From e2df9f0dbb41b1b602e229bd3898792e1371b835 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Wed, 4 Oct 2023 16:02:27 +0200 Subject: [PATCH] Cleanup --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 5 ++ .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 10 ++++ 01.tex | 8 +-- 02.tex | 64 ++++++++++----------- 4 files changed, 50 insertions(+), 37 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 7833610..ff0c0a5 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -24,3 +24,8 @@ Zerfällungskörpers Sophus Beaumont-en-Auge Liesche +Inversenbildung +Beutelspacher +Erlärvideo +nullteilerfrei +nullteilerfreien diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 36fe08a..4faca5d 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -3,3 +3,13 @@ {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QEin großer Teil der Vorlesung „Lineare Algebra II“ befasst sich mit diesem Thema: Jordan-Formen, Basiswechsel, Determinanten, Invarianten, Eigenräume, …\\E$"} {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q… und wie ging die Geschichte aus?.\\E$"} {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWie geht es weiter?.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Assoziativität] Für alle Elemente \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Inverse Elemente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gibt es genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Abgeschlossenheit unter der Gruppenverknüpfung] Für alle Elemente \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Abgeschlossenheit unter Inversenbildung] Für alle Elemente \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Gruppenstruktur von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q] Es ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Abelsche Gruppe.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Assoziativität der Multiplikation] Für alle Elemente \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QVorlesung 2 Ein Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt Schiefkörper, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q invertierbar sind, wenn also \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Unterring, aber kein Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} diff --git a/01.tex b/01.tex index d3e9f45..3e771bc 100644 --- a/01.tex +++ b/01.tex @@ -84,8 +84,8 @@ sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}. Als Beispiel konstruieren wir uns ein Fünfeck in vier einfachen Schritten. -Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion. Auf der -\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud} +Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion. +\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/v1/Konstruktion%20des%20regelm%c3%a4%c3%9figen%205-Eck.ggb}{Hier} finden Sie die Konstruktion auch als GeoGebra-Arbeitsblatt. \begin{itemize} \item Konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im @@ -114,8 +114,8 @@ zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist! Wir betrachten weiterhin Abbildung~\ref{fig:fiveGon} und beginnen mit einer Vorüberlegung. Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc.) zeigt, dass das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat. Der - Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich auf der - \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud} + Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich + \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/v1/Kantenl%c3%a4nge%20des%20kleinen%205-Ecks.pdf}{hier} für Sie als Scan hinterlegt habe. Zurück zur eigentlichen Aussage: wir führen einen Beweis mit Widerspruch und diff --git a/02.tex b/02.tex index cb67667..a55b5f4 100644 --- a/02.tex +++ b/02.tex @@ -50,9 +50,9 @@ Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird. \end{notation} \begin{bsp}[Beispiele aus der linearen Algebra] - Es sei $G = ℤ$, $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ oder irgend ein Vektorraum über irgendeinem - (z.~B.\ der $ℝ$-Vektorraum der stetigen Funktionen über $ℝ → ℝ$, oder - der komplexe Vektorraum $ℂ[x]$ der Polynome in einer Variablen) und des sei + Es sei $G = ℤ$, $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ oder irgendein Vektorraum über irgendeinem + (z.~B.\ der $ℝ$-Vektorraum der stetigen Funktionen über $ℝ → ℝ$, oder der + komplexe Vektorraum $ℂ[x]$ der Polynome in einer Variablen) und des sei \begin{equation*} m(a,b) := a+b \end{equation*} @@ -71,11 +71,10 @@ Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird. \begin{bsp}[Bijektive Abbildungen] Es sei $M$ eine nicht-leere Menge und es sei $G$ die Menge der bijektiven - Abbildungen $M → M$. Weiter sei $◦$ wobei $◦$ die - Hintereinanderausführung (=''Komposition'') von Abbildungen. Dann ist - $(G, ◦)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen nicht Abelsch. Wozu brauche ich - ``Bijektivität''? Haben Sie ein Beispiel, wo $(G,◦)$ Abelsch/nicht Abelsch - ist? + Abbildungen $M → M$. Weiter sei $◦$ wobei $◦$ die Hintereinanderausführung (= + „Komposition“) von Abbildungen. Dann ist $(G, ◦)$ eine Gruppe, aber im + Allgemeinen nicht Abelsch. Wozu brauche ich „Bijektivität“? Haben Sie ein + Beispiel, wo $(G,◦)$ Abelsch/nicht Abelsch ist? \end{bsp} \begin{bsp}[Vektorprodukt] @@ -102,8 +101,8 @@ Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird. \end{defn} \begin{bemerkung} - Wenn $(G,m)$ eine Gruppe ist und $U ⊆ G$ eine Untergruppe, dann - schränkt sich die Gruppenverknüpfung ein zu einer Abbildung + Wenn $(G,m)$ eine Gruppe ist und $U ⊆ G$ eine Untergruppe, dann schränkt sich + die Gruppenverknüpfung ein zu einer Abbildung \[ m|_{U⨯ U} : U ⨯ U → U \] @@ -114,15 +113,15 @@ Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird. \subsection{Normale Untergruppen} -Kennen Sie den Begriff der ``normalen Untergruppe''? Falls Sie diesen Begriff -in den Anfängervorlesungen nicht hatten (oder schon wieder vergessen hatten, +Kennen Sie den Begriff der „normalen Untergruppe“? Falls Sie diesen Begriff in +den Anfängervorlesungen nicht hatten (oder schon wieder vergessen hatten, hüstel) müssen Sie das jetzt \emph{sofort} lernen. Ich empfehle Kapitel 9 von Beutelspacher's Buch über lineare Algebra, \cite{BeutelpacherLA}, das Sie sich im Universitätsnetz kostenlos herunterladen können. Was normale Untergruppen sind und warum man solche Untergruppen überhaupt -betrachten möchte habe ich in einem kleinen Erlärvideo -zusammengefasst. \video{1-1} +betrachten möchte habe ich in einem kleinen Erlärvideo zusammengefasst. +\video{1-1} @@ -150,8 +149,8 @@ zusammengefasst. \video{1-1} \end{defn} \begin{notation} - Gegeben ein Ring $(R, +, ·)$, dann wird die Verknüpfung ``$+$'' meist als - Addition und die Verknüpfung ``$·$'' meist als Multiplikation bezeichnet. Das + Gegeben ein Ring $(R, +, ·)$, dann wird die Verknüpfung „$+$“ meist als + Addition und die Verknüpfung „$·$“ meist als Multiplikation bezeichnet. Das neutrale Element der Addition wird oft mit $0$ oder $0_R$ bezeichnet, das neutrale Element der Multiplikation oft mit $1$ oder $1_R$. \end{notation} @@ -160,8 +159,7 @@ zusammengefasst. \video{1-1} Die Definitionen sind in der Literatur nicht ganz einheitlich. Manche Autoren verzichten bei der Definition von Ringen auf die Forderung, dass ein neutrales Element der Multiplikation existiert. Ein Ring wie in - Definition~\ref{def:ring} wird von diesen Autoren ein ``Ring mit Eins'' - genannt. + Definition~\ref{def:ring} wird von diesen Autoren ein „Ring mit Eins“ genannt. \end{warnung} \begin{defn}[Abelsche Ringe] @@ -178,7 +176,7 @@ zusammengefasst. \video{1-1} \begin{bsp}[Quadratische Matrizrn] Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und es sei $R$ die Menge der $(n⨯ n)$-Matrizen. Dann bildet $R$ zusammen mit der Matrixaddition - und Matrixmuliplikation einen Ring. Dieser ist im Allgemeinen nicht + und Matrixmultiplikation einen Ring. Dieser ist im Allgemeinen nicht kommutativ. \end{bsp} @@ -301,10 +299,10 @@ Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen. \sideremark{Vorlesung 2} \begin{defn}[Schiefkörper, Körper] - Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$ nicht der Nullring ist und alle - Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt. - Ein Schiefkörper heißt \emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch - kommutativ ist. + Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$ + nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn + also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt. Ein Schiefkörper heißt + \emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch kommutativ ist. \end{defn} Den Begriff \emph{Unterkörper}\index{Unterkörper} definiert man ganz analog zur @@ -322,14 +320,14 @@ Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen. \] Die Menge der gebrochen-rationalen Funktionen\index{gebrochen-rationale Funktionen} bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen - Körper, der mit $ℝ(x)$ bezeichnet wird. Die Menge der konstanten Funktionen - ist ein Unterkörper von $ℝ(x)$. Die Menge $ℝ[x]$ ist ein Unterring, aber - kein Unterkörper von $ℝ(x)$. + Körper, der mit $ℝ(x)$ bezeichnet wird. Die Menge der konstanten Funktionen + ist ein Unterkörper von $ℝ(x)$. Die Menge $ℝ[x]$ ist ein Unterring, aber + kein Unterkörper von $ℝ(x)$. \end{bsp} \begin{notation}[Körpererweiterung] Gegeben einen Körper $L$ und einen Unterkörper $K$, spricht man auch von einer - \emph{Körpererweiterung ``$L$ über $K$''}\index{Körpererweiterung}. Man + \emph{Körpererweiterung „$L$ über $K$“}\index{Körpererweiterung}. Man schreibt oft $L/K$. \end{notation} @@ -345,11 +343,11 @@ werden, um an neue Beispiele zu kommen. \[ S := \bigcap_{i ∈ I} M_i ⊆ L \] - wieder ein Unterköper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser + wieder ein Unterkörper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser Unterkörper die Menge $K$. \end{bsp} -\begin{bsp}[Adjunktion]\label{bsp:3-1-2b} +\begin{bsp}[Adjunktion]\label{bsp:3-1-2b}% Dies ist eine Variante von Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b}. Wir beginnen mit einer gegebenen Körpererweiterung $L/K$, irgendeiner Menge $A ⊂ L$ und betrachten alle Unterkörper $M ⊂ L$, die $K ∪ A$ enthalten. Man beobachte, dass es @@ -359,7 +357,7 @@ werden, um an neue Beispiele zu kommen. \bigcap_{\txt{\scriptsize $M ⊆ L$ Unterkörper\\\scriptsize $K ∪ A ⊆ M$}} M ⊆ L \] - wieder ein Unterköper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser + wieder ein Unterkörper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser Unterkörper die Menge $K ∪ A$ und ist der kleinste Unterkörper von $L$, der die Menge $K ∪ A$ enthält. \end{bsp} @@ -378,12 +376,12 @@ werden, um an neue Beispiele zu kommen. schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a_1, …, a_n)$. \end{notation} -\begin{defn}[Einfache Körpererweiterungen]\label{def:einfach} +\begin{defn}[Einfache Körpererweiterungen]\label{def:einfach}% Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{einfach}\index{Körpererweiterung!einfach}\index{einfache - Körpererweiterung}, wenn es ein Element $a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. + Körpererweiterung}, wenn es ein Element $a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. In diesem Zusammenhang nennt man $a$ ein \emph{primitives Element der - Erweiterung $L/K$}\index{primitives Element einer Körpererweiterung}. + Erweiterung $L/K$}\index{primitives Element einer Körpererweiterung}. \end{defn} Weiter unten werden wir einfache Körpererweiterung noch sehr ausführlich