kebekus/AlgebraZahlentheorie
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Stefan Kebekus 2023-10-10 13:08:36 +02:00
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@ -127,3 +127,27 @@ Separabilität
Substitutionsmorphismen
Separabilitätsgrad
inseparablen
Galoiserweiterung
Quotientengruppe
Galoisgruppen
Signumsabbildung
Kleinsche
Primzahlordnung
Klassifikationssatzes
Klassifikationsprogramms
Solomon
Gorenstein
.ten
.ter
.te
.tes
Primteiler
Galoisch
Fermatsche
Fermatzahl
Bunsenstraße
Courant
Foliaten
Koeffizientenschemata
Gauss
MSRI

5
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt vendored
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@ -53,3 +53,8 @@
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QFür beliebige Körpererweiterungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und beliebige Teilmengen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist die Äquivalenz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind algebraisch ganz falsch.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTES_AUSRUFEZEICHEN","sentence":"^\\QFalsch!!\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Ist mir zu langweilig.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann gilt nach dem Chinesischen Restsatz, Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QFür alle Tupel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von paarweise verschiedene Primzahlen und alle Tupel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QFür jede Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Aussage über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist trivial.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QAußerdem sind linke und rechte Seite von Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q normiert.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QPrimzahlen der Form \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißen Fermatsche PrimzahlenIm August 1640 vermutete Fermat, dass alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien.\\E$"}

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03.tex
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@ -3,9 +3,6 @@
\chapter{Algebraische und transzendente Elemente}
Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
bereitgestellt.
\section{Körpererweiterungen}

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10.tex
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@ -3,20 +3,16 @@
\chapter{Restklassenringe}
\sideremark{Vorlesung 11}Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf
unserem \href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
bereitgestellt.
Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon gesagt, warum wir uns für
Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des
Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen
konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit
„Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die
Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und
Beweistechniken noch einmal zu wiederholen. In diesem Semester geht das nicht,
denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren. Ich verzichte
deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so
geht, wie in der Linearen Algebra“.
\sideremark{Vorlesung 11}Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon
gesagt, warum wir uns für Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der
Konstruktion des Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen
Quotienten von Ringen konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele
Studierende ihre Probleme mit „Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser
Stelle normalerweise die Gelegenheit, um mit der Konstruktion des
Restklassenringes die Begriffe und Beweistechniken noch einmal zu wiederholen.
In diesem Semester geht das nicht, denn das Semester ist deutlich kürzer als in
normalen Jahren. Ich verzichte deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und
behaupte, dass „alles genau so geht, wie in der Linearen Algebra“.
\begin{warnung}
Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung

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20.tex
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@ -67,7 +67,7 @@ Auflösbare Gruppen sind also (auf noch zu klärende Weise) aus Abelschen Gruppe
zusammengesetzt. Wir werden später noch sehen, dass die in Kapitel~\ref{sec:4}
gestellte Frage nach der Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale eng mit
der Frage nach der Auflösbarkeit gewisser Galoisgruppen zusammenhängt. Der Name
``auflösbare Gruppe'' ist vermutlich aus diesem Kontext heraus entstanden.
„auflösbare Gruppe“ ist vermutlich aus diesem Kontext heraus entstanden.
\begin{bsp}
Die Permutationsgruppe $S_4$ ist auflösbar, denn es ist
@ -128,7 +128,7 @@ Der folgende Satz gibt eine Idee, was möglich ist.
sodass folgende Eigenschaften gelten.
\begin{enumerate}
\item\label{Satz_18_4_Aussage_1} Die Gruppe $N$ kommt in der Auflösungskette
vor. Mit anderen Worten: $N ∈ \{N_{ℓ}, …, N_0\}$.
vor. Mit anderen Worten: Es ist $N ∈ \{N_{ℓ}, …, N_0\}$.
\item\label{Satz_18_4_Aussage_2} Die Quotienten $N_{i+1}/N_i$ sind zyklisch
und von Primzahlordnung.
@ -148,8 +148,8 @@ Der folgende Satz gibt eine Idee, was möglich ist.
\section{Einfache Gruppen: hier teilt und herrscht garantiert niemand}
\sideremark{Vorlesung 22}Es gibt natürlich Gruppen, bei denen die
Auflösungsstrategie völlig versagt. Das absolute Gegenteil einer ``auflösbaren
Gruppe'' ist eine Gruppe, die überhaupt keinen Normalteiler hat --- und damit
Auflösungsstrategie völlig versagt. Das absolute Gegenteil einer „auflösbaren
Gruppe“ ist eine Gruppe, die überhaupt keinen Normalteiler hat --- und damit
auch keinen interessanten Gruppenmorphismus in irgendeine andere Gruppe.
\begin{definition}[Einfache Gruppe]
@ -161,10 +161,10 @@ auch keinen interessanten Gruppenmorphismus in irgendeine andere Gruppe.
Wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist die Quotientengruppe $ℤ/(p)$ einfach.
\end{bsp}
Das Wort ``einfach'' ist historisch begründet. Es bedeutet nicht ``leicht zu
verstehen'', sondern ``mithilfe der Auflösungsstrategie nicht weiter zu
zerlegen''. Vielleicht hätte man statt dem missverständlichen Wort ``einfach''
besser von ``atomaren'' Gruppen sprechen sollen. Aber auf mich hört ja niemand.
Das Wort „einfach“ ist historisch begründet. Es bedeutet nicht „leicht zu
verstehen“, sondern „mithilfe der Auflösungsstrategie nicht weiter zu zerlegen“.
Vielleicht hätte man statt dem missverständlichen Wort „einfach“ besser von
„atomaren“ Gruppen sprechen sollen. Aber auf mich hört ja niemand.
\begin{rem}
Wenn man alle endlichen Gruppen klassifizieren oder durch Auflösung
@ -182,18 +182,18 @@ besser von ``atomaren'' Gruppen sprechen sollen. Aber auf mich hört ja niemand
alle Beweise auch publiziert worden. Über 100 Mathematiker waren von Ende
der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt.
\item Nach der ``Fertigstellung'' des Beweises um 1980 ist von führenden
\item Nach der „Fertigstellung“ des Beweises um 1980 ist von führenden
Mathematikern des Klassifikationsprogramms […] ein Programm aufgenommen
worden, den Beweis zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren. Dabei
sind auch Lücken entdeckt worden, von denen die meisten ohne größere
Komplikationen geschlossen werden konnten. Eine Lücke erwies sich allerdings
als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein Beweis
erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war.
Komplikationen geschlossen werden konnten. Eine Lücke erwies sich
allerdings als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein
Beweis erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war.
\item Ronald Solomon, Richard Lyons und Daniel Gorenstein begannen 1994 eine
auf 12 Bände angelegte Darstellung des Beweises (GLS Projekt), das bei der
American Mathematical Society erscheint und voraussichtlich 2023
abgeschlossen sein wird.
American Mathematical Society erscheint und voraussichtlich \sout{2023}
niemals abgeschlossen sein wird.
\end{itemize}
\end{rem}
@ -212,7 +212,7 @@ Der Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe} verwendet folgendes Lemma.
noch einen 3-Zyklus enthält, dann ist $N = A_n$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Hilfssatz_algernierende_Gruppe}]
\video{22-1}, verbessert am 09Feb21.
\video{22-1}, verbessert am 9.~Februar 2021.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe}]

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21.tex
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@ -4,27 +4,21 @@
\chapter{Der Satz vom primitiven Element}
\label{chap:21}
Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
bereitgestellt.
\bigskip
Ich erinnere noch einmal an Definition~\ref{def:einfach} vom Anfang der
Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element
$a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. Das sind die Körpererweiterungen, die uns
am wenigsten Angst machen --- dachten wir! Als erste Anwendung der
Galoistheorie möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen vor denen wir
schon immer Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind. Vielleicht haben wir
uns nicht genug gefürchtet?
Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element $a ∈
L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. Das sind die Körpererweiterungen, die uns am
wenigsten Angst machen --- dachten wir! Als erste Anwendung der Galoistheorie
möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen vor denen wir schon immer
Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind. Vielleicht haben wir uns nicht
genug gefürchtet?
\begin{satz}\label{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}
Eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann einfach und algebraisch, wenn es
nur endlich viele Zwischenkörper gibt.
\end{satz}
\begin{proof}
Die Implikation ``einfach und algebraisch $⇒$ nur endliche viele
Zwischenkörper'' beweisen wir im \video{22-3}. Die Umkehrrichtung wird im
Die Implikation „einfach und algebraisch $⇒$ nur endliche viele
Zwischenkörper“ beweisen wir im \video{22-3}. Die Umkehrrichtung wird im
\video{22-4} gezeigt.
\end{proof}

83
22.tex
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@ -17,7 +17,7 @@ ist der Zerfällungskörper des Polynoms $x^n-1$.
\begin{definition}[Kreisteilungskörper, Einheitswurzeln]\label{def:ktk}
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Der Zerfällungskörper des Polynoms
$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ wird als \emph{$n$-ter Kreisteilungskörper über
$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ wird als \emph{$n$.ter Kreisteilungskörper über
$ℚ$}\index{Kreisteilungskörper} bezeichnet. Die Schreibweise $L_n/ℚ$ ist
üblich.
\end{definition}
@ -75,17 +75,16 @@ ist der Zerfällungskörper des Polynoms $x^n-1$.
\sideremark{Vorlesung 23}Bevor es weitergeht, erinnere ich noch einmal an
Beispiel~\vref{bsp:ehw} und an die Notation, die dort eingeführt wurde: Die
$n$-ten Einheitswurzeln waren genau die Nullstellen von $f_n$ im Körper
$L_n ⊂ \overline{ℚ} ⊂ ℂ$. Die $n$-ten Einheitswurzeln bilden mit der
Multiplikation als komplexe Zahlen eine zyklische Gruppe, die isomorph zu
$ℤ/(n)$ ist. Eine $n$-te Einheitswurzel heißt \emph{primitiv}, falls sie die
Gruppe erzeugt. Abbildung~\ref{fig:ehw} illustriert das am Beispiel der $6$.ten
und $8$.ten Einheitswurzeln. Wir hatten in Beobachtung~\vref{beo:pe} auch schon
diskutiert, wie viele primitive Einheitswurzeln es in der Gruppe der $n$.ten
Einheitswurzeln jeweils gibt: Die Anzahl wird durch die Eulersche $φ$-Funktion
gegeben. Um die Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks
vollständig zu beantworten, müssen wir noch ein paar Dinge über diese Funktion
beweisen.
$n$.ten Einheitswurzeln waren genau die Nullstellen von $f_n$ im Körper $L_n ⊂
\overline{ℚ} ⊂ ℂ$. Die $n$.ten Einheitswurzeln bilden mit der Multiplikation
als komplexe Zahlen eine zyklische Gruppe, die isomorph zu $ℤ/(n)$ ist. Eine
$n$.te Einheitswurzel heißt \emph{primitiv}, falls sie die Gruppe erzeugt.
Abbildung~\ref{fig:ehw} illustriert das am Beispiel der $6$.ten und $8$.ten
Einheitswurzeln. Wir hatten in Beobachtung~\vref{beo:pe} auch schon diskutiert,
wie viele primitive Einheitswurzeln es in der Gruppe der $n$.ten Einheitswurzeln
jeweils gibt: Die Anzahl wird durch die Eulersche $φ$-Funktion gegeben. Um die
Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks vollständig zu
beantworten, müssen wir noch ein paar Dinge über diese Funktion beweisen.
\begin{satz}[Mupltiplikative Eigenschaften der Eulerschen $φ$-Funktion]\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion}
@ -141,19 +140,19 @@ beweisen.
\section{Kreisteilungspolynome}
Die $n$-ten Einheitswurzeln sind natürlich Nullstellen des Polynoms
$x^n-1 ∈ ℚ[x]$. Leider haben wir schon in Beispiel~\vref{bsp:7.2.7} gesehen,
dass diese Polynome im Allgemeinen nicht irreduzibel sind. Um die
Kreisteilungskörper besser zu verstehen, müssen wir also die irreduziblen
Faktoren diskutieren. Das kommt jetzt.
Die $n$.ten Einheitswurzeln sind natürlich Nullstellen des Polynoms $x^n-1 ∈
ℚ[x]$. Leider haben wir schon in Beispiel~\vref{bsp:7.2.7} gesehen, dass diese
Polynome im Allgemeinen nicht irreduzibel sind. Um die Kreisteilungskörper
besser zu verstehen, müssen wir also die irreduziblen Faktoren diskutieren. Das
kommt jetzt.
\begin{definition}[$n$-tes Kreisteilungspolynom]
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Bezeichne die primitiven $n$-ten Einheitswurzeln
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Bezeichne die primitiven $n$.ten Einheitswurzeln
mit $ξ_1, …, ξ_{φ(n)}$. Das Polynom
\begin{equation*}
Φ_n := \prod_{i=1}^{φ(n)} (x-ξ_i) ∈ ℂ[x]
\end{equation*}
heißt $n$-tes \emph{Kreisteilungspolynom}\index{Kreisteilungspolynom}. Es
heißt $n$.tes \emph{Kreisteilungspolynom}\index{Kreisteilungspolynom}. Es
gilt $\deg Φ_n = φ(n)$.
\end{definition}
@ -163,16 +162,16 @@ Kreisteilungspolynomen zusammen.
\begin{satz}[Wesentliche Eigenschaften von Kreisteilungspolynomen]\label{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom}
Es ist $Φ_1(x)= x-1$. Für jede Zahl $n ∈ ℕ$ gilt die Gleichung
\begin{equation}\label{eq:x2}
x^n-1=\prod_{d|n}Φ_d(x)
x^n-1=\prod_{d|n}Φ_d(x).
\end{equation}
\end{satz}
\begin{proof}
Die Aussage über $φ_1$ ist trivial. Wenn eine Zahl $n ∈ ℕ$ und eine beliebige
$n$-te Einheitswurzel $ξ$ ist, mit Ordnung $d := \ord ξ$, dann ist $ξ$ eine
primitive $d$-te Einheitswurzel. Also ist $ξ$ eine Nullstelle von $Φ_d$ --
$n$.te Einheitswurzel $ξ$ ist, mit Ordnung $d := \ord ξ$, dann ist $ξ$ eine
primitive $d$.te Einheitswurzel. Also ist $ξ$ eine Nullstelle von $Φ_d$ --
und von keinem anderen Kreisteilungspolynom $φ_{d'}$! Wir erkennen, dass auf
der linken und der rechten Seite von \eqref{eq:x2} zwei komplexe Polynome
stehen, deren Nullstellenmenge jeweils exakt die Menge der $n$-ten
stehen, deren Nullstellenmenge jeweils exakt die Menge der $n$.ten
Einheitswurzeln ist. Außerdem haben sowohl die linke als auch rechte Seite
von Gleichung \eqref{eq:x2} nur einfache Nullstellen. Außerdem sind linke und
rechte Seite von Gleichung \eqref{eq:x2} normiert. Dann müssen die Seiten der
@ -209,7 +208,7 @@ aber ein wenig langwierig. Ich lasse ihn daher weg.
für alle $n ∈ ℕ$ ist $Φ_n(x) ∈ ℤ[x]$. \qed
\end{fakt}
Durch ``Reduktion modulo $p$'' zeigt man folgenden Fakt, den wir hier ebenfalls
Durch „Reduktion modulo $p$“ zeigt man folgenden Fakt, den wir hier ebenfalls
nicht beweisen.
\begin{fakt}
@ -220,10 +219,10 @@ nicht beweisen.
\section{Die Kreisteilungskörper}
Wir hatten in Definition~\ref{def:ktk} den Zerfällungskörper des Polynoms
$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$-ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genannt und
$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$.ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genannt und
mit $L_n/ℚ$ bezeichnet. Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/ℚ$
natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen. Wähle dazu
eine primitive $n$-te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$
eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$
ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$-te
Kreisteilungspolynom $Φ_n$. Also ist
\begin{equation*}
@ -314,26 +313,25 @@ erhaltene Konstruktionsweg dann immer besonders elegant oder praktisch gut
umsetzbar ist, steht natürlich noch auf einem anderen Blatt.
\begin{aufgabe}
Warten Sie das Ende der Pandemie ab. Wenn Sie überleben, kaufen Sie sich
weiße Zauberkünstlerhandschuhe und fahren Sie nach Göttingen. Ziehen Sie sich
gut an (sie müssen seriös wirken!) und begeben Sie sich in die Bunsenstraße
3--5.
Warten Sie die Klausur ab. Wenn Sie überleben, kaufen Sie sich weiße
Zauberkünstlerhandschuhe und fahren Sie nach Göttingen. Ziehen Sie sich gut
an (sie müssen seriös wirken!) und begeben Sie sich in die Bunsenstraße 3--5.
\begin{enumerate}
\item Bewundern Sie das schlichte, lichtdurchflutete und funktionale Gebäude,
das 1929 von David Hilbert und Richard
Courant\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Courant}{Richard
Courant} (* 8. Januar 1888 in Lublinitz, Oberschlesien; † 27. Januar
1972 in New York) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.} eröffnet
wurde, dessen Planung aber noch auf Felix
Courant} (* 8.~Januar 1888 in Lublinitz, Oberschlesien; † 27.~Januar 1972 in
New York) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.} eröffnet wurde,
dessen Planung aber noch auf Felix
Klein\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein}{Felix
Christian Klein} (* 25. April 1849 in Düsseldorf; † 22. Juni 1925 in
Christian Klein} (* 25.~April 1849 in Düsseldorf; † 22.~Juni 1925 in
Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.} zurückgeht. Der Bau wurde
damals, vermutlich zu Ehren von Hilbert, von der amerikanischen
Rockefeller-Stiftung finanziert. Er gilt noch heute als Meilenstein der
Architektur.
\item\label{il:f45} Betreten Sie die Bibliothek und bitten Sie die
Bibliothekarin sehr höflich um ``den Koffer''. Zeigen Sie ihre weißen
Bibliothekarin sehr höflich um „den Koffer“. Zeigen Sie ihre weißen
Handschuhe. Lächeln Sie, um alle Umstehenden von ihren harmlosen Absichten
zu überzeugen.
\end{enumerate}
@ -355,18 +353,19 @@ Konstruktionsprojekt:
Koeffizientenschemata, die sich am Ende zu einem Zahlen- und Symbolmix
gewaltigen Ausmaßes fügen.
\end{quotation}
Im Gegensatz zur ``Zeit'' sahen die Göttinger Kollegen Hermes' Bemühungen damals
recht kritisch: ``Ich rechne ja auch nicht die binomische Formel für alle Werte
bis 10.000.000 nach''. Dennoch empfehle ich den Besuch. Bewundern Sie die
Im Gegensatz zur „Zeit“ sahen die Göttinger Kollegen Hermes' Bemühungen damals
recht kritisch: „Ich rechne ja auch nicht die binomische Formel für alle Werte
bis 10.000.000 nach.“ Dennoch empfehle ich den Besuch. Bewundern Sie die
feinen Konstruktionen und die enorme handwerkliche Qualität. Suhlen Sie sich in
der Aura der Sinnlosigkeit. Beenden Sie Ihren Besuch, indem Sie sich die
historische Sammlung mathematischer Modelle anschauen.
\begin{aufgabe}
Finden Sie heraus, warum das weltberühmte \emph{Mathematical Sciences Research
Institute} in Berkeley, Kalifornien die Adresse ``17 Gauss Way'' hat, obwohl
das MSRI der einzige Gebäudekomplex der Straße ist. Fahren Sie hin und
schauen Sie sich die Tafel am Eingang an. Oder lesen Sie
Finden Sie heraus, warum das weltberühmte
\foreignlanguage{english}{\emph{Mathematical Sciences Research Institute}} in
Berkeley, Kalifornien die Adresse „\foreignlanguage{english}{17 Gauss Way}“
hat, obwohl das MSRI der einzige Gebäudekomplex in der Straße ist. Fahren Sie
hin und schauen Sie sich die Tafel am Eingang an. Oder lesen Sie
\href{https://www.msri.org/people/staff/levy/files/17gon/poster1.pdf}{hier}.
\end{aufgabe}

1
AlgebraZahlentheorie.tex
View File

@ -13,6 +13,7 @@
\input{gfx/paperVersion-working}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{ulem}
\makeindex
\author{Stefan Kebekus}