From ed40ae4c70667bd76dca8381ce4f547160b3a10f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Wed, 4 Oct 2023 14:51:26 +0200 Subject: [PATCH] Update --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 13 ++ .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 4 + 25.tex | 147 ++++++++++---------- AlgebraZahlentheorie.tex | 2 +- 4 files changed, 91 insertions(+), 75 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index d3e4309..7833610 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -11,3 +11,16 @@ Sekantenlänge Sickinger Serge CoCalc +Dava +Sobel +Permutationsgruppe +Zerfällungskörper +Galoisgruppe +Picard-Lindelöf +Lie +Nordfjordeid +Kristiania +Zerfällungskörpers +Sophus +Beaumont-en-Auge +Liesche diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 0f10a58..36fe08a 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -1 +1,5 @@ {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen sollen, dass ein gegebenes Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q irreduzibel ist, dann werden wir den Output von „isIrreducible(\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q)“ aber nicht akzeptieren.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZwar pendelten um 1704 jährlich mehr als 300 Schiffe zwischen England und den „West Indies“, es kam aber durch Fehlnavigation regelmäßig zu verheerenden Katastrophen.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QEin großer Teil der Vorlesung „Lineare Algebra II“ befasst sich mit diesem Thema: Jordan-Formen, Basiswechsel, Determinanten, Invarianten, Eigenräume, …\\E$"} +{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q… und wie ging die Geschichte aus?.\\E$"} +{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWie geht es weiter?.\\E$"} diff --git a/25.tex b/25.tex index 5a68db5..264f1c1 100644 --- a/25.tex +++ b/25.tex @@ -7,16 +7,16 @@ \section{Was ist in dieser Vorlesung eigentlich passiert?} Im 18.~Jahrhundert war Seefahrt gefährlich. Sehr gefährlich. Zwar pendelten um -1704 jährlich mehr als 300 Schiffe zwischen England und den ``West Indies'', es -kam aber durch Fehlnavigation regelmäßig zu verheerenden Katastrophen. -Unzählige Schiffe verirrten sich auf dem Meer und die Besatzung verhungerte, -verdurstete oder starb an qualvoll an Skorbut. Andere Schiffe fuhren auf -Felsriffe oder gerieten versehentlich in feindliches Territorium. +1704 jährlich mehr als 300 Schiffe zwischen England und den „West Indies“, es +kam aber durch Fehlnavigation regelmäßig zu verheerenden Katastrophen. Unzählige +Schiffe verirrten sich auf dem Meer und die Besatzung verhungerte, verdurstete +oder starb an qualvoll an Skorbut. Andere Schiffe fuhren auf Felsriffe oder +gerieten versehentlich in feindliches Territorium. Das Problem: es ist zwar sehr einfach die geografische Breite eines Schiffes zu bestimmen\footnote{Man messe die Höhe des Polarsterns über dem Horizont!}, aber es gab keine Methode für die Messung der geografische Länge. Das -``Längenproblem'' war für mindestens vier Jahrhunderte das zentrale Problem der +„Längenproblem“ war für mindestens vier Jahrhunderte das zentrale Problem der europäischen Wissenschaft. Die größten Wissenschaftler der Zeit, darunter Galilei, Cassini, Huygens, Newton und Halley, versuchten, das Problem mithilfe von Astronomie zu lösen. Dabei fanden sie das Gravitationsgesetz, begründeten @@ -36,71 +36,72 @@ Der Navigator konnte dann aus dem Unterschied zur Lokalzeit die Länge bestimmen Die Idee schien damals weniger abwegig als heute, denn man kannte Magnete und wusste deshalb, dass \emph{Fernwirkungen} existieren…. Wikipedia listet auf, \href{https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_longitude}{was man sonst noch - alles versucht hat}. +alles versucht hat}. Also blieb nur Koppelnavigation. Dava Sobel schreibt in ihrem \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_(book)}{absolut lesenswerten - Bestseller}\footnote{Haben Sie bald Geburtstag? Vielleicht interessieren Sie - auch für die illustrierte Ausagabe \cite{SobelIll}.} \cite{Sobel}, aus dem ich +Bestseller}\footnote{Haben Sie bald Geburtstag? Vielleicht interessieren Sie +auch für die illustrierte Ausgabe \cite{SobelIll}.} \cite{Sobel}, aus dem ich meine Weisheit beziehe: \begin{quote} - Launched on a mix of bravery and greed, the sea captains of the fifteenth, - sixteenth and seventeenth centuries relied on ``dead reckoning'' to gauge - their distance east or west of home port. […] The captain would throw a log - overboard and observe how quickly the ship receded from this temporary - guidepost. […] He routinely missed his mark, of course […] Too often, the - technique of dead reckoning marked him for a dead man. + \foreignlanguage{english}{Launched on a mix of bravery and greed, the sea + captains of the fifteenth, sixteenth and seventeenth centuries relied on + ``dead reckoning'' to gauge their distance east or west of home port. […] The + captain would throw a log overboard and observe how quickly the ship receded + from this temporary guidepost. […] He routinely missed his mark, of course + […] Too often, the technique of dead reckoning marked him for a dead man.} \end{quote} Aber warum ist die geografische Länge so viel schwieriger zu messen als die Breite? Dava Sobel: \begin{quote} - Here lies the real, hard-core difference between latitude and longitude --- - beyond the superficial difference in line direction that any child can see: - The zero-degree parallel of latitude is fixed by the laws of nature, while the - zero-degree meridian of longitude shifts like the sands of time. This - difference makes finding latitude a child's play, and turns the determination - of longitude, especially at sea, into an adult dilemma --- one that stumped - the wisest minds of the world for the better part of human history. + \foreignlanguage{english}{Here lies the real, hard-core difference between + latitude and longitude --- beyond the superficial difference in line direction + that any child can see: The zero-degree parallel of latitude is fixed by the + laws of nature, while the zero-degree meridian of longitude shifts like the + sands of time. This difference makes finding latitude a child's play, and + turns the determination of longitude, especially at sea, into an adult dilemma + --- one that stumped the wisest minds of the world for the better part of + human history.} \end{quote} -In unserer Sprache würden wir sagen: Die geografische Breite ist ``kanonisch''. +In unserer Sprache würden wir sagen: Die geografische Breite ist „kanonisch“. Die geografische Länge ist nicht kanonisch, sondern hängt von der Wahl des Nullmeridians ab, der statt durch Greenwich auch durch jeden anderen Ort verlaufen könnte. -\subsection{Der Unterschied zwischen ``kanonisch'' und ``nicht-kanonisch''} +\subsection{Der Unterschied zwischen „kanonisch“ und „nicht-kanonisch“} Ich erzähle die etwas abschweifende Geschichte des Längenproblems, um auf den -Unterschied zwischen ``kanonisch'' und ``nicht kanonisch'' hinzuweisen. Ich -hoffe, dass Sie sich die Sache dann besser merken, denn dieser Punkt ist -fundamental für die gesamte Mathematik und \emph{der} zentrale Punkt der -gesamten Algebra-Ausbildung. +Unterschied zwischen „kanonisch“ und „nicht kanonisch“ hinzuweisen. Ich hoffe, +dass Sie sich die Sache dann besser merken, denn dieser Punkt ist fundamental +für die gesamte Mathematik und \emph{der} zentrale Punkt der gesamten +Algebra-Ausbildung. \begin{itemize} \item Zwei Mengen der gleichen, endlichen Größe stehen zueinander in Bijektion. Die Bijektion ist aber nicht kanonisch. Das Maß für die Abweichung von - ``kanonisch'' ist die Menge der Bijektionen, also die Permutationsgruppe. - Diese spielt in fast jeder Vorlesung eine Rolle. + „kanonisch“ ist die Menge der Bijektionen, also die Permutationsgruppe. Diese + spielt in fast jeder Vorlesung eine Rolle. \item In der linearen Algebra haben wir gelernt, dass zwei Vektorräume der gleichen, endlichen Dimension zueinander isomorph sind, aber nicht kanonisch - isomorph. Das Maß für die Abweichung von ``kanonisch'' ist die Menge der + isomorph. Das Maß für die Abweichung von „kanonisch“ ist die Menge der Symmetrien, also die allgemeine lineare Gruppe. Ein großer Teil der Vorlesung - ``Lineare Algebra II'' befasst sich mit diesem Thema: Jordan-Formen, + „Lineare Algebra II“ befasst sich mit diesem Thema: Jordan-Formen, Basiswechsel, Determinanten, Invarianten, Eigenräume, … \end{itemize} In dieser Vorlesung haben wir dasselbe Problem: die universelle Eigenschaft des algebraischen Abschlusses, Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}, ist schwach. Zwei algebraische Abschlüsse, genau wie zwei Zerfällungskörper ein und -desselben Polyoms, sind zueinander isomorph, aber nicht kanonisch isomorph. Das -Maß für die Abweichung von ``kanonisch'' ist die Menge der Symmetrien, die in +desselben Polynoms, sind zueinander isomorph, aber nicht kanonisch isomorph. Das +Maß für die Abweichung von „kanonisch“ ist die Menge der Symmetrien, die in diesem Fall als Galoisgruppe bezeichnet wird. Die Erkenntnis, das die -Galoisgruppe das Versagen der universelle Eigenschaft mißt und das durch ihr -Studium wichtige Erkentnisse gewonnen werden können, ist der zentrale Punkt in +Galoisgruppe das Versagen der universelle Eigenschaft misst und das durch ihr +Studium wichtige Erkenntnisse gewonnen werden können, ist der zentrale Punkt in dieser Vorlesung. Alles andere ist Beiwerk. @@ -109,7 +110,7 @@ dieser Vorlesung. Alles andere ist Beiwerk. Die Lösung des Längenproblems war von enormer militärischer und volkswirtschaftlicher Bedeutung. Nach einem \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Scilly_naval_disaster_of_1707}{besonders - dramatischen Unfall}, bei dem die britische Krone vier Kriegsschiffe und über +dramatischen Unfall}, bei dem die britische Krone vier Kriegsschiffe und über 1.500 Seeleute verlor, verabschiedete das englische Parlament 1714 den berühmten \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_Act}{Longitude Act}, in dem unter anderem ein gigantisches Preisgeld für die Lösung des Längenproblems ausgelobt @@ -121,43 +122,43 @@ Längenproblem wurde letztlich nicht von Wissenschaftlern, sondern von einem Schreiner aus der englischen Provinz gelöst. John Harrison war ein genialer Techniker, dem es nach jahrzehntelanger Arbeit gegen Mitte des 18.~Jahrhunderts gelang, \href{https://de.wikipedia.org/wiki/L\%C3\%A4ngenuhr}{Längenuhren} zu -bauen, also mechanische Uhren präzise genug für die Zwecke der Navigation waren, -und robust genug für den Einsatz auf hoher See. +bauen, also mechanische Uhren, die präzise genug für die Zwecke der Navigation +waren, und robust genug für den Einsatz auf hoher See. Das Buch \cite{Sobel} erzählt die Geschichte von Harrison's Erfindung. Das Buch erzählt auch von den größten Wissenschaftlern aus Harrison's Zeit, die sämtlich am Längenproblem arbeiteten und trotz großer persönlicher Differenzen gemeinsam sehr viel Zeit und Mühe investierten, um Harrison durch operettenhaftes -Intrigenspiel, Lügen und Verleumdungskampagnen zu runinieren und um sein +Intrigenspiel, Lügen und Verleumdungskampagnen zu ruinieren und um sein Preisgeld zu betrügen. \section{Wie geht es weiter?} -Wenn Sie ein Lehrbuch zum Thema ``Gewöhnliche Differentialgleichungen'' in die +Wenn Sie ein Lehrbuch zum Thema „Gewöhnliche Differenzialgleichungen“ in die Hand nehmen, finden Sie ein wenig Theorie (Satz von Picard-Lindelöf, -Konsequenzen aus der Eindeutigkeit der Lösung, Lebensdauer von Lösungen, ) und -viele viele Rechenrezepte, mit denen man spezielle Differenzialgleichungen löst. -In der Anfängervorlesung haben Sie das vielleicht schon beim Verfahren +Konsequenzen aus der Eindeutigkeit der Lösung, Lebensdauer von Lösungen, …) und +viele, viele Rechenrezepte, mit denen man spezielle Differenzialgleichungen +löst. In der Anfängervorlesung haben Sie das vielleicht schon beim Verfahren \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten}{Variation der - Konstanten} gesehen: gegeben ist die Differenzialgleichung +Konstanten} gesehen: gegeben ist die Differenzialgleichung \begin{equation}\label{eq:ssa} y'(x) = a(x)·y(x) + b(x). \end{equation} -Dann macht der Professor den ``Ansatz'', dass die Lösung von folgender Gestalt +Dann macht der Professor den „Ansatz“, dass die Lösung von folgender Gestalt sein könnte \[ y(x) = c(x)e^{A(x)}. \] -Jetzt sind ``nur noch'' die Funktionen $c$ und $A$ zu bestimmen. Wie man an den +Jetzt sind „nur noch“ die Funktionen $c$ und $A$ zu bestimmen. Wie man an den Ansatz kommt, wird nicht erklärt. Die gewöhnlichen Differenzialgleichungen, die Sie in der kennen und kennenlernen werden, sind fast alle vom Lie'schen Typ\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Sophus_Lie}{Marius Sophus Lie} - (* 17. Dezember 1842 in Nordfjordeid; † 18. Februar 1899 in Kristiania, - heute Oslo) war ein norwegischer Mathematiker.}. Genau wie wir einem Polynom -die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers zuordnen, hat Sophus Lie einer +(* 17. Dezember 1842 in Nordfjordeid; † 18. Februar 1899 in Kristiania, heute +Oslo) war ein norwegischer Mathematiker.}. Genau wie wir einem Polynom die +Galoisgruppe des Zerfällungskörpers zuordnen, hat Sophus Lie einer Differenzialgleichung eine Gruppe zugeordnet, die man heute als \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Lie-Gruppe}{Lie-Gruppe} bezeichnet; im Falle der Differenzialgleichungen der Form \eqref{eq:ssa} ist das die Gruppe der @@ -171,7 +172,7 @@ invertierbaren $2⨯ 2$ oberen Dreiecksmatrizen, \right\}. \] Diese Gruppe ist auflösbar, und genau wie in Satz~\vref{Satz_von_Seite_197} -(``Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal'') gibt die Auflösungskette +(„Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal“) gibt die Auflösungskette \[ \left\{ \begin{pmatrix} @@ -188,31 +189,29 @@ Diese Gruppe ist auflösbar, und genau wie in Satz~\vref{Satz_von_Seite_197} ⊂ A \] -der Gruppe $A$ die Lösungsformel, die Sie als ``Variation der Konstanten'' -kennen. +der Gruppe $A$ die Lösungsformel, die Sie als „Variation der Konstanten“ kennen. \begin{geheim} Fast alle Differenzialgleichungen, die Sie in einer typischen Vorlesung - ``Gewöhnliche Differenzialgleichungen'' kennenlernen, sind vom Lie'schen Typ. + „Gewöhnliche Differenzialgleichungen“ kennenlernen, sind vom Lie'schen Typ. Fast alle Lösungsmethoden, die Sie dort kennenlernen werden, ergeben sich aus der Auflösbarkeit der zugehörigen Lie-Gruppen --- die \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation}{Laplace-Transformation}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace}{Pierre-Simon - (Marquis de) Laplace} (* 28. März 1749 in Beaumont-en-Auge in der - Normandie; † 5. März 1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker, - Physiker und Astronom. Er beschäftigte sich unter anderem mit der - Wahrscheinlichkeitstheorie und mit Differenzialgleichungen.} ist eine + (Marquis de) Laplace} (* 28.~März 1749 in Beaumont-en-Auge in der Normandie; † + 5.~März 1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker, Physiker und + Astronom. Er beschäftigte sich unter anderem mit der + Wahrscheinlichkeitstheorie und mit Differenzialgleichungen.} ist eine bemerkenswerte Ausnahme. \end{geheim} Ich finde Auswendiglernen von Lösungsformeln ausgesprochen langweilig und schaue mir deshalb lieber die \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung}{Riccatischen - Differenzialgleichungen}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacopo_Riccati}{Jacopo - Francesco Riccati} (* 28. Mai 1676 in Venedig; † 15. April 1754 in - Treviso) war ein italienischer Mathematiker. Er ist vor allem für seine - Untersuchungen von Differenzialgleichungen und die Methoden zur Reduzierung - der Ordnung von Gleichungen bekannt.} an; das sind Differenzialgleichungen der -Form +Differenzialgleichungen}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacopo_Riccati}{Jacopo +Francesco Riccati} (* 28.~Mai 1676 in Venedig; † 15.~April 1754 in Treviso) war +ein italienischer Mathematiker. Er ist vor allem für seine Untersuchungen von +Differenzialgleichungen und die Methoden zur Reduzierung der Ordnung von +Gleichungen bekannt.} an; das sind Differenzialgleichungen der Form \[ y'(x)=f(x)y²(x)+g(x)y(x)+h(x) \] @@ -221,19 +220,19 @@ sehr speziell sind, ist die zugehörende Liesche Gruppe die spezielle lineare Gruppe $\operatorname{SL}(2,ℝ)$, und diese Gruppe ist definitiv \emph{nicht} auflösbar. Also \emph{kann} es keine Lösungsformel geben: Der Satz von Picard-Lindelöf garantiert zwar die Existenz von Lösungen, diese sind aber nicht -in Termen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ notierbar! Am Ende des Tages beweisen -wir vielleicht den Satz, dass nur eine verschwindend kleine Nullmenge an -Differenzialgleichungen überhaupt Lösungsformeln erlaubt… +in Termen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ und ihrer Integrale notierbar! Am +Ende des Tages beweisen wir vielleicht den Satz, dass nur eine verschwindend +kleine Nullmenge an Differenzialgleichungen überhaupt Lösungsformeln erlaubt… Wenn Sie mehr wissen wollen, dann schauen Sie einmal in das fantastische Buch -\cite{MR947141}. Und googlen Sie nach ``Galois theory for differential -equations''. +\cite{MR947141}. Und googeln Sie nach „\foreignlanguage{english}{Galois theory +for differential equations}“. \subsection{Reklame für weiterführende Veranstaltungen in Algebra} -Besuchen Sie im SS21 die Vorlesung ``Kommutative Algebra und Algebraische -Geometrie'' und kommen Sie in unser Seminar! +Besuchen Sie bei nächster Gelegenheit die Vorlesung „Kommutative Algebra und +Algebraische Geometrie“ und kommen Sie in unsere Seminare! Es wird oft gesagt, Algebra und Geometrie seien zwei Seiten derselben Medaille. In der Vorlesung machen wir diese Aussage konkret: es gibt eine \emph{Äquivalenz @@ -243,11 +242,11 @@ Gebieten, und jeder Satz der Algebra ist ein Satz der Geometrie und umgekehrt. Der Witz bei dieser Äquivalenz ist, das Algebra gut zum Rechnen ist und Geometrie gut für die Anschauung, durch das Zusammenspiel erhält das Gebiet -seinen Reiz. Dabei ist es natürlich \emph{nicht} immer so, dass ``einfache'' -Begriffe der Algebra besonders ``anschaulichen'' Begriffen der Geometrie +seinen Reiz. Dabei ist es natürlich \emph{nicht} immer so, dass „einfache“ +Begriffe der Algebra besonders „anschaulichen“ Begriffen der Geometrie entsprechen -- manchmal muss man ganz schön arbeiten um zu sehen, was passiert! Auf meiner \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/research-ag/}{Web-Seite} -finden noch ein wenig mehr Propadamaterial. +finden noch ein wenig mehr Propagandamaterial. %%% Local Variables: diff --git a/AlgebraZahlentheorie.tex b/AlgebraZahlentheorie.tex index 1181237..77f7949 100644 --- a/AlgebraZahlentheorie.tex +++ b/AlgebraZahlentheorie.tex @@ -77,7 +77,7 @@ \DeclareMathOperator{\sep}{sep} \DeclareMathOperator{\Stab}{Stab} \DeclareMathOperator{\Zentralisator}{Zentralisator} -\newcommand\video[1]{\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr/download?path=\%2FVideos&files=#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr/download?path=\%2FVideos&files=#1-Skript.pdf}{(Skript)}} +\newcommand\video[1]{\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/#1-Skript.pdf}{(Skript)}} \newcommand{\ifactor}[2]{\left. \raise -2pt\hbox{$#1$} \right\backslash \hskip -2pt\raise +2pt\hbox{$#2$}}