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13
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
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@ -11,3 +11,16 @@ Sekantenlänge
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Sickinger
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Serge
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CoCalc
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Dava
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Sobel
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Permutationsgruppe
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Zerfällungskörper
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Galoisgruppe
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Picard-Lindelöf
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Lie
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Nordfjordeid
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Kristiania
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Zerfällungskörpers
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Sophus
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Beaumont-en-Auge
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Liesche
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4
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
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4
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
@ -1 +1,5 @@
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||||
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen sollen, dass ein gegebenes Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q irreduzibel ist, dann werden wir den Output von „isIrreducible(\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q)“ aber nicht akzeptieren.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZwar pendelten um 1704 jährlich mehr als 300 Schiffe zwischen England und den „West Indies“, es kam aber durch Fehlnavigation regelmäßig zu verheerenden Katastrophen.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QEin großer Teil der Vorlesung „Lineare Algebra II“ befasst sich mit diesem Thema: Jordan-Formen, Basiswechsel, Determinanten, Invarianten, Eigenräume, …\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q… und wie ging die Geschichte aus?.\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWie geht es weiter?.\\E$"}
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135
25.tex
135
25.tex
@ -7,16 +7,16 @@
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\section{Was ist in dieser Vorlesung eigentlich passiert?}
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Im 18.~Jahrhundert war Seefahrt gefährlich. Sehr gefährlich. Zwar pendelten um
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1704 jährlich mehr als 300 Schiffe zwischen England und den ``West Indies'', es
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kam aber durch Fehlnavigation regelmäßig zu verheerenden Katastrophen.
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Unzählige Schiffe verirrten sich auf dem Meer und die Besatzung verhungerte,
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verdurstete oder starb an qualvoll an Skorbut. Andere Schiffe fuhren auf
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Felsriffe oder gerieten versehentlich in feindliches Territorium.
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1704 jährlich mehr als 300 Schiffe zwischen England und den „West Indies“, es
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kam aber durch Fehlnavigation regelmäßig zu verheerenden Katastrophen. Unzählige
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Schiffe verirrten sich auf dem Meer und die Besatzung verhungerte, verdurstete
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oder starb an qualvoll an Skorbut. Andere Schiffe fuhren auf Felsriffe oder
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gerieten versehentlich in feindliches Territorium.
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Das Problem: es ist zwar sehr einfach die geografische Breite eines Schiffes zu
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bestimmen\footnote{Man messe die Höhe des Polarsterns über dem Horizont!}, aber
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es gab keine Methode für die Messung der geografische Länge. Das
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``Längenproblem'' war für mindestens vier Jahrhunderte das zentrale Problem der
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„Längenproblem“ war für mindestens vier Jahrhunderte das zentrale Problem der
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europäischen Wissenschaft. Die größten Wissenschaftler der Zeit, darunter
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Galilei, Cassini, Huygens, Newton und Halley, versuchten, das Problem mithilfe
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von Astronomie zu lösen. Dabei fanden sie das Gravitationsgesetz, begründeten
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@ -41,66 +41,67 @@ wusste deshalb, dass \emph{Fernwirkungen} existieren…. Wikipedia listet auf,
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Also blieb nur Koppelnavigation. Dava Sobel schreibt in ihrem
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\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_(book)}{absolut lesenswerten
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Bestseller}\footnote{Haben Sie bald Geburtstag? Vielleicht interessieren Sie
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auch für die illustrierte Ausagabe \cite{SobelIll}.} \cite{Sobel}, aus dem ich
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auch für die illustrierte Ausgabe \cite{SobelIll}.} \cite{Sobel}, aus dem ich
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meine Weisheit beziehe:
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\begin{quote}
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||||
Launched on a mix of bravery and greed, the sea captains of the fifteenth,
|
||||
sixteenth and seventeenth centuries relied on ``dead reckoning'' to gauge
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||||
their distance east or west of home port. […] The captain would throw a log
|
||||
overboard and observe how quickly the ship receded from this temporary
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||||
guidepost. […] He routinely missed his mark, of course […] Too often, the
|
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technique of dead reckoning marked him for a dead man.
|
||||
\foreignlanguage{english}{Launched on a mix of bravery and greed, the sea
|
||||
captains of the fifteenth, sixteenth and seventeenth centuries relied on
|
||||
``dead reckoning'' to gauge their distance east or west of home port. […] The
|
||||
captain would throw a log overboard and observe how quickly the ship receded
|
||||
from this temporary guidepost. […] He routinely missed his mark, of course
|
||||
[…] Too often, the technique of dead reckoning marked him for a dead man.}
|
||||
\end{quote}
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||||
Aber warum ist die geografische Länge so viel schwieriger zu messen als die
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Breite? Dava Sobel:
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\begin{quote}
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||||
Here lies the real, hard-core difference between latitude and longitude ---
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||||
beyond the superficial difference in line direction that any child can see:
|
||||
The zero-degree parallel of latitude is fixed by the laws of nature, while the
|
||||
zero-degree meridian of longitude shifts like the sands of time. This
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||||
difference makes finding latitude a child's play, and turns the determination
|
||||
of longitude, especially at sea, into an adult dilemma --- one that stumped
|
||||
the wisest minds of the world for the better part of human history.
|
||||
\foreignlanguage{english}{Here lies the real, hard-core difference between
|
||||
latitude and longitude --- beyond the superficial difference in line direction
|
||||
that any child can see: The zero-degree parallel of latitude is fixed by the
|
||||
laws of nature, while the zero-degree meridian of longitude shifts like the
|
||||
sands of time. This difference makes finding latitude a child's play, and
|
||||
turns the determination of longitude, especially at sea, into an adult dilemma
|
||||
--- one that stumped the wisest minds of the world for the better part of
|
||||
human history.}
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||||
\end{quote}
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||||
In unserer Sprache würden wir sagen: Die geografische Breite ist ``kanonisch''.
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In unserer Sprache würden wir sagen: Die geografische Breite ist „kanonisch“.
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Die geografische Länge ist nicht kanonisch, sondern hängt von der Wahl des
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Nullmeridians ab, der statt durch Greenwich auch durch jeden anderen Ort
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verlaufen könnte.
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\subsection{Der Unterschied zwischen ``kanonisch'' und ``nicht-kanonisch''}
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\subsection{Der Unterschied zwischen „kanonisch“ und „nicht-kanonisch“}
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||||
Ich erzähle die etwas abschweifende Geschichte des Längenproblems, um auf den
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Unterschied zwischen ``kanonisch'' und ``nicht kanonisch'' hinzuweisen. Ich
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||||
hoffe, dass Sie sich die Sache dann besser merken, denn dieser Punkt ist
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||||
fundamental für die gesamte Mathematik und \emph{der} zentrale Punkt der
|
||||
gesamten Algebra-Ausbildung.
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||||
Unterschied zwischen „kanonisch“ und „nicht kanonisch“ hinzuweisen. Ich hoffe,
|
||||
dass Sie sich die Sache dann besser merken, denn dieser Punkt ist fundamental
|
||||
für die gesamte Mathematik und \emph{der} zentrale Punkt der gesamten
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||||
Algebra-Ausbildung.
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\begin{itemize}
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||||
\item Zwei Mengen der gleichen, endlichen Größe stehen zueinander in Bijektion.
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||||
Die Bijektion ist aber nicht kanonisch. Das Maß für die Abweichung von
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||||
``kanonisch'' ist die Menge der Bijektionen, also die Permutationsgruppe.
|
||||
Diese spielt in fast jeder Vorlesung eine Rolle.
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||||
„kanonisch“ ist die Menge der Bijektionen, also die Permutationsgruppe. Diese
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||||
spielt in fast jeder Vorlesung eine Rolle.
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||||
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||||
\item In der linearen Algebra haben wir gelernt, dass zwei Vektorräume der
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||||
gleichen, endlichen Dimension zueinander isomorph sind, aber nicht kanonisch
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isomorph. Das Maß für die Abweichung von ``kanonisch'' ist die Menge der
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||||
isomorph. Das Maß für die Abweichung von „kanonisch“ ist die Menge der
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||||
Symmetrien, also die allgemeine lineare Gruppe. Ein großer Teil der Vorlesung
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||||
``Lineare Algebra II'' befasst sich mit diesem Thema: Jordan-Formen,
|
||||
„Lineare Algebra II“ befasst sich mit diesem Thema: Jordan-Formen,
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||||
Basiswechsel, Determinanten, Invarianten, Eigenräume, …
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||||
\end{itemize}
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In dieser Vorlesung haben wir dasselbe Problem: die universelle Eigenschaft des
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algebraischen Abschlusses, Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}, ist
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schwach. Zwei algebraische Abschlüsse, genau wie zwei Zerfällungskörper ein und
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desselben Polyoms, sind zueinander isomorph, aber nicht kanonisch isomorph. Das
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Maß für die Abweichung von ``kanonisch'' ist die Menge der Symmetrien, die in
|
||||
desselben Polynoms, sind zueinander isomorph, aber nicht kanonisch isomorph. Das
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Maß für die Abweichung von „kanonisch“ ist die Menge der Symmetrien, die in
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||||
diesem Fall als Galoisgruppe bezeichnet wird. Die Erkenntnis, das die
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||||
Galoisgruppe das Versagen der universelle Eigenschaft mißt und das durch ihr
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Studium wichtige Erkentnisse gewonnen werden können, ist der zentrale Punkt in
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Galoisgruppe das Versagen der universelle Eigenschaft misst und das durch ihr
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||||
Studium wichtige Erkenntnisse gewonnen werden können, ist der zentrale Punkt in
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dieser Vorlesung. Alles andere ist Beiwerk.
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@ -121,43 +122,43 @@ Längenproblem wurde letztlich nicht von Wissenschaftlern, sondern von einem
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Schreiner aus der englischen Provinz gelöst. John Harrison war ein genialer
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Techniker, dem es nach jahrzehntelanger Arbeit gegen Mitte des 18.~Jahrhunderts
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gelang, \href{https://de.wikipedia.org/wiki/L\%C3\%A4ngenuhr}{Längenuhren} zu
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||||
bauen, also mechanische Uhren präzise genug für die Zwecke der Navigation waren,
|
||||
und robust genug für den Einsatz auf hoher See.
|
||||
bauen, also mechanische Uhren, die präzise genug für die Zwecke der Navigation
|
||||
waren, und robust genug für den Einsatz auf hoher See.
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||||
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||||
Das Buch \cite{Sobel} erzählt die Geschichte von Harrison's Erfindung. Das Buch
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erzählt auch von den größten Wissenschaftlern aus Harrison's Zeit, die sämtlich
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am Längenproblem arbeiteten und trotz großer persönlicher Differenzen gemeinsam
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sehr viel Zeit und Mühe investierten, um Harrison durch operettenhaftes
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Intrigenspiel, Lügen und Verleumdungskampagnen zu runinieren und um sein
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Intrigenspiel, Lügen und Verleumdungskampagnen zu ruinieren und um sein
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Preisgeld zu betrügen.
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\section{Wie geht es weiter?}
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Wenn Sie ein Lehrbuch zum Thema ``Gewöhnliche Differentialgleichungen'' in die
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Wenn Sie ein Lehrbuch zum Thema „Gewöhnliche Differenzialgleichungen“ in die
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Hand nehmen, finden Sie ein wenig Theorie (Satz von Picard-Lindelöf,
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||||
Konsequenzen aus der Eindeutigkeit der Lösung, Lebensdauer von Lösungen, ) und
|
||||
viele viele Rechenrezepte, mit denen man spezielle Differenzialgleichungen löst.
|
||||
In der Anfängervorlesung haben Sie das vielleicht schon beim Verfahren
|
||||
Konsequenzen aus der Eindeutigkeit der Lösung, Lebensdauer von Lösungen, …) und
|
||||
viele, viele Rechenrezepte, mit denen man spezielle Differenzialgleichungen
|
||||
löst. In der Anfängervorlesung haben Sie das vielleicht schon beim Verfahren
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten}{Variation der
|
||||
Konstanten} gesehen: gegeben ist die Differenzialgleichung
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\begin{equation}\label{eq:ssa}
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y'(x) = a(x)·y(x) + b(x).
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||||
\end{equation}
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Dann macht der Professor den ``Ansatz'', dass die Lösung von folgender Gestalt
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Dann macht der Professor den „Ansatz“, dass die Lösung von folgender Gestalt
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sein könnte
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\[
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y(x) = c(x)e^{A(x)}.
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||||
\]
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||||
Jetzt sind ``nur noch'' die Funktionen $c$ und $A$ zu bestimmen. Wie man an den
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||||
Jetzt sind „nur noch“ die Funktionen $c$ und $A$ zu bestimmen. Wie man an den
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||||
Ansatz kommt, wird nicht erklärt.
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||||
Die gewöhnlichen Differenzialgleichungen, die Sie in der kennen und kennenlernen
|
||||
werden, sind fast alle vom Lie'schen
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Typ\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Sophus_Lie}{Marius Sophus Lie}
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||||
(* 17. Dezember 1842 in Nordfjordeid; † 18. Februar 1899 in Kristiania,
|
||||
heute Oslo) war ein norwegischer Mathematiker.}. Genau wie wir einem Polynom
|
||||
die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers zuordnen, hat Sophus Lie einer
|
||||
(* 17. Dezember 1842 in Nordfjordeid; † 18. Februar 1899 in Kristiania, heute
|
||||
Oslo) war ein norwegischer Mathematiker.}. Genau wie wir einem Polynom die
|
||||
Galoisgruppe des Zerfällungskörpers zuordnen, hat Sophus Lie einer
|
||||
Differenzialgleichung eine Gruppe zugeordnet, die man heute als
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Lie-Gruppe}{Lie-Gruppe} bezeichnet; im Falle
|
||||
der Differenzialgleichungen der Form \eqref{eq:ssa} ist das die Gruppe der
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||||
@ -171,7 +172,7 @@ invertierbaren $2⨯ 2$ oberen Dreiecksmatrizen,
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\right\}.
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||||
\]
|
||||
Diese Gruppe ist auflösbar, und genau wie in Satz~\vref{Satz_von_Seite_197}
|
||||
(``Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal'') gibt die Auflösungskette
|
||||
(„Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal“) gibt die Auflösungskette
|
||||
\[
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
@ -188,18 +189,17 @@ Diese Gruppe ist auflösbar, und genau wie in Satz~\vref{Satz_von_Seite_197}
|
||||
⊂
|
||||
A
|
||||
\]
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||||
der Gruppe $A$ die Lösungsformel, die Sie als ``Variation der Konstanten''
|
||||
kennen.
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||||
der Gruppe $A$ die Lösungsformel, die Sie als „Variation der Konstanten“ kennen.
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||||
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||||
\begin{geheim}
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||||
Fast alle Differenzialgleichungen, die Sie in einer typischen Vorlesung
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||||
``Gewöhnliche Differenzialgleichungen'' kennenlernen, sind vom Lie'schen Typ.
|
||||
„Gewöhnliche Differenzialgleichungen“ kennenlernen, sind vom Lie'schen Typ.
|
||||
Fast alle Lösungsmethoden, die Sie dort kennenlernen werden, ergeben sich aus
|
||||
der Auflösbarkeit der zugehörigen Lie-Gruppen --- die
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||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation}{Laplace-Transformation}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace}{Pierre-Simon
|
||||
(Marquis de) Laplace} (* 28. März 1749 in Beaumont-en-Auge in der
|
||||
Normandie; † 5. März 1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker,
|
||||
Physiker und Astronom. Er beschäftigte sich unter anderem mit der
|
||||
(Marquis de) Laplace} (* 28.~März 1749 in Beaumont-en-Auge in der Normandie; †
|
||||
5.~März 1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker, Physiker und
|
||||
Astronom. Er beschäftigte sich unter anderem mit der
|
||||
Wahrscheinlichkeitstheorie und mit Differenzialgleichungen.} ist eine
|
||||
bemerkenswerte Ausnahme.
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||||
\end{geheim}
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||||
@ -208,11 +208,10 @@ Ich finde Auswendiglernen von Lösungsformeln ausgesprochen langweilig und schau
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mir deshalb lieber die
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung}{Riccatischen
|
||||
Differenzialgleichungen}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacopo_Riccati}{Jacopo
|
||||
Francesco Riccati} (* 28. Mai 1676 in Venedig; † 15. April 1754 in
|
||||
Treviso) war ein italienischer Mathematiker. Er ist vor allem für seine
|
||||
Untersuchungen von Differenzialgleichungen und die Methoden zur Reduzierung
|
||||
der Ordnung von Gleichungen bekannt.} an; das sind Differenzialgleichungen der
|
||||
Form
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||||
Francesco Riccati} (* 28.~Mai 1676 in Venedig; † 15.~April 1754 in Treviso) war
|
||||
ein italienischer Mathematiker. Er ist vor allem für seine Untersuchungen von
|
||||
Differenzialgleichungen und die Methoden zur Reduzierung der Ordnung von
|
||||
Gleichungen bekannt.} an; das sind Differenzialgleichungen der Form
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||||
\[
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||||
y'(x)=f(x)y²(x)+g(x)y(x)+h(x)
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||||
\]
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||||
@ -221,19 +220,19 @@ sehr speziell sind, ist die zugehörende Liesche Gruppe die spezielle lineare
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||||
Gruppe $\operatorname{SL}(2,ℝ)$, und diese Gruppe ist definitiv \emph{nicht}
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||||
auflösbar. Also \emph{kann} es keine Lösungsformel geben: Der Satz von
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Picard-Lindelöf garantiert zwar die Existenz von Lösungen, diese sind aber nicht
|
||||
in Termen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ notierbar! Am Ende des Tages beweisen
|
||||
wir vielleicht den Satz, dass nur eine verschwindend kleine Nullmenge an
|
||||
Differenzialgleichungen überhaupt Lösungsformeln erlaubt…
|
||||
in Termen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ und ihrer Integrale notierbar! Am
|
||||
Ende des Tages beweisen wir vielleicht den Satz, dass nur eine verschwindend
|
||||
kleine Nullmenge an Differenzialgleichungen überhaupt Lösungsformeln erlaubt…
|
||||
|
||||
Wenn Sie mehr wissen wollen, dann schauen Sie einmal in das fantastische Buch
|
||||
\cite{MR947141}. Und googlen Sie nach ``Galois theory for differential
|
||||
equations''.
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||||
\cite{MR947141}. Und googeln Sie nach „\foreignlanguage{english}{Galois theory
|
||||
for differential equations}“.
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||||
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||||
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||||
\subsection{Reklame für weiterführende Veranstaltungen in Algebra}
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Besuchen Sie im SS21 die Vorlesung ``Kommutative Algebra und Algebraische
|
||||
Geometrie'' und kommen Sie in unser Seminar!
|
||||
Besuchen Sie bei nächster Gelegenheit die Vorlesung „Kommutative Algebra und
|
||||
Algebraische Geometrie“ und kommen Sie in unsere Seminare!
|
||||
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||||
Es wird oft gesagt, Algebra und Geometrie seien zwei Seiten derselben Medaille.
|
||||
In der Vorlesung machen wir diese Aussage konkret: es gibt eine \emph{Äquivalenz
|
||||
@ -243,11 +242,11 @@ Gebieten, und jeder Satz der Algebra ist ein Satz der Geometrie und umgekehrt.
|
||||
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||||
Der Witz bei dieser Äquivalenz ist, das Algebra gut zum Rechnen ist und
|
||||
Geometrie gut für die Anschauung, durch das Zusammenspiel erhält das Gebiet
|
||||
seinen Reiz. Dabei ist es natürlich \emph{nicht} immer so, dass ``einfache''
|
||||
Begriffe der Algebra besonders ``anschaulichen'' Begriffen der Geometrie
|
||||
seinen Reiz. Dabei ist es natürlich \emph{nicht} immer so, dass „einfache“
|
||||
Begriffe der Algebra besonders „anschaulichen“ Begriffen der Geometrie
|
||||
entsprechen -- manchmal muss man ganz schön arbeiten um zu sehen, was passiert!
|
||||
Auf meiner \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/research-ag/}{Web-Seite}
|
||||
finden noch ein wenig mehr Propadamaterial.
|
||||
finden noch ein wenig mehr Propagandamaterial.
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||||
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||||
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||||
%%% Local Variables:
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||||
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||||
@ -77,7 +77,7 @@
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\DeclareMathOperator{\sep}{sep}
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\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
|
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\DeclareMathOperator{\Zentralisator}{Zentralisator}
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||||
\newcommand\video[1]{\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr/download?path=\%2FVideos&files=#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr/download?path=\%2FVideos&files=#1-Skript.pdf}{(Skript)}}
|
||||
\newcommand\video[1]{\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/#1-Skript.pdf}{(Skript)}}
|
||||
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\newcommand{\ifactor}[2]{\left. \raise -2pt\hbox{$#1$} \right\backslash \hskip -2pt\raise +2pt\hbox{$#2$}}
|
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