kebekus/AlgebraZahlentheorie
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Stefan Kebekus 2023-09-14 13:45:18 +02:00
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@ -0,0 +1,10 @@
konstruierbaren
Ecks
konstruierbar
Arnol
Maulschellen
Duerer
Halbierungspunkt
Viertelungspunkt-Halbierungspunkt
inkommensurabel
Sekantenlänge

158
01.tex
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@ -5,37 +5,37 @@
\begin{quote}
Bei der Darstellung des Materials versuchte der Autor, den
axiomatisch-deduktiven Stil zu vermeiden, dessen charakteristisches
axiomatisch-deduk\-tiven Stil zu vermeiden, dessen charakteristisches
Kennzeichen unmotivierte Definitionen sind, die die fundamentalen Ideen und
Methoden verschleiern und die, Gleichnissen ähnlich, den Schülern nur unter
vier Augen erlautert werden.
vier Augen erläutert werden.
--- Vladimir Arnol'd, Einleitung zu ``Geometrische Methoden in der Theorie der
gewöhnlichen Differenzalgleichungen''
--- Vladimir Arnol'd, Einleitung zu „Geometrische Methoden in der Theorie der
gewöhnlichen Differenzialgleichungen“
\end{quote}
\bigskip
\sideremark{Vorlesung 1}Es gibt mehrere Arten, sich dem Stoff der Vorlesung
``Algebra'' zu nähern. Viele Bücher und Vorlesungen führen der Reihe nach die
„Algebra“ zu nähern. Viele Bücher und Vorlesungen führen der Reihe nach die
Begriffe
\begin{quote}
Gruppe -- Ringe -- Körper -- Körpererweiterungen
\end{quote}
ein, beweisen ganz viele komplizierte Sätze und überraschen dann gegen Ende mit
einigen unerwarteten Anwendungen. Mögen Sie solche Vorlesungen? Ich nicht.
Ich habe langwierigen Lernstoff nie gemocht und konnte mich als Student nur
schwer motivieren, Definitionen auswendig zu lernen die nicht gut motiviert
waren. Das ist doch langweilig!
einigen unerwarteten Anwendungen. Mögen Sie solche Vorlesungen? Ich nicht. Ich
habe langwierigen Lernstoff nie gemocht und konnte mich als Student nur schwer
motivieren, Definitionen auswendig zu lernen die nicht gut motiviert waren. Das
ist doch langweilig!
Ich möchte deshalb anders herum anfangen und gleich mit einem klassischem
Ich möchte deshalb anders herum anfangen und gleich mit einem klassischen
Problem beginnen: Welche geometrischen Figuren kann ich mit Zirkel und Lineal
konstruieren? Und bei welchen geht das nicht? Und wenn es nicht geht, woran
liegt das? Wir werden sofort sehen, dass dieses Problem mit der Frage nach
Körpern und Körpererweiterungen zu tun hat, und dann Kapitel für Kapitel die
notwendige Theorie entwickeln, um diese Fragen zu beantworten. Wir springen also
gleich ins tiefe Wasser. Besorgen Sie sich noch ein paar Bücher und Skripte,
die Ihnen beim Lernen helfen … und auf geht's!
notwendige Theorie entwickeln, um diese Fragen zu beantworten. Wir springen
also gleich ins tiefe Wasser. Besorgen Sie sich noch ein paar Bücher und
Skripte, die Ihnen beim Lernen helfen … und auf geht's!
\section{Das Konstruktionsproblem}
@ -44,29 +44,29 @@ Wir befinden uns am Beginn der hellenistischen Antike. Alexander der Große hat
ein Weltreich errichtet. Wissenschaft und Technik erreichen ein Niveau, das in
den darauf folgenden Jahrhunderten in nie wieder erreicht werden
wird\footnote{Schauen Sie mal in das Buch \cite{Russo05}. Kennen Sie den
\href{https://www.dpma.de/dpma/veroeffentlichungen/meilensteine/antikytera-mechanismus/index.html}{Mechanismus
von Antikythera}?}. In der hellenistischen Technik nimmt die darstellende
\href{https://www.dpma.de/dpma/veroeffentlichungen/meilensteine/antikytera-mechanismus/index.html}{Mechanismus
von Antikythera}?}. In der hellenistischen Technik nimmt die darstellende
Geometrie einen wichtigen Platz ein. Trigonometrische Rechnung war zwar
bekannt, für technische Anwendungen aber nicht immer brauchbar\footnote{Gehen
Sie in die Werkstatt und versuchen Sie, ein brauchbares Rad zu bauen, indem
Sie die Koordinaten von ausreichend vielen Stützpunkten mit $\sin$ und $\cos$
näherungsweise von Hand ausrechnen und dann sorgfältig auf ihr Werkstück
übertragen. Aber Achtung: noch vor wenigen Jahren gab für solchen Unsinn
Maulschellen vom Lehrherrn.}. Tatsächlich kann ein geübter Techniker mit
Zirkel und Lineal erstaunlich genau arbeiten und Dinge konstruieren, die sich
nur schwer berechnen lassen\footnote{Beispiele finden Sie in den absolut
sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}.
Sie in die Werkstatt und versuchen Sie, ein brauchbares Rad zu bauen, indem Sie
die Koordinaten von ausreichend vielen Stützpunkten mit $\sin$ und $\cos$
näherungsweise von Hand ausrechnen und dann sorgfältig auf ihr Werkstück
übertragen. Aber Achtung: noch vor wenigen Jahren gab für solchen Unsinn
Maulschellen vom Lehrherrn.}. Tatsächlich kann ein geübter Techniker mit Zirkel
und Lineal erstaunlich genau arbeiten und Dinge konstruieren, die sich nur
schwer berechnen lassen\footnote{Beispiele finden Sie in den absolut
sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}.
\begin{warnung}
In der hellenistischen Antike hatten Lineale keine cm-Einteilung. Bei
Konstruktionen mit ``Zirkel und Lineal'' kann man keine Lösungen messen oder
Konstruktionen mit „Zirkel und Lineal“ kann man keine Lösungen messen oder
vorgeben. Albrecht
Dürer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Albrecht_Duerer}{Albrecht
Dürer der Jüngere} (auch Duerer; * 21. Mai 1471 in Nürnberg; † 6. April
1528 ebenda) war ein deutscher Maler, Grafiker, Mathematiker und
Kunsttheoretiker.}, der sich natürlich viele Gedanken zum Thema gemacht hat,
Dürer der Jüngere} (auch Duerer; * 21. Mai 1471 in Nürnberg; † 6. April 1528
ebenda) war ein deutscher Maler, Grafiker, Mathematiker und
Kunsttheoretiker.}, der sich natürlich viele Gedanken zum Thema gemacht hat,
schreibt im Titel seines berühmten Buches \cite{Dur25} vielleicht auch deshalb
lieber vom ``Richtscheit''.
lieber vom „Richtscheit“.
\end{warnung}
@ -88,13 +88,13 @@ Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion. Auf der
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud}
finden Sie die Konstruktion auch als GeoGebra-Arbeitsblatt.
\begin{itemize}
\item Man konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im
\item Konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im
Mittelpunkt eines Kreises schneiden.
\item Man halbiere die eine und viertele die andere Achse.
\item Halbiere die eine und viertele die andere Achse.
\item Man schlage einen Kreis mit Vierteilungspunkt als Mittelpunkt und Strecke
Vierteilungspunkt- Halbierungspunkt als Radius.
\item Schlage einen Kreis mit Vierteilungspunkt als Mittelpunkt und Strecke
Viertelungspunkt-Halbierungspunkt als Radius.
\item Die Schnittpunkte des Kreises mit der geviertelten Achse sind orthogonale
Projektionen der Eckpunkte des in dem ursprünglichen Kreis eingeschriebenen
@ -112,24 +112,23 @@ zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist!
\end{satz}
\begin{proof}
Wir betrachten weiterhin Abbildung~\ref{fig:fiveGon} und beginnen mit einer
Vorüberlegung. Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc) zeigt, dass
das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat. Der
Vorüberlegung. Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc.) zeigt,
dass das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat. Der
Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich auf der
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud}
für Sie als Scan hinterlegt habe.
Zurück zur eigentlichen Aussage: wir führen einen Beweis mit Widerspruch und
nehmen an, dass $\frac{d}{a}$ in $ℚ$ sei. Dann gibt es eine Strecke der
Länge $s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen
sind. Die Vorüberlegung zeigt aber, dass
nehmen an, dass $\frac{d}{a}$ in $ℚ$ sei. Dann gibt es eine Strecke der Länge
$s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen sind.
Die Vorüberlegung zeigt aber, dass
\begin{equation*}
d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ^+}·s
\end{equation*}
die Kantenlänge eines kleineren $5$-Eck ist, das eine Sekante der Länge $a$
hat. Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist. Weil
aber $a-(d-a)$ sehr klein ist (genauer, weil es $θ < 1$ gibt mit
$a-(d-a) < θ·a$), und weil wir den Prozess beliebig oft wiederholen
können, ist
die Kantenlänge eines kleineren $5$-Ecks ist, das eine Sekante der Länge $a$
hat. Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist.
Weil aber $a-(d-a)$ sehr klein ist (genauer, weil es $θ < 1$ gibt mit $a-(d-a)
< θ·a$), und weil wir den Prozess beliebig oft wiederholen können, ist
\begin{equation*}
s< θ^k·a
\end{equation*}
@ -148,17 +147,17 @@ Es gibt natürlich noch andere klassische Konstruktionsaufgaben. Ich nenne
einige der berühmtesten Beispiele.
\begin{itemize}
\item Die Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks für alle natürlichen Zahlen
\item Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks für alle natürlichen Zahlen
$n$.\index{Konstruktion!des regelmäßigen $n$-Eck}
\item Die Dreiteilung eines gegebenen Winkels.\index{Konstruktion!Dreiteilung
des Winkels}
\item Dreiteilung eines gegebenen Winkels.\index{Konstruktion!Dreiteilung des
Winkels}
\item Die Verdopplung eines Würfels. Dabei bedeutet Verdoppelung: Das Volumen
soll sich verdoppeln.\index{Konstruktion!Verdoppelung des Würfels}
\item Verdopplung eines Würfels. Dabei bedeutet Verdoppelung: Das Volumen soll
sich verdoppeln.\index{Konstruktion!Verdoppelung des Würfels}
\item Die Quadratur des Kreises. Dabei geht es darum, zu einem gegebenen Kreis
ein Quadrat zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt hat wie der
\item Quadratur des Kreises. Dabei geht es darum, zu einem gegebenen Kreis ein
Quadrat zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt hat wie der
Kreis.\index{Konstruktion!Quadratur des Kreises}
\end{itemize}
@ -172,13 +171,13 @@ komplexen Zahlen. Außerdem müssen wir ein für allemal festlegen, welche
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind.
\begin{notation}
Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ mit $p ≠ q$ sei $\overline{p, q}$ die Gerade durch
$p$ und $q$.
Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ mit $p ≠ q$ sei $\overline{p, q}$ die Gerade durch $p$
und $q$.
\end{notation}
\begin{notation}
Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ sei $K(p, \|p-q\|)$ der Kreis durch $q$ mit
Mittelpunkt $p$.
Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ sei $K(p, \|p-q\|)$ der Kreis durch $q$ mit Mittelpunkt
$p$.
\end{notation}
\begin{defn}[Elementare Konstruktionsschritte]
@ -186,21 +185,21 @@ Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind.
die folgenden Konstruktionen möglich, um neue Punkte zu
konstruieren.\index{Konstruktion!elementarer Schritt}
\begin{itemize}
\item Seien $p_1, q_1, p_2$ und $q_2∈ M$ mit $p_1≠ q_1$ und
$p_2≠ q_2$. Seien außerdem die Geraden $\overline{p_1, q_1}$ und $\overline{p_2, q_2}$ verschieden. Dann sind die Punkte von
$\overline{p_1, q_1} ∩ \overline{p_2, q_2}$ durch den elementaren
Konstruktionsschritt ``Schneiden von zwei Geraden'' mit Zirkel und Lineal
aus der Menge $M$ konstruierbar.
\item Seien $p_1, q_1, p_2$ und $q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$ und $p_2 ≠ q_2$.
Seien außerdem die Geraden $\overline{p_1, q_1}$ und $\overline{p_2, q_2}$
verschieden. Dann sind die Punkte von $\overline{p_1, q_1} ∩ \overline{p_2,
q_2}$ durch den elementaren Konstruktionsschritt „Schneiden von zwei
Geraden“ mit Zirkel und Lineal aus der Menge $M$ konstruierbar.
\item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$. Dann sind die Punkte
von $\overline{p_1, q_1} ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
Konstruktionsschritt ``Gerade mit Kreis schneiden'' mit Zirkel und Lineal
aus der Menge $M$ konstruierbar.
\item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$. Dann sind die Punkte von
$\overline{p_1, q_1} ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
Konstruktionsschritt „Gerade mit Kreis schneiden“ mit Zirkel und Lineal aus
der Menge $M$ konstruierbar.
\item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1≠ p_2$. Dann sind die Punkte
von $K(p_1, \|p_1-q_1\|) ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
Konstruktionsschritt ``Schneiden von zwei Kreisen'' mit Zirkel und Lineal
aus der Menge $M$ konstruierbar.
\item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ p_2$. Dann sind die Punkte von
$K(p_1, \|p_1-q_1\|) ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
Konstruktionsschritt „Schneiden von zwei Kreisen“ mit Zirkel und Lineal aus
der Menge $M$ konstruierbar.
\end{itemize}
\end{defn}
@ -227,18 +226,17 @@ Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind.
\begin{definition}[Konstruierbare Punkte]
Es sei eine beliebige Teilmenge $M ⊂ ℂ$ gegeben. Wir definieren die Menge
\emph{$\Kons(M)$ der mit Zirkel und Lineal aus $M$ konstruierbaren
Punkte}\index{konstruierbare Punkte} wie folgt: Ein Punkt $z ∈ ℂ$ ist genau
Punkte}\index{konstruierbare Punkte} wie folgt: Ein Punkt $z ∈ ℂ$ ist genau
dann in $\Kons(M)$ enthalten, wenn es eine endliche Kette von Mengen
\[
M = M_0 ⊂ M_1⊂ ⋯ ⊂ M_n
M = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ⋯ ⊂ M_n
\]
gibt, sodass folgendes gilt.
\begin{itemize}
\item Es ist $z ∈ M_n$.
\item Für jeden Index $i < n$ und jeden Punkt $p ∈ M_{i+1}$ gilt: $p$
entsteht durch einen elementaren Konstruktionsschritt aus den Punkten von
$M_i$.
\item Für jeden Index $i < n$ und jeden Punkt $p ∈ M_{i+1}$ gilt: $p$ entsteht
durch einen elementaren Konstruktionsschritt aus den Punkten von $M_i$.
\end{itemize}
\end{definition}
@ -252,16 +250,16 @@ Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind.
Die im Abschnitt~\ref{sec:1-1-2} angesprochenen klassischen
Konstruktionsaufgaben lassen sich in dieser Sprache wie folgt formulieren.
\begin{itemize}
\item Die Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks: Gegeben $n ∈ ℕ$, ist dann
auch die komplexe Zahl $e^{(2π i)/n}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
\item Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks: Gegeben $n ∈ ℕ$, ist dann auch
die komplexe Zahl $e^{(2π i)/n}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
\item Die Dreiteilung eines gegebenen Winkels: gegeben eine reelle Zahl
$\varphi ∈ (0,2π)$, ist dann auch die komplexe Zahl $e^{(\varphi i)/3}$ in
\item Dreiteilung eines gegebenen Winkels: gegeben eine reelle Zahl $\varphi ∈
(0,2π)$, ist dann auch die komplexe Zahl $e^{(\varphi i)/3}$ in
$\Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$?
\item Die Verdopplung des Würfels: ist $\sqrt[3]{2}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
\item Verdopplung des Würfels: ist $\sqrt[3]{2}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
\item Die Quadratur des Kreises: ist $\sqrt{π}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
\item Quadratur des Kreises: ist $\sqrt{π}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
\end{itemize}
\end{bsp}
@ -271,9 +269,9 @@ herstellt: Die Frage nach der Konstruierbarkeit wird auf die Frage
zurückgeführt, wie die Unterkörper von $ℂ$ aussehen, und wie Unterkörper
ineinander enthalten sein können.
\begin{satz}[Mengen von konstruierbaren Punkten sind Unterkörper]\label{satz:1-2-9}
Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Teilmenge, die die Zahlen $0$ und $1$ enthält.
Dann ist $\Kons(M)$ ein Unterkörper von $ℂ$.
\begin{satz}[Mengen von konstruierbaren Punkten sind Unterkörper]\label{satz:1-2-9}%
Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Teilmenge, die die Zahlen $0$ und $1$ enthält. Dann ist
$\Kons(M)$ ein Unterkörper von $ℂ$.
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis durch Übungsaufgabe]
Wir müssen zeigen, dass für alle Zahlen $x$, $y ∈ \Kons(M)$ auch die Zahlen

13
AlgebraZahlentheorie.tex
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@ -194,7 +194,7 @@ Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc
etc. Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren,
oder den Service CoCals verwenden.
oder den Service CoCalc verwenden.
\subsubsection*{CoCalc}
@ -262,14 +262,21 @@ Server rechnen.
\clearpage
\appendix
\part{Anhang}
\listoffigures
\listoftables
\addchap{Lizenz}
Dieser Text ist unter der Lizenz
\href{https://creativecommons.org/licenses/by/4.0}{CC-BY 4.0} verfügbar.
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