diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 38e8b91..c038877 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -127,3 +127,27 @@ Separabilität Substitutionsmorphismen Separabilitätsgrad inseparablen +Galoiserweiterung +Quotientengruppe +Galoisgruppen +Signumsabbildung +Kleinsche +Primzahlordnung +Klassifikationssatzes +Klassifikationsprogramms +Solomon +Gorenstein +.ten +.ter +.te +.tes +Primteiler +Galoisch +Fermatsche +Fermatzahl +Bunsenstraße +Courant +Foliaten +Koeffizientenschemata +Gauss +MSRI diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 7d46580..da8c2b5 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -53,3 +53,8 @@ {"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QFür beliebige Körpererweiterungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und beliebige Teilmengen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist die Äquivalenz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind algebraisch ganz falsch.\\E$"} {"rule":"DOPPELTES_AUSRUFEZEICHEN","sentence":"^\\QFalsch!!\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Ist mir zu langweilig.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann gilt nach dem Chinesischen Restsatz, Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QFür alle Tupel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von paarweise verschiedene Primzahlen und alle Tupel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QFür jede Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Aussage über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist trivial.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QAußerdem sind linke und rechte Seite von Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q normiert.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QPrimzahlen der Form \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißen Fermatsche PrimzahlenIm August 1640 vermutete Fermat, dass alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien.\\E$"} diff --git a/03.tex b/03.tex index 52fb942..8b1a404 100644 --- a/03.tex +++ b/03.tex @@ -3,9 +3,6 @@ \chapter{Algebraische und transzendente Elemente} -Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem -\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} -bereitgestellt. \section{Körpererweiterungen} diff --git a/10.tex b/10.tex index 0da10a8..6b32f0c 100644 --- a/10.tex +++ b/10.tex @@ -3,20 +3,16 @@ \chapter{Restklassenringe} -\sideremark{Vorlesung 11}Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf -unserem \href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} -bereitgestellt. - -Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon gesagt, warum wir uns für -Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des -Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen -konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit -„Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die -Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und -Beweistechniken noch einmal zu wiederholen. In diesem Semester geht das nicht, -denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren. Ich verzichte -deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so -geht, wie in der Linearen Algebra“. +\sideremark{Vorlesung 11}Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon +gesagt, warum wir uns für Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der +Konstruktion des Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen +Quotienten von Ringen konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele +Studierende ihre Probleme mit „Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser +Stelle normalerweise die Gelegenheit, um mit der Konstruktion des +Restklassenringes die Begriffe und Beweistechniken noch einmal zu wiederholen. +In diesem Semester geht das nicht, denn das Semester ist deutlich kürzer als in +normalen Jahren. Ich verzichte deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und +behaupte, dass „alles genau so geht, wie in der Linearen Algebra“. \begin{warnung} Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung diff --git a/20.tex b/20.tex index ef42518..8e81bdf 100644 --- a/20.tex +++ b/20.tex @@ -33,7 +33,7 @@ unterteilen. Translation und einer linearen Abbildung schreiben lässt. Eine genauere Untersuchung zeigt: Die Gruppe der Translationen ist eine normale Untergruppe\footnote{Können Sie das beweisen? Machen Sie mal! Zeigen Sie - mir, dass die linearen Abbildungen \emph{keine} normale Untergruppe bilden!} + mir, dass die linearen Abbildungen \emph{keine} normale Untergruppe bilden!} $N ⊂ G$. Der Quotient ist $G/N ≅ \GL_2(ℂ)$. Beide Anteile kann man gut verstehen. \end{bsp} @@ -67,7 +67,7 @@ Auflösbare Gruppen sind also (auf noch zu klärende Weise) aus Abelschen Gruppe zusammengesetzt. Wir werden später noch sehen, dass die in Kapitel~\ref{sec:4} gestellte Frage nach der Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale eng mit der Frage nach der Auflösbarkeit gewisser Galoisgruppen zusammenhängt. Der Name -``auflösbare Gruppe'' ist vermutlich aus diesem Kontext heraus entstanden. +„auflösbare Gruppe“ ist vermutlich aus diesem Kontext heraus entstanden. \begin{bsp} Die Permutationsgruppe $S_4$ ist auflösbar, denn es ist @@ -128,7 +128,7 @@ Der folgende Satz gibt eine Idee, was möglich ist. sodass folgende Eigenschaften gelten. \begin{enumerate} \item\label{Satz_18_4_Aussage_1} Die Gruppe $N$ kommt in der Auflösungskette - vor. Mit anderen Worten: $N ∈ \{N_{ℓ}, …, N_0\}$. + vor. Mit anderen Worten: Es ist $N ∈ \{N_{ℓ}, …, N_0\}$. \item\label{Satz_18_4_Aussage_2} Die Quotienten $N_{i+1}/N_i$ sind zyklisch und von Primzahlordnung. @@ -148,8 +148,8 @@ Der folgende Satz gibt eine Idee, was möglich ist. \section{Einfache Gruppen: hier teilt und herrscht garantiert niemand} \sideremark{Vorlesung 22}Es gibt natürlich Gruppen, bei denen die -Auflösungsstrategie völlig versagt. Das absolute Gegenteil einer ``auflösbaren -Gruppe'' ist eine Gruppe, die überhaupt keinen Normalteiler hat --- und damit +Auflösungsstrategie völlig versagt. Das absolute Gegenteil einer „auflösbaren +Gruppe“ ist eine Gruppe, die überhaupt keinen Normalteiler hat --- und damit auch keinen interessanten Gruppenmorphismus in irgendeine andere Gruppe. \begin{definition}[Einfache Gruppe] @@ -161,10 +161,10 @@ auch keinen interessanten Gruppenmorphismus in irgendeine andere Gruppe. Wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist die Quotientengruppe $ℤ/(p)$ einfach. \end{bsp} -Das Wort ``einfach'' ist historisch begründet. Es bedeutet nicht ``leicht zu -verstehen'', sondern ``mithilfe der Auflösungsstrategie nicht weiter zu -zerlegen''. Vielleicht hätte man statt dem missverständlichen Wort ``einfach'' -besser von ``atomaren'' Gruppen sprechen sollen. Aber auf mich hört ja niemand. +Das Wort „einfach“ ist historisch begründet. Es bedeutet nicht „leicht zu +verstehen“, sondern „mithilfe der Auflösungsstrategie nicht weiter zu zerlegen“. +Vielleicht hätte man statt dem missverständlichen Wort „einfach“ besser von +„atomaren“ Gruppen sprechen sollen. Aber auf mich hört ja niemand. \begin{rem} Wenn man alle endlichen Gruppen klassifizieren oder durch Auflösung @@ -182,18 +182,18 @@ besser von ``atomaren'' Gruppen sprechen sollen. Aber auf mich hört ja niemand alle Beweise auch publiziert worden. Über 100 Mathematiker waren von Ende der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt. - \item Nach der ``Fertigstellung'' des Beweises um 1980 ist von führenden + \item Nach der „Fertigstellung“ des Beweises um 1980 ist von führenden Mathematikern des Klassifikationsprogramms […] ein Programm aufgenommen worden, den Beweis zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren. Dabei sind auch Lücken entdeckt worden, von denen die meisten ohne größere - Komplikationen geschlossen werden konnten. Eine Lücke erwies sich allerdings - als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein Beweis - erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war. + Komplikationen geschlossen werden konnten. Eine Lücke erwies sich + allerdings als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein + Beweis erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war. \item Ronald Solomon, Richard Lyons und Daniel Gorenstein begannen 1994 eine auf 12 Bände angelegte Darstellung des Beweises (GLS Projekt), das bei der - American Mathematical Society erscheint und voraussichtlich 2023 - abgeschlossen sein wird. + American Mathematical Society erscheint und voraussichtlich \sout{2023} + niemals abgeschlossen sein wird. \end{itemize} \end{rem} @@ -212,7 +212,7 @@ Der Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe} verwendet folgendes Lemma. noch einen 3-Zyklus enthält, dann ist $N = A_n$. \end{lemma} \begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Hilfssatz_algernierende_Gruppe}] - \video{22-1}, verbessert am 09Feb21. + \video{22-1}, verbessert am 9.~Februar 2021. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe}] diff --git a/21.tex b/21.tex index 301c674..539357b 100644 --- a/21.tex +++ b/21.tex @@ -4,27 +4,21 @@ \chapter{Der Satz vom primitiven Element} \label{chap:21} -Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem -\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} -bereitgestellt. - -\bigskip - Ich erinnere noch einmal an Definition~\ref{def:einfach} vom Anfang der -Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element -$a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. Das sind die Körpererweiterungen, die uns -am wenigsten Angst machen --- dachten wir! Als erste Anwendung der -Galoistheorie möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen vor denen wir -schon immer Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind. Vielleicht haben wir -uns nicht genug gefürchtet? +Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element $a ∈ +L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. Das sind die Körpererweiterungen, die uns am +wenigsten Angst machen --- dachten wir! Als erste Anwendung der Galoistheorie +möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen vor denen wir schon immer +Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind. Vielleicht haben wir uns nicht +genug gefürchtet? \begin{satz}\label{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK} Eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann einfach und algebraisch, wenn es nur endlich viele Zwischenkörper gibt. \end{satz} \begin{proof} - Die Implikation ``einfach und algebraisch $⇒$ nur endliche viele - Zwischenkörper'' beweisen wir im \video{22-3}. Die Umkehrrichtung wird im + Die Implikation „einfach und algebraisch $⇒$ nur endliche viele + Zwischenkörper“ beweisen wir im \video{22-3}. Die Umkehrrichtung wird im \video{22-4} gezeigt. \end{proof} diff --git a/22.tex b/22.tex index 7cd9abd..1683fab 100644 --- a/22.tex +++ b/22.tex @@ -17,7 +17,7 @@ ist der Zerfällungskörper des Polynoms $x^n-1$. \begin{definition}[Kreisteilungskörper, Einheitswurzeln]\label{def:ktk} Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Der Zerfällungskörper des Polynoms - $f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ wird als \emph{$n$-ter Kreisteilungskörper über + $f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ wird als \emph{$n$.ter Kreisteilungskörper über $ℚ$}\index{Kreisteilungskörper} bezeichnet. Die Schreibweise $L_n/ℚ$ ist üblich. \end{definition} @@ -75,17 +75,16 @@ ist der Zerfällungskörper des Polynoms $x^n-1$. \sideremark{Vorlesung 23}Bevor es weitergeht, erinnere ich noch einmal an Beispiel~\vref{bsp:ehw} und an die Notation, die dort eingeführt wurde: Die -$n$-ten Einheitswurzeln waren genau die Nullstellen von $f_n$ im Körper -$L_n ⊂ \overline{ℚ} ⊂ ℂ$. Die $n$-ten Einheitswurzeln bilden mit der -Multiplikation als komplexe Zahlen eine zyklische Gruppe, die isomorph zu -$ℤ/(n)$ ist. Eine $n$-te Einheitswurzel heißt \emph{primitiv}, falls sie die -Gruppe erzeugt. Abbildung~\ref{fig:ehw} illustriert das am Beispiel der $6$.ten -und $8$.ten Einheitswurzeln. Wir hatten in Beobachtung~\vref{beo:pe} auch schon -diskutiert, wie viele primitive Einheitswurzeln es in der Gruppe der $n$.ten -Einheitswurzeln jeweils gibt: Die Anzahl wird durch die Eulersche $φ$-Funktion -gegeben. Um die Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks -vollständig zu beantworten, müssen wir noch ein paar Dinge über diese Funktion -beweisen. +$n$.ten Einheitswurzeln waren genau die Nullstellen von $f_n$ im Körper $L_n ⊂ +\overline{ℚ} ⊂ ℂ$. Die $n$.ten Einheitswurzeln bilden mit der Multiplikation +als komplexe Zahlen eine zyklische Gruppe, die isomorph zu $ℤ/(n)$ ist. Eine +$n$.te Einheitswurzel heißt \emph{primitiv}, falls sie die Gruppe erzeugt. +Abbildung~\ref{fig:ehw} illustriert das am Beispiel der $6$.ten und $8$.ten +Einheitswurzeln. Wir hatten in Beobachtung~\vref{beo:pe} auch schon diskutiert, +wie viele primitive Einheitswurzeln es in der Gruppe der $n$.ten Einheitswurzeln +jeweils gibt: Die Anzahl wird durch die Eulersche $φ$-Funktion gegeben. Um die +Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks vollständig zu +beantworten, müssen wir noch ein paar Dinge über diese Funktion beweisen. \begin{satz}[Mupltiplikative Eigenschaften der Eulerschen $φ$-Funktion]\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion} @@ -141,19 +140,19 @@ beweisen. \section{Kreisteilungspolynome} -Die $n$-ten Einheitswurzeln sind natürlich Nullstellen des Polynoms -$x^n-1 ∈ ℚ[x]$. Leider haben wir schon in Beispiel~\vref{bsp:7.2.7} gesehen, -dass diese Polynome im Allgemeinen nicht irreduzibel sind. Um die -Kreisteilungskörper besser zu verstehen, müssen wir also die irreduziblen -Faktoren diskutieren. Das kommt jetzt. +Die $n$.ten Einheitswurzeln sind natürlich Nullstellen des Polynoms $x^n-1 ∈ +ℚ[x]$. Leider haben wir schon in Beispiel~\vref{bsp:7.2.7} gesehen, dass diese +Polynome im Allgemeinen nicht irreduzibel sind. Um die Kreisteilungskörper +besser zu verstehen, müssen wir also die irreduziblen Faktoren diskutieren. Das +kommt jetzt. \begin{definition}[$n$-tes Kreisteilungspolynom] - Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Bezeichne die primitiven $n$-ten Einheitswurzeln + Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Bezeichne die primitiven $n$.ten Einheitswurzeln mit $ξ_1, …, ξ_{φ(n)}$. Das Polynom \begin{equation*} Φ_n := \prod_{i=1}^{φ(n)} (x-ξ_i) ∈ ℂ[x] \end{equation*} - heißt $n$-tes \emph{Kreisteilungspolynom}\index{Kreisteilungspolynom}. Es + heißt $n$.tes \emph{Kreisteilungspolynom}\index{Kreisteilungspolynom}. Es gilt $\deg Φ_n = φ(n)$. \end{definition} @@ -163,16 +162,16 @@ Kreisteilungspolynomen zusammen. \begin{satz}[Wesentliche Eigenschaften von Kreisteilungspolynomen]\label{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom} Es ist $Φ_1(x)= x-1$. Für jede Zahl $n ∈ ℕ$ gilt die Gleichung \begin{equation}\label{eq:x2} - x^n-1=\prod_{d|n}Φ_d(x) + x^n-1=\prod_{d|n}Φ_d(x). \end{equation} \end{satz} \begin{proof} Die Aussage über $φ_1$ ist trivial. Wenn eine Zahl $n ∈ ℕ$ und eine beliebige - $n$-te Einheitswurzel $ξ$ ist, mit Ordnung $d := \ord ξ$, dann ist $ξ$ eine - primitive $d$-te Einheitswurzel. Also ist $ξ$ eine Nullstelle von $Φ_d$ -- + $n$.te Einheitswurzel $ξ$ ist, mit Ordnung $d := \ord ξ$, dann ist $ξ$ eine + primitive $d$.te Einheitswurzel. Also ist $ξ$ eine Nullstelle von $Φ_d$ -- und von keinem anderen Kreisteilungspolynom $φ_{d'}$! Wir erkennen, dass auf der linken und der rechten Seite von \eqref{eq:x2} zwei komplexe Polynome - stehen, deren Nullstellenmenge jeweils exakt die Menge der $n$-ten + stehen, deren Nullstellenmenge jeweils exakt die Menge der $n$.ten Einheitswurzeln ist. Außerdem haben sowohl die linke als auch rechte Seite von Gleichung \eqref{eq:x2} nur einfache Nullstellen. Außerdem sind linke und rechte Seite von Gleichung \eqref{eq:x2} normiert. Dann müssen die Seiten der @@ -209,7 +208,7 @@ aber ein wenig langwierig. Ich lasse ihn daher weg. für alle $n ∈ ℕ$ ist $Φ_n(x) ∈ ℤ[x]$. \qed \end{fakt} -Durch ``Reduktion modulo $p$'' zeigt man folgenden Fakt, den wir hier ebenfalls +Durch „Reduktion modulo $p$“ zeigt man folgenden Fakt, den wir hier ebenfalls nicht beweisen. \begin{fakt} @@ -220,10 +219,10 @@ nicht beweisen. \section{Die Kreisteilungskörper} Wir hatten in Definition~\ref{def:ktk} den Zerfällungskörper des Polynoms -$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$-ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genannt und +$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$.ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genannt und mit $L_n/ℚ$ bezeichnet. Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/ℚ$ natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen. Wähle dazu -eine primitive $n$-te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$ +eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$ ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$-te Kreisteilungspolynom $Φ_n$. Also ist \begin{equation*} @@ -314,26 +313,25 @@ erhaltene Konstruktionsweg dann immer besonders elegant oder praktisch gut umsetzbar ist, steht natürlich noch auf einem anderen Blatt. \begin{aufgabe} - Warten Sie das Ende der Pandemie ab. Wenn Sie überleben, kaufen Sie sich - weiße Zauberkünstlerhandschuhe und fahren Sie nach Göttingen. Ziehen Sie sich - gut an (sie müssen seriös wirken!) und begeben Sie sich in die Bunsenstraße - 3--5. + Warten Sie die Klausur ab. Wenn Sie überleben, kaufen Sie sich weiße + Zauberkünstlerhandschuhe und fahren Sie nach Göttingen. Ziehen Sie sich gut + an (sie müssen seriös wirken!) und begeben Sie sich in die Bunsenstraße 3--5. \begin{enumerate} \item Bewundern Sie das schlichte, lichtdurchflutete und funktionale Gebäude, das 1929 von David Hilbert und Richard Courant\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Courant}{Richard - Courant} (* 8. Januar 1888 in Lublinitz, Oberschlesien; † 27. Januar - 1972 in New York) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.} eröffnet - wurde, dessen Planung aber noch auf Felix + Courant} (* 8.~Januar 1888 in Lublinitz, Oberschlesien; † 27.~Januar 1972 in + New York) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.} eröffnet wurde, + dessen Planung aber noch auf Felix Klein\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein}{Felix - Christian Klein} (* 25. April 1849 in Düsseldorf; † 22. Juni 1925 in - Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.} zurückgeht. Der Bau wurde + Christian Klein} (* 25.~April 1849 in Düsseldorf; † 22.~Juni 1925 in + Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.} zurückgeht. Der Bau wurde damals, vermutlich zu Ehren von Hilbert, von der amerikanischen Rockefeller-Stiftung finanziert. Er gilt noch heute als Meilenstein der Architektur. \item\label{il:f45} Betreten Sie die Bibliothek und bitten Sie die - Bibliothekarin sehr höflich um ``den Koffer''. Zeigen Sie ihre weißen + Bibliothekarin sehr höflich um „den Koffer“. Zeigen Sie ihre weißen Handschuhe. Lächeln Sie, um alle Umstehenden von ihren harmlosen Absichten zu überzeugen. \end{enumerate} @@ -346,7 +344,7 @@ großformatigen, fein beschriebenen Blättern das 65.537-Eck mit Zirkel und Line konstruiert. Mit ihren Handschuhen können Sie umblättern, ohne das alte Papier zu beschädigen. \href{https://www.zeit.de/2012/34/Algebra-Koffer-Johann-Gustav-Hermes/komplettansicht}{Die - Zeit} schreibt über dieses etwas Zen-Buddhistisch angehauchte +Zeit} schreibt über dieses etwas Zen-Buddhistisch angehauchte Konstruktionsprojekt: \begin{quotation} Ein filigranes Geflecht von Punkten, Linien und Kreisen breitet sich über die @@ -355,18 +353,19 @@ Konstruktionsprojekt: Koeffizientenschemata, die sich am Ende zu einem Zahlen- und Symbolmix gewaltigen Ausmaßes fügen. \end{quotation} -Im Gegensatz zur ``Zeit'' sahen die Göttinger Kollegen Hermes' Bemühungen damals -recht kritisch: ``Ich rechne ja auch nicht die binomische Formel für alle Werte -bis 10.000.000 nach''. Dennoch empfehle ich den Besuch. Bewundern Sie die +Im Gegensatz zur „Zeit“ sahen die Göttinger Kollegen Hermes' Bemühungen damals +recht kritisch: „Ich rechne ja auch nicht die binomische Formel für alle Werte +bis 10.000.000 nach.“ Dennoch empfehle ich den Besuch. Bewundern Sie die feinen Konstruktionen und die enorme handwerkliche Qualität. Suhlen Sie sich in der Aura der Sinnlosigkeit. Beenden Sie Ihren Besuch, indem Sie sich die historische Sammlung mathematischer Modelle anschauen. \begin{aufgabe} - Finden Sie heraus, warum das weltberühmte \emph{Mathematical Sciences Research - Institute} in Berkeley, Kalifornien die Adresse ``17 Gauss Way'' hat, obwohl - das MSRI der einzige Gebäudekomplex der Straße ist. Fahren Sie hin und - schauen Sie sich die Tafel am Eingang an. Oder lesen Sie + Finden Sie heraus, warum das weltberühmte + \foreignlanguage{english}{\emph{Mathematical Sciences Research Institute}} in + Berkeley, Kalifornien die Adresse „\foreignlanguage{english}{17 Gauss Way}“ + hat, obwohl das MSRI der einzige Gebäudekomplex in der Straße ist. Fahren Sie + hin und schauen Sie sich die Tafel am Eingang an. Oder lesen Sie \href{https://www.msri.org/people/staff/levy/files/17gon/poster1.pdf}{hier}. \end{aufgabe} diff --git a/AlgebraZahlentheorie.tex b/AlgebraZahlentheorie.tex index 48b75fd..14c22d7 100644 --- a/AlgebraZahlentheorie.tex +++ b/AlgebraZahlentheorie.tex @@ -13,6 +13,7 @@ \input{gfx/paperVersion-working} \usepackage{makeidx} \usepackage{tikz-cd} +\usepackage{ulem} \makeindex \author{Stefan Kebekus}