diff --git a/.gitignore b/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..7b3e20c --- /dev/null +++ b/.gitignore @@ -0,0 +1,19 @@ +public +*.aux +*.bbl +*.blg +*.brf +*.fdb_latexmk +*.fls +*.idx +*.ilg +*.ind +*.loa +*.lof +*.log +*.lot +*.out +*.pdf +*.synctex(busy) +*.synctex.gz +*.toc diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt new file mode 100644 index 0000000..2e21a3f --- /dev/null +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -0,0 +1,10 @@ +konstruierbaren +Ecks +konstruierbar +Arnol +Maulschellen +Duerer +Halbierungspunkt +Viertelungspunkt-Halbierungspunkt +inkommensurabel +Sekantenlänge diff --git a/01.tex b/01.tex index 03964cb..d3e9f45 100644 --- a/01.tex +++ b/01.tex @@ -5,37 +5,37 @@ \begin{quote} Bei der Darstellung des Materials versuchte der Autor, den - axiomatisch-deduktiven Stil zu vermeiden, dessen charakteristisches + axiomatisch-deduk\-tiven Stil zu vermeiden, dessen charakteristisches Kennzeichen unmotivierte Definitionen sind, die die fundamentalen Ideen und Methoden verschleiern und die, Gleichnissen ähnlich, den Schülern nur unter - vier Augen erlautert werden. + vier Augen erläutert werden. - --- Vladimir Arnol'd, Einleitung zu ``Geometrische Methoden in der Theorie der - gewöhnlichen Differenzalgleichungen'' + --- Vladimir Arnol'd, Einleitung zu „Geometrische Methoden in der Theorie der + gewöhnlichen Differenzialgleichungen“ \end{quote} \bigskip \sideremark{Vorlesung 1}Es gibt mehrere Arten, sich dem Stoff der Vorlesung -``Algebra'' zu nähern. Viele Bücher und Vorlesungen führen der Reihe nach die +„Algebra“ zu nähern. Viele Bücher und Vorlesungen führen der Reihe nach die Begriffe \begin{quote} Gruppe -- Ringe -- Körper -- Körpererweiterungen \end{quote} ein, beweisen ganz viele komplizierte Sätze und überraschen dann gegen Ende mit -einigen unerwarteten Anwendungen. Mögen Sie solche Vorlesungen? Ich nicht. -Ich habe langwierigen Lernstoff nie gemocht und konnte mich als Student nur -schwer motivieren, Definitionen auswendig zu lernen die nicht gut motiviert -waren. Das ist doch langweilig! +einigen unerwarteten Anwendungen. Mögen Sie solche Vorlesungen? Ich nicht. Ich +habe langwierigen Lernstoff nie gemocht und konnte mich als Student nur schwer +motivieren, Definitionen auswendig zu lernen die nicht gut motiviert waren. Das +ist doch langweilig! -Ich möchte deshalb anders herum anfangen und gleich mit einem klassischem +Ich möchte deshalb anders herum anfangen und gleich mit einem klassischen Problem beginnen: Welche geometrischen Figuren kann ich mit Zirkel und Lineal konstruieren? Und bei welchen geht das nicht? Und wenn es nicht geht, woran liegt das? Wir werden sofort sehen, dass dieses Problem mit der Frage nach Körpern und Körpererweiterungen zu tun hat, und dann Kapitel für Kapitel die -notwendige Theorie entwickeln, um diese Fragen zu beantworten. Wir springen also -gleich ins tiefe Wasser. Besorgen Sie sich noch ein paar Bücher und Skripte, -die Ihnen beim Lernen helfen … und auf geht's! +notwendige Theorie entwickeln, um diese Fragen zu beantworten. Wir springen +also gleich ins tiefe Wasser. Besorgen Sie sich noch ein paar Bücher und +Skripte, die Ihnen beim Lernen helfen … und auf geht's! \section{Das Konstruktionsproblem} @@ -44,29 +44,29 @@ Wir befinden uns am Beginn der hellenistischen Antike. Alexander der Große hat ein Weltreich errichtet. Wissenschaft und Technik erreichen ein Niveau, das in den darauf folgenden Jahrhunderten in nie wieder erreicht werden wird\footnote{Schauen Sie mal in das Buch \cite{Russo05}. Kennen Sie den - \href{https://www.dpma.de/dpma/veroeffentlichungen/meilensteine/antikytera-mechanismus/index.html}{Mechanismus - von Antikythera}?}. In der hellenistischen Technik nimmt die darstellende +\href{https://www.dpma.de/dpma/veroeffentlichungen/meilensteine/antikytera-mechanismus/index.html}{Mechanismus +von Antikythera}?}. In der hellenistischen Technik nimmt die darstellende Geometrie einen wichtigen Platz ein. Trigonometrische Rechnung war zwar bekannt, für technische Anwendungen aber nicht immer brauchbar\footnote{Gehen - Sie in die Werkstatt und versuchen Sie, ein brauchbares Rad zu bauen, indem - Sie die Koordinaten von ausreichend vielen Stützpunkten mit $\sin$ und $\cos$ - näherungsweise von Hand ausrechnen und dann sorgfältig auf ihr Werkstück - übertragen. Aber Achtung: noch vor wenigen Jahren gab für solchen Unsinn - Maulschellen vom Lehrherrn.}. Tatsächlich kann ein geübter Techniker mit -Zirkel und Lineal erstaunlich genau arbeiten und Dinge konstruieren, die sich -nur schwer berechnen lassen\footnote{Beispiele finden Sie in den absolut - sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}. +Sie in die Werkstatt und versuchen Sie, ein brauchbares Rad zu bauen, indem Sie +die Koordinaten von ausreichend vielen Stützpunkten mit $\sin$ und $\cos$ +näherungsweise von Hand ausrechnen und dann sorgfältig auf ihr Werkstück +übertragen. Aber Achtung: noch vor wenigen Jahren gab für solchen Unsinn +Maulschellen vom Lehrherrn.}. Tatsächlich kann ein geübter Techniker mit Zirkel +und Lineal erstaunlich genau arbeiten und Dinge konstruieren, die sich nur +schwer berechnen lassen\footnote{Beispiele finden Sie in den absolut +sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}. \begin{warnung} In der hellenistischen Antike hatten Lineale keine cm-Einteilung. Bei - Konstruktionen mit ``Zirkel und Lineal'' kann man keine Lösungen messen oder + Konstruktionen mit „Zirkel und Lineal“ kann man keine Lösungen messen oder vorgeben. Albrecht Dürer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Albrecht_Duerer}{Albrecht - Dürer der Jüngere} (auch Duerer; * 21. Mai 1471 in Nürnberg; † 6. April - 1528 ebenda) war ein deutscher Maler, Grafiker, Mathematiker und - Kunsttheoretiker.}, der sich natürlich viele Gedanken zum Thema gemacht hat, + Dürer der Jüngere} (auch Duerer; * 21. Mai 1471 in Nürnberg; † 6. April 1528 + ebenda) war ein deutscher Maler, Grafiker, Mathematiker und + Kunsttheoretiker.}, der sich natürlich viele Gedanken zum Thema gemacht hat, schreibt im Titel seines berühmten Buches \cite{Dur25} vielleicht auch deshalb - lieber vom ``Richtscheit''. + lieber vom „Richtscheit“. \end{warnung} @@ -88,13 +88,13 @@ Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion. Auf der \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud} finden Sie die Konstruktion auch als GeoGebra-Arbeitsblatt. \begin{itemize} -\item Man konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im +\item Konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im Mittelpunkt eines Kreises schneiden. -\item Man halbiere die eine und viertele die andere Achse. +\item Halbiere die eine und viertele die andere Achse. -\item Man schlage einen Kreis mit Vierteilungspunkt als Mittelpunkt und Strecke - Vierteilungspunkt- Halbierungspunkt als Radius. +\item Schlage einen Kreis mit Vierteilungspunkt als Mittelpunkt und Strecke + Viertelungspunkt-Halbierungspunkt als Radius. \item Die Schnittpunkte des Kreises mit der geviertelten Achse sind orthogonale Projektionen der Eckpunkte des in dem ursprünglichen Kreis eingeschriebenen @@ -112,24 +112,23 @@ zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist! \end{satz} \begin{proof} Wir betrachten weiterhin Abbildung~\ref{fig:fiveGon} und beginnen mit einer - Vorüberlegung. Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc) zeigt, dass - das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat. Der + Vorüberlegung. Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc.) zeigt, + dass das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat. Der Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich auf der \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud} für Sie als Scan hinterlegt habe. Zurück zur eigentlichen Aussage: wir führen einen Beweis mit Widerspruch und - nehmen an, dass $\frac{d}{a}$ in $ℚ$ sei. Dann gibt es eine Strecke der - Länge $s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen - sind. Die Vorüberlegung zeigt aber, dass + nehmen an, dass $\frac{d}{a}$ in $ℚ$ sei. Dann gibt es eine Strecke der Länge + $s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen sind. + Die Vorüberlegung zeigt aber, dass \begin{equation*} d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ^+}·s \end{equation*} - die Kantenlänge eines kleineren $5$-Eck ist, das eine Sekante der Länge $a$ - hat. Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist. Weil - aber $a-(d-a)$ sehr klein ist (genauer, weil es $θ < 1$ gibt mit - $a-(d-a) < θ·a$), und weil wir den Prozess beliebig oft wiederholen - können, ist + die Kantenlänge eines kleineren $5$-Ecks ist, das eine Sekante der Länge $a$ + hat. Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist. + Weil aber $a-(d-a)$ sehr klein ist (genauer, weil es $θ < 1$ gibt mit $a-(d-a) + < θ·a$), und weil wir den Prozess beliebig oft wiederholen können, ist \begin{equation*} s< θ^k·a \end{equation*} @@ -148,17 +147,17 @@ Es gibt natürlich noch andere klassische Konstruktionsaufgaben. Ich nenne einige der berühmtesten Beispiele. \begin{itemize} -\item Die Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks für alle natürlichen Zahlen +\item Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks für alle natürlichen Zahlen $n$.\index{Konstruktion!des regelmäßigen $n$-Eck} -\item Die Dreiteilung eines gegebenen Winkels.\index{Konstruktion!Dreiteilung - des Winkels} +\item Dreiteilung eines gegebenen Winkels.\index{Konstruktion!Dreiteilung des + Winkels} -\item Die Verdopplung eines Würfels. Dabei bedeutet Verdoppelung: Das Volumen - soll sich verdoppeln.\index{Konstruktion!Verdoppelung des Würfels} +\item Verdopplung eines Würfels. Dabei bedeutet Verdoppelung: Das Volumen soll + sich verdoppeln.\index{Konstruktion!Verdoppelung des Würfels} -\item Die Quadratur des Kreises. Dabei geht es darum, zu einem gegebenen Kreis - ein Quadrat zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt hat wie der +\item Quadratur des Kreises. Dabei geht es darum, zu einem gegebenen Kreis ein + Quadrat zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt hat wie der Kreis.\index{Konstruktion!Quadratur des Kreises} \end{itemize} @@ -172,13 +171,13 @@ komplexen Zahlen. Außerdem müssen wir ein für allemal festlegen, welche Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind. \begin{notation} - Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ mit $p ≠ q$ sei $\overline{p, q}$ die Gerade durch - $p$ und $q$. + Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ mit $p ≠ q$ sei $\overline{p, q}$ die Gerade durch $p$ + und $q$. \end{notation} \begin{notation} - Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ sei $K(p, \|p-q\|)$ der Kreis durch $q$ mit - Mittelpunkt $p$. + Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ sei $K(p, \|p-q\|)$ der Kreis durch $q$ mit Mittelpunkt + $p$. \end{notation} \begin{defn}[Elementare Konstruktionsschritte] @@ -186,21 +185,21 @@ Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind. die folgenden Konstruktionen möglich, um neue Punkte zu konstruieren.\index{Konstruktion!elementarer Schritt} \begin{itemize} - \item Seien $p_1, q_1, p_2$ und $q_2∈ M$ mit $p_1≠ q_1$ und - $p_2≠ q_2$. Seien außerdem die Geraden $\overline{p_1, q_1}$ und $\overline{p_2, q_2}$ verschieden. Dann sind die Punkte von - $\overline{p_1, q_1} ∩ \overline{p_2, q_2}$ durch den elementaren - Konstruktionsschritt ``Schneiden von zwei Geraden'' mit Zirkel und Lineal - aus der Menge $M$ konstruierbar. + \item Seien $p_1, q_1, p_2$ und $q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$ und $p_2 ≠ q_2$. + Seien außerdem die Geraden $\overline{p_1, q_1}$ und $\overline{p_2, q_2}$ + verschieden. Dann sind die Punkte von $\overline{p_1, q_1} ∩ \overline{p_2, + q_2}$ durch den elementaren Konstruktionsschritt „Schneiden von zwei + Geraden“ mit Zirkel und Lineal aus der Menge $M$ konstruierbar. - \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$. Dann sind die Punkte - von $\overline{p_1, q_1} ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren - Konstruktionsschritt ``Gerade mit Kreis schneiden'' mit Zirkel und Lineal - aus der Menge $M$ konstruierbar. + \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$. Dann sind die Punkte von + $\overline{p_1, q_1} ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren + Konstruktionsschritt „Gerade mit Kreis schneiden“ mit Zirkel und Lineal aus + der Menge $M$ konstruierbar. - \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1≠ p_2$. Dann sind die Punkte - von $K(p_1, \|p_1-q_1\|) ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren - Konstruktionsschritt ``Schneiden von zwei Kreisen'' mit Zirkel und Lineal - aus der Menge $M$ konstruierbar. + \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ p_2$. Dann sind die Punkte von + $K(p_1, \|p_1-q_1\|) ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren + Konstruktionsschritt „Schneiden von zwei Kreisen“ mit Zirkel und Lineal aus + der Menge $M$ konstruierbar. \end{itemize} \end{defn} @@ -227,18 +226,17 @@ Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind. \begin{definition}[Konstruierbare Punkte] Es sei eine beliebige Teilmenge $M ⊂ ℂ$ gegeben. Wir definieren die Menge \emph{$\Kons(M)$ der mit Zirkel und Lineal aus $M$ konstruierbaren - Punkte}\index{konstruierbare Punkte} wie folgt: Ein Punkt $z ∈ ℂ$ ist genau + Punkte}\index{konstruierbare Punkte} wie folgt: Ein Punkt $z ∈ ℂ$ ist genau dann in $\Kons(M)$ enthalten, wenn es eine endliche Kette von Mengen \[ - M = M_0 ⊂ M_1⊂ ⋯ ⊂ M_n + M = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ⋯ ⊂ M_n \] gibt, sodass folgendes gilt. \begin{itemize} \item Es ist $z ∈ M_n$. - \item Für jeden Index $i < n$ und jeden Punkt $p ∈ M_{i+1}$ gilt: $p$ - entsteht durch einen elementaren Konstruktionsschritt aus den Punkten von - $M_i$. + \item Für jeden Index $i < n$ und jeden Punkt $p ∈ M_{i+1}$ gilt: $p$ entsteht + durch einen elementaren Konstruktionsschritt aus den Punkten von $M_i$. \end{itemize} \end{definition} @@ -252,16 +250,16 @@ Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind. Die im Abschnitt~\ref{sec:1-1-2} angesprochenen klassischen Konstruktionsaufgaben lassen sich in dieser Sprache wie folgt formulieren. \begin{itemize} - \item Die Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks: Gegeben $n ∈ ℕ$, ist dann - auch die komplexe Zahl $e^{(2π i)/n}$ in $\Kons(\{0,1\})$? + \item Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks: Gegeben $n ∈ ℕ$, ist dann auch + die komplexe Zahl $e^{(2π i)/n}$ in $\Kons(\{0,1\})$? - \item Die Dreiteilung eines gegebenen Winkels: gegeben eine reelle Zahl - $\varphi ∈ (0,2π)$, ist dann auch die komplexe Zahl $e^{(\varphi i)/3}$ in + \item Dreiteilung eines gegebenen Winkels: gegeben eine reelle Zahl $\varphi ∈ + (0,2π)$, ist dann auch die komplexe Zahl $e^{(\varphi i)/3}$ in $\Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$? - \item Die Verdopplung des Würfels: ist $\sqrt[3]{2}$ in $\Kons(\{0,1\})$? + \item Verdopplung des Würfels: ist $\sqrt[3]{2}$ in $\Kons(\{0,1\})$? - \item Die Quadratur des Kreises: ist $\sqrt{π}$ in $\Kons(\{0,1\})$? + \item Quadratur des Kreises: ist $\sqrt{π}$ in $\Kons(\{0,1\})$? \end{itemize} \end{bsp} @@ -271,9 +269,9 @@ herstellt: Die Frage nach der Konstruierbarkeit wird auf die Frage zurückgeführt, wie die Unterkörper von $ℂ$ aussehen, und wie Unterkörper ineinander enthalten sein können. -\begin{satz}[Mengen von konstruierbaren Punkten sind Unterkörper]\label{satz:1-2-9} - Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Teilmenge, die die Zahlen $0$ und $1$ enthält. - Dann ist $\Kons(M)$ ein Unterkörper von $ℂ$. +\begin{satz}[Mengen von konstruierbaren Punkten sind Unterkörper]\label{satz:1-2-9}% + Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Teilmenge, die die Zahlen $0$ und $1$ enthält. Dann ist + $\Kons(M)$ ein Unterkörper von $ℂ$. \end{satz} \begin{proof}[Beweis durch Übungsaufgabe] Wir müssen zeigen, dass für alle Zahlen $x$, $y ∈ \Kons(M)$ auch die Zahlen diff --git a/AlgebraZahlentheorie.tex b/AlgebraZahlentheorie.tex index adac75a..43b74cc 100644 --- a/AlgebraZahlentheorie.tex +++ b/AlgebraZahlentheorie.tex @@ -194,7 +194,7 @@ Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc etc. Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren, -oder den Service CoCals verwenden. +oder den Service CoCalc verwenden. \subsubsection*{CoCalc} @@ -262,14 +262,21 @@ Server rechnen. \clearpage +\appendix +\part{Anhang} + \listoffigures \listoftables +\addchap{Lizenz} + +Dieser Text ist unter der Lizenz +\href{https://creativecommons.org/licenses/by/4.0}{CC-BY 4.0} verfügbar. + + \printindex \bibstyle{alpha} \bibliographystyle{alpha} \bibliography{bibliography/general} - - \end{document} diff --git a/gfx/Strategyforproof.pdf b/gfx/Strategyforproof.pdf deleted file mode 100644 index 563b41e..0000000 Binary files a/gfx/Strategyforproof.pdf and /dev/null differ