Also ist $G = (h)$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{bemerkung}
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||
Wenn $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen ist, dann ist $\# K^* = q-1$.
|
||
Wir haben gesehen, dass $K^*$ aus den Nullstellen des Polynoms
|
||
$x^{q-1}-1 ∈ 𝔽_p[x] ⊂ K[x]$ besteht, wobei $p$ die Charakteristik von $K$ ist.
|
||
Also hat $x(x^{q-1}-1)=x^q-x$ alle Elemente von $K$ als Nullstelle. Das gibt
|
||
einen einfachen Beweis für die Klassifikation endlicher Körper.
|
||
\end{bemerkung}
|
||
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||
\section{Der kleine Satz von Fermat}
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Der kleine Satz von
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||
Fermat\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre de
|
||
Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, heute
|
||
im Département Tarn-et-Garonne; † 12.~Januar 1665 in Castres) war ein
|
||
französischer Mathematiker und Jurist.} ist eine zahlentheoretische Aussage, die
|
||
sich trivial aus dem Gesagten ergibt. Wir halten die Aussage für spätere
|
||
Anwendungen noch einmal fest.
|
||
|
||
\begin{satz}[Kleiner Satz von Fermat]\label{satz:kleinerFermat}
|
||
Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$ irgendeine Zahl. Dann ist
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||
$a^p \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)$.
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
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||
Falls $a$ ein Vielfaches von $p$ ist, ist die Sache klar. Ansonsten liefert
|
||
die Restklasse von $a$ ein nicht-verschwindendes Element $\overline{a} ∈ ℤ/(p)
|
||
= 𝔽_p$, also ein Element der multiplikativen Gruppe $𝔽^*_p$, welche $p-1$
|
||
Elemente hat. Nach Satz~\ref{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz} („Satz von
|
||
Lagrange“) ist die Ordnung von $g$, also die Größe der von $g$ erzeugten
|
||
Untergruppe, ein Teiler von $|𝔽^*_p| = p-1$. Es gilt also
|
||
$\overline{a}^{p-1} = 1 ∈ 𝔽^*_p$ oder äquivalent $a^p \equiv a
|
||
\:\:(\operatorname{mod} p)$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{bemerkung}\label{bem:kleinerFermat}%
|
||
Bei Anwendungen von Satz~\ref{satz:kleinerFermat} verwendet man häufig die
|
||
äquivalenten Formulierungen $a^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p)$ oder
|
||
$p|(a^{p-1}-1)$.
|
||
\end{bemerkung}
|
||
|
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||
%%% Local Variables:
|
||
%%% mode: latex
|
||
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
|
||
%%% End:
|