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.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -0,0 +1,10 @@
+konstruierbaren
+Ecks
+konstruierbar
+Arnol
+Maulschellen
+Duerer
+Halbierungspunkt
+Viertelungspunkt-Halbierungspunkt
+inkommensurabel
+Sekantenlänge

01.tex

@@ -5,37 +5,37 @@
 
 \begin{quote}
   Bei der Darstellung des Materials versuchte der Autor, den
-  axiomatisch-deduktiven Stil zu vermeiden, dessen charakteristisches
+  axiomatisch-deduk\-tiven Stil zu vermeiden, dessen charakteristisches
   Kennzeichen unmotivierte Definitionen sind, die die fundamentalen Ideen und
   Methoden verschleiern und die, Gleichnissen ähnlich, den Schülern nur unter
-  vier Augen erlautert werden.
+  vier Augen erläutert werden.
 
-  --- Vladimir Arnol'd, Einleitung zu ``Geometrische Methoden in der Theorie der
+  --- Vladimir Arnol'd, Einleitung zu „Geometrische Methoden in der Theorie der
-  gewöhnlichen Differenzalgleichungen''
+  gewöhnlichen Differenzialgleichungen“
 \end{quote}
 
 \bigskip
 
 \sideremark{Vorlesung 1}Es gibt mehrere Arten, sich dem Stoff der Vorlesung
-``Algebra'' zu nähern.  Viele Bücher und Vorlesungen führen der Reihe nach die
+„Algebra“ zu nähern.  Viele Bücher und Vorlesungen führen der Reihe nach die
 Begriffe
 \begin{quote}
   Gruppe -- Ringe -- Körper -- Körpererweiterungen
 \end{quote}
 ein, beweisen ganz viele komplizierte Sätze und überraschen dann gegen Ende mit
-einigen unerwarteten Anwendungen.  Mögen Sie solche Vorlesungen?  Ich nicht.
+einigen unerwarteten Anwendungen.  Mögen Sie solche Vorlesungen?  Ich nicht. Ich
-Ich habe langwierigen Lernstoff nie gemocht und konnte mich als Student nur
+habe langwierigen Lernstoff nie gemocht und konnte mich als Student nur schwer
-schwer motivieren, Definitionen auswendig zu lernen die nicht gut motiviert
+motivieren, Definitionen auswendig zu lernen die nicht gut motiviert waren.  Das
-waren.  Das ist doch langweilig!
+ist doch langweilig!
 
-Ich möchte deshalb anders herum anfangen und gleich mit einem klassischem
+Ich möchte deshalb anders herum anfangen und gleich mit einem klassischen
 Problem beginnen: Welche geometrischen Figuren kann ich mit Zirkel und Lineal
 konstruieren?  Und bei welchen geht das nicht?  Und wenn es nicht geht, woran
 liegt das?  Wir werden sofort sehen, dass dieses Problem mit der Frage nach
 Körpern und Körpererweiterungen zu tun hat, und dann Kapitel für Kapitel die
-notwendige Theorie entwickeln, um diese Fragen zu beantworten.  Wir springen also
+notwendige Theorie entwickeln, um diese Fragen zu beantworten.  Wir springen
-gleich ins tiefe Wasser.  Besorgen Sie sich noch ein paar Bücher und Skripte,
+also gleich ins tiefe Wasser.  Besorgen Sie sich noch ein paar Bücher und
-die Ihnen beim Lernen helfen … und auf geht's!
+Skripte, die Ihnen beim Lernen helfen … und auf geht's!
 
 
 \section{Das Konstruktionsproblem}
@@ -44,29 +44,29 @@ Wir befinden uns am Beginn der hellenistischen Antike.  Alexander der Große hat
 ein Weltreich errichtet.  Wissenschaft und Technik erreichen ein Niveau, das in
 den darauf folgenden Jahrhunderten in nie wieder erreicht werden
 wird\footnote{Schauen Sie mal in das Buch \cite{Russo05}.  Kennen Sie den
-  \href{https://www.dpma.de/dpma/veroeffentlichungen/meilensteine/antikytera-mechanismus/index.html}{Mechanismus
+\href{https://www.dpma.de/dpma/veroeffentlichungen/meilensteine/antikytera-mechanismus/index.html}{Mechanismus
-    von Antikythera}?}.  In der hellenistischen Technik nimmt die darstellende
+von Antikythera}?}.  In der hellenistischen Technik nimmt die darstellende
 Geometrie einen wichtigen Platz ein.  Trigonometrische Rechnung war zwar
 bekannt, für technische Anwendungen aber nicht immer brauchbar\footnote{Gehen
-  Sie in die Werkstatt und versuchen Sie, ein brauchbares Rad zu bauen, indem
+Sie in die Werkstatt und versuchen Sie, ein brauchbares Rad zu bauen, indem Sie
-  Sie die Koordinaten von ausreichend vielen Stützpunkten mit $\sin$ und $\cos$
+die Koordinaten von ausreichend vielen Stützpunkten mit $\sin$ und $\cos$
-  näherungsweise von Hand ausrechnen und dann sorgfältig auf ihr Werkstück
+näherungsweise von Hand ausrechnen und dann sorgfältig auf ihr Werkstück
-  übertragen.  Aber Achtung: noch vor wenigen Jahren gab für solchen Unsinn
+übertragen.  Aber Achtung: noch vor wenigen Jahren gab für solchen Unsinn
-  Maulschellen vom Lehrherrn.}.  Tatsächlich kann ein geübter Techniker mit
+Maulschellen vom Lehrherrn.}.  Tatsächlich kann ein geübter Techniker mit Zirkel
-Zirkel und Lineal erstaunlich genau arbeiten und Dinge konstruieren, die sich
+und Lineal erstaunlich genau arbeiten und Dinge konstruieren, die sich nur
-nur schwer berechnen lassen\footnote{Beispiele finden Sie in den absolut
+schwer berechnen lassen\footnote{Beispiele finden Sie in den absolut
-  sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}.
+sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}.
 
 \begin{warnung}
   In der hellenistischen Antike hatten Lineale keine cm-Einteilung.  Bei
-  Konstruktionen mit ``Zirkel und Lineal'' kann man keine Lösungen messen oder
+  Konstruktionen mit „Zirkel und Lineal“ kann man keine Lösungen messen oder
   vorgeben.  Albrecht
   Dürer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Albrecht_Duerer}{Albrecht
-      Dürer der Jüngere} (auch Duerer; * 21.  Mai 1471 in Nürnberg; † 6.  April
+  Dürer der Jüngere} (auch Duerer; * 21.  Mai 1471 in Nürnberg; † 6.  April 1528
-    1528 ebenda) war ein deutscher Maler, Grafiker, Mathematiker und
+  ebenda) war ein deutscher Maler, Grafiker, Mathematiker und
-    Kunsttheoretiker.}, der sich natürlich viele Gedanken zum Thema gemacht hat,
+  Kunsttheoretiker.}, der sich natürlich viele Gedanken zum Thema gemacht hat,
   schreibt im Titel seines berühmten Buches \cite{Dur25} vielleicht auch deshalb
-  lieber vom ``Richtscheit''.
+  lieber vom „Richtscheit“.
 \end{warnung}
 
 
@@ -88,13 +88,13 @@ Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion.  Auf der
 \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud}
 finden Sie die Konstruktion auch als GeoGebra-Arbeitsblatt.
 \begin{itemize}
-\item Man konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im
+\item Konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im
   Mittelpunkt eines Kreises schneiden.
 
-\item Man halbiere die eine und viertele die andere Achse.
+\item Halbiere die eine und viertele die andere Achse.
 
-\item Man schlage einen Kreis mit Vierteilungspunkt als Mittelpunkt und Strecke
+\item Schlage einen Kreis mit Vierteilungspunkt als Mittelpunkt und Strecke
-  Vierteilungspunkt- Halbierungspunkt als Radius.
+  Viertelungspunkt-Halbierungspunkt als Radius.
     
 \item Die Schnittpunkte des Kreises mit der geviertelten Achse sind orthogonale
   Projektionen der Eckpunkte des in dem ursprünglichen Kreis eingeschriebenen
@@ -112,24 +112,23 @@ zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist!
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Wir betrachten weiterhin Abbildung~\ref{fig:fiveGon} und beginnen mit einer
-  Vorüberlegung.  Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc) zeigt, dass
+  Vorüberlegung.  Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc.) zeigt,
-  das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat.  Der
+  dass das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat.  Der
   Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich auf der
   \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud}
   für Sie als Scan hinterlegt habe.
 
   Zurück zur eigentlichen Aussage: wir führen einen Beweis mit Widerspruch und
-  nehmen an, dass $\frac{d}{a}$ in $ℚ$ sei.  Dann gibt es eine Strecke der
+  nehmen an, dass $\frac{d}{a}$ in $ℚ$ sei.  Dann gibt es eine Strecke der Länge
-  Länge $s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen
+  $s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen sind.
-  sind.  Die Vorüberlegung zeigt aber, dass
+  Die Vorüberlegung zeigt aber, dass
   \begin{equation*}
     d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ^+}·s
   \end{equation*}
-  die Kantenlänge eines kleineren $5$-Eck ist, das eine Sekante der Länge $a$
+  die Kantenlänge eines kleineren $5$-Ecks ist, das eine Sekante der Länge $a$
-  hat.  Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist.  Weil
+  hat.  Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist.
-  aber $a-(d-a)$ sehr klein ist (genauer, weil es $θ < 1$ gibt mit
+  Weil aber $a-(d-a)$ sehr klein ist (genauer, weil es $θ < 1$ gibt mit $a-(d-a)
-  $a-(d-a) < θ·a$), und weil wir den Prozess beliebig oft wiederholen
+  < θ·a$), und weil wir den Prozess beliebig oft wiederholen können, ist
-  können, ist
   \begin{equation*}
     s< θ^k·a
   \end{equation*}
@@ -148,17 +147,17 @@ Es gibt natürlich noch andere klassische Konstruktionsaufgaben.  Ich nenne
 einige der berühmtesten Beispiele.
 
 \begin{itemize}
-\item Die Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks für alle natürlichen Zahlen
+\item Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks für alle natürlichen Zahlen
   $n$.\index{Konstruktion!des regelmäßigen $n$-Eck}
 
-\item Die Dreiteilung eines gegebenen Winkels.\index{Konstruktion!Dreiteilung
+\item Dreiteilung eines gegebenen Winkels.\index{Konstruktion!Dreiteilung des
-    des Winkels}
+    Winkels}
 
-\item Die Verdopplung eines Würfels.  Dabei bedeutet Verdoppelung: Das Volumen
+\item Verdopplung eines Würfels.  Dabei bedeutet Verdoppelung: Das Volumen soll
-  soll sich verdoppeln.\index{Konstruktion!Verdoppelung des Würfels}
+  sich verdoppeln.\index{Konstruktion!Verdoppelung des Würfels}
   
-\item Die Quadratur des Kreises.  Dabei geht es darum, zu einem gegebenen Kreis
+\item Quadratur des Kreises.  Dabei geht es darum, zu einem gegebenen Kreis ein
-  ein Quadrat zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt hat wie der
+  Quadrat zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt hat wie der
   Kreis.\index{Konstruktion!Quadratur des Kreises}
 \end{itemize}
 
@@ -172,13 +171,13 @@ komplexen Zahlen.  Außerdem müssen wir ein für allemal festlegen, welche
 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind.
 
 \begin{notation}
-  Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ mit $p ≠ q$ sei $\overline{p, q}$ die Gerade durch
+  Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ mit $p ≠ q$ sei $\overline{p, q}$ die Gerade durch $p$
-  $p$ und $q$.
+  und $q$.
 \end{notation}
 
 \begin{notation}
-  Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ sei $K(p, \|p-q\|)$ der Kreis durch $q$ mit
+  Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ sei $K(p, \|p-q\|)$ der Kreis durch $q$ mit Mittelpunkt
-  Mittelpunkt $p$.
+  $p$.
 \end{notation}
 
 \begin{defn}[Elementare Konstruktionsschritte]
@@ -186,21 +185,21 @@ Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind.
   die folgenden Konstruktionen möglich, um neue Punkte zu
   konstruieren.\index{Konstruktion!elementarer Schritt}
   \begin{itemize}
-  \item Seien $p_1, q_1, p_2$ und $q_2∈ M$ mit $p_1≠ q_1$ und
+  \item Seien $p_1, q_1, p_2$ und $q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$ und $p_2 ≠ q_2$.
-    $p_2≠ q_2$.  Seien außerdem die Geraden $\overline{p_1, q_1}$ und $\overline{p_2, q_2}$ verschieden.  Dann sind die Punkte von
+    Seien außerdem die Geraden $\overline{p_1, q_1}$ und $\overline{p_2, q_2}$
-    $\overline{p_1, q_1} ∩ \overline{p_2, q_2}$ durch den elementaren
+    verschieden.  Dann sind die Punkte von $\overline{p_1, q_1} ∩ \overline{p_2,
-    Konstruktionsschritt ``Schneiden von zwei Geraden'' mit Zirkel und Lineal
+    q_2}$ durch den elementaren Konstruktionsschritt „Schneiden von zwei
-    aus der Menge $M$ konstruierbar.
+    Geraden“ mit Zirkel und Lineal aus der Menge $M$ konstruierbar.
   
-  \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$.  Dann sind die Punkte
+  \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$.  Dann sind die Punkte von
-    von $\overline{p_1, q_1} ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
+    $\overline{p_1, q_1} ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
-    Konstruktionsschritt ``Gerade mit Kreis schneiden'' mit Zirkel und Lineal
+    Konstruktionsschritt „Gerade mit Kreis schneiden“ mit Zirkel und Lineal aus
-    aus der Menge $M$ konstruierbar.
+    der Menge $M$ konstruierbar.
   
-  \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1≠ p_2$.  Dann sind die Punkte
+  \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ p_2$.  Dann sind die Punkte von
-    von $K(p_1, \|p_1-q_1\|) ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
+    $K(p_1, \|p_1-q_1\|) ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
-    Konstruktionsschritt ``Schneiden von zwei Kreisen'' mit Zirkel und Lineal
+    Konstruktionsschritt „Schneiden von zwei Kreisen“ mit Zirkel und Lineal aus
-    aus der Menge $M$ konstruierbar.
+    der Menge $M$ konstruierbar.
   \end{itemize}
 \end{defn}
 
@@ -227,18 +226,17 @@ Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind.
 \begin{definition}[Konstruierbare Punkte]
   Es sei eine beliebige Teilmenge $M ⊂ ℂ$ gegeben.  Wir definieren die Menge
   \emph{$\Kons(M)$ der mit Zirkel und Lineal aus $M$ konstruierbaren
-    Punkte}\index{konstruierbare Punkte} wie folgt: Ein Punkt $z ∈ ℂ$ ist genau
+  Punkte}\index{konstruierbare Punkte} wie folgt: Ein Punkt $z ∈ ℂ$ ist genau
   dann in $\Kons(M)$ enthalten, wenn es eine endliche Kette von Mengen
   \[
-    M = M_0 ⊂ M_1⊂ ⋯ ⊂ M_n
+    M = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ⋯ ⊂ M_n
   \]
   gibt, sodass folgendes gilt.
   \begin{itemize}
   \item Es ist $z ∈ M_n$.
     
-  \item Für jeden Index $i < n$ und jeden Punkt $p ∈ M_{i+1}$ gilt: $p$
+  \item Für jeden Index $i < n$ und jeden Punkt $p ∈ M_{i+1}$ gilt: $p$ entsteht
-    entsteht durch einen elementaren Konstruktionsschritt aus den Punkten von
+    durch einen elementaren Konstruktionsschritt aus den Punkten von $M_i$.
-    $M_i$.
   \end{itemize}
 \end{definition}
   
@@ -252,16 +250,16 @@ Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind.
   Die im Abschnitt~\ref{sec:1-1-2} angesprochenen klassischen
   Konstruktionsaufgaben lassen sich in dieser Sprache wie folgt formulieren.
   \begin{itemize}
-  \item Die Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks: Gegeben $n ∈ ℕ$, ist dann
+  \item Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks: Gegeben $n ∈ ℕ$, ist dann auch
-    auch die komplexe Zahl $e^{(2π i)/n}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
+    die komplexe Zahl $e^{(2π i)/n}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
   
-  \item Die Dreiteilung eines gegebenen Winkels: gegeben eine reelle Zahl
+  \item Dreiteilung eines gegebenen Winkels: gegeben eine reelle Zahl $\varphi ∈
-    $\varphi ∈ (0,2π)$, ist dann auch die komplexe Zahl $e^{(\varphi i)/3}$ in
+    (0,2π)$, ist dann auch die komplexe Zahl $e^{(\varphi i)/3}$ in
     $\Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$?
   
-  \item Die Verdopplung des Würfels: ist $\sqrt[3]{2}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
+  \item Verdopplung des Würfels: ist $\sqrt[3]{2}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
   
-  \item Die Quadratur des Kreises: ist $\sqrt{π}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
+  \item Quadratur des Kreises: ist $\sqrt{π}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
   \end{itemize}
 \end{bsp}
 
@@ -271,9 +269,9 @@ herstellt: Die Frage nach der Konstruierbarkeit wird auf die Frage
 zurückgeführt, wie die Unterkörper von $ℂ$ aussehen, und wie Unterkörper
 ineinander enthalten sein können.
 
-\begin{satz}[Mengen von konstruierbaren Punkten sind Unterkörper]\label{satz:1-2-9}
+\begin{satz}[Mengen von konstruierbaren Punkten sind Unterkörper]\label{satz:1-2-9}%
-  Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Teilmenge, die die Zahlen $0$ und $1$ enthält.
+  Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Teilmenge, die die Zahlen $0$ und $1$ enthält. Dann ist
-  Dann ist $\Kons(M)$ ein Unterkörper von $ℂ$.
+  $\Kons(M)$ ein Unterkörper von $ℂ$.
 \end{satz}
 \begin{proof}[Beweis durch Übungsaufgabe]
   Wir müssen zeigen, dass für alle Zahlen $x$, $y ∈ \Kons(M)$ auch die Zahlen

AlgebraZahlentheorie.tex

@@ -194,7 +194,7 @@ Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
 durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
 herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc
 etc.  Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren,
-oder den Service CoCals verwenden.
+oder den Service CoCalc verwenden.
 
 
 \subsubsection*{CoCalc}
@@ -262,14 +262,21 @@ Server rechnen.
 
 \clearpage
 
+\appendix
+\part{Anhang}
+
 \listoffigures
 \listoftables
 
+\addchap{Lizenz}
+
+Dieser Text ist unter der Lizenz
+\href{https://creativecommons.org/licenses/by/4.0}{CC-BY 4.0} verfügbar.
+
+
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-
 \end{document}