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This commit is contained in:
Stefan Kebekus
parent
ed40ae4c70
commit
e2df9f0dbb
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@ -24,3 +24,8 @@ Zerfällungskörpers
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Sophus
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Beaumont-en-Auge
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Liesche
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Inversenbildung
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Beutelspacher
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Erlärvideo
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nullteilerfrei
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nullteilerfreien
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@ -3,3 +3,13 @@
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QEin großer Teil der Vorlesung „Lineare Algebra II“ befasst sich mit diesem Thema: Jordan-Formen, Basiswechsel, Determinanten, Invarianten, Eigenräume, …\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q… und wie ging die Geschichte aus?.\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWie geht es weiter?.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Assoziativität] Für alle Elemente \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Inverse Elemente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gibt es genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Abgeschlossenheit unter der Gruppenverknüpfung] Für alle Elemente \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Abgeschlossenheit unter Inversenbildung] Für alle Elemente \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Gruppenstruktur von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q] Es ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Abelsche Gruppe.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Assoziativität der Multiplikation] Für alle Elemente \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QVorlesung 2 Ein Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt Schiefkörper, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q invertierbar sind, wenn also \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Unterring, aber kein Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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8
01.tex
8
01.tex
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@ -84,8 +84,8 @@ sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}.
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Als Beispiel konstruieren wir uns ein Fünfeck in vier einfachen Schritten.
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Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion. Auf der
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\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud}
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Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion.
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\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/v1/Konstruktion%20des%20regelm%c3%a4%c3%9figen%205-Eck.ggb}{Hier}
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finden Sie die Konstruktion auch als GeoGebra-Arbeitsblatt.
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\begin{itemize}
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\item Konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im
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@ -114,8 +114,8 @@ zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist!
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Wir betrachten weiterhin Abbildung~\ref{fig:fiveGon} und beginnen mit einer
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Vorüberlegung. Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc.) zeigt,
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dass das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat. Der
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Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich auf der
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\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud}
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Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich
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\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/v1/Kantenl%c3%a4nge%20des%20kleinen%205-Ecks.pdf}{hier}
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für Sie als Scan hinterlegt habe.
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Zurück zur eigentlichen Aussage: wir führen einen Beweis mit Widerspruch und
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52
02.tex
52
02.tex
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@ -51,8 +51,8 @@ Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird.
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\begin{bsp}[Beispiele aus der linearen Algebra]
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Es sei $G = ℤ$, $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ oder irgendein Vektorraum über irgendeinem
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(z.~B.\ der $ℝ$-Vektorraum der stetigen Funktionen über $ℝ → ℝ$, oder
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der komplexe Vektorraum $ℂ[x]$ der Polynome in einer Variablen) und des sei
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||||
(z.~B.\ der $ℝ$-Vektorraum der stetigen Funktionen über $ℝ → ℝ$, oder der
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||||
komplexe Vektorraum $ℂ[x]$ der Polynome in einer Variablen) und des sei
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\begin{equation*}
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m(a,b) := a+b
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\end{equation*}
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@ -71,11 +71,10 @@ Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird.
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\begin{bsp}[Bijektive Abbildungen]
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Es sei $M$ eine nicht-leere Menge und es sei $G$ die Menge der bijektiven
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Abbildungen $M → M$. Weiter sei $◦$ wobei $◦$ die
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Hintereinanderausführung (=''Komposition'') von Abbildungen. Dann ist
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$(G, ◦)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen nicht Abelsch. Wozu brauche ich
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``Bijektivität''? Haben Sie ein Beispiel, wo $(G,◦)$ Abelsch/nicht Abelsch
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ist?
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Abbildungen $M → M$. Weiter sei $◦$ wobei $◦$ die Hintereinanderausführung (=
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„Komposition“) von Abbildungen. Dann ist $(G, ◦)$ eine Gruppe, aber im
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Allgemeinen nicht Abelsch. Wozu brauche ich „Bijektivität“? Haben Sie ein
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Beispiel, wo $(G,◦)$ Abelsch/nicht Abelsch ist?
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Vektorprodukt]
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@ -102,8 +101,8 @@ Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}
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Wenn $(G,m)$ eine Gruppe ist und $U ⊆ G$ eine Untergruppe, dann
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schränkt sich die Gruppenverknüpfung ein zu einer Abbildung
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Wenn $(G,m)$ eine Gruppe ist und $U ⊆ G$ eine Untergruppe, dann schränkt sich
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||||
die Gruppenverknüpfung ein zu einer Abbildung
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\[
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m|_{U⨯ U} : U ⨯ U → U
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\]
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@ -114,15 +113,15 @@ Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird.
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\subsection{Normale Untergruppen}
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Kennen Sie den Begriff der ``normalen Untergruppe''? Falls Sie diesen Begriff
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in den Anfängervorlesungen nicht hatten (oder schon wieder vergessen hatten,
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Kennen Sie den Begriff der „normalen Untergruppe“? Falls Sie diesen Begriff in
|
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den Anfängervorlesungen nicht hatten (oder schon wieder vergessen hatten,
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||||
hüstel) müssen Sie das jetzt \emph{sofort} lernen. Ich empfehle Kapitel 9 von
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Beutelspacher's Buch über lineare Algebra, \cite{BeutelpacherLA}, das Sie sich
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im Universitätsnetz kostenlos herunterladen können.
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Was normale Untergruppen sind und warum man solche Untergruppen überhaupt
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betrachten möchte habe ich in einem kleinen Erlärvideo
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zusammengefasst. \video{1-1}
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betrachten möchte habe ich in einem kleinen Erlärvideo zusammengefasst.
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\video{1-1}
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@ -150,8 +149,8 @@ zusammengefasst. \video{1-1}
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\end{defn}
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\begin{notation}
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Gegeben ein Ring $(R, +, ·)$, dann wird die Verknüpfung ``$+$'' meist als
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Addition und die Verknüpfung ``$·$'' meist als Multiplikation bezeichnet. Das
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Gegeben ein Ring $(R, +, ·)$, dann wird die Verknüpfung „$+$“ meist als
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Addition und die Verknüpfung „$·$“ meist als Multiplikation bezeichnet. Das
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neutrale Element der Addition wird oft mit $0$ oder $0_R$ bezeichnet, das
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neutrale Element der Multiplikation oft mit $1$ oder $1_R$.
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\end{notation}
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@ -160,8 +159,7 @@ zusammengefasst. \video{1-1}
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Die Definitionen sind in der Literatur nicht ganz einheitlich. Manche Autoren
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verzichten bei der Definition von Ringen auf die Forderung, dass ein neutrales
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Element der Multiplikation existiert. Ein Ring wie in
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Definition~\ref{def:ring} wird von diesen Autoren ein ``Ring mit Eins''
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genannt.
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Definition~\ref{def:ring} wird von diesen Autoren ein „Ring mit Eins“ genannt.
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\end{warnung}
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\begin{defn}[Abelsche Ringe]
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@ -178,7 +176,7 @@ zusammengefasst. \video{1-1}
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\begin{bsp}[Quadratische Matrizrn]
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und es sei $R$ die Menge
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der $(n⨯ n)$-Matrizen. Dann bildet $R$ zusammen mit der Matrixaddition
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und Matrixmuliplikation einen Ring. Dieser ist im Allgemeinen nicht
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||||
und Matrixmultiplikation einen Ring. Dieser ist im Allgemeinen nicht
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kommutativ.
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\end{bsp}
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@ -301,10 +299,10 @@ Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen.
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\sideremark{Vorlesung 2}
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\begin{defn}[Schiefkörper, Körper]
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Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$ nicht der Nullring ist und alle
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||||
Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt.
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||||
Ein Schiefkörper heißt \emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch
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||||
kommutativ ist.
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||||
Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$
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nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn
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||||
also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt. Ein Schiefkörper heißt
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||||
\emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch kommutativ ist.
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\end{defn}
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||||
Den Begriff \emph{Unterkörper}\index{Unterkörper} definiert man ganz analog zur
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@ -329,7 +327,7 @@ Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen.
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\begin{notation}[Körpererweiterung]
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Gegeben einen Körper $L$ und einen Unterkörper $K$, spricht man auch von einer
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\emph{Körpererweiterung ``$L$ über $K$''}\index{Körpererweiterung}. Man
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\emph{Körpererweiterung „$L$ über $K$“}\index{Körpererweiterung}. Man
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schreibt oft $L/K$.
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\end{notation}
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@ -345,11 +343,11 @@ werden, um an neue Beispiele zu kommen.
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\[
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S := \bigcap_{i ∈ I} M_i ⊆ L
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\]
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wieder ein Unterköper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser
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wieder ein Unterkörper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser
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Unterkörper die Menge $K$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Adjunktion]\label{bsp:3-1-2b}
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\begin{bsp}[Adjunktion]\label{bsp:3-1-2b}%
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Dies ist eine Variante von Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b}. Wir beginnen mit einer
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gegebenen Körpererweiterung $L/K$, irgendeiner Menge $A ⊂ L$ und betrachten
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alle Unterkörper $M ⊂ L$, die $K ∪ A$ enthalten. Man beobachte, dass es
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@ -359,7 +357,7 @@ werden, um an neue Beispiele zu kommen.
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\bigcap_{\txt{\scriptsize $M ⊆ L$ Unterkörper\\\scriptsize
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$K ∪ A ⊆ M$}} M ⊆ L
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\]
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wieder ein Unterköper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser
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wieder ein Unterkörper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser
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Unterkörper die Menge $K ∪ A$ und ist der kleinste Unterkörper von $L$, der
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die Menge $K ∪ A$ enthält.
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\end{bsp}
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@ -378,7 +376,7 @@ werden, um an neue Beispiele zu kommen.
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schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a_1, …, a_n)$.
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\end{notation}
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\begin{defn}[Einfache Körpererweiterungen]\label{def:einfach}
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\begin{defn}[Einfache Körpererweiterungen]\label{def:einfach}%
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Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
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\emph{einfach}\index{Körpererweiterung!einfach}\index{einfache
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Körpererweiterung}, wenn es ein Element $a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist.
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