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AlgebraZahlentheorie
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Stefan Kebekus 2023-10-04 16:02:27 +02:00
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5
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt vendored
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@ -24,3 +24,8 @@ Zerfällungskörpers
Sophus Sophus
Beaumont-en-Auge Beaumont-en-Auge
Liesche Liesche
Inversenbildung
Beutelspacher
Erlärvideo
nullteilerfrei
nullteilerfreien

10
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt vendored
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@ -3,3 +3,13 @@
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QEin großer Teil der Vorlesung „Lineare Algebra II“ befasst sich mit diesem Thema: Jordan-Formen, Basiswechsel, Determinanten, Invarianten, Eigenräume, …\\E$"} {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QEin großer Teil der Vorlesung „Lineare Algebra II“ befasst sich mit diesem Thema: Jordan-Formen, Basiswechsel, Determinanten, Invarianten, Eigenräume, …\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q… und wie ging die Geschichte aus?.\\E$"} {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q… und wie ging die Geschichte aus?.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWie geht es weiter?.\\E$"} {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWie geht es weiter?.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Assoziativität] Für alle Elemente \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Inverse Elemente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gibt es genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Abgeschlossenheit unter der Gruppenverknüpfung] Für alle Elemente \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Abgeschlossenheit unter Inversenbildung] Für alle Elemente \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Gruppenstruktur von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q] Es ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Abelsche Gruppe.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Assoziativität der Multiplikation] Für alle Elemente \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QVorlesung 2 Ein Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt Schiefkörper, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q invertierbar sind, wenn also \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Unterring, aber kein Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

8
01.tex
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@ -84,8 +84,8 @@ sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}.
Als Beispiel konstruieren wir uns ein Fünfeck in vier einfachen Schritten. Als Beispiel konstruieren wir uns ein Fünfeck in vier einfachen Schritten.
Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion. Auf der Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion.
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud} \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/v1/Konstruktion%20des%20regelm%c3%a4%c3%9figen%205-Eck.ggb}{Hier}
finden Sie die Konstruktion auch als GeoGebra-Arbeitsblatt. finden Sie die Konstruktion auch als GeoGebra-Arbeitsblatt.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im \item Konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im
@ -114,8 +114,8 @@ zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist!
Wir betrachten weiterhin Abbildung~\ref{fig:fiveGon} und beginnen mit einer Wir betrachten weiterhin Abbildung~\ref{fig:fiveGon} und beginnen mit einer
Vorüberlegung. Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc.) zeigt, Vorüberlegung. Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc.) zeigt,
dass das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat. Der dass das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat. Der
Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich auf der Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud} \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/v1/Kantenl%c3%a4nge%20des%20kleinen%205-Ecks.pdf}{hier}
für Sie als Scan hinterlegt habe. für Sie als Scan hinterlegt habe.
Zurück zur eigentlichen Aussage: wir führen einen Beweis mit Widerspruch und Zurück zur eigentlichen Aussage: wir führen einen Beweis mit Widerspruch und

64
02.tex
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@ -50,9 +50,9 @@ Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird.
\end{notation} \end{notation}
\begin{bsp}[Beispiele aus der linearen Algebra] \begin{bsp}[Beispiele aus der linearen Algebra]
Es sei $G = ℤ$, $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ oder irgend ein Vektorraum über irgendeinem Es sei $G = ℤ$, $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ oder irgendein Vektorraum über irgendeinem
(z.~B.\ der $ℝ$-Vektorraum der stetigen Funktionen über $ℝ → ℝ$, oder (z.~B.\ der $ℝ$-Vektorraum der stetigen Funktionen über $ℝ → ℝ$, oder der
der komplexe Vektorraum $ℂ[x]$ der Polynome in einer Variablen) und des sei komplexe Vektorraum $ℂ[x]$ der Polynome in einer Variablen) und des sei
\begin{equation*} \begin{equation*}
m(a,b) := a+b m(a,b) := a+b
\end{equation*} \end{equation*}
@ -71,11 +71,10 @@ Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird.
\begin{bsp}[Bijektive Abbildungen] \begin{bsp}[Bijektive Abbildungen]
Es sei $M$ eine nicht-leere Menge und es sei $G$ die Menge der bijektiven Es sei $M$ eine nicht-leere Menge und es sei $G$ die Menge der bijektiven
Abbildungen $M → M$. Weiter sei $◦$ wobei $◦$ die Abbildungen $M → M$. Weiter sei $◦$ wobei $◦$ die Hintereinanderausführung (=
Hintereinanderausführung (=''Komposition'') von Abbildungen. Dann ist „Komposition“) von Abbildungen. Dann ist $(G, ◦)$ eine Gruppe, aber im
$(G, ◦)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen nicht Abelsch. Wozu brauche ich Allgemeinen nicht Abelsch. Wozu brauche ich „Bijektivität“? Haben Sie ein
``Bijektivität''? Haben Sie ein Beispiel, wo $(G,◦)$ Abelsch/nicht Abelsch Beispiel, wo $(G,◦)$ Abelsch/nicht Abelsch ist?
ist?
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp}[Vektorprodukt] \begin{bsp}[Vektorprodukt]
@ -102,8 +101,8 @@ Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird.
\end{defn} \end{defn}
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Wenn $(G,m)$ eine Gruppe ist und $U ⊆ G$ eine Untergruppe, dann Wenn $(G,m)$ eine Gruppe ist und $U ⊆ G$ eine Untergruppe, dann schränkt sich
schränkt sich die Gruppenverknüpfung ein zu einer Abbildung die Gruppenverknüpfung ein zu einer Abbildung
\[ \[
m|_{U⨯ U} : U ⨯ U → U m|_{U⨯ U} : U ⨯ U → U
\] \]
@ -114,15 +113,15 @@ Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird.
\subsection{Normale Untergruppen} \subsection{Normale Untergruppen}
Kennen Sie den Begriff der ``normalen Untergruppe''? Falls Sie diesen Begriff Kennen Sie den Begriff der „normalen Untergruppe“? Falls Sie diesen Begriff in
in den Anfängervorlesungen nicht hatten (oder schon wieder vergessen hatten, den Anfängervorlesungen nicht hatten (oder schon wieder vergessen hatten,
hüstel) müssen Sie das jetzt \emph{sofort} lernen. Ich empfehle Kapitel 9 von hüstel) müssen Sie das jetzt \emph{sofort} lernen. Ich empfehle Kapitel 9 von
Beutelspacher's Buch über lineare Algebra, \cite{BeutelpacherLA}, das Sie sich Beutelspacher's Buch über lineare Algebra, \cite{BeutelpacherLA}, das Sie sich
im Universitätsnetz kostenlos herunterladen können. im Universitätsnetz kostenlos herunterladen können.
Was normale Untergruppen sind und warum man solche Untergruppen überhaupt Was normale Untergruppen sind und warum man solche Untergruppen überhaupt
betrachten möchte habe ich in einem kleinen Erlärvideo betrachten möchte habe ich in einem kleinen Erlärvideo zusammengefasst.
zusammengefasst. \video{1-1} \video{1-1}
@ -150,8 +149,8 @@ zusammengefasst. \video{1-1}
\end{defn} \end{defn}
\begin{notation} \begin{notation}
Gegeben ein Ring $(R, +, ·)$, dann wird die Verknüpfung ``$+$'' meist als Gegeben ein Ring $(R, +, ·)$, dann wird die Verknüpfung „$+$“ meist als
Addition und die Verknüpfung ``$·$'' meist als Multiplikation bezeichnet. Das Addition und die Verknüpfung „$·$“ meist als Multiplikation bezeichnet. Das
neutrale Element der Addition wird oft mit $0$ oder $0_R$ bezeichnet, das neutrale Element der Addition wird oft mit $0$ oder $0_R$ bezeichnet, das
neutrale Element der Multiplikation oft mit $1$ oder $1_R$. neutrale Element der Multiplikation oft mit $1$ oder $1_R$.
\end{notation} \end{notation}
@ -160,8 +159,7 @@ zusammengefasst. \video{1-1}
Die Definitionen sind in der Literatur nicht ganz einheitlich. Manche Autoren Die Definitionen sind in der Literatur nicht ganz einheitlich. Manche Autoren
verzichten bei der Definition von Ringen auf die Forderung, dass ein neutrales verzichten bei der Definition von Ringen auf die Forderung, dass ein neutrales
Element der Multiplikation existiert. Ein Ring wie in Element der Multiplikation existiert. Ein Ring wie in
Definition~\ref{def:ring} wird von diesen Autoren ein ``Ring mit Eins'' Definition~\ref{def:ring} wird von diesen Autoren ein „Ring mit Eins“ genannt.
genannt.
\end{warnung} \end{warnung}
\begin{defn}[Abelsche Ringe] \begin{defn}[Abelsche Ringe]
@ -178,7 +176,7 @@ zusammengefasst. \video{1-1}
\begin{bsp}[Quadratische Matrizrn] \begin{bsp}[Quadratische Matrizrn]
Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und es sei $R$ die Menge Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und es sei $R$ die Menge
der $(n⨯ n)$-Matrizen. Dann bildet $R$ zusammen mit der Matrixaddition der $(n⨯ n)$-Matrizen. Dann bildet $R$ zusammen mit der Matrixaddition
und Matrixmuliplikation einen Ring. Dieser ist im Allgemeinen nicht und Matrixmultiplikation einen Ring. Dieser ist im Allgemeinen nicht
kommutativ. kommutativ.
\end{bsp} \end{bsp}
@ -301,10 +299,10 @@ Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen.
\sideremark{Vorlesung 2} \sideremark{Vorlesung 2}
\begin{defn}[Schiefkörper, Körper] \begin{defn}[Schiefkörper, Körper]
Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$ nicht der Nullring ist und alle Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$
Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt. nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn
Ein Schiefkörper heißt \emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt. Ein Schiefkörper heißt
kommutativ ist. \emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch kommutativ ist.
\end{defn} \end{defn}
Den Begriff \emph{Unterkörper}\index{Unterkörper} definiert man ganz analog zur Den Begriff \emph{Unterkörper}\index{Unterkörper} definiert man ganz analog zur
@ -322,14 +320,14 @@ Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen.
\] \]
Die Menge der gebrochen-rationalen Funktionen\index{gebrochen-rationale Die Menge der gebrochen-rationalen Funktionen\index{gebrochen-rationale
Funktionen} bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen Funktionen} bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen
Körper, der mit $ℝ(x)$ bezeichnet wird. Die Menge der konstanten Funktionen Körper, der mit $ℝ(x)$ bezeichnet wird. Die Menge der konstanten Funktionen
ist ein Unterkörper von $ℝ(x)$. Die Menge $ℝ[x]$ ist ein Unterring, aber ist ein Unterkörper von $ℝ(x)$. Die Menge $ℝ[x]$ ist ein Unterring, aber
kein Unterkörper von $ℝ(x)$. kein Unterkörper von $ℝ(x)$.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{notation}[Körpererweiterung] \begin{notation}[Körpererweiterung]
Gegeben einen Körper $L$ und einen Unterkörper $K$, spricht man auch von einer Gegeben einen Körper $L$ und einen Unterkörper $K$, spricht man auch von einer
\emph{Körpererweiterung ``$L$ über $K$''}\index{Körpererweiterung}. Man \emph{Körpererweiterung „$L$ über $K$“}\index{Körpererweiterung}. Man
schreibt oft $L/K$. schreibt oft $L/K$.
\end{notation} \end{notation}
@ -345,11 +343,11 @@ werden, um an neue Beispiele zu kommen.
\[ \[
S := \bigcap_{i ∈ I} M_i ⊆ L S := \bigcap_{i ∈ I} M_i ⊆ L
\] \]
wieder ein Unterköper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser wieder ein Unterkörper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser
Unterkörper die Menge $K$. Unterkörper die Menge $K$.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp}[Adjunktion]\label{bsp:3-1-2b} \begin{bsp}[Adjunktion]\label{bsp:3-1-2b}%
Dies ist eine Variante von Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b}. Wir beginnen mit einer Dies ist eine Variante von Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b}. Wir beginnen mit einer
gegebenen Körpererweiterung $L/K$, irgendeiner Menge $A ⊂ L$ und betrachten gegebenen Körpererweiterung $L/K$, irgendeiner Menge $A ⊂ L$ und betrachten
alle Unterkörper $M ⊂ L$, die $K ∪ A$ enthalten. Man beobachte, dass es alle Unterkörper $M ⊂ L$, die $K ∪ A$ enthalten. Man beobachte, dass es
@ -359,7 +357,7 @@ werden, um an neue Beispiele zu kommen.
\bigcap_{\txt{\scriptsize $M ⊆ L$ Unterkörper\\\scriptsize \bigcap_{\txt{\scriptsize $M ⊆ L$ Unterkörper\\\scriptsize
$K ∪ A ⊆ M$}} M ⊆ L $K ∪ A ⊆ M$}} M ⊆ L
\] \]
wieder ein Unterköper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser wieder ein Unterkörper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser
Unterkörper die Menge $K ∪ A$ und ist der kleinste Unterkörper von $L$, der Unterkörper die Menge $K ∪ A$ und ist der kleinste Unterkörper von $L$, der
die Menge $K ∪ A$ enthält. die Menge $K ∪ A$ enthält.
\end{bsp} \end{bsp}
@ -378,12 +376,12 @@ werden, um an neue Beispiele zu kommen.
schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a_1, …, a_n)$. schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a_1, …, a_n)$.
\end{notation} \end{notation}
\begin{defn}[Einfache Körpererweiterungen]\label{def:einfach} \begin{defn}[Einfache Körpererweiterungen]\label{def:einfach}%
Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
\emph{einfach}\index{Körpererweiterung!einfach}\index{einfache \emph{einfach}\index{Körpererweiterung!einfach}\index{einfache
Körpererweiterung}, wenn es ein Element $a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. Körpererweiterung}, wenn es ein Element $a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist.
In diesem Zusammenhang nennt man $a$ ein \emph{primitives Element der In diesem Zusammenhang nennt man $a$ ein \emph{primitives Element der
Erweiterung $L/K$}\index{primitives Element einer Körpererweiterung}. Erweiterung $L/K$}\index{primitives Element einer Körpererweiterung}.
\end{defn} \end{defn}
Weiter unten werden wir einfache Körpererweiterung noch sehr ausführlich Weiter unten werden wir einfache Körpererweiterung noch sehr ausführlich