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ae58761758
24
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
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.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
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@ -127,3 +127,27 @@ Separabilität
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Substitutionsmorphismen
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Substitutionsmorphismen
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Separabilitätsgrad
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Separabilitätsgrad
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inseparablen
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inseparablen
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Galoiserweiterung
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Quotientengruppe
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Galoisgruppen
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Signumsabbildung
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Kleinsche
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Primzahlordnung
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Klassifikationssatzes
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Klassifikationsprogramms
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Solomon
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Gorenstein
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.ten
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.ter
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.te
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.tes
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Primteiler
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Galoisch
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Fermatsche
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Fermatzahl
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Bunsenstraße
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Courant
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Foliaten
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Koeffizientenschemata
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Gauss
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MSRI
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5
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
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.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
@ -53,3 +53,8 @@
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{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QFür beliebige Körpererweiterungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und beliebige Teilmengen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist die Äquivalenz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind algebraisch ganz falsch.\\E$"}
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{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QFür beliebige Körpererweiterungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und beliebige Teilmengen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist die Äquivalenz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind algebraisch ganz falsch.\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTES_AUSRUFEZEICHEN","sentence":"^\\QFalsch!!\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTES_AUSRUFEZEICHEN","sentence":"^\\QFalsch!!\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Ist mir zu langweilig.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Ist mir zu langweilig.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann gilt nach dem Chinesischen Restsatz, Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QFür alle Tupel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von paarweise verschiedene Primzahlen und alle Tupel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QFür jede Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Aussage über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist trivial.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QAußerdem sind linke und rechte Seite von Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q normiert.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QPrimzahlen der Form \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißen Fermatsche PrimzahlenIm August 1640 vermutete Fermat, dass alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien.\\E$"}
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3
03.tex
3
03.tex
@ -3,9 +3,6 @@
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\chapter{Algebraische und transzendente Elemente}
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\chapter{Algebraische und transzendente Elemente}
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Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
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\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
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bereitgestellt.
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\section{Körpererweiterungen}
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\section{Körpererweiterungen}
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24
10.tex
24
10.tex
@ -3,20 +3,16 @@
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\chapter{Restklassenringe}
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\chapter{Restklassenringe}
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\sideremark{Vorlesung 11}Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf
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\sideremark{Vorlesung 11}Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon
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unserem \href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
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gesagt, warum wir uns für Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der
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bereitgestellt.
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Konstruktion des Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen
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Quotienten von Ringen konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele
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Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon gesagt, warum wir uns für
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Studierende ihre Probleme mit „Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser
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Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des
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Stelle normalerweise die Gelegenheit, um mit der Konstruktion des
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Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen
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Restklassenringes die Begriffe und Beweistechniken noch einmal zu wiederholen.
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konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit
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In diesem Semester geht das nicht, denn das Semester ist deutlich kürzer als in
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„Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die
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normalen Jahren. Ich verzichte deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und
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Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und
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behaupte, dass „alles genau so geht, wie in der Linearen Algebra“.
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Beweistechniken noch einmal zu wiederholen. In diesem Semester geht das nicht,
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denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren. Ich verzichte
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deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so
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geht, wie in der Linearen Algebra“.
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\begin{warnung}
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\begin{warnung}
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Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung
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Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung
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30
20.tex
30
20.tex
@ -67,7 +67,7 @@ Auflösbare Gruppen sind also (auf noch zu klärende Weise) aus Abelschen Gruppe
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zusammengesetzt. Wir werden später noch sehen, dass die in Kapitel~\ref{sec:4}
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zusammengesetzt. Wir werden später noch sehen, dass die in Kapitel~\ref{sec:4}
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gestellte Frage nach der Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale eng mit
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gestellte Frage nach der Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale eng mit
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der Frage nach der Auflösbarkeit gewisser Galoisgruppen zusammenhängt. Der Name
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der Frage nach der Auflösbarkeit gewisser Galoisgruppen zusammenhängt. Der Name
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``auflösbare Gruppe'' ist vermutlich aus diesem Kontext heraus entstanden.
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„auflösbare Gruppe“ ist vermutlich aus diesem Kontext heraus entstanden.
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\begin{bsp}
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\begin{bsp}
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Die Permutationsgruppe $S_4$ ist auflösbar, denn es ist
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Die Permutationsgruppe $S_4$ ist auflösbar, denn es ist
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@ -128,7 +128,7 @@ Der folgende Satz gibt eine Idee, was möglich ist.
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sodass folgende Eigenschaften gelten.
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sodass folgende Eigenschaften gelten.
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\begin{enumerate}
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_18_4_Aussage_1} Die Gruppe $N$ kommt in der Auflösungskette
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\item\label{Satz_18_4_Aussage_1} Die Gruppe $N$ kommt in der Auflösungskette
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vor. Mit anderen Worten: $N ∈ \{N_{ℓ}, …, N_0\}$.
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vor. Mit anderen Worten: Es ist $N ∈ \{N_{ℓ}, …, N_0\}$.
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\item\label{Satz_18_4_Aussage_2} Die Quotienten $N_{i+1}/N_i$ sind zyklisch
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\item\label{Satz_18_4_Aussage_2} Die Quotienten $N_{i+1}/N_i$ sind zyklisch
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und von Primzahlordnung.
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und von Primzahlordnung.
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@ -148,8 +148,8 @@ Der folgende Satz gibt eine Idee, was möglich ist.
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\section{Einfache Gruppen: hier teilt und herrscht garantiert niemand}
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\section{Einfache Gruppen: hier teilt und herrscht garantiert niemand}
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\sideremark{Vorlesung 22}Es gibt natürlich Gruppen, bei denen die
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\sideremark{Vorlesung 22}Es gibt natürlich Gruppen, bei denen die
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||||||
Auflösungsstrategie völlig versagt. Das absolute Gegenteil einer ``auflösbaren
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Auflösungsstrategie völlig versagt. Das absolute Gegenteil einer „auflösbaren
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||||||
Gruppe'' ist eine Gruppe, die überhaupt keinen Normalteiler hat --- und damit
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Gruppe“ ist eine Gruppe, die überhaupt keinen Normalteiler hat --- und damit
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auch keinen interessanten Gruppenmorphismus in irgendeine andere Gruppe.
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auch keinen interessanten Gruppenmorphismus in irgendeine andere Gruppe.
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\begin{definition}[Einfache Gruppe]
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\begin{definition}[Einfache Gruppe]
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@ -161,10 +161,10 @@ auch keinen interessanten Gruppenmorphismus in irgendeine andere Gruppe.
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Wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist die Quotientengruppe $ℤ/(p)$ einfach.
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Wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist die Quotientengruppe $ℤ/(p)$ einfach.
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\end{bsp}
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\end{bsp}
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Das Wort ``einfach'' ist historisch begründet. Es bedeutet nicht ``leicht zu
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Das Wort „einfach“ ist historisch begründet. Es bedeutet nicht „leicht zu
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verstehen'', sondern ``mithilfe der Auflösungsstrategie nicht weiter zu
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verstehen“, sondern „mithilfe der Auflösungsstrategie nicht weiter zu zerlegen“.
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zerlegen''. Vielleicht hätte man statt dem missverständlichen Wort ``einfach''
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Vielleicht hätte man statt dem missverständlichen Wort „einfach“ besser von
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besser von ``atomaren'' Gruppen sprechen sollen. Aber auf mich hört ja niemand.
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„atomaren“ Gruppen sprechen sollen. Aber auf mich hört ja niemand.
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\begin{rem}
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\begin{rem}
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Wenn man alle endlichen Gruppen klassifizieren oder durch Auflösung
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Wenn man alle endlichen Gruppen klassifizieren oder durch Auflösung
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@ -182,18 +182,18 @@ besser von ``atomaren'' Gruppen sprechen sollen. Aber auf mich hört ja niemand
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alle Beweise auch publiziert worden. Über 100 Mathematiker waren von Ende
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alle Beweise auch publiziert worden. Über 100 Mathematiker waren von Ende
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der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt.
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der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt.
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\item Nach der ``Fertigstellung'' des Beweises um 1980 ist von führenden
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\item Nach der „Fertigstellung“ des Beweises um 1980 ist von führenden
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Mathematikern des Klassifikationsprogramms […] ein Programm aufgenommen
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Mathematikern des Klassifikationsprogramms […] ein Programm aufgenommen
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worden, den Beweis zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren. Dabei
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worden, den Beweis zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren. Dabei
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||||||
sind auch Lücken entdeckt worden, von denen die meisten ohne größere
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sind auch Lücken entdeckt worden, von denen die meisten ohne größere
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Komplikationen geschlossen werden konnten. Eine Lücke erwies sich allerdings
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Komplikationen geschlossen werden konnten. Eine Lücke erwies sich
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als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein Beweis
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allerdings als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein
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erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war.
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Beweis erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war.
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\item Ronald Solomon, Richard Lyons und Daniel Gorenstein begannen 1994 eine
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\item Ronald Solomon, Richard Lyons und Daniel Gorenstein begannen 1994 eine
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auf 12 Bände angelegte Darstellung des Beweises (GLS Projekt), das bei der
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auf 12 Bände angelegte Darstellung des Beweises (GLS Projekt), das bei der
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American Mathematical Society erscheint und voraussichtlich 2023
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American Mathematical Society erscheint und voraussichtlich \sout{2023}
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abgeschlossen sein wird.
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niemals abgeschlossen sein wird.
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\end{rem}
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\end{rem}
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@ -212,7 +212,7 @@ Der Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe} verwendet folgendes Lemma.
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noch einen 3-Zyklus enthält, dann ist $N = A_n$.
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noch einen 3-Zyklus enthält, dann ist $N = A_n$.
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\end{lemma}
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\end{lemma}
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\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Hilfssatz_algernierende_Gruppe}]
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\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Hilfssatz_algernierende_Gruppe}]
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\video{22-1}, verbessert am 09Feb21.
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\video{22-1}, verbessert am 9.~Februar 2021.
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\end{proof}
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe}]
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe}]
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22
21.tex
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21.tex
@ -4,27 +4,21 @@
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\chapter{Der Satz vom primitiven Element}
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\chapter{Der Satz vom primitiven Element}
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\label{chap:21}
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\label{chap:21}
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Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
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\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
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bereitgestellt.
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\bigskip
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Ich erinnere noch einmal an Definition~\ref{def:einfach} vom Anfang der
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Ich erinnere noch einmal an Definition~\ref{def:einfach} vom Anfang der
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Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element
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Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element $a ∈
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$a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. Das sind die Körpererweiterungen, die uns
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L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. Das sind die Körpererweiterungen, die uns am
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am wenigsten Angst machen --- dachten wir! Als erste Anwendung der
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wenigsten Angst machen --- dachten wir! Als erste Anwendung der Galoistheorie
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Galoistheorie möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen vor denen wir
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möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen vor denen wir schon immer
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schon immer Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind. Vielleicht haben wir
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Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind. Vielleicht haben wir uns nicht
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uns nicht genug gefürchtet?
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genug gefürchtet?
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\begin{satz}\label{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}
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\begin{satz}\label{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}
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Eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann einfach und algebraisch, wenn es
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Eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann einfach und algebraisch, wenn es
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nur endlich viele Zwischenkörper gibt.
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nur endlich viele Zwischenkörper gibt.
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||||||
\end{satz}
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\end{satz}
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||||||
\begin{proof}
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\begin{proof}
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Die Implikation ``einfach und algebraisch $⇒$ nur endliche viele
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Die Implikation „einfach und algebraisch $⇒$ nur endliche viele
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Zwischenkörper'' beweisen wir im \video{22-3}. Die Umkehrrichtung wird im
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Zwischenkörper“ beweisen wir im \video{22-3}. Die Umkehrrichtung wird im
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\video{22-4} gezeigt.
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\video{22-4} gezeigt.
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\end{proof}
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\end{proof}
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||||||
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||||||
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83
22.tex
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22.tex
@ -17,7 +17,7 @@ ist der Zerfällungskörper des Polynoms $x^n-1$.
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|||||||
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||||||
\begin{definition}[Kreisteilungskörper, Einheitswurzeln]\label{def:ktk}
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\begin{definition}[Kreisteilungskörper, Einheitswurzeln]\label{def:ktk}
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||||||
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Der Zerfällungskörper des Polynoms
|
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Der Zerfällungskörper des Polynoms
|
||||||
$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ wird als \emph{$n$-ter Kreisteilungskörper über
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$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ wird als \emph{$n$.ter Kreisteilungskörper über
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||||||
$ℚ$}\index{Kreisteilungskörper} bezeichnet. Die Schreibweise $L_n/ℚ$ ist
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$ℚ$}\index{Kreisteilungskörper} bezeichnet. Die Schreibweise $L_n/ℚ$ ist
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||||||
üblich.
|
üblich.
|
||||||
\end{definition}
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\end{definition}
|
||||||
@ -75,17 +75,16 @@ ist der Zerfällungskörper des Polynoms $x^n-1$.
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|||||||
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||||||
\sideremark{Vorlesung 23}Bevor es weitergeht, erinnere ich noch einmal an
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\sideremark{Vorlesung 23}Bevor es weitergeht, erinnere ich noch einmal an
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||||||
Beispiel~\vref{bsp:ehw} und an die Notation, die dort eingeführt wurde: Die
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Beispiel~\vref{bsp:ehw} und an die Notation, die dort eingeführt wurde: Die
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||||||
$n$-ten Einheitswurzeln waren genau die Nullstellen von $f_n$ im Körper
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$n$.ten Einheitswurzeln waren genau die Nullstellen von $f_n$ im Körper $L_n ⊂
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||||||
$L_n ⊂ \overline{ℚ} ⊂ ℂ$. Die $n$-ten Einheitswurzeln bilden mit der
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\overline{ℚ} ⊂ ℂ$. Die $n$.ten Einheitswurzeln bilden mit der Multiplikation
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||||||
Multiplikation als komplexe Zahlen eine zyklische Gruppe, die isomorph zu
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als komplexe Zahlen eine zyklische Gruppe, die isomorph zu $ℤ/(n)$ ist. Eine
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||||||
$ℤ/(n)$ ist. Eine $n$-te Einheitswurzel heißt \emph{primitiv}, falls sie die
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$n$.te Einheitswurzel heißt \emph{primitiv}, falls sie die Gruppe erzeugt.
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Gruppe erzeugt. Abbildung~\ref{fig:ehw} illustriert das am Beispiel der $6$.ten
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Abbildung~\ref{fig:ehw} illustriert das am Beispiel der $6$.ten und $8$.ten
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und $8$.ten Einheitswurzeln. Wir hatten in Beobachtung~\vref{beo:pe} auch schon
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Einheitswurzeln. Wir hatten in Beobachtung~\vref{beo:pe} auch schon diskutiert,
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diskutiert, wie viele primitive Einheitswurzeln es in der Gruppe der $n$.ten
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wie viele primitive Einheitswurzeln es in der Gruppe der $n$.ten Einheitswurzeln
|
||||||
Einheitswurzeln jeweils gibt: Die Anzahl wird durch die Eulersche $φ$-Funktion
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jeweils gibt: Die Anzahl wird durch die Eulersche $φ$-Funktion gegeben. Um die
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||||||
gegeben. Um die Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks
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Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks vollständig zu
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vollständig zu beantworten, müssen wir noch ein paar Dinge über diese Funktion
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beantworten, müssen wir noch ein paar Dinge über diese Funktion beweisen.
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beweisen.
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\begin{satz}[Mupltiplikative Eigenschaften der Eulerschen $φ$-Funktion]\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion}
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\begin{satz}[Mupltiplikative Eigenschaften der Eulerschen $φ$-Funktion]\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion}
|
||||||
@ -141,19 +140,19 @@ beweisen.
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|||||||
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\section{Kreisteilungspolynome}
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\section{Kreisteilungspolynome}
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||||||
Die $n$-ten Einheitswurzeln sind natürlich Nullstellen des Polynoms
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Die $n$.ten Einheitswurzeln sind natürlich Nullstellen des Polynoms $x^n-1 ∈
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||||||
$x^n-1 ∈ ℚ[x]$. Leider haben wir schon in Beispiel~\vref{bsp:7.2.7} gesehen,
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ℚ[x]$. Leider haben wir schon in Beispiel~\vref{bsp:7.2.7} gesehen, dass diese
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||||||
dass diese Polynome im Allgemeinen nicht irreduzibel sind. Um die
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Polynome im Allgemeinen nicht irreduzibel sind. Um die Kreisteilungskörper
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Kreisteilungskörper besser zu verstehen, müssen wir also die irreduziblen
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besser zu verstehen, müssen wir also die irreduziblen Faktoren diskutieren. Das
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Faktoren diskutieren. Das kommt jetzt.
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kommt jetzt.
|
||||||
|
|
||||||
\begin{definition}[$n$-tes Kreisteilungspolynom]
|
\begin{definition}[$n$-tes Kreisteilungspolynom]
|
||||||
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Bezeichne die primitiven $n$-ten Einheitswurzeln
|
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Bezeichne die primitiven $n$.ten Einheitswurzeln
|
||||||
mit $ξ_1, …, ξ_{φ(n)}$. Das Polynom
|
mit $ξ_1, …, ξ_{φ(n)}$. Das Polynom
|
||||||
\begin{equation*}
|
\begin{equation*}
|
||||||
Φ_n := \prod_{i=1}^{φ(n)} (x-ξ_i) ∈ ℂ[x]
|
Φ_n := \prod_{i=1}^{φ(n)} (x-ξ_i) ∈ ℂ[x]
|
||||||
\end{equation*}
|
\end{equation*}
|
||||||
heißt $n$-tes \emph{Kreisteilungspolynom}\index{Kreisteilungspolynom}. Es
|
heißt $n$.tes \emph{Kreisteilungspolynom}\index{Kreisteilungspolynom}. Es
|
||||||
gilt $\deg Φ_n = φ(n)$.
|
gilt $\deg Φ_n = φ(n)$.
|
||||||
\end{definition}
|
\end{definition}
|
||||||
|
|
||||||
@ -163,16 +162,16 @@ Kreisteilungspolynomen zusammen.
|
|||||||
\begin{satz}[Wesentliche Eigenschaften von Kreisteilungspolynomen]\label{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom}
|
\begin{satz}[Wesentliche Eigenschaften von Kreisteilungspolynomen]\label{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom}
|
||||||
Es ist $Φ_1(x)= x-1$. Für jede Zahl $n ∈ ℕ$ gilt die Gleichung
|
Es ist $Φ_1(x)= x-1$. Für jede Zahl $n ∈ ℕ$ gilt die Gleichung
|
||||||
\begin{equation}\label{eq:x2}
|
\begin{equation}\label{eq:x2}
|
||||||
x^n-1=\prod_{d|n}Φ_d(x)
|
x^n-1=\prod_{d|n}Φ_d(x).
|
||||||
\end{equation}
|
\end{equation}
|
||||||
\end{satz}
|
\end{satz}
|
||||||
\begin{proof}
|
\begin{proof}
|
||||||
Die Aussage über $φ_1$ ist trivial. Wenn eine Zahl $n ∈ ℕ$ und eine beliebige
|
Die Aussage über $φ_1$ ist trivial. Wenn eine Zahl $n ∈ ℕ$ und eine beliebige
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$n$-te Einheitswurzel $ξ$ ist, mit Ordnung $d := \ord ξ$, dann ist $ξ$ eine
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$n$.te Einheitswurzel $ξ$ ist, mit Ordnung $d := \ord ξ$, dann ist $ξ$ eine
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primitive $d$-te Einheitswurzel. Also ist $ξ$ eine Nullstelle von $Φ_d$ --
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primitive $d$.te Einheitswurzel. Also ist $ξ$ eine Nullstelle von $Φ_d$ --
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und von keinem anderen Kreisteilungspolynom $φ_{d'}$! Wir erkennen, dass auf
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und von keinem anderen Kreisteilungspolynom $φ_{d'}$! Wir erkennen, dass auf
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der linken und der rechten Seite von \eqref{eq:x2} zwei komplexe Polynome
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der linken und der rechten Seite von \eqref{eq:x2} zwei komplexe Polynome
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stehen, deren Nullstellenmenge jeweils exakt die Menge der $n$-ten
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stehen, deren Nullstellenmenge jeweils exakt die Menge der $n$.ten
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Einheitswurzeln ist. Außerdem haben sowohl die linke als auch rechte Seite
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Einheitswurzeln ist. Außerdem haben sowohl die linke als auch rechte Seite
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von Gleichung \eqref{eq:x2} nur einfache Nullstellen. Außerdem sind linke und
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von Gleichung \eqref{eq:x2} nur einfache Nullstellen. Außerdem sind linke und
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rechte Seite von Gleichung \eqref{eq:x2} normiert. Dann müssen die Seiten der
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rechte Seite von Gleichung \eqref{eq:x2} normiert. Dann müssen die Seiten der
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@ -209,7 +208,7 @@ aber ein wenig langwierig. Ich lasse ihn daher weg.
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für alle $n ∈ ℕ$ ist $Φ_n(x) ∈ ℤ[x]$. \qed
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für alle $n ∈ ℕ$ ist $Φ_n(x) ∈ ℤ[x]$. \qed
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\end{fakt}
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\end{fakt}
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Durch ``Reduktion modulo $p$'' zeigt man folgenden Fakt, den wir hier ebenfalls
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Durch „Reduktion modulo $p$“ zeigt man folgenden Fakt, den wir hier ebenfalls
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nicht beweisen.
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nicht beweisen.
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\begin{fakt}
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\begin{fakt}
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@ -220,10 +219,10 @@ nicht beweisen.
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\section{Die Kreisteilungskörper}
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\section{Die Kreisteilungskörper}
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Wir hatten in Definition~\ref{def:ktk} den Zerfällungskörper des Polynoms
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Wir hatten in Definition~\ref{def:ktk} den Zerfällungskörper des Polynoms
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$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$-ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genannt und
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$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$.ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genannt und
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mit $L_n/ℚ$ bezeichnet. Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/ℚ$
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mit $L_n/ℚ$ bezeichnet. Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/ℚ$
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natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen. Wähle dazu
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natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen. Wähle dazu
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eine primitive $n$-te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$
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eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$
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ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$-te
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ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$-te
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Kreisteilungspolynom $Φ_n$. Also ist
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Kreisteilungspolynom $Φ_n$. Also ist
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\begin{equation*}
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\begin{equation*}
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@ -314,26 +313,25 @@ erhaltene Konstruktionsweg dann immer besonders elegant oder praktisch gut
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umsetzbar ist, steht natürlich noch auf einem anderen Blatt.
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umsetzbar ist, steht natürlich noch auf einem anderen Blatt.
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\begin{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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Warten Sie das Ende der Pandemie ab. Wenn Sie überleben, kaufen Sie sich
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Warten Sie die Klausur ab. Wenn Sie überleben, kaufen Sie sich weiße
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weiße Zauberkünstlerhandschuhe und fahren Sie nach Göttingen. Ziehen Sie sich
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Zauberkünstlerhandschuhe und fahren Sie nach Göttingen. Ziehen Sie sich gut
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gut an (sie müssen seriös wirken!) und begeben Sie sich in die Bunsenstraße
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an (sie müssen seriös wirken!) und begeben Sie sich in die Bunsenstraße 3--5.
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3--5.
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\begin{enumerate}
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\begin{enumerate}
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\item Bewundern Sie das schlichte, lichtdurchflutete und funktionale Gebäude,
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\item Bewundern Sie das schlichte, lichtdurchflutete und funktionale Gebäude,
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das 1929 von David Hilbert und Richard
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das 1929 von David Hilbert und Richard
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Courant\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Courant}{Richard
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Courant\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Courant}{Richard
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Courant} (* 8. Januar 1888 in Lublinitz, Oberschlesien; † 27. Januar
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Courant} (* 8.~Januar 1888 in Lublinitz, Oberschlesien; † 27.~Januar 1972 in
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1972 in New York) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.} eröffnet
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New York) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.} eröffnet wurde,
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wurde, dessen Planung aber noch auf Felix
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dessen Planung aber noch auf Felix
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Klein\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein}{Felix
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Klein\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein}{Felix
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Christian Klein} (* 25. April 1849 in Düsseldorf; † 22. Juni 1925 in
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Christian Klein} (* 25.~April 1849 in Düsseldorf; † 22.~Juni 1925 in
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Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.} zurückgeht. Der Bau wurde
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Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.} zurückgeht. Der Bau wurde
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damals, vermutlich zu Ehren von Hilbert, von der amerikanischen
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damals, vermutlich zu Ehren von Hilbert, von der amerikanischen
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Rockefeller-Stiftung finanziert. Er gilt noch heute als Meilenstein der
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Rockefeller-Stiftung finanziert. Er gilt noch heute als Meilenstein der
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Architektur.
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Architektur.
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\item\label{il:f45} Betreten Sie die Bibliothek und bitten Sie die
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\item\label{il:f45} Betreten Sie die Bibliothek und bitten Sie die
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Bibliothekarin sehr höflich um ``den Koffer''. Zeigen Sie ihre weißen
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Bibliothekarin sehr höflich um „den Koffer“. Zeigen Sie ihre weißen
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Handschuhe. Lächeln Sie, um alle Umstehenden von ihren harmlosen Absichten
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Handschuhe. Lächeln Sie, um alle Umstehenden von ihren harmlosen Absichten
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zu überzeugen.
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zu überzeugen.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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@ -355,18 +353,19 @@ Konstruktionsprojekt:
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Koeffizientenschemata, die sich am Ende zu einem Zahlen- und Symbolmix
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Koeffizientenschemata, die sich am Ende zu einem Zahlen- und Symbolmix
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gewaltigen Ausmaßes fügen.
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gewaltigen Ausmaßes fügen.
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\end{quotation}
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\end{quotation}
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Im Gegensatz zur ``Zeit'' sahen die Göttinger Kollegen Hermes' Bemühungen damals
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Im Gegensatz zur „Zeit“ sahen die Göttinger Kollegen Hermes' Bemühungen damals
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recht kritisch: ``Ich rechne ja auch nicht die binomische Formel für alle Werte
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recht kritisch: „Ich rechne ja auch nicht die binomische Formel für alle Werte
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bis 10.000.000 nach''. Dennoch empfehle ich den Besuch. Bewundern Sie die
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bis 10.000.000 nach.“ Dennoch empfehle ich den Besuch. Bewundern Sie die
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feinen Konstruktionen und die enorme handwerkliche Qualität. Suhlen Sie sich in
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feinen Konstruktionen und die enorme handwerkliche Qualität. Suhlen Sie sich in
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der Aura der Sinnlosigkeit. Beenden Sie Ihren Besuch, indem Sie sich die
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der Aura der Sinnlosigkeit. Beenden Sie Ihren Besuch, indem Sie sich die
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historische Sammlung mathematischer Modelle anschauen.
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historische Sammlung mathematischer Modelle anschauen.
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\begin{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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Finden Sie heraus, warum das weltberühmte \emph{Mathematical Sciences Research
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Finden Sie heraus, warum das weltberühmte
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Institute} in Berkeley, Kalifornien die Adresse ``17 Gauss Way'' hat, obwohl
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\foreignlanguage{english}{\emph{Mathematical Sciences Research Institute}} in
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das MSRI der einzige Gebäudekomplex der Straße ist. Fahren Sie hin und
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Berkeley, Kalifornien die Adresse „\foreignlanguage{english}{17 Gauss Way}“
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schauen Sie sich die Tafel am Eingang an. Oder lesen Sie
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hat, obwohl das MSRI der einzige Gebäudekomplex in der Straße ist. Fahren Sie
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hin und schauen Sie sich die Tafel am Eingang an. Oder lesen Sie
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\href{https://www.msri.org/people/staff/levy/files/17gon/poster1.pdf}{hier}.
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\href{https://www.msri.org/people/staff/levy/files/17gon/poster1.pdf}{hier}.
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\end{aufgabe}
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\end{aufgabe}
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@ -13,6 +13,7 @@
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\input{gfx/paperVersion-working}
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\input{gfx/paperVersion-working}
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\usepackage{makeidx}
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\usepackage{makeidx}
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\usepackage{tikz-cd}
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\usepackage{tikz-cd}
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\usepackage{ulem}
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\makeindex
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\makeindex
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\author{Stefan Kebekus}
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\author{Stefan Kebekus}
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