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AlgebraZahlentheorie
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base: kebekus:55ce397ec879a4f11e77cc7bdea1526ed379f67f
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No commits in common. "55ce397ec879a4f11e77cc7bdea1526ed379f67f" and "e2df9f0dbb41b1b602e229bd3898792e1371b835" have entirely different histories.
55ce397ec8 ... e2df9f0dbb

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@ -1,6 +0,0 @@
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98
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@ -29,101 +29,3 @@ Beutelspacher
Erlärvideo Erlärvideo
nullteilerfrei nullteilerfrei
nullteilerfreien nullteilerfreien
Transzendenzbeweis
Lorettoberg
Normiertheit
hinzuadjungieren
Algebraizität
Gerolamo
Cardano
Girolamo
Cardanus
Mediolanensis
Cardan
Nicolo
Tartaglia
Scipione
del
Ferro
Radikalerweiterung
Teilbarkeitsfragen
Polynom-
Teilbarkeitsüberlegungen
schrecklicherweise
Teilerkette
Teilerkettensatz
Bryn
Mawr
prim
faktoriell
UFD
faktorieller
Repräsentantensystem
Teilbarkeitseigenschaften
kgV
faktoriellen
Geodät
Quotientenkörper
Quotientenkörpers
Irreduzibilitätskriterien
Irreduzibilitätskriterium
Teilbarkeitsbetrachtungen
Teilerpolynome
Lodovico
Lagrangia
Interpolationsformel
Schönemann
Driesen
Friedebergischer
reduzibel
Einsetzungskomposition
Substitutionsmorphismus
Konstruierbarkeitsfragen
konjungierte
konstruierbare
Konstruierbarkeitsfrage
transzendent
Rechtsideale
Sorau
Dedekind
nicht-faktoriellen
Hauptideale
Erzeugendensysteme
Gödelschen
Erzeugendensystems
Erzeugendensystem
Teiler-
Hauptidealen
Faktorialität
Quotientenvektoraumes
Quotientenvektorräumen
Quotientenvektorräume
Quotientenring
Repräsentantensystems
Homomorphiesatzes
Homomorphiesatz
Quotientenabbildung
Urbildmenge
Primideale
Primideals
Primideal
Summenideal
Teilerfremdheit
Funktionenkörper
Kodierungstheorie
Substitutionsabbildung
Steinitz
Laurahütte
nicht-Kanonizität
Zerfällungskörpern
inseparable
Teilbarkeitsrelationen
Frobenius-Morphismus
Frobenius-Endomorphismus
Einselements
separabel
inseparabel
Separabilität
Substitutionsmorphismen
Separabilitätsgrad
inseparablen

40
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@ -13,43 +13,3 @@
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QVorlesung 2 Ein Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt Schiefkörper, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q invertierbar sind, wenn also \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QVorlesung 2 Ein Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt Schiefkörper, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q invertierbar sind, wenn also \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Unterring, aber kein Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Unterring, aber kein Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Minimaler Grad] Zuerst betrachten wir nur solche Polynome, deren Grad minimal ist unter allen nicht-konstanten Polynomen, die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als Nullstelle haben.\\E$"}
{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 3 3-1 und 3-2.\\E$"}
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann bildet die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist algebraisch über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q einen Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, genannt der algebraische Abschluss von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q im Oberkörper \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3-6\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QErklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, etc. Nach Korollar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q können wir schreiben \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QAus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q folgt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein kommutativer Ring und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q seien Elemente.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"}
{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 6\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\QggT und kgV.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann, wenn für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWenn Sie bei mir die Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende Definition sehr vertraut vorkommen.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringhomomorphismus, dann ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringmorphismus.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QSetze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q [Substitutionsmorphismus] Es sei ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten] Ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringhomomorphismus, dann ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringmorphismus.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch verzichte deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so geht, wie in der Linearen Algebra“.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QStellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung „Lineare Algebra“ erinnern.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QGenau wie die Quotientenvektorräume der Linearen Algebra sind Restklassenringe durch folgende universelle Eigenschaft definiert.\\E$"}
{"rule":"DE_SUBJECT_VERB_AGREEMENT","sentence":"^\\QEin Restklassenring oder Quotientenring ist ein kommutativer Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q mit Eins zusammen mit einem Ringmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist und so, dass die folgende universelle Eigenschaft gilt: ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein weiterer Ringmorphismus mit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau einen Ringmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass das folgende Diagramm kommutiert, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QErinnerung an die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q = Menge der Äquivalenzklassen\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen Eigenschaft.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Wie sieht der Kern von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus?] Ein Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist offenbar genau dann im von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Kern, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QFür den Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDer Chinesische Restsatz.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDer Chinesische Restsatz ist langweilig, darf aber in keiner Vorlesung fehlen und kommt auch in den allermeisten Klausuren und Prüfungen vor.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind, dann ist diese notwendige Bedingung automatisch erfüllt, und der Chinesische Restsatz sagt, dass das Gleichungssystem dann auch lösbar ist.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ist der kanonische Ringhomomorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QAdd.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDer Körper der algebraischen Zahlen, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein algebraischer Abschluss \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QIn einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma zeigen, dass diese naive Idee tatsächlich trägt.\\E$"}
{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QZorn's Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in diesem Teil der Vorlesung?.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEin wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen Körper \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und zu einem gegebenen Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q den Zerfällungskörper zu bestimmen.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir erhalten also einen Gruppenmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-isomorphismen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QPermutationen der Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn alles 100%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn alles 100%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser Stelle den Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Sätze klären auch noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q adjungiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q“ mit QQ[sqrt(5)] bezeichnet.\\E$"}
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QFür beliebige Körpererweiterungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und beliebige Teilmengen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist die Äquivalenz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind algebraisch ganz falsch.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTES_AUSRUFEZEICHEN","sentence":"^\\QFalsch!!\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Ist mir zu langweilig.\\E$"}

141
03.tex
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@ -20,32 +20,32 @@ nicht alle Elemente des größeren Körpers gleich sind.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie \item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie
\emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben deren \emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben deren
Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen „algebraisch“. Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen ``algebraisch''.
\item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von Polynomen \item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von
kommen --- diese Zahlen heißen „transzendent“. Polynomen kommen --- diese Zahlen heißen ``transzendent''.
\end{itemize} \end{itemize}
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst
einmal ein wenig Sprache fällig. einmal ein wenig Sprache fällig.
\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}% \begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}
Es sei $K$ ein Körper. Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit Es sei $K$ ein Körper. Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit
Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring} Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring}
\end{definition} \end{definition}
\begin{warnung}[Polynome und Funktionen] \begin{warnung}[Polynome und Funktionen]
In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine
Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen! Im Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen!
Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele Im Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele Abbildungen Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele
von $K$ nach $K$! Abbildungen von $K$ nach $K$!
\end{warnung} \end{warnung}
\begin{bsp}[Polynomring] \begin{bsp}[Polynomring]
Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$. Das Polynom $π·x + e$ liegt Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$. Das Polynom
in $ℝ[x]$. $π·x + e$ liegt in $ℝ[x]$.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp}[Polynomring] \begin{bsp}[Polynomring]
@ -57,13 +57,13 @@ einmal ein wenig Sprache fällig.
ein typisches Polynom aus $K[x]$. ein typisches Polynom aus $K[x]$.
\end{bsp} \end{bsp}
Die korrekte Definition von „algebraisch“ und „transzendent“ ist jetzt die Die korrekte Definition von ``algebraisch'' und ``transzendent'' ist jetzt die
Folgende. Folgende.
\begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente] \begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente]
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Ein Element $a ∈ L$ heißt Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Ein Element $a ∈ L$ heißt
\emph{algebraisch über $K$}\index{algebraisch!Element einer \emph{algebraisch über $K$}\index{algebraisch!Element einer
Körpererweiterung}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes Körpererweiterung}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes
gilt. gilt.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Das Polynom $f$ ist nicht das Nullpolynom. \item Das Polynom $f$ ist nicht das Nullpolynom.
@ -81,11 +81,11 @@ Folgende.
algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist. Der algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist. Der
Freiburger Mathematiker Ferdinand Freiburger Mathematiker Ferdinand
Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl
Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.~April 1852 in Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12. April
Hannover; † 6.~März 1939 in München) war ein deutscher Mathematiker. Lindemann 1852 in Hannover; † 6. März 1939 in München) war ein deutscher
hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem Spaziergang auf dem Mathematiker. Lindemann hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem
Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten Arbeit \cite{MR1510165}, Spaziergang auf dem Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten
dass die Zahl $π$ transzendent ist. Arbeit \cite{MR1510165}, dass die Zahl $π$ transzendent ist.
\end{bsp} \end{bsp}
@ -95,22 +95,22 @@ Der Zahlentheoretiker interessiert sich natürlich besonders für die
Körpererweiterung $ℂ/ℚ$. Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert. Körpererweiterung $ℂ/ℚ$. Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert.
\begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen] \begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen]
Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man \emph{algebraische Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man
Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}. Die anderen Elemente heißen \emph{algebraische Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}. Die anderen Elemente
\emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}. heißen \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
\end{defn} \end{defn}
Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen. Der folgende Satz zeigt, dass Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen. Der folgende Satz zeigt, dass
jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen
enthält. enthält.
\begin{satz}\label{satz:3-2-2}% \begin{satz}\label{satz:3-2-2}
Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar. Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof} \begin{proof}
Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit
Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar. Jedes Polynom hat aber nur endlich Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar. Jedes Polynom hat aber nur
viele Nullstellen. endlich viele Nullstellen.
\end{proof} \end{proof}
@ -142,9 +142,9 @@ enthält.
\section{Das Minimalpolynom} \section{Das Minimalpolynom}
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. Per Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat. Per Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle
Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit hat. Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das
ebenfalls $a$ als Nullstelle hat. Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$ ebenfalls $a$ als Nullstelle hat. Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$
als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar
@ -160,7 +160,7 @@ Zusatzbedingungen stellt.
f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x] f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x]
\end{equation*} \end{equation*}
ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung: ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung:
„normiert“ bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.} ``normiert'' bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
\begin{equation*} \begin{equation*}
\frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x] \frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x]
\end{equation*} \end{equation*}
@ -194,9 +194,9 @@ Grad von $f_1$!
\end{defn} \end{defn}
\begin{bsp} \begin{bsp}
Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$. Dann ist $[a:ℚ] ≤ 3$, Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$. Dann ist
denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Aber ist $f$ auch $[a:ℚ] ≤ 3$, denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms
das Minimalpolynom? $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Aber ist $f$ auch das Minimalpolynom?
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp} \begin{bsp}
@ -209,9 +209,9 @@ Grad von $f_1$!
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel] \begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel]
Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$). Weiter sei Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$). Weiter
$b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: Es gilt die Gleichung sei $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: es gilt die
$a² = b$). Dann gilt Gleichung $a² = b$). Dann gilt
\[ \[
[a:K] = [a:K] =
\left\{ \left\{
@ -238,7 +238,7 @@ Definition.
\begin{defn}[Grad einer Körpererweiterung] \begin{defn}[Grad einer Körpererweiterung]
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Die Dimension von $L$ als Vektorraum Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Die Dimension von $L$ als Vektorraum
über $K$ heißt \emph{Grad der Körpererweiterung}\index{Grad!einer über $K$ heißt \emph{Grad der Körpererweiterung}\index{Grad!einer
Körpererweiterung}. Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich. Körpererweiterung}. Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich.
\end{defn} \end{defn}
\begin{defn}[Endliche Körpererweiterung] \begin{defn}[Endliche Körpererweiterung]
@ -247,12 +247,12 @@ Definition.
\end{defn} \end{defn}
\begin{bsp} \begin{bsp}
Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder endlich-dimensionale Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder
$ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar. endlich-dimensionale $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}% \begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$. Dann gilt die Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Dann gilt die
Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3} Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3}
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof} \begin{proof}
@ -264,11 +264,11 @@ Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}; wir wiederholen die Argumentation deshalb an
dieser Stelle nicht. dieser Stelle nicht.
\begin{kor} \begin{kor}
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Falls $[a:K] < ∞$ ist, Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Falls $[a:K] < ∞$
dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$. \qed ist, dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$. \qed
\end{kor} \end{kor}
\begin{kor}\label{kro:eord}% \begin{kor}\label{kro:eord}
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom
Grad $n$. Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als Grad $n$. Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als
\[ \[
@ -278,10 +278,10 @@ dieser Stelle nicht.
\end{kor} \end{kor}
Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$ Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$
schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als $b = c_0 + schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als
c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind. Das ist ziemlich nützlich! $b = c_0 + c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind. Das ist ziemlich
Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für beliebige nützlich! Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für
einfache Körpererweiterungen. beliebige einfache Körpererweiterungen.
\section{Ketten von Körpererweiterungen} \section{Ketten von Körpererweiterungen}
@ -291,10 +291,11 @@ haben, und dann nach und nach einige Elemente eines Oberkörpers
hinzuadjungieren. Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden hinzuadjungieren. Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden
Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten. Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}% \begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}
\index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von \index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von
Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention $∞·∞ = ∞$ Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention
und $∞·n = ∞$, falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die Gleichung $∞·∞ = ∞$ und $∞ ·n = ∞$ falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die
Gleichung
\[ \[
[M:K] = [M:L]·[L:K]. [M:K] = [M:L]·[L:K].
\] \]
@ -304,9 +305,10 @@ Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
\end{proof} \end{proof}
\begin{kor} \begin{kor}
Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn $[M:K]$ endlich Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn
ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von $[M:K]$. Insbesondere $[M:K]$ endlich ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von
gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist. \qed $[M:K]$. Insbesondere gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein
Teiler von $[M:K]$ ist. \qed
\end{kor} \end{kor}
\begin{kor} \begin{kor}
@ -314,7 +316,7 @@ Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
ist. Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist. \qed ist. Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist. \qed
\end{kor} \end{kor}
\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}% \begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei. Dann entsteht $L$ aus $K$ Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei. Dann entsteht $L$ aus $K$
durch Adjunktion einer Quadratwurzel. Genauer: es gibt Elemente $a ∈ L$ und durch Adjunktion einer Quadratwurzel. Genauer: es gibt Elemente $a ∈ L$ und
$b ∈ K$, sodass Folgendes gilt. $b ∈ K$, sodass Folgendes gilt.
@ -325,8 +327,7 @@ Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
\end{itemize} \end{itemize}
\end{kor} \end{kor}
\begin{proof} \begin{proof}
\video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte \video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte Verbesserung im Skript des Beweises.
Verbesserung im Skript des Beweises.
\end{proof} \end{proof}
Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen. Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
@ -337,18 +338,18 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
\item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$. \item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$.
\item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$ \item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$
und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass $L = K(a_1, …, und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass
a_n)$ ist. $L = K(a_1, …, a_n)$ ist.
\item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$, \item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$,
die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen: $L = die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen:
K(a_1, …, a_n)$. $L = K(a_1, …, a_n)$.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}] \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}]
Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also sind alle Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also
diese Elemente algebraisch. Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man zum Beispiel sind alle diese Elemente algebraisch. Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man
einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen. zum Beispiel einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
\end{proof} \end{proof}
\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}] \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}]
@ -356,15 +357,15 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
\end{proof} \end{proof}
\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}] \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}]
Sei $L = K(a_1, …, a_n)$. Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und Sei $L = K(a_1, …, a_n)$. Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und die
die Kette von Erweiterungen Kette von Erweiterungen
\[ \[
K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L. K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L.
\] \]
Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$; Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$;
insbesondere ist per Annahme („$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$“) und insbesondere ist per Annahme (``$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$'') und
Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich. Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich. Wiederholte
Wiederholte Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
\[ \[
[L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i], [L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i],
\] \]
@ -377,9 +378,9 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus
Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig
sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen. Der erste ist der Satz über sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen. Der erste ist der Satz über
die „Transitivität der Algebraizität“. die ``Transitivität der Algebraizität''.
\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}% \begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}
Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen. Dann ist auch Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen. Dann ist auch
$M/K$ algebraisch. $M/K$ algebraisch.
\end{kor} \end{kor}
@ -412,9 +413,9 @@ die „Transitivität der Algebraizität“.
von $ℂ$. \qed von $ℂ$. \qed
\end{kor} \end{kor}
\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}% \begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}
Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von
„algebraischem Abschluss“ diskutieren, der nicht von der Wahl eines ``algebraischem Abschluss'' diskutieren, der nicht von der Wahl eines
Oberkörpers abhängt. Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln! Oberkörpers abhängt. Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln!
\end{warnung} \end{warnung}

67
04.tex
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@ -14,21 +14,21 @@ Für Gleichungen 3.\ und 4.\ Grades haben italienische Mathematiker der
Renaissance komplizierte Formeln gefunden. In der westlichen Welt wurden diese Renaissance komplizierte Formeln gefunden. In der westlichen Welt wurden diese
Formeln erstmals 1545 von Gerolamo Formeln erstmals 1545 von Gerolamo
Cardano\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano}{Gerolamo Cardano\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano}{Gerolamo
Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan, Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan,
lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24.~September 1501 in Pavia; † lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24. September 1501 in Pavia;
21.~September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und † 21. September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und
Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch
\cite{Cardano45} veröffentlicht. Die Lösungsformeln für reduzierte kubischen \cite{Cardano45} veröffentlicht. Die Lösungsformeln für reduzierte kubischen
Gleichungen wurden wohl von Nicolo Gleichungen wurden wohl von Nicolo
Tartaglia\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Tartaglia}{Niccolò Tartaglia\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Tartaglia}{Niccolò
Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13.~Dezember 1557 in Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13. Dezember 1557 in
Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine
Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist. } entdeckt; laut Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist. } entdeckt; laut
Cardano sogar noch früher durch Scipione del Cardano sogar noch früher durch Scipione del
Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione
del Ferro} (* 6.~Februar 1465 in Bologna; † 5.~November 1526 ebenda) war ein del Ferro} (* 6. Februar 1465 in Bologna; † 5. November 1526 ebenda) war ein
italienischer Mathematiker. Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und italienischer Mathematiker. Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und
Geometrie an der Universität von Bologna.}. Geometrie an der Universität von Bologna. }.
\begin{bsp} \begin{bsp}
Es seien $a$, $b$ und $c$ komplexe Zahlen. Gesucht sind komplexe Lösungen der Es seien $a$, $b$ und $c$ komplexe Zahlen. Gesucht sind komplexe Lösungen der
@ -52,53 +52,54 @@ Geometrie an der Universität von Bologna.}.
\end{bsp} \end{bsp}
Für Polynome vom Grad 5 wurde keine solche Formel gefunden. Das wirft Fragen Für Polynome vom Grad 5 wurde keine solche Formel gefunden. Das wirft Fragen
auf. Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm? Gibt es auf. Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm? Gibt es eine
eine solche Formel überhaupt? Die Frage war etliche Jahrhunderte offen. solche Formel überhaupt? Die Frage war etliche Jahrhunderte offen. Tatsächlich
Tatsächlich ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und durch die
durch die Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar. Wir präzisieren die Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar. Wir präzisieren die Fragestellung
Fragestellung hier nur. hier nur.
\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}% \begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}
Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente $a_1, Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente
…, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt. $a_1, …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Es ist $L = K(a_1, …, a_n)$. \item Es ist $L = K(a_1, …, a_n)$.
\item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist $a_i^{r_i} \item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist
∈ K(a_1, …, a_{i-1})$. $a_i^{r_i} ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$.
\end{itemize} \end{itemize}
\end{defn} \end{defn}
Erklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass $a_1$ die Erklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass $a_1$ die
$r_1$-te Wurzel eines Elements aus $K$, dass $a_2$ die $r_2$-te Wurzel eines $r_1$-te Wurzel eines Elements aus $K$, dass $a_2$ die $r_2$-te Wurzel eines
Elements aus $K(a_1)$, etc. Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir schreiben Elements aus $K(a_1)$, etc. Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir
schreiben
\begin{align*} \begin{align*}
K(a_1) & = K+ K· a_1+K· a_1²+\dots+ K· a_1^{r_1-1}\\ K(a_1) & = K+ K· a_1+K· a_1²+\dots+ K· a_1^{r_1-1}\\
K(a_1, a_2)&= K(a_1)+K(a_1)· a_2+ \dots + K(a_1)· a_2^{r_2-1}\\ K(a_1, a_2)&= K(a_1)+K(a_1)· a_2+ \dots + K(a_1)· a_2^{r_2-1}\\
&\:\:\: \vdots \\ &\:\:\: \vdots \\
K(a_1, …, a_n)&= K(a_1, …, a_{n-1})+K(a_1, …, a_{n-1})· a_n + \dots + K(a_1, …, a_{n-1})· a_n^{r_n-1}. K(a_1, …, a_n)&= K(a_1, …, a_{n-1})+K(a_1, …, a_{n-1})· a_n + \dots + K(a_1, …, a_{n-1})· a_n^{r_n-1}.
\end{align*} \end{align*}
Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem nur
nur (höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen. (höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen.
\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}% \begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}
Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$. Man sagt, die Gleichung Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$. Man sagt, die
$f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit durch Gleichung $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit
Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine durch Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine
Nullstelle hat\footnote{Genauer: …, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt Nullstelle hat\footnote{Genauer: …, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt
und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}. und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}.
\end{defn} \end{defn}
Bei der klassischen Frage nach den Lösungen von Polynomen interessiert uns unter Bei der klassischen Frage nach den Lösungen von Polynomen interessiert uns unter
anderem, ob ein Polynom anderem ob ein Polynom
\begin{equation*} \begin{equation*}
f(x) = x^n+b_1·x^{n-1} + \dots + b_{n-1}·x + b_n ∈ ℂ[x] f(x) = x^n+b_1·x^{n-1} + \dots + b_{n-1}·x + b_n ∈ ℂ[x]
\end{equation*} \end{equation*}
über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat, das heißt, über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat,
ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von rationalen das heißt, ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von
Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken lässt -- falls rationalen Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken
nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen. lässt -- falls nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen.
%%% Local Variables: %%% Local Variables:

201
05.tex
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@ -3,16 +3,21 @@
\chapter{Teilbarkeit} \chapter{Teilbarkeit}
\section{Wohin geht die Reise… ?} Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
bereitgestellt.
\section{Wohin geht die Reise…?}
In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff
„Minimalpolynom“ schrecklich wichtig ist. Wir haben aber noch nie darüber ``Minimalpolynom'' schrecklich wichtig ist. Wir haben aber noch nie darüber
gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet. gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet.
\begin{problem} \begin{problem}
Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes
Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$. Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$. Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das
Minimalpolynom ist oder nicht? Minimalpolynom ist oder nicht.
\end{problem} \end{problem}
Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und
@ -21,15 +26,15 @@ welche Richtung die Argumentation geht.
\begin{beobachtung} \begin{beobachtung}
Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch
über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Wenn jetzt $g(x) ∈ über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Wenn jetzt
K[x]$ irgendein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule gelernt, $g(x) ∈ K[x]$ irgend ein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule
dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können. Am Ende schreibt gelernt, dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können. Am Ende
man schreibt man
\begin{equation*} \begin{equation*}
g(x) = q(x)·f(x)+ r(x), g(x) = q(x)·f(x)+ r(x)
\end{equation*} \end{equation*}
wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist. Angenommen $g$ hat $a$ wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist. Angenommen $g$ hat $a$ als
als Nullstelle. Dann gilt: Nullstelle. Dann gilt:
\begin{equation*} \begin{equation*}
0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}-r(a). 0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}-r(a).
\end{equation*} \end{equation*}
@ -45,20 +50,20 @@ welche Richtung die Argumentation geht.
\section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen} \section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen}
Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik
machen können. Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den „Ring $K[x]$ der machen können. Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den ``Ring $K[x]$ der
Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$“ eingeführt. Das geht auch mit Ringen Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$'' eingeführt. Das geht auch mit Ringen
statt Körpern. statt Körpern.
\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}% \begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der
Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring!mit Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring!mit
Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring
der Polynome mit Variablen $x_1, …, x_n$ und Koeffizienten aus $R$. der Polynome mit Variablen $x_1, …, x_n$ und Koeffizienten aus $R$.
\end{definition} \end{definition}
\begin{bsp} \begin{bsp}
Betrachte den Ring $R = ℤ$. Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und $4x²+3xy+y⁷ ∈ Betrachte den Ring $R = ℤ$. Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und
ℤ[x,y]$. $4x²+3xy+y⁷ ∈ ℤ[x,y]$.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{beobachtung} \begin{beobachtung}
@ -74,11 +79,11 @@ Der Grad von Polynomen ist definiert wie üblich: Das Polynom
$3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$. In Integritätsringen $3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$. In Integritätsringen
verhält sich der Grad gut. verhält sich der Grad gut.
\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}% \begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}
Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Dann gilt für alle Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Dann gilt für alle
Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$. Wir Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$. Wir
verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle $n ≥ verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle
0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$: $n ≥ 0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
\begin{equation*} \begin{equation*}
\deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q). \deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q).
\end{equation*} \end{equation*}
@ -87,10 +92,10 @@ verhält sich der Grad gut.
\begin{proof} \begin{proof}
Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $p,q ≠ 0$. Sei Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $p,q ≠ 0$. Sei
$n := \deg p$ und $m := \deg q$. Dann finden wir Elemente $r_•$ und $s_•$ aus $n := \deg p$ und $m := \deg q$. Dann finden wir Elemente $r_•$ und $s_•$ aus
$R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, sodass wir schreiben können: $R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, so dass wir schreiben können:
\begin{align*} \begin{align*}
p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\ p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\
q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m. q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m
\end{align*} \end{align*}
Dann ist weiter Dann ist weiter
\begin{equation*} \begin{equation*}
@ -132,12 +137,12 @@ verhält sich der Grad gut.
\section{Teilbarkeit in Ringen} \section{Teilbarkeit in Ringen}
In der (Grund-)Schule haben wir den Begriff „Teiler“ kennengelernt. In In der (Grund-)schule haben wir den Begriff ``Teiler'' kennen gelernt. In
allgemeinen Ringen geht das nicht anders. allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
\begin{defn}[Teiler] \begin{defn}[Teiler]
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $r$, $s ∈ R$. Man nennt $r$ einen Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $r$, $s ∈ R$. Man nennt $r$ einen
\emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, sodass $r·q = s$ \emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, so dass $r·q = s$
ist. Wir schreiben dann $r|s$. ist. Wir schreiben dann $r|s$.
\end{defn} \end{defn}
@ -166,7 +171,7 @@ allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war
das Vorzeichnen meist nicht wichtig. Die folgende Definition formalisiert in das Vorzeichnen meist nicht wichtig. Die folgende Definition formalisiert in
bombastischer Sprache die Phrase „unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen“. bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''.
\begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente] \begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente]
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei
@ -174,18 +179,19 @@ bombastischer Sprache die Phrase „unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen“
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item\label{Satz_assoziiert_1} Es gilt gleichzeitig $r|s$ und $s|r$. \item\label{Satz_assoziiert_1} Es gilt gleichzeitig $r|s$ und $s|r$.
\item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, sodass \item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, so dass
$ε·r=s$ ist. $ε·r=s$ ist.
\end{enumerate} \end{enumerate}
Sind die Bedingungen erfüllt, nennt man $r$ und $s$ \emph{zueinander Sind die Bedingungen erfüllt, nennt man $r$ und $s$ \emph{zueinander
assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente} und schreibt $r \sim s$. assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente} und schreibt $r \sim s$.
\end{satzdef} \end{satzdef}
\begin{proof} \begin{proof}
Wir beweisen die Richtung \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}. Wir beweisen die Richtung
Wegen $ε· r = s$ gilt $r|s$. Multiplikation mit $ε^{-1}$ liefert $r = \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}. Wegen
ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$. Wir beweisen als Nächstes die Richtung $ε· r = s$ gilt $r|s$. Multiplikation mit $ε^{-1}$
\ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}. Nach Annahme existieren liefert $r = ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$. Wir beweisen als nächstes
$u,v∈ R$ mit die Richtung \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}.
Nach Annahme existieren $u,v∈ R$ mit
\begin{equation*} \begin{equation*}
u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r. u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r.
\end{equation*} \end{equation*}
@ -203,7 +209,7 @@ Teiler.
\begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente] \begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente]
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei
Elemente. Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{echter Elemente. Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{echter
Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten. Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Es gilt $r|s$. \item Es gilt $r|s$.
@ -227,26 +233,26 @@ Teiler.
\begin{warnung} \begin{warnung}
Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich. Wir werden später für Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich. Wir werden später für
beliebige Ringe auch noch einen Begriff von „Primelement“ definieren. beliebige Ringe Ringe auch noch einen Begriff von ``Primelement'' definieren.
\end{warnung} \end{warnung}
\section{Zerlegbarkeit von Elementen} \section{Zerlegbarkeit von Elementen}
In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich
ausführlich diskutiert: Jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von ausführlich diskutiert: jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
irreduziblen Elementen (=sogenannte „Primzahlen“) schreiben, irreduziblen Elementen (=so genannte ``Primzahlen'') schreiben,
\begin{equation*} \begin{equation*}
m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n), m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n),
\end{equation*} \end{equation*}
wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen
eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe! eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
\begin{warning}\label{war:nufd}% \begin{warning}\label{war:nufd}
Zu früh gefreut. Geht nicht. Ich behaupte, dass die folgende Menge von Zu früh gefreut. Geht nicht. Ich behaupte, dass die folgende Menge von
komplexen Zahlen, komplexen Zahlen,
\[ \[
R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\}, R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\}.
\] \]
einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit
$ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet. Ich behaupte auch, dass die Elemente $ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet. Ich behaupte auch, dass die Elemente
@ -268,35 +274,35 @@ eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dazu sind folgende Definitionen eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dazu sind folgende Definitionen
relevant. relevant.
\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}% \begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette} Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette}
in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, sodass für alle $n in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, so dass für alle
∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$. $n ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
\end{defn} \end{defn}
\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}% \begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt \emph{in $R$ gilt der Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt \emph{in $R$ gilt der
Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn für Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn
jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, sodass für alle $k ≥ für jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, so dass für alle
n_0$ gilt: Die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert. $k ≥ n_0$ gilt: die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
\end{defn} \end{defn}
\begin{rem} \begin{rem}
Die Forderung „für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind assoziiert“ Die Forderung ``für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind
lässt sich auch so ausdrücken: Es gibt nur endlich viele $n ∈ ℕ$, sodass assoziiert'' lässt sich auch so ausdrücken: es gibt nur endlich viele
$r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist. $n ∈ ℕ$, so dass $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
\end{rem} \end{rem}
\begin{bsp} \begin{bsp}
In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann
gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist, gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von
dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$. $r_{n}$ ist, dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp} \begin{bsp}
Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper
$K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt. Dazu betrachte man den Grad $K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt. Dazu betrachte man den Grad von
von Polynomen anstelle des Betrages. Polynomen anstelle des Betrages.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{warnung} \begin{warnung}
@ -306,17 +312,17 @@ relevant.
Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf
Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von
Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3.\
3.~Jahrhundert v.~Chr.~in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir Jahrhundert v.\ Chr.\ in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir
hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy
Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy
Noether} (Emmy war der Rufname; geb.~am 23.~März 1882 in Erlangen; gest.~am Noether} (Emmy war der Rufname; geb. am 23. März 1882 in Erlangen; gest. am
14.~April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die 14. April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin,
grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik die grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
lieferte. Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren lieferte. Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen an.}. zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen
Die Beweismethode ist heute als „Noethersche Induktion“ bekannt. an.}. Die Beweismethode ist heute als ``Noethersche Induktion'' bekannt.
\begin{satz}\label{satz:tksgz} \begin{satz}\label{satz:tksgz}
Es sei $R$ ein kommutativer Ring in dem der Teilerkettensatz für Elemente Es sei $R$ ein kommutativer Ring in dem der Teilerkettensatz für Elemente
@ -335,7 +341,7 @@ Nach dem Kriterium für die Existenz einer Zerlegung kommen wir jetzt zur Frage
der Eindeutigkeit. Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis der Eindeutigkeit. Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis
auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge. Zwei auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge. Zwei
Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne
wir „äquivalent“. wir ``äquivalent''.
\begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen] \begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen]
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es
@ -345,7 +351,7 @@ wir „äquivalent“.
\] \]
zwei Darstellungen von $r$ als Produkt von irreduziblen Elementen. Die zwei Darstellungen von $r$ als Produkt von irreduziblen Elementen. Die
Darstellungen heißen \emph{äquivalent}\index{äquivalente Darstellungen}, wenn Darstellungen heißen \emph{äquivalent}\index{äquivalente Darstellungen}, wenn
gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, sodass für alle gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, so dass für alle
Indizes gilt $p_i \sim q_{σ(i)}$. Indizes gilt $p_i \sim q_{σ(i)}$.
\end{defn} \end{defn}
@ -401,20 +407,21 @@ wichtig.
a· b = p(q_1· q_2· p+ q_1· b_1+ q_2· a_1)+a_1· b_1, a· b = p(q_1· q_2· p+ q_1· b_1+ q_2· a_1)+a_1· b_1,
\end{equation*} \end{equation*}
also $p|(a_1· b_1)$. Betrachte jetzt die kleinste natürliche Zahl, die als also $p|(a_1· b_1)$. Betrachte jetzt die kleinste natürliche Zahl, die als
Produkt $a·b$ geschrieben werden kann, mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$ und $p Produkt $a· b$ geschrieben werden kann mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$
\nmid b$. Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also $1 < a· b und $p \nmid b$. Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also
< p²$. Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also $p· h = a· b$. Dann gilt $1<h$, weil $1 < a· b < p²$. Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also
$p$ irreduzibel ist und $h<p$, weil $a· b <p²$. Sei nun $p^\prime$ ein $p· h = a· b$. Dann gilt $1<h$, weil $p$ irreduzibel ist und $h<p$,
positiver irreduzibler Faktor von $h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn weil $a· b <p²$. Sei nun $p^\prime$ ein positiver irreduzibler Faktor von
$h$ irreduzibel ist). Dann gilt natürlich auch $p^\prime< p$. Nach Wahl von $h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn $h$ irreduzibel ist). Dann gilt
$p$ (kleinste Zahl, die irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim. natürlich auch $p^\prime< p$. Nach Wahl von $p$ (kleinste Zahl, die
Da $p^\prime|h$, $h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim. Da $p^\prime|h$,
$p^\prime|a$ oder $p^\prime|b$. $h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt $p^\prime|a$ oder
$p^\prime|b$.
Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass $p^\prime|a$ gilt. Dann ist Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass $p^\prime|a$ gilt. Dann ist
$a=p^\prime· a^\prime$ und $h=p^\prime· h^\prime$ und somit $a=p^\prime· a^\prime$ und $h=p^\prime· h^\prime$ und somit
\begin{equation*} \begin{equation*}
p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime·b. p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime· b
\end{equation*} \end{equation*}
Weil $a^\prime· b< a· b$ ist, folgt $p|a^\prime$ oder $p|b$ nach Wahl Weil $a^\prime· b< a· b$ ist, folgt $p|a^\prime$ oder $p|b$ nach Wahl
von $a· b$. Es folgt $p|a$ oder $p|b$, Widerspruch! von $a· b$. Es folgt $p|a$ oder $p|b$, Widerspruch!
@ -460,7 +467,7 @@ wichtig.
\end{definition} \end{definition}
\begin{rem} \begin{rem}
In der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive In der Literatur findet man statt ``faktoriell'' manchmal auch die Adjektive
\emph{ZPE}\index{ZPE} (= \textbf{Z}erlegung in \textbf{P}rimelemente ist \emph{ZPE}\index{ZPE} (= \textbf{Z}erlegung in \textbf{P}rimelemente ist
\textbf{E}indeutig) oder \emph{UFD}\index{UFD} (= \textbf{U}nique \textbf{E}indeutig) oder \emph{UFD}\index{UFD} (= \textbf{U}nique
\textbf{F}actorization \textbf{D}omain). \textbf{F}actorization \textbf{D}omain).
@ -477,7 +484,7 @@ wichtig.
Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden. Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30.~April 1777 in Braunschweig; † 23.~Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss} \begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30. April 1777 in Braunschweig; † 23. Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}
Es sei $R$ ein faktorieller Ring. Dann ist auch der Polynomring Es sei $R$ ein faktorieller Ring. Dann ist auch der Polynomring
$R[x_1, …, x_n]$ faktoriell. $R[x_1, …, x_n]$ faktoriell.
\end{satz} \end{satz}
@ -489,7 +496,7 @@ Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
6} 6}
\begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}% \begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Ist $p ∈ R$ ein Primelement, Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Ist $p ∈ R$ ein Primelement,
dann ist $p$ auch im Polynomring $R[x]$ prim. dann ist $p$ auch im Polynomring $R[x]$ prim.
\end{lem} \end{lem}
@ -505,26 +512,26 @@ Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
\section{Primfaktorzerlegung} \section{Primfaktorzerlegung}
Wenn $R$ ein faktorieller Ring ist, dann haben wir schon gesehen, dass ich jedes Wenn $R$ ein faktorieller Ring ist, dann haben wir schon gesehen, dass ich jedes
Element auf „nahezu eindeutige Weise“ als Produkt von Primelementen schreiben Element auf ``nahezu eindeutige Weise'' als Produkt von Primelementen schreiben
kann. So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$ darstellbar. kann. So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$
Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden, denn wir darstellbar. Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden,
finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative. Eine derartige denn wir finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative. Eine
Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden. derartige Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation „äquivalent“ eine Äquivalenzrelation Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation ``äquivalent'' eine
auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge deshalb in Äquivalenzrelation auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge
Äquivalenzklassen. Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu machen, deshalb in Äquivalenzklassen. Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu
müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen. Dann sind wir machen, müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen. Dann
in der folgenden Situation. sind wir in der folgenden Situation.
\begin{situation}\label{sit:5-5-1}% \begin{situation}\label{sit:5-5-1}
Es sei $R$ ein faktorieller Ring und $(p_i)_{i ∈ I}$ sei ein Es sei $R$ ein faktorieller Ring und $(p_i)_{i ∈ I}$ sei ein
Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen (das bedeutet: Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen (das bedeutet:
für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, sodass $p \sim für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, so dass
p_i$ ist). $p \sim p_i$ ist).
\end{situation} \end{situation}
Ein „Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen“ existiert Ein ``Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen'' existiert
wegen des Auswahlaxioms natürlich immer, aber manchmal gibt es besonders wegen des Auswahlaxioms natürlich immer, aber manchmal gibt es besonders
einleuchtende Wahlen. einleuchtende Wahlen.
@ -544,7 +551,7 @@ einleuchtende Wahlen.
r = ε·\prod_{i∈I} (p_i)^{ν_i} r = ε·\prod_{i∈I} (p_i)^{ν_i}
\end{equation*} \end{equation*}
wobei $ε ∈ R^*$ und $ν_i ∈ ℕ$ sind; außerdem sind alle bis auf endlich viele wobei $ε ∈ R^*$ und $ν_i ∈ ℕ$ sind; außerdem sind alle bis auf endlich viele
Exponenten gleich $0$. Diese Darstellung heißt \emph{normierte Exponenten gleich $0$. Dies Darstellung heißt \emph{normierte
Primfaktorzerlegung}\index{normierte Primfaktorzerlegung}\index{normierte
Primfaktorzerlegung}\index{Primfaktorzerlegung!normiert} von $r$ zum Primfaktorzerlegung}\index{Primfaktorzerlegung!normiert} von $r$ zum
Repräsentantensystem $(p_i)_{i ∈ I}$. Repräsentantensystem $(p_i)_{i ∈ I}$.
@ -553,7 +560,7 @@ einleuchtende Wahlen.
Hier ist nicht viel zu beweisen. Ist $r ∈ R^*$, so wähle $ε = r$ und setzt Hier ist nicht viel zu beweisen. Ist $r ∈ R^*$, so wähle $ε = r$ und setzt
$ν_i = 0$ für alle $i$. Ansonsten zerlege $r$ in irreduzible Faktoren, $ν_i = 0$ für alle $i$. Ansonsten zerlege $r$ in irreduzible Faktoren,
$r = p'_{i_1}⋯p'_{i_n}$. Jeder Faktor $p'_{i_j}$ ist zu einem der $p_{i_j}$ $r = p'_{i_1}⋯p'_{i_n}$. Jeder Faktor $p'_{i_j}$ ist zu einem der $p_{i_j}$
assoziiert, also gib es $ε_j ∈ R^*$, sodass $p'_{i_j} = ε_j·p_{i_j}$ ist. assoziiert, also gib es $ε_j ∈ R^*$, so dass $p'_{i_j} = ε_j·p_{i_j}$ ist.
Setze $ε = \prod_{j=1}^n ε_j$ und fasse die Faktoren $p_•$, die mehrfach Setze $ε = \prod_{j=1}^n ε_j$ und fasse die Faktoren $p_•$, die mehrfach
auftauchen, zusammen. Die Eindeutigkeit ist klar. auftauchen, zusammen. Die Eindeutigkeit ist klar.
\end{proof} \end{proof}
@ -574,7 +581,7 @@ sofort ablesen.
gilt. gilt.
\item Es ist $r || s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ die Ungleichung \item Es ist $r || s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ die Ungleichung
$ν_i ≤ μ_i$ gilt und wenn zusätzlich ein $j∈I$ existiert, sodass $ν_i ≤ μ_i$ gilt und wenn zusätzlich ein $j∈I$ existiert, so dass
$ν_j < μ_j$ ist. $ν_j < μ_j$ ist.
\item Es ist $r \sim s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ gilt, dass $ν_i = μ_i$ \item Es ist $r \sim s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ gilt, dass $ν_i = μ_i$
@ -586,14 +593,14 @@ sofort ablesen.
\section{ggT und kgV} \section{ggT und kgV}
Je nach Geburtsjahrgang haben Sie in Kindergarten, Vorschule, Grundschule, Je nach Geburtsjahrgang haben Sie in Kindergarten, Vorschule, Grundschule,
Gymnasium oder Studium den Begriff „größter gemeinsamer Teiler“ und „kleinstes Gymnasium oder Studium den Begriff ``größter gemeinsamer Teiler'' und
gemeinsames Vielfaches“ kennengelernt. Auch diese Begriffe übertragen sich ohne ``kleinstes gemeinsames Vielfaches'' kennen gelernt. Auch diese Begriffe
weiteres auf Ringe. übertragen sich ohne weiteres auf Ringe.
\begin{defn}[Größter gemeinsamer Teiler] \begin{defn}[Größter gemeinsamer Teiler]
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente. Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente.
Ein Element $g ∈ R$ heißt \emph{größter gemeinsamer Teiler\index{größter Ein Element $g ∈ R$ heißt \emph{größter gemeinsamer Teiler\index{größter
gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$}, wenn Folgendes gilt. gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$} wenn Folgendes gilt.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Es ist $g|r$ und $g|s$. \item Es ist $g|r$ und $g|s$.
@ -605,7 +612,7 @@ weiteres auf Ringe.
\begin{defn}[Kleinstes gemeinsames Vielfaches] \begin{defn}[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente. Ein Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente. Ein
Element $v ∈ R$ heißt \emph{kleines gemeinsames Vielfaches}\index{kleinstes Element $v ∈ R$ heißt \emph{kleines gemeinsames Vielfaches}\index{kleinstes
gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$, wenn Folgendes gilt. gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$ wenn Folgendes gilt.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Es ist $r|v$ und $s|v$. \item Es ist $r|v$ und $s|v$.
@ -658,7 +665,7 @@ keine Gedanken machen.
\subsection{Der Euklidische Algorithmus} \subsection{Der Euklidische Algorithmus}
Die Primfaktorzerlegung eines Elementes in einem faktoriellen Ring zu bestimmen, Die Primfaktorzerlegung eines Elementes in einem faktoriellen Ring zu bestimmen,
ist fast immer sehr schwer. In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen, ist fast immer sehr schwer. In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen
ohne die Primfaktorzerlegung explizit zu kennen. ohne die Primfaktorzerlegung explizit zu kennen.
\begin{bsp}\label{bsp:5-6-7} \begin{bsp}\label{bsp:5-6-7}

32
06.tex
View File

@ -30,20 +30,20 @@ Quotientenkörper.
Integritätsring an. Integritätsring an.
\end{obs} \end{obs}
Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem „möglichst kleinen Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem ``möglichst
Körper, der $R$ enthält“ eigentlich genau meinen. Wenn Sie bei mir die kleinen Körper, der $R$ enthält'' eigentlich genau meinen. Wenn Sie bei mir die
Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende Vorlesung ``Lineare Algebra'' gehört haben, dann wird Ihnen die folgende
Definition sehr vertraut vorkommen. Falls nicht, ist jetzt die perfekte Definition sehr vertraut vorkommen. Falls nicht, ist jetzt die perfekte
Gelegenheit, alles über „universelle Eigenschaften“ zu lernen. Gelegenheit, alles über ``universelle Eigenschaften'' zu lernen.
\begin{definition}[Quotientenkörper] \begin{definition}[Quotientenkörper]
Sei $R$ ein Integritätsring. Ein \emph{Quotientenkörper von Sei $R$ ein Integritätsring. Ein \emph{Quotientenkörper von
$R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem injektiven $R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem
Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle Eigenschaft gilt: injektiven Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle
Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus von $R$ in einem Eigenschaft gilt: Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus
Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus $h:K→ L$, sodass $j=h◦ von $R$ in einem Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus
i$ ist. Mit anderen Worten, es existiert genau ein Ringhomomorphismus, sodass $h:K→ L$, sodass $j=h◦ i$ ist. Mit anderen Worten, es existiert genau ein
das folgende Diagramm kommutiert, Ringhomomorphismus, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
\[ \[
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
R \ar[r, hook, "ι"] \ar[d, equals] & K \ar[d, "∃ ! h"] \\ R \ar[r, hook, "ι"] \ar[d, equals] & K \ar[d, "∃ ! h"] \\
@ -93,15 +93,15 @@ Quotientenkörpers. Den folgenden Beweis sollten Sie genau verstehen!
\end{proof} \end{proof}
Der Witz ist, dass die Abbildung $h$ aus Satz~\ref{satz:edvq} eindeutig gegeben Der Witz ist, dass die Abbildung $h$ aus Satz~\ref{satz:edvq} eindeutig gegeben
ist. Die Aussage „es existiert eine eindeutiger Morphismus“ ist eine viel ist. Die Aussage ``es existiert eine eindeutiger Morphismus'' ist eine viel
bessere Aussage als „es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion bessere Aussage als ``es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion
vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)“. Das ist vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)''. Das ist
super-wichtig! Man sagt, „Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische super-wichtig! Man sagt, ``Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische
Isomorphie“. Isomorphie''.
\begin{notation} \begin{notation}
Obwohl Quotientenkörper nur bis auf kanonische Isomorphie eindeutig sind, Obwohl Quotientenkörper nur bis auf kanonische Isomorphie eindeutig sind,
spricht man oft von „dem“ Quotientenkörper. Die Notation $Q(R)$ ist üblich. spricht man oft von ``dem'' Quotientenkörper. Die Notation $Q(R)$ ist üblich.
\end{notation} \end{notation}
\begin{satz}[Existenz von Quotientenkörpern] \begin{satz}[Existenz von Quotientenkörpern]

58
07.tex
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@ -12,8 +12,8 @@ ist.
Für Polynome $f ∈ ℚ[x]$ werden wir die Frage nach der Irreduzibilität Für Polynome $f ∈ ℚ[x]$ werden wir die Frage nach der Irreduzibilität
vollständig beantworten. Wir erinnern uns daran, wie die Frage nach der vollständig beantworten. Wir erinnern uns daran, wie die Frage nach der
Konstruierbarkeit der „Verdoppelung des Würfels“ mit der Frage zusammenhing, ob Konstruierbarkeit der ``Verdoppelung des Würfels'' mit der Frage zusammenhing,
das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist. ob das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
\begin{beobachtung} \begin{beobachtung}
Im Ring $ℤ[x]$ sind Teilbarkeitsfragen oft durch Teilbarkeitsbetrachtungen der Im Ring $ℤ[x]$ sind Teilbarkeitsfragen oft durch Teilbarkeitsbetrachtungen der
@ -40,7 +40,7 @@ das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriterium Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriterium
von Gauß} zeigt, dass $x³-2$ dann auch irreduzibel in $ℚ[x]$ ist! von Gauß} zeigt, dass $x³-2$ dann auch irreduzibel in $ℚ[x]$ ist!
\begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}% \begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}
Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und es Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und es
sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ von positivem Grad gegeben. Wenn $f$ in $R[x]$ sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ von positivem Grad gegeben. Wenn $f$ in $R[x]$
irreduzibel ist, dann ist $f$ auch in $K[x]$ irreduzibel. irreduzibel ist, dann ist $f$ auch in $K[x]$ irreduzibel.
@ -49,18 +49,18 @@ Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriteri
Als Vorbereitung zum Beweis zeigen wir erst einmal das folgende Lemma. Das Als Vorbereitung zum Beweis zeigen wir erst einmal das folgende Lemma. Das
Lemma zeigt auch, wie natürlich das Kriterium von Gauß ist. Lemma zeigt auch, wie natürlich das Kriterium von Gauß ist.
\begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}% \begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}
Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und $g ∈ Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und
K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom. Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass $a· $g ∈ K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom. Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass
g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich $1$ $a· g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich
ist. $1$ ist.
\end{lemma} \end{lemma}
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Wir hatten nur den $\ggT$ für zwei Elemente definiert, die Definition geht Wir hatten nur den $\ggT$ für zwei Elemente definiert, die Definition geht
genau so für mehr als zwei Elemente. Für Polynome $a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m genau so für mehr als zwei Elemente. Für Polynome
∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$ notwendig, aber nicht $a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m ∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$
hinreichend für die Irreduzibilität. notwendig, aber nicht hinreichend für die Irreduzibilität.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}] \begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}]
@ -81,7 +81,7 @@ in endlich vielen Rechenschritten entscheiden ($→$Klausur). Ein Verfahren sol
jetzt ganz kurz skizziert werden. Den folgenden Satz kennen Sie vielleicht aus jetzt ganz kurz skizziert werden. Den folgenden Satz kennen Sie vielleicht aus
den Anfängervorlesungen. den Anfängervorlesungen.
\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25.~Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10.~April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]% \begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25. Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10. April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]
Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$ Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$
ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_1, …, a_{n+1}∈ K$ paarweise ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_1, …, a_{n+1}∈ K$ paarweise
verschiedene Elemente. Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_1), …, f(a_{n+1})$ verschiedene Elemente. Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_1), …, f(a_{n+1})$
@ -137,16 +137,16 @@ Frage nach der Irreduzibilität zwar beantworten, allerdings sind die nötigen
Rechnungen ziemlich aufwändig (besonders bei Zeitdruck in einer Klausur!). Das Rechnungen ziemlich aufwändig (besonders bei Zeitdruck in einer Klausur!). Das
folgende Kriterium von Theodor folgende Kriterium von Theodor
Schönemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Theodor_Sch\%C3\%B6nemann}{Theodor Schönemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Theodor_Sch\%C3\%B6nemann}{Theodor
Schönemann} (* 4.~April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; † 16.~Januar Schönemann} (* 4. April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; †
1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.}, das in der 16. Januar 1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.},
Literatur durchgehend falsch mit „Eisenstein-Kriterium“ das in der Literatur durchgehend falsch mit ``Eisenstein-Kriterium''
bezeichnet\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein}{Ferdinand bezeichnet\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein}{Ferdinand
Gotthold Max Eisenstein} (* 16.~April 1823 in Berlin; † 11.~Oktober 1852 ebenda) Gotthold Max Eisenstein} (* 16. April 1823 in Berlin; † 11. Oktober 1852
war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie und über ebenda) war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie
elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller. Es ist so und über elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller. Es
wichtig, dass es dazu sogar ist so wichtig, dass es dazu sogar
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium}{eine eigene Seite auf \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium}{eine eigene Seite auf
Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}. Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
\begin{satz}[Eisenstein Kriterium]\label{Satz_Eisenstein_Kriterium} \begin{satz}[Eisenstein Kriterium]\label{Satz_Eisenstein_Kriterium}
Es sei $R$ ein faktorieller Ring und es sei Es sei $R$ ein faktorieller Ring und es sei
@ -182,8 +182,8 @@ Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
\begin{equation*} \begin{equation*}
x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n] x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n]
\end{equation*} \end{equation*}
über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …, über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$
x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$ irreduzibel ist. irreduzibel ist.
\end{bsp} \end{bsp}
@ -201,10 +201,10 @@ einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
jetzt $\varphi(f) ∈ S$ irreduzibel ist, dann ist auch $f∈ R[x]$ irreduzibel. jetzt $\varphi(f) ∈ S$ irreduzibel ist, dann ist auch $f∈ R[x]$ irreduzibel.
\end{lem} \end{lem}
\begin{proof} \begin{proof}
Angenommen, $f$ wäre reduzibel. Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei Angenommen, $f$ wäre reduzibel. Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei $g$
$g$ und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind. Weil der größte und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind. Weil der größte gemeinsame
gemeinsame Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils positiven
positiven Grad haben. Die Gleichung Grad haben. Die Gleichung
\begin{equation*} \begin{equation*}
\varphi(f) = \varphi(g)·\varphi(h) \varphi(f) = \varphi(g)·\varphi(h)
\end{equation*} \end{equation*}
@ -214,20 +214,20 @@ einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
Ringmorphismen, die man in der Praxis brauchen kann, entstehen oft auf die Ringmorphismen, die man in der Praxis brauchen kann, entstehen oft auf die
folgenden Weisen. folgenden Weisen.
\begin{description} \begin{description}
\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten] Ist \item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist
$\varphi : R → S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist auch $\varphi : R → S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist auch
\begin{equation*} \begin{equation*}
Φ: R[x] → S[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})x^ν Φ: R[x] → S[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})x^ν
\end{equation*} \end{equation*}
ein Ringmorphismus. ein Ringmorphismus.
\item[Einsetzungskomposition]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine \item[Einsetzungskomposition:]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine
Abbildung $\varphi : R → S$ und es sei ein Element $t ∈ S$ gegeben. Setze Abbildung $\varphi : R → S$ und es sei ein Element $t ∈ S$ gegeben. Setze
\begin{equation*} \begin{equation*}
Φ : R[x] → S, \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})t^ν Φ : R[x] → S, \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})t^ν
\end{equation*} \end{equation*}
\item[Substitutionsmorphismus]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein \item[Substitutionsmorphismus:]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein
Element $a∈ R$ gegeben. Dann betrachte die Abbildung Element $a∈ R$ gegeben. Dann betrachte die Abbildung
\begin{equation*} \begin{equation*}
Φ : R[x] → R[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum a_{ν}(x-a)^ν. Φ : R[x] → R[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum a_{ν}(x-a)^ν.

42
08.tex
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@ -17,8 +17,8 @@ Debatte war.
Der nächste Satz stellt die Verbindung zwischen Körpertheorie und Der nächste Satz stellt die Verbindung zwischen Körpertheorie und
Konstruierbarkeit her. Die Formulierung des Satzes verwendet den Begriff Konstruierbarkeit her. Die Formulierung des Satzes verwendet den Begriff
„konjugierte Menge“. Dabei ist „konjugiert“ wie immer nur eine bombastische ``konjugierte Menge''. Dabei ist ``konjugiert'' wie immer nur eine bombastische
Formulierung für „an der reellen Achse gespiegelt“. Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
\begin{notation}[Konjungierte Menge] \begin{notation}[Konjungierte Menge]
Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge. Dann betrachte die Menge Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge. Dann betrachte die Menge
@ -29,13 +29,14 @@ Formulierung für „an der reellen Achse gespiegelt“.
\begin{rem} \begin{rem}
Im Fall, wo die Menge $M$ die Elemente $0$ und $1$ enthält, kann man die Im Fall, wo die Menge $M$ die Elemente $0$ und $1$ enthält, kann man die
Spiegelung an der reellen Achse mit Zirkel und Lineal konstruieren. Damit ist Spiegelung an der reellen Achse mit Zirkel und Lineal konstruieren. Damit ist
klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist. Es ist in diesem Fall auch klar, klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist. Es ist in diesem Fall auch
dass $i ∈ \Kons(M)$ ist. klar, dass $i ∈ \Kons(M)$ ist.
\end{rem} \end{rem}
\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}% \begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}
Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$. Sei weiter $K = ℚ(M ∪ Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$. Sei weiter
\overline{M})$. Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die Gleichheit $K = ℚ(M ∪ \overline{M})$. Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die
Gleichheit
\begin{equation*} \begin{equation*}
[K(z) : K] = 2^k [K(z) : K] = 2^k
\end{equation*} \end{equation*}
@ -46,8 +47,9 @@ Formulierung für „an der reellen Achse gespiegelt“.
\section{Verdopplung des Würfels} \section{Verdopplung des Würfels}
Das klassische Konstruktionsproblem „Verdopplung des Würfels“ ist mit Zirkel und Das klassische Konstruktionsproblem ``Verdopplung des Würfels'' ist mit Zirkel
Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist $ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und und Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist
$ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
\[ \[
[ℚ(\sqrt[3]{2}): ℚ ] = 3, [ℚ(\sqrt[3]{2}): ℚ ] = 3,
\] \]
@ -60,11 +62,11 @@ $\sqrt[3]{2}$ ist.
Bevor wir die Frage nach der Dreiteilung des Winkel abschließend beantworten, Bevor wir die Frage nach der Dreiteilung des Winkel abschließend beantworten,
beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird. beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}% \begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ ein über $K$ Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ ein über $K$
transzendentes Element. Dann ist $K(a)$ isomorph zum Körper der transzendentes Element. Dann ist $K(a)$ isomorph zum Körper der
gebrochen-rationalen Funktionen\footnote{Siehe Beispiel~\ref{bsp:2-3-3} im gebrochen-rationalen Funktionen\footnote{Siehe Beispiel~\ref{bsp:2-3-3} im
Falle $K = ℝ$.} über $K$ in einer Variablen. Mit anderen Worten: Falle $K = ℝ$.} über $K$ in einer Variablen. Mit anderen Worten:
\begin{equation*} \begin{equation*}
K(a) ≅ K(x) = Q(K[x]) K(a) ≅ K(x) = Q(K[x])
\end{equation*} \end{equation*}
@ -75,11 +77,11 @@ beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten. Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}% \begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
Gegeben sei eine reelle Zahl $\varphi ∈ (0, 2·π)$. Falls $e^{i\varphi}$ Gegeben sei eine reelle Zahl $\varphi ∈ (0, 2·π)$. Falls $e^{i\varphi}$
transzendent ist, dann ist $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi transzendent ist, dann ist
i}\})$. Die Dreiteilung des Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$. Die Dreiteilung des
nicht möglich. Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal nicht möglich.
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof} \begin{proof}
\video{9-3} \video{9-3}
@ -91,14 +93,14 @@ Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
Konstruktionsverfahren für die Dreiteilung des Winkels. Konstruktionsverfahren für die Dreiteilung des Winkels.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\begin{proof} \begin{proof}
Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch $\overline{z} = Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch
e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und $\overline{z}$ haben beide $\overline{z} = e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und
dasselbe Minimalpolynom. Also ist auch der Realteil $\overline{z}$ haben beide dasselbe Minimalpolynom. Also ist auch der Realteil
\begin{equation*} \begin{equation*}
\operatorname{Re}(z) =\frac12(z+\overline{z}) \operatorname{Re}(z) =\frac12(z+\overline{z})
\end{equation*} \end{equation*}
algebraisch über $ℚ$. Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für die algebraisch über $ℚ$. Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für
$e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist. die $e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist.
\end{proof} \end{proof}

121
09.tex
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@ -4,20 +4,25 @@
\chapter{Ideale} \chapter{Ideale}
\label{chapt:09} \label{chapt:09}
Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
bereitgestellt.
\section{Wohin geht die Reise} \section{Wohin geht die Reise}
Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach
der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu
können, müssen wir die Symmetrien von Körpererweiterungen verstehen … und können, müssen wir die Symmetrien von Körpererweiterungen verstehen … und
vielleicht irgendwann auch definieren, was mit „Symmetrie einer vielleicht irgendwann auch definieren, was mit ``Symmetrie einer
Körpererweiterung“ gemeint sein soll. All das wird voraussetzen, dass wir Körpererweiterung'' gemeint sein soll. All das wird voraussetzen, dass wir
Körpererweiterungen besser beschreiben. Die Idee ist die: gegeben eine Körpererweiterungen besser beschreiben. Die Idee ist die: gegeben eine
einfache, algebraische Erweiterung $K(α)/K$ vom Grad $n$, dann wissen wir schon, einfache, algebraische Erweiterung $K(α)/K$ vom Grad $n$, dann wissen wir schon,
dass wir alle Elemente des Oberkörpers $K(α)$ als Linearkombinationen der Form dass wir alle Elemente des Oberkörpers $K(α)$ als Linearkombinationen der Form
\[ \[
k_0 + k_1·α + k_2·α² + ⋯ k_{n-1}·α^{n-1} k_0 + k_1·α + k_2·α² + ⋯ k_{n-1}·α^{n-1}
\] \]
schreiben könne, wobei die $k_•$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$ schreiben könne, wobei die $k_{•}$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$
sind. Diese Einsicht ist natürlich extrem hilfreich --- wir kennen das von den sind. Diese Einsicht ist natürlich extrem hilfreich --- wir kennen das von den
komplexen Zahlen, die sich alle in der Form $k_0 + k_1·\sqrt{-1}$ schreiben komplexen Zahlen, die sich alle in der Form $k_0 + k_1·\sqrt{-1}$ schreiben
lassen. Der Sachverhalt lässt sich auch anders formulieren: Der lassen. Der Sachverhalt lässt sich auch anders formulieren: Der
@ -31,16 +36,16 @@ liegt es dann nahe, den Körper $K(α)$ als Quotient zu beschreiben,
K(α) = \factor{K[x]}{\ker φ}. K(α) = \factor{K[x]}{\ker φ}.
\end{equation} \end{equation}
Diese Beschreibung\footnote{\label{foot:sage}Hatten Sie sich gewundert, warum Diese Beschreibung\footnote{\label{foot:sage}Hatten Sie sich gewundert, warum
SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$“ mit SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$''
\texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet? Der Grund ist, das runde Klammern in der mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet? Der Grund ist, das runde Klammern in der
Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben. Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben.
Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation ganz Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation
sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem vertrauten ganz sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem
Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper $K(α)$. Um vertrauten Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper
alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal überlegen, was $K(α)$. Um alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal
für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was „Quotient“ genau überlegen, was für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was
bedeuten soll. Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die Menge $\ker φ$ ist das ``Quotient'' genau bedeuten soll. Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die
typische Beispiel eines „Ideals im Ring $K[x]$“. Menge $\ker φ$ ist das typische Beispiel eines ``Ideals im Ring $K[x]$''.
\section{Elementare Definitionen} \section{Elementare Definitionen}
@ -63,30 +68,30 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
man in der Definition $r·a$ oder $a·r$ schreibt, definiert man ein Links- oder man in der Definition $r·a$ oder $a·r$ schreibt, definiert man ein Links- oder
Rechtsideal\index{Linksideal}\index{Rechtsideal}. Ideale, die sowohl Links- Rechtsideal\index{Linksideal}\index{Rechtsideal}. Ideale, die sowohl Links-
als auch Rechtsideale sind, heißen beidseitige Ideale\index{beidseitiges als auch Rechtsideale sind, heißen beidseitige Ideale\index{beidseitiges
Ideal}. In kommutativen Ringen, für die wir uns hier interessieren, fallen Ideal}. In kommutativen Ringen, für die wir uns hier interessieren, fallen
diese Begriffe zusammen. diese Begriffe zusammen.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Der Name \emph{Ideal} geht auf Der Name \emph{Ideal} geht auf
Kummer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer}{Ernst Kummer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer}{Ernst
Eduard Kummer} (* 29.~Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14.~Mai 1893 in Eduard Kummer} (* 29. Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14. Mai 1893
Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor allem in Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor
mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und allem mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und
Dedekind\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind}{Julius Dedekind\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind}{Julius
Wilhelm Richard Dedekind} (* 6.~Oktober 1831 in Braunschweig; † 12.~Februar Wilhelm Richard Dedekind} (* 6. Oktober 1831 in Braunschweig; †
1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück. Kummer hatte bei der 12. Februar 1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück. Kummer
Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen Ringen wie hatte bei der Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen
$ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt. Dedekind hat dann den Ringen wie $ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt. Dedekind
Idealbegriff geprägt. hat dann den Idealbegriff geprägt.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\begin{bsp}[Triviale Ideale] \begin{bsp}[Triviale Ideale]
In jedem kommutativen Ring $R$ sind $I= \{0\}$ und $I=R$ trivialerweise In jedem kommutativen Ring $R$ sind $I= \{0\}$ und $I=R$ trivialerweise
Ideale. Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind das auch die einzigen Ideale. Ideale. Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind das auch die einzigen Ideale.
Grund: wenn $R$ ein Körper und $I ⊂ R$ ein Ideal ist und $a ∈ I∖ \{0\}$, dann Grund: wenn $R$ ein Körper und $I ⊂ R$ ein Ideal ist und $a ∈ I∖ \{0\}$, dann
ist auch jedes andere Körperelement in $I$. Sei nämlich irgendein Element $r ist auch jedes andere Körperelement in $I$. Sei nämlich irgendein Element
∈ R$ gegeben. Nach Definition~\ref{def:ideal} ist $r ∈ R$ gegeben. Nach Definition~\ref{def:ideal} ist
\[ \[
r = (r·a^{-1})·a ∈ I. r = (r·a^{-1})·a ∈ I.
\] \]
@ -115,7 +120,7 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
Sie ein Programm, um mit diesen Kurven zu spielen. Sie können das Programm Sie ein Programm, um mit diesen Kurven zu spielen. Sie können das Programm
auch auch
\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{direkt \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{direkt
im Browser laufen lassen}. Abbildung Public Domain aus im Browser laufen lassen}. Abbildung Public Domain aus
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Crunode#/media/File:Cubic_with_double_point.svg}{Wikipedia}. \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Crunode#/media/File:Cubic_with_double_point.svg}{Wikipedia}.
\caption{Knotenkurve} \caption{Knotenkurve}
\label{fig:node} \label{fig:node}
@ -148,10 +153,10 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
V= \{ \vec{x} ∈ K^n \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x})=0 \} V= \{ \vec{x} ∈ K^n \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x})=0 \}
\] \]
wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind. Man nennt ein wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind. Man nennt ein
solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische Varietät}.
Varietät}. Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel. Im Internet finden Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel. Im Internet finden Sie
Sie \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier} \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier} und
und \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne
Beispiele. Beispiele.
Definiere dann das Ideal Definiere dann das Ideal
@ -165,7 +170,7 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
In der \emph{Algebraischen Geometrie}, dem Gebiet auf dem ich und meine In der \emph{Algebraischen Geometrie}, dem Gebiet auf dem ich und meine
Mitarbeiter arbeiten, geht es darum, geometrische Räume mithilfe von Mitarbeiter arbeiten, geht es darum, geometrische Räume mithilfe von
algebraischen Objekten wie etwa Idealen zu beschreiben. Tatsächlich lässt sich algebraischen Objekten wie etwa Idealen zu beschreiben. Tatsächlich lässt sich
ein fast vollständiges Wörterbuch „Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie“ ein fast vollständiges Wörterbuch ``Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie''
aufstellen. aufstellen.
@ -174,8 +179,8 @@ aufstellen.
\sideremark{Vorlesung 10}Es gibt noch eine andere, ganz wichtige Klasse von \sideremark{Vorlesung 10}Es gibt noch eine andere, ganz wichtige Klasse von
Beispielen, die wir in ähnlicher Form schon aus der linearen Algebra kennen. Beispielen, die wir in ähnlicher Form schon aus der linearen Algebra kennen.
Gegeben einen $K$-Vektorraum $V$ und eine beliebige Teilmenge $M ⊂ V$, so Gegeben einen $K$-Vektorraum $V$ und eine beliebige Teilmenge $M ⊂ V$, so
betrachteten wir in der linearen Algebra den „von $M$ erzeugten Untervektorraum“ betrachteten wir in der linearen Algebra den ``von $M$ erzeugten
und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder Untervektorraum'' und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder
$\operatorname{Span}(M)$. Per Definition gilt: Ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ liegt $\operatorname{Span}(M)$. Per Definition gilt: Ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ liegt
genau dann in $\langle M \rangle_K$, wenn $\vec{v}$ sich als Linearkombination genau dann in $\langle M \rangle_K$, wenn $\vec{v}$ sich als Linearkombination
der Elemente von $M$ schreiben lässt. Wenn die Menge $M$ unendlich ist, was der Elemente von $M$ schreiben lässt. Wenn die Menge $M$ unendlich ist, was
@ -221,22 +226,22 @@ Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können.
Dann gilt offensichtlich Dann gilt offensichtlich
\begin{align*} \begin{align*}
(a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\ (a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\
(a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2. (a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2
\end{align*} \end{align*}
Die Hauptideale in $R$ entsprechen also eindeutig Klassen von zueinander Die Hauptideale in $R$ entsprechen also eindeutig Klassen von zueinander
assoziierten Elementen. assoziierten Elementen.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{warnung} \begin{warnung}
Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen „Basisaustauschsatz“, Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen ``Basisaustauschsatz'',
denn zum Beweis des Basisaustauschsatzes ist es absolut notwendig zu denn zum Beweis des Basisaustauschsatzes ist es absolut notwendig zu
dividieren! Es ist nicht immer richtig, dass zwei minimale Erzeugendensysteme dividieren! Es ist nicht immer richtig, dass zwei minimale Erzeugendensysteme
eines Ideals, eines Ideals,
\[ \[
I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m), I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m),
\] \]
immer gleiche Mächtigkeit haben. Falls sie vorhatten, die „Dimension“ eines immer gleiche Mächtigkeit haben. Falls sie vorhatten, die ``Dimension'' eines
Ideals zu definieren -- \foreignlanguage{english}{Nice try}! Ideals zu definieren -- nice try!
\end{warnung} \end{warnung}
Ein Ideal ist in der Praxis nur dann handhabbar, wenn ich eine möglichst Ein Ideal ist in der Praxis nur dann handhabbar, wenn ich eine möglichst
@ -340,33 +345,35 @@ Satz sollte ihnen bekannt vorkommen.
Angenommen, es gäbe eine nicht-leere Menge $M$ von Idealen aus $R$ ohne Angenommen, es gäbe eine nicht-leere Menge $M$ von Idealen aus $R$ ohne
maximales Element. Dann gibt es zu jedem $I_0∈ M$ ein $I_1∈ M$ mit maximales Element. Dann gibt es zu jedem $I_0∈ M$ ein $I_1∈ M$ mit
$I_0\subsetneqq I_1$, genau so mit $I_2,I_3,\dots$. Wir erhalten einen $I_0\subsetneqq I_1$, genau so mit $I_2,I_3,\dots$. Wir erhalten einen
Widerspruch zur Annahme, dass der „Teilerkettensatz für Ideale“ gilt. Widerspruch zur Annahme, dass der ``Teilerkettensatz für Ideale'' gilt.
\item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei $I⊂ R$ ein \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei
Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt und in $I$ $I⊂ R$ ein Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt
enthalten sind. Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$. Also gibt es per und in $I$ enthalten sind. Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$. Also
Annahme ein maximales Element $J∈ M$. Nach Annahme ist $J$ endlich erzeugt, gibt es per Annahme ein maximales Element $J∈ M$. Nach Annahme ist $J$
also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass $J = I$ ist. Wenn es endlich erzeugt, also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass
aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$ $J = I$ ist. Wenn es aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre
enthält. Ein Widerspruch zur Annahme. \qedhere $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$ enthält. Ein Widerspruch zur
Annahme. \qedhere
\end{description} \end{description}
\end{proof} \end{proof}
Der folgende Satz von David Der folgende Satz von David
Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
Hilbert} (* 23.~Januar 1862 in Königsberg; † 14.~Februar 1943 in Göttingen) war Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in
ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der
der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik und bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet
mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete. Mit seinen der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige
Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische Auffassung von Forschungsgebiete. Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute
den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische Analyse der bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und
Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen Beweises. Diese veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und
Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen
dass das Hilbertprogramm, die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die
der Mathematik, nicht gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht
Rede auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem
er eine Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine
mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem
Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss} von Gauß und ist mindestens genauso wichtig. Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss} von Gauß und ist mindestens genauso wichtig.
Historisch war der Satz ein Meilenstein. Hilbert's Beweis erregte auch deshalb Historisch war der Satz ein Meilenstein. Hilbert's Beweis erregte auch deshalb
großes Aufsehen, weil die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems mithilfe großes Aufsehen, weil die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems mithilfe

83
10.tex
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@ -11,17 +11,17 @@ Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon gesagt, warum wir uns für
Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des
Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen
konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit
„Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die ``Quotientenvektorräumen'' haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die
Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und
Beweistechniken noch einmal zu wiederholen. In diesem Semester geht das nicht, Beweistechniken noch einmal zu wiederholen. In diesem Semester geht das nicht,
denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren. Ich verzichte denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren. Ich verzichte
deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass ``alles genau so
geht, wie in der Linearen Algebra“. geht, wie in der Linearen Algebra''.
\begin{warnung} \begin{warnung}
Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die VL ``Lineare
„Lineare Algebra“ erinnern. Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst -- Algebra'' erinnern. Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst -- solche
solche Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt. Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
\end{warnung} \end{warnung}
@ -48,8 +48,8 @@ durch folgende universelle Eigenschaft definiert.
Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn
Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie. Man Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie. Man
spricht deswegen oft nicht ganz richtig von „dem“ Restklassenring und bezeichnet spricht deswegen oft nicht ganz richtig von ``dem'' Restklassenring und
„den“ Restklassenring mit $R/I$. bezeichnet ``den'' Restklassenring mit $R/I$.
\section{Konstruktion von Restklassenringen} \section{Konstruktion von Restklassenringen}
@ -60,17 +60,17 @@ universellen Eigenschaft -- mit einer Ausnahme: Existenz. Wir beweisen die
Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion
eines Restklassenringes angeben. eines Restklassenringes angeben.
\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}% \begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Zwei Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Zwei
Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo
Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist. In diesem Fall ist die Schreibweise $a \equiv b Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist. In diesem Fall ist die Schreibweise
\:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich. $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
\end{defn} \end{defn}
\begin{lem}\label{lem:10-1-2}% \begin{lem}\label{lem:10-1-2}
In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist
eine Äquivalenzrelation auf $R$. Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die eine Äquivalenzrelation auf $R$. Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die
Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist die Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
\begin{equation*} \begin{equation*}
a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed
\end{equation*} \end{equation*}
@ -82,21 +82,22 @@ eines Restklassenringes angeben.
\end{notation} \end{notation}
\begin{bsp} \begin{bsp}
Der Name „Restklasse“ kommt von folgendem Beispiel. Sei $R = ℤ$, sei $m ∈ ℕ$ Der Name ``Restklasse'' kommt von folgendem Beispiel. Sei $R = ℤ$, sei
eine Zahl, und sei $I = (m)$. Dann ist $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} $m ∈ ℕ$ eine Zahl, und sei $I = (m)$. Dann ist
I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der Division durch $m$ denselben Rest $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der
haben. Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt $ℤ$ also genau in die Restklassen Division durch $m$ denselben Rest haben. Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt
$ℤ$ also genau in die Restklassen
\begin{equation*} \begin{equation*}
0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m). 0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m).
\end{equation*} \end{equation*}
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}% \begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal. Die Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal. Die
Äquivalenzrelation „Kongruenz modulo $I$“ werde mit $\sim$ bezeichnet. Dann Äquivalenzrelation ``Kongruenz modulo $I$'' werde mit $\sim$ bezeichnet. Dann
sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an
die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der
Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert: Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert:
\[ \[
\begin{matrix} \begin{matrix}
+ : & S ⨯ S & → & S \\ + : & S ⨯ S & → & S \\
@ -128,8 +129,8 @@ diese Art und Weise direkt beschreiben.
\begin{equation*} \begin{equation*}
\bigl(g_1+(f)\bigr)· \bigl(g_2+(f)\bigr) = h + (f) \bigl(g_1+(f)\bigr)· \bigl(g_2+(f)\bigr) = h + (f)
\end{equation*} \end{equation*}
wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist. Ist $\deg f wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist. Ist
≥ 1$, dann ist die Abbildung $\deg f ≥ 1$, dann ist die Abbildung
\begin{equation*} \begin{equation*}
K → \factor{K[x]}{(f)}, \quad λ ↦ λ+(f) K → \factor{K[x]}{(f)}, \quad λ ↦ λ+(f)
\end{equation*} \end{equation*}
@ -143,7 +144,7 @@ diese Art und Weise direkt beschreiben.
Der folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen Der folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen
Eigenschaft. Eigenschaft.
\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}% \begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei $ψ : R → S$ ein Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei $ψ : R → S$ ein
surjektiver Ringmorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung surjektiver Ringmorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung
\begin{equation*} \begin{equation*}
@ -180,18 +181,18 @@ zum Restklassenring $K[x]/(f)$ ist.
\section{Ideale oben und unten} \section{Ideale oben und unten}
Neben dem Homomorphiesatz für Ringe gelten noch einige andere Sätze, die wir aus Neben dem Homomorphiesatz für Ringe gelten noch einige andere Sätze, die wir aus
der linearen Algebra kennen („Kürzen“ von Untervektorräumen). Um diese Sätze der linearen Algebra kennen (``Kürzen'' von Untervektorräumen). Um diese Sätze
korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie „Ideale in $R$“ und korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie ``Ideale in $R$'' und
„Ideale in $R/I$“ zusammenhängen. Der folgende Satz formuliert den Zusammenhang ``Ideale in $R/I$'' zusammenhängen. Der folgende Satz formuliert den
nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für beliebige Zusammenhang nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für
Ringmorphismen. Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer Ideale. beliebige Ringmorphismen. Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer
Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus surjektiv ist Ideale. Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus
--- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall. surjektiv ist --- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
\begin{satz}[Urbilder von Idealen] \begin{satz}[Urbilder von Idealen]
Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Wenn Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins.
$I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein Ideal in Wenn $I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein
$R$. Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung Ideal in $R$. Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
\begin{equation*} \begin{equation*}
\begin{matrix} \begin{matrix}
\{\text{Ideale in }S \} & → & \{ \text{Ideale $J$ in $R$ mit $\ker ψ ⊆ J$}\} \\ \{\text{Ideale in }S \} & → & \{ \text{Ideale $J$ in $R$ mit $\ker ψ ⊆ J$}\} \\
@ -259,10 +260,10 @@ Formulierung verwendet Notation~\ref{not:xx}.
Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein
Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist. Etwas Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist. Etwas
bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei? Für den Ring bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei? Für den Ring
$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt. Der $ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung ``Lineare Algebra'' kennengelernt.
Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies ist Der Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies
genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist. Also müssen wir statt ist genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist. Also müssen wir statt
„Primzahl“ jetzt den Begriff des „Primideals“ einführen. ``Primzahl'' jetzt den Begriff des ``Primideals'' einführen.
\begin{defn}[Primideal] \begin{defn}[Primideal]
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
@ -354,7 +355,7 @@ lösbar ist.
\end{definition} \end{definition}
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Was hat diese Definition mit „Teilerfremdheit“ zu tun? Schauen Sie sich den Was hat diese Definition mit ``Teilerfremdheit'' zu tun? Schauen Sie sich den
Euklidischen Algorithmus aus Beispiel~\vref{bsp:5-6-7} noch einmal an. In der Euklidischen Algorithmus aus Beispiel~\vref{bsp:5-6-7} noch einmal an. In der
Situation des Beispiels~\ref{bsp:5-6-7} sind zwei Elemente $f$ und $g$ Situation des Beispiels~\ref{bsp:5-6-7} sind zwei Elemente $f$ und $g$
gegeben. Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, ist $\ggT(f,g)=1$. Der gegeben. Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, ist $\ggT(f,g)=1$. Der
@ -363,12 +364,12 @@ lösbar ist.
dass $(f) + (g)$ der gesamte Ring ist. dass $(f) + (g)$ der gesamte Ring ist.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}% \begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}
\index{Chinesischer Restsatz}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es \index{Chinesischer Restsatz}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es
seien $I_1, …, I_n ⊂ R$ paarweise teilerfremde Ideale. Dann ist der seien $I_1, …, I_n ⊂ R$ paarweise teilerfremde Ideale. Dann ist der
kanonische Ringhomomorphismus kanonische Ringhomomorphismus
\begin{equation*} \begin{equation*}
α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add.~und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr) α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add. und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
\end{equation*} \end{equation*}
surjektiv und es ist $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$. surjektiv und es ist $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$.
\end{satz} \end{satz}

31
12.tex
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@ -5,10 +5,10 @@
\section{Worum geht es in diesem Teil der Vorlesung?} \section{Worum geht es in diesem Teil der Vorlesung?}
Wir sind immer noch an „Symmetrien vor Körpererweiterungen“ interessiert, aber Wir sind immer noch an ``Symmetrien vor Körpererweiterungen'' interessiert, aber
ich habe ihnen bislang nicht erklärt, was ich damit meine. Das einfachste ich habe ihnen bislang nicht erklärt, was ich damit meine. Das einfachste
Beispiel ist vielleicht die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. In diesem Fall ist die Beispiel ist vielleicht die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. In diesem Fall ist die
relevante „Symmetrie“ die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der relevante ``Symmetrie'' die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der
komplexen Ebene an der reellen Gerade. Die komplexe Konjugation ist ein komplexen Ebene an der reellen Gerade. Die komplexe Konjugation ist ein
Körpermorphismus $ℂ → ℂ$ (sogar ein Isomorphismus) mit der interessanten Körpermorphismus $ℂ → ℂ$ (sogar ein Isomorphismus) mit der interessanten
Eigenschaft, dass die reellen Zahlen genau diejenigen Punkte der komplexen Ebene Eigenschaft, dass die reellen Zahlen genau diejenigen Punkte der komplexen Ebene
@ -18,12 +18,12 @@ und $ℝ$ vom höheren Standpunkt aus verstehen. Warum ist die Erweiterung $ℂ
so wichtig? Wenn ich statt $ℝ$ einen anderen Körper betrachte (zum Beispiel so wichtig? Wenn ich statt $ℝ$ einen anderen Körper betrachte (zum Beispiel
$𝔽_p(X)$), welcher Körper würde dann die Rolle von $ℂ$ spielen? $𝔽_p(X)$), welcher Körper würde dann die Rolle von $ℂ$ spielen?
Die Antwort kommt aus der Vorlesung „Analysis“ oder „Funktionentheorie“. Dort Die Antwort kommt aus der Vorlesung ``Analysis'' oder ``Funktionentheorie''.
beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine Dort beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$ komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$
besitzt eine komplexe Nullstelle. Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$ besitzt eine komplexe Nullstelle. Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$
als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann. Man sagt: „Die als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann. Man sagt: ``die
komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.“. Wir werden später sehen, was komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen''. Wir werden später sehen, was
diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat. diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat.
\begin{frage} \begin{frage}
@ -45,7 +45,10 @@ Oberkörper hat.
Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt
Studentinnen und Studenten oft. Ich diskutiere vor dem Beweis deshalb erst noch Studentinnen und Studenten oft. Ich diskutiere vor dem Beweis deshalb erst noch
ein kleines Beispiel. ein kleines Beispiel. Auf unserem
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} habe ich
Ihnen ein weiteres, ganz konkretes Beispiel bereitgestellt.
\begin{erkl} \begin{erkl}
Das Polynom $x²+1 ∈ ℝ[x]$ hat keine Nullstelle in $ℝ$, aber es hat eine Das Polynom $x²+1 ∈ ℝ[x]$ hat keine Nullstelle in $ℝ$, aber es hat eine
Nullstelle in $ℂ$, nämlich die Zahl $i$; wir wissen natürlich auch noch, dass Nullstelle in $ℂ$, nämlich die Zahl $i$; wir wissen natürlich auch noch, dass
@ -119,7 +122,7 @@ wirklich sein soll.
$f ∈ \overline{K}[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Weil $L$ algebraisch $f ∈ \overline{K}[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Weil $L$ algebraisch
abgeschlossen ist, hat $f$ eine Nullstelle in $a∈ L$. Das Element $a$ ist abgeschlossen ist, hat $f$ eine Nullstelle in $a∈ L$. Das Element $a$ ist
logischerweise algebraisch über $\overline{K}$ und deshalb wegen logischerweise algebraisch über $\overline{K}$ und deshalb wegen
Korollar~\vref{kor:TdA} („Transitivität der Algebraizität“) auch algebraisch Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der Algebraizität'') auch algebraisch
über $K$. Also ist $a∈\overline{K}$. über $K$. Also ist $a∈\overline{K}$.
\end{bsp} \end{bsp}
@ -153,12 +156,12 @@ anzuwenden und so sicherzustellen, dass jedes Polynom eine Nullstelle hat. Das
ist aber nicht so einfach: denn wenn ich den Körper durch Hinzunahme von ist aber nicht so einfach: denn wenn ich den Körper durch Hinzunahme von
Polynomen größer mache, gibt es neue Polynome, die ebenfalls Nullstellen haben Polynomen größer mache, gibt es neue Polynome, die ebenfalls Nullstellen haben
müssen. In einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma\footnote{Zorn's müssen. In einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma\footnote{Zorn's
Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms} zeigen, dass diese naive Idee Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms} zeigen, dass diese naive Idee
tatsächlich trägt. Weil das Semester in diesem Jahr deutlich kürzer ist, muss tatsächlich trägt. Weil das Semester in diesem Jahr deutlich kürzer ist, muss
an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten. Der folgende Satz ist als Satz an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten. Der folgende Satz ist als Satz
von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
Steinitz} (* 13.~Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29.~September 1928 in Steinitz} (* 13. Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29. September
Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt. 1928 in Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt.
\begin{satz}[Existenz des Algebraischen Abschluss]\label{Satz_von_Steinitz} \begin{satz}[Existenz des Algebraischen Abschluss]\label{Satz_von_Steinitz}
Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluss. \qed Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluss. \qed
@ -170,7 +173,7 @@ Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt.
Als Nächstes müssen wir diskutieren, inwieweit ein algebraischer Abschluss Als Nächstes müssen wir diskutieren, inwieweit ein algebraischer Abschluss
eindeutig ist. Wie immer folgt die Eindeutigkeit aus einer universellen eindeutig ist. Wie immer folgt die Eindeutigkeit aus einer universellen
Eigenschaft. Den folgenden Begriff hatten wir oben schon informell unter dem Eigenschaft. Den folgenden Begriff hatten wir oben schon informell unter dem
Schlagwort „Symmetrien einer Körpererweiterung“ diskutiert. Schlagwort ``Symmetrien einer Körpererweiterung'' diskutiert.
\begin{definition}[$K$-Morphismus] \begin{definition}[$K$-Morphismus]
Es seien $R$ und $S$ Oberringe desselben Unterringes $K$. Ein Ringmorphismus Es seien $R$ und $S$ Oberringe desselben Unterringes $K$. Ein Ringmorphismus
@ -212,7 +215,7 @@ werde ich den Satz aus Zeitgründen nicht beweisen.
Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des
algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Obwohl die algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Obwohl die
Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz
korrekt von „dem“ algebraischen Abschluss. korrekt von ``dem'' Quotientenkörper.
\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa} \begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa}
Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei
@ -231,7 +234,7 @@ korrekt von „dem“ algebraischen Abschluss.
Ich wiederhole noch einmal: Die nicht-Eindeutigkeit der Abbildung $\varphi$ aus Ich wiederhole noch einmal: Die nicht-Eindeutigkeit der Abbildung $\varphi$ aus
Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} und nicht-Kanonizität der Abbildung aus Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} und nicht-Kanonizität der Abbildung aus
Korollar~\ref{cor:edaa} sind der Grund dafür, warum die Diskussion von Korollar~\ref{cor:edaa} sind der Grund dafür, warum die Diskussion von
„Symmetrie“ überhaupt sinnvoll ist. Das ist ganz anders als bei dem ``Symmetrie'' überhaupt sinnvoll ist. Das ist ganz anders als bei dem
Quotientenkörper! Quotientenkörper!

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13.tex
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@ -3,16 +3,16 @@
\chapter{Zerfällungskörper} \chapter{Zerfällungskörper}
Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von „Symmetrie“ gesprochen und Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von ``Symmetrie'' gesprochen und
dabei als Beispiel immer nur die Konjugationsabbildung der komplexen Zahlen dabei als Beispiel immer nur die Konjugationsabbildung der komplexen Zahlen
diskutiert. Das ist ein bisschen dünn. Wir brauchen mehr Beispiele! diskutiert. Das ist ein bisschen dünn. Wir brauchen mehr Beispiele!
Tatsächlich liefert fast jedes Polynom ein interessantes Beispiel, den Tatsächlich liefert fast jedes Polynom ein interessantes Beispiel, den
Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt. Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt.
\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf}% \begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf}
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Ein Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Ein
Oberkörper $L/K$ heißt \emph{Zerfällungskörper von Oberkörper $L/K$ heißt \emph{Zerfällungskörper von
$f$}\index{Zerfällungskörper}, falls Folgendes gilt. $f$}\index{Zerfällungskörper}, falls Folgendes gilt.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Das Polynom $f ∈ L[x]$ zerfällt in Linearfaktoren. Mit anderen Worten: \item Das Polynom $f ∈ L[x]$ zerfällt in Linearfaktoren. Mit anderen Worten:
es gibt Elemente $a, a_1, …, a_n ∈ L$, sodass die Gleichheit es gibt Elemente $a, a_1, …, a_n ∈ L$, sodass die Gleichheit
@ -24,7 +24,7 @@ Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt.
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die
Nullstellen des Polynoms $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente Nullstellen des Polynomes $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente
$a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung. $a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
@ -53,16 +53,16 @@ schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von ``dem''
Zerfällungskörper gesprochen. Zerfällungskörper gesprochen.
\begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper] \begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper]
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Wenn Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.
ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann zeigt der Wenn ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann
Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper kommt. zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper
Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ „lediglich“ die Nullstellen $a_1, …, a_n$ kommt. Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ ``lediglich'' die Nullstellen
bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen. $a_1, …, a_n$ bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
Ein wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen Ein wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen
Körper $K$ und zu einem gegebenen Polynom $f ∈ K[x]$ den Zerfällungskörper zu Körper $K$ und zu einem gegebenen Polynom $f ∈ K[x]$ den Zerfällungskörper zu
bestimmen. Dabei ist mit „bestimmen“ meistens gemeint, dass man den bestimmen. Dabei ist mit ``bestimmen'' meistens gemeint, dass man den
Erweiterungsgrad des Zerfällungskörpers bestimmen und ein möglichst kleinen Satz Erweiterungsgrad des Zerfällungskörpers bestimmen und ein möglichst kleinen Satz
von möglichst einfachen Erzeugern angeben soll. Meistens ist in diesen von möglichst einfachen Erzeugern angeben soll. Meistens ist in diesen
Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der
@ -87,10 +87,11 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
\[ \[
[L : ℚ] ≤ 3! = 6, [L : ℚ] ≤ 3! = 6,
\] \]
ist, aber wie groß ist der Grad wirklich? Wir überlegen, dass $[ℚ ist, aber wie groß ist der Grad wirklich? Wir überlegen, dass
\bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$. Also gilt $3| [L:Q]$ und man muss $[ℚ \bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$. Also gilt $3| [L:Q]$ und man
lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist. Das ist aber nicht der Fall, muss lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist. Das ist aber nicht der
denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$. Also ist $[L:ℚ] =6$. Fall, denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$. Also ist
$[L:ℚ] =6$.
\end{bsp} \end{bsp}
@ -98,7 +99,7 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
\label{sec:13-1} \label{sec:13-1}
\sideremark{Vorlesung 14}Ich komme zu meinem Lieblingsthema zurück. Jetzt kann \sideremark{Vorlesung 14}Ich komme zu meinem Lieblingsthema zurück. Jetzt kann
ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von „Symmetrien“ auf ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von ``Symmetrien'' auf
sich hat. sich hat.
\begin{situation}\label{sit:gal} \begin{situation}\label{sit:gal}
@ -140,13 +141,13 @@ das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
Wenn ich jetzt einen $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ habe, dann ist Wenn ich jetzt einen $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ habe, dann ist
\begin{align*} \begin{align*}
\varphi(ℓ) & = \sum \varphi(β_{i_1,…,i_n})·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n} \\ \varphi(ℓ) & = \sum \varphi(β_{i_1,…,i_n})·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n} \\
& = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}. && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$.} & = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}. && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$}
\end{align*} \end{align*}
Wir erkennen: Der $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ ist eindeutig dadurch Wir erkennen: Der $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ ist eindeutig dadurch
festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet! Die festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet!
Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die Die Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die
„Symmetriegruppe“ von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$ als ``Symmetriegruppe'' von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$
Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen. als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
@ -162,7 +163,7 @@ ein wenig Sprache.
vielen) Variablen $(x_λ)_{λ∈ Λ}$. vielen) Variablen $(x_λ)_{λ∈ Λ}$.
\end{notation} \end{notation}
Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser Stelle den Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den
Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren. Ich Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren. Ich
finde das aber arg formell und hoffe, Sie verzeihen mir, wenn ich das jetzt finde das aber arg formell und hoffe, Sie verzeihen mir, wenn ich das jetzt
einfach mal nicht mache. Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer einfach mal nicht mache. Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer
@ -196,7 +197,7 @@ immer nur endlich viele Variablen auf.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\subsection{Ringadjunktion vs.~Körperadjunktion} \subsection{Ringadjunktion vs Körperadjunktion}
Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von $L$, Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von $L$,
dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper
@ -206,9 +207,9 @@ $K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)$ vergleichen. Offenbar gilt immer
⊆ L. ⊆ L.
\] \]
Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht. Die Sätze klären auch Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht. Die Sätze klären auch
noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$
$\sqrt{5}$“ mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet. Schauen Sie sich vielleicht adjungiert $\sqrt{5}$'' mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet. Schauen Sie sich
auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an. vielleicht auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
\begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion] \begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Teilmenge Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Teilmenge

34
14.tex
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@ -132,23 +132,23 @@ bestimmen. Was war noch einmal die Ordnung?
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\section{Der Frobenius-Morphismus} \section{Der Frobenius Morphismus}
Über Körpern und Ringen der Charakteristik $p > 0$ gibt es einen ganz Über Körpern und Ringen der Charakteristik $p > 0$ gibt es einen ganz
unglaublichen Körpermorphismus, den wir noch nicht kennen: den unglaublichen Körpermorphismus, den wir noch nicht kennen: den
Frobenius-Morphismus\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius}{Ferdinand Frobenius-Morphismus\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius}{Ferdinand
Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26.~Oktober 1849 in Berlin; † 3.~August 1917 Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26. Oktober 1849 in Berlin; † 3.
in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein deutscher August 1917 in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein
Mathematiker. Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin und setzte deutscher Mathematiker. Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin
dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}. Der Morphismus ist eigentlich ganz und setzte dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}. Der Morphismus ist
einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$. Das unglaubliche ist, dass eigentlich ganz einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$. Das
diese Abbildung \textbf{linear} ist! unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
\begin{defn}[Charakeristik eines Ringes] \begin{defn}[Charakeristik eines Ringes]
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die
\emph{Charakteristik}\index{Charakteristik!eines Ringes} von $R$ ist die \emph{Charakteristik}\index{Charakteristik!eines Ringes} von $R$ ist die
kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ^+$, sodass die $n$-fache Summe des kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ^+$, sodass die $n$-fache Summe des
Einselements gleich dem Nullelement wird, also Einselementes gleich dem Nullelement wird, also
\[ \[
\underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n ⨯} =0. \underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n ⨯} =0.
\] \]
@ -174,8 +174,8 @@ diese Abbildung \textbf{linear} ist!
\begin{notation} \begin{notation}
In der Situation von Satz~\ref{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} ist die In der Situation von Satz~\ref{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} ist die
Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring. Dieser wird als „Menge der Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring. Dieser wird als ``Menge der
$p$-Potenzen“ bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert. $p$-Potenzen'' bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert.
\end{notation} \end{notation}
\begin{beobachtung} \begin{beobachtung}
@ -190,7 +190,7 @@ diese Abbildung \textbf{linear} ist!
\section{Separable und inseparable Polynome} \section{Separable und inseparable Polynome}
Ich hatte oben gefragt, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen haben Ich hatte oben gefragt, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen haben
kann. Die ehrliche Antwort lautet: „vielleicht“ und begründet die folgende kann. Die ehrliche Antwort lautet: ``vielleicht'' und begründet die folgende
Definition. Definition.
\begin{defn}[Separable und inseparable Polynome] \begin{defn}[Separable und inseparable Polynome]
@ -288,7 +288,7 @@ werden.
\begin{bsp} \begin{bsp}
Sei $K = 𝔽_p(t) = Q\bigl( 𝔽_p[t] \bigr)$. Nach dem Sei $K = 𝔽_p(t) = Q\bigl( 𝔽_p[t] \bigr)$. Nach dem
Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} („Eisenstein-Kriterium“) ist Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} (``Eisenstein-Kriterium'') ist
\begin{equation*} \begin{equation*}
f = x^p-t ∈ K[x] f = x^p-t ∈ K[x]
\end{equation*} \end{equation*}
@ -347,7 +347,7 @@ Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
$σ : K(a) → L$. $σ : K(a) → L$.
\end{lemma} \end{lemma}
\begin{proof} \begin{proof}
Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: Jeder Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: jeder
potenzielle $K$-Morphismus $σ$ bildet $a$ auf eine der $m$ Nullstellen von $f$ potenzielle $K$-Morphismus $σ$ bildet $a$ auf eine der $m$ Nullstellen von $f$
an, und ist durch dieses Bild eindeutig festgelegt. Jetzt müssen wir an, und ist durch dieses Bild eindeutig festgelegt. Jetzt müssen wir
lediglich noch zeigen, dass jede dieser $m$ verschiedenen Möglichkeiten lediglich noch zeigen, dass jede dieser $m$ verschiedenen Möglichkeiten
@ -370,8 +370,8 @@ Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
Mit diesen Vorbereitungen können wir separable Abbildungen in präziser Art durch Mit diesen Vorbereitungen können wir separable Abbildungen in präziser Art durch
die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren. Als Konsequenz erhalten wir die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren. Als Konsequenz erhalten wir
eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der „algebraischen eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der ``algebraischen
Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen. Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen.
\begin{satz}\label{Satz_11_10} \begin{satz}\label{Satz_11_10}
Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung
@ -424,8 +424,8 @@ Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen.
\subsection{Der separable Abschluss} \subsection{Der separable Abschluss}
Erinnern Sie sich an den „algebraischen Abschluss eines Körpers in einem Erinnern Sie sich an den ``algebraischen Abschluss einer Körpers in einem
Oberkörper“, den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch Oberkörper'', den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch
dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
übertragen. übertragen.

2
AlgebraZahlentheorie.tex
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@ -183,5 +183,5 @@ Dieser Text ist unter der Lizenz
\bibstyle{alpha} \bibstyle{alpha}
\bibliographystyle{alpha} \bibliographystyle{alpha}
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1
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@ -1 +0,0 @@
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