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@ -6,12 +6,12 @@
\sideremark{Vorlesung 12}Bevor es richtig losgeht, stelle ich schnell noch
einige Grundbegriffe zusammen, die wir später an allen möglichen Stellen
brauchen. Den ersten Begriff erkläre ich am besten an einem Beispiel: betrachte
den Körper $ℂ$. Wenn $K ⊂ ℂ$ irgendein Unterkörper ist, dann enthält
$K$ auf jeden Fall die Zahlen $0$ und $1$, und damit auch $2=1+1$, das additive
Inverse $-2$, das multiplikative Inverse $\frac{1}{2}$, …. Am Ende erkennen wir,
dass $K$ den gesamten Unterkörper $ℚ$ enthalten muss. In diesem Sinne ist
$ℚ$ also der kleinste Unterkörper von $ℂ$. Das definieren wir jetzt für
beliebige Körper. Die folgende Beobachtung wiederholt \vref{bsp:3-1-2a}.
den Körper $ℂ$. Wenn $K ⊂ ℂ$ irgendein Unterkörper ist, dann enthält $K$ auf
jeden Fall die Zahlen $0$ und $1$, und damit auch $2=1+1$, das additive Inverse
$-2$, das multiplikative Inverse $\frac{1}{2}$, …. Am Ende erkennen wir, dass
$K$ den gesamten Unterkörper $ℚ$ enthalten muss. In diesem Sinne ist $ℚ$ also
der kleinste Unterkörper von $ℂ$. Das definieren wir jetzt für beliebige
Körper. Die folgende Beobachtung wiederholt \vref{bsp:3-1-2a}.
\begin{beobachtung}
Es sei $L$ ein Körper, und es seien $(K_i)_{i ∈ I}$ Unterkörper. Dann ist
@ -27,8 +27,8 @@ definieren.
\end{definition}
\begin{notation}
Sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl. Dann ist $(p) ⊂ ℤ$ ein maximales Ideal
und $ℤ/(p)$ ist ein Körper, der mit $𝔽_p$ bezeichnet wird.
Sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl. Dann ist $(p) ⊂ ℤ$ ein maximales Ideal und $ℤ/(p)$
ist ein Körper, der mit $𝔽_p$ bezeichnet wird.
\end{notation}
Für Primkörper gibt es gar nicht viele Möglichkeiten.
@ -50,15 +50,15 @@ Für Primkörper gibt es gar nicht viele Möglichkeiten.
\end{definition}
\begin{satz}
Es sei $K$ ein endlicher Körper. Dann hat $K$ hat positive Charakteristik,
$p = \operatorname{char}(K) > 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, so das
$K$ genau $p^m$ Elemente hat.
Es sei $K$ ein endlicher Körper. Dann hat $K$ hat positive Charakteristik, $p
= \operatorname{char}(K) > 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, so das $K$ genau
$p^m$ Elemente hat.
\end{satz}
\begin{proof}
Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen. Also ist
$p = \operatorname{char}(K) > 0$. Weil $K$ endlich ist, ist der
Erweiterungsgrad $m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich. Ein
$m$-dimensionaler Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente.
Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen. Also ist $p =
\operatorname{char}(K) > 0$. Weil $K$ endlich ist, ist der Erweiterungsgrad
$m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich. Ein $m$-dimensionaler
Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente.
\end{proof}
Ich erinnere noch einmal an einige Körper, die wir in den vergangenen Kapiteln

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@ -36,11 +36,11 @@ Der folgende Satz beantwortet die bescheidenere Frage, ob ein einzelnes
gegebenes Polynom $f ∈ K[x]$ immer eine Nullstelle in einem geeigneten
Oberkörper hat.
\begin{satz}\label{satz:12-1-2}
\begin{satz}\label{satz:12-1-2}%
Sei $K$ ein Körper und $f∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Dann gibt es
einen Oberkörper $L ⊃ K$, in dem $f$ eine Nullstelle hat. Genauer: es sei $g$
ein nicht-konstanter irreduzibler Faktor von $f$. Dann hat $g$ im Körper
$L := K[x]/(g)$ eine Nullstelle.
ein nicht-konstanter irreduzibler Faktor von $f$. Dann hat $g$ im Körper $L
:= K[x]/(g)$ eine Nullstelle.
\end{satz}
Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt
@ -107,7 +107,7 @@ wirklich sein soll.
\end{bsp}
\begin{bsp}
Wenn $L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist und $K⊂ L$ ein
Wenn $L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist und $K ⊂ L$ ein
Unterkörper, dann ist der aus Satz und Definition~\vref{satzdef:aaieO}
bekannte algebraische Abschluss von $K$ in $L$,
\[
@ -123,7 +123,7 @@ wirklich sein soll.
über $K$. Also ist $a∈\overline{K}$.
\end{bsp}
\begin{defn}[Algebraischer Abschluss eines Körpers]\label{def:aAeK}
\begin{defn}[Algebraischer Abschluss eines Körpers]\label{def:aAeK}%
Es sei $K$ ein Körper. Ein Oberkörper $L/K$ heißt \emph{algebraischer
Abschluss von $K$}\index{Algebraischer Abschluss!eines Körpers}, wenn
Folgendes gilt.
@ -183,8 +183,8 @@ Schlagwort „Symmetrien einer Körpererweiterung“ diskutiert.
\end{definition}
\begin{bsp}
Betrachte die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. Die komplexe Konjugation
$\varphi: ℂ → ℂ$ ist ein $ℝ$-Morphismus von $ℂ$ nach $ℂ$.
Betrachte die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. Die komplexe Konjugation $\varphi: ℂ →
ℂ$ ist ein $ℝ$-Morphismus von $ℂ$ nach $ℂ$.
\end{bsp}
Der folgende Satz beschreibt die universelle Eigenschaft des algebraischen
@ -192,25 +192,24 @@ Abschluss. Dieser Satz ist absolut zentral für die kommende Diskussion; er ist
der eigentliche Grund, warum Galois-Theorie überhaupt funktioniert. Wieder
werde ich den Satz aus Zeitgründen nicht beweisen.
\begin{satz}[Universelle Eigenschaft des algebraischen Abschluss]\label{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}
\begin{satz}[Universelle Eigenschaft des algebraischen Abschluss]\label{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}%
Es sei $K$ ein Körper und es sei $\overline{K}$ ein algebraischer Abschluss
von $K$. Zusätzlich seien weitere algebraische Körpererweiterungen
$K ⊆ L_0 ⊆ L$ von $K$ gegeben, sowie ein $K$-Morphismus
von $K$. Zusätzlich seien weitere algebraische Körpererweiterungen $K ⊆ L_0 ⊆
L$ von $K$ gegeben, sowie ein $K$-Morphismus
\begin{equation*}
\varphi_0 : L_0 → \overline{K}.
\end{equation*}
Dann existiert eine Fortsetzung von $\varphi_0$ zu einem $K$-Morphismus
$\varphi : L → \overline{K}$. Mit anderen Worten: es existiert ein
$K$-Morphismus $\varphi : L → \overline{K}$, sodass
$\varphi|_{L_0} = \varphi_0$ ist. \qed
$K$-Morphismus $\varphi : L → \overline{K}$, sodass $\varphi|_{L_0} =
\varphi_0$ ist. \qed
\end{satz}
\begin{bsp}
Es sei $K = L_0 = ℝ$, es sei $\overline{K} = L = ℂ$. Weiter sei
$\varphi_0 : ℝ → ℝ$ die Identität. Dann gibt es \emph{zwei} Fortsetzungen von
$\varphi_0$ zu einem $ℝ$-Morphismus $\varphi: ℂ → ℂ$; wir können für $\varphi$
einerseits die Identität nehmen, andererseits ist auch die
Konjugationsabbildung möglich.
Es sei $K = L_0 = ℝ$, es sei $\overline{K} = L = ℂ$. Weiter sei $\varphi_0 :
ℝ → ℝ$ die Identität. Dann gibt es \emph{zwei} Fortsetzungen von $\varphi_0$
zu einem $ℝ$-Morphismus $\varphi: ℂ → ℂ$; wir können für $\varphi$ einerseits
die Identität nehmen, andererseits ist auch die Konjugationsabbildung möglich.
\end{bsp}
Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des
@ -218,7 +217,7 @@ algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Obwohl die
Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz
korrekt von „dem“ algebraischen Abschluss.
\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa}
\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa}%
Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei
algebraische Abschlüsse. Dann gibt es einen $K$-Isomorphismus $K_1 → K_2$.
\end{kor}

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@ -24,16 +24,16 @@ Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt.
\begin{bemerkung}
Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die
Nullstellen des Polynoms $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente
$a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung.
Nullstellen des Polynoms $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente $a_1, …,
a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung.
\end{bemerkung}
Der folgende Satz fasst die ersten Eigenschaften von Zerfällungskörpern
zusammen.
\begin{satz}\label{satz:13-0-3}
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.
Dann gilt Folgendes.
\begin{satz}\label{satz:13-0-3}%
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Dann
gilt Folgendes.
\begin{enumerate}
\item Das Polynom $f$ besitzt einen Zerfällungskörper.
@ -69,17 +69,15 @@ Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der
komplexen Zahlen konstruieren wird.
\begin{bsp}
Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x²-2 ∈ ℚ[x]$. Dann ist
$L = ℚ(\sqrt 2,-\sqrt2) = ℚ(\sqrt2) ⊆ ℝ$ ein Zerfällungskörper
von $f$.
Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x²-2 ∈ ℚ[x]$. Dann ist $L = ℚ(\sqrt 2,-\sqrt2)
= ℚ(\sqrt2) ⊆ ℝ$ ein Zerfällungskörper von $f$.
\end{bsp}
\begin{bsp}
Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Betrachte die komplexe Zahl
$ξ := e^{\frac{2π i}{3}}$. Dann sind die komplexen Zahlen
$a_0 := \sqrt[3]{2}$, $a_1 := ξ·\sqrt[3]{2}$ und $a_2 := ξ_3²·\sqrt[3]{2}$
genau die komplexen Nullstellen von $f$. Also ein Zerfällungskörper gegeben
durch
Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Betrachte die komplexe Zahl $ξ
:= e^{\frac{2π i}{3}}$. Dann sind die komplexen Zahlen $a_0 := \sqrt[3]{2}$,
$a_1 := ξ·\sqrt[3]{2}$ und $a_2 := ξ_3²·\sqrt[3]{2}$ genau die komplexen
Nullstellen von $f$. Also ein Zerfällungskörper gegeben durch
\[
L = ℚ(a_0, a_1, a_2) = ℚ \Bigl(\sqrt[3]{2}, ξ \Bigr).
\]
@ -101,7 +99,7 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von „Symmetrien“ auf
sich hat.
\begin{situation}\label{sit:gal}
\begin{situation}\label{sit:gal}%
Es sei $K$ ein Körper, es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom und es
sei $L/K$ ein Zerfällungskörper von $f$. Weiter seien $a_1, …, a_n$ die
Nullstellen von $f$ in $L$.
@ -112,7 +110,7 @@ beiden Beobachtungen klären die Frage fast vollständig. Die Beobachtungen
zeigen auch, dass es sich bei der Frage um ein kombinatorisches Problem handelt,
das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen geben Permutationen]\label{beob:p1}
\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen geben Permutationen]\label{beob:p1}%
In Situation~\ref{sit:gal} sei $\varphi: L → L$ ein $K$-Morphismus. Schreibe
$f(x) = \sum b_i·xⁱ$. Wenn $a_• ∈ L$ eine der Nullstellen von $f$ ist, dann
ist
@ -130,7 +128,7 @@ das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
\end{equation}
\end{beobachtung}
\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen sind durch Permutationen eindeutig beschrieben]\label{beob:p2}
\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen sind durch Permutationen eindeutig beschrieben]\label{beob:p2}%
In Situation~\ref{sit:gal} wissen wir schon, dass $L = K(a_1, …, a_n)$ ist.
Ich kann also jedes Element $ℓ ∈ L$ als endliche Summe schreiben,
\[
@ -169,18 +167,18 @@ einfach mal nicht mache. Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer
\emph{endliche} Summen sind. Insbesondere treten in jedem einzelnen Polynom
immer nur endlich viele Variablen auf.
\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:ringad}
\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:ringad}%
Es sei $S$ ein Ring und es sei $R ⊂ S$ ein Unterring. Weiter sei
$(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Familie von Elementen aus $S$. Dann bezeichnet man mit
$R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ das Bild von $R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ unter
dem Substitutionsmorphismus
$R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ das Bild von $R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ unter dem
Substitutionsmorphismus
\[
R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr] → S, \quad f(x_{λ_1}, …, x_{λ_m}) ↦
f(a_{λ_1}, …, a_{λ_m})
\]
Man sagt, der Unterring $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊂ S$ entsteht aus
$R$ durch \emph{Adjunktion} der Elemente $(a_λ)_{λ∈Λ}$. Den Vorgang nennt
man \emph{Ringadjunktion}\index{Ringadjunktion}.
Man sagt, der Unterring $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊂ S$ entsteht aus $R$ durch
\emph{Adjunktion} der Elemente $(a_λ)_{λ∈Λ}$. Den Vorgang nennt man
\emph{Ringadjunktion}\index{Ringadjunktion}.
\end{defn}
\begin{beobachtung}
@ -202,8 +200,7 @@ Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von
dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper
$K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)$ vergleichen. Offenbar gilt immer
\[
K ⊆ K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊆ K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)
⊆ L.
K ⊆ K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊆ K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) ⊆ L.
\]
Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht. Die Sätze klären auch
noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert
@ -221,8 +218,8 @@ auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
\begin{proof}
Wir wissen schon, dass $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ der kleinste Unterring des
Körpers $L$ ist, der $K$ und $(a_λ)_{λ∈Λ}$ enthält. Gemäß der universellen
Eigenschaft ist der Quotientenkörper der kleinste Körper, der
$K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ enthält, also gleich $K\bigl((a_λ)_{λ∈Λ}\bigr)$.
Eigenschaft ist der Quotientenkörper der kleinste Körper, der $K\bigl[
(a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ enthält, also gleich $K\bigl((a_λ)_{λ∈Λ}\bigr)$.
\end{proof}
\begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
@ -236,8 +233,8 @@ auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
K(a) = K + K·a + ⋯ + K·a^{n-1}
\end{equation*}
wobei $n= [a : K]$ ist. Also ist $K(a) = K[a]$. Wenn das Elemente $a$
transzendent ist, dann ist $K[x] ≅ K[a]$ kein Körper und deshalb ist
$K[a] ≠ K(a)$.
transzendent ist, dann ist $K[x] ≅ K[a]$ kein Körper und deshalb ist $K[a] ≠
K(a)$.
\end{proof}
\begin{kor}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]

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14.tex
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@ -13,7 +13,7 @@ Nullstellen beschrieben sind, frage ich mich vermutlich als erstes, wie viele
Nullstellen es eigentlich gibt. Kann es überhaupt vorkommen, dass $a$ eine
mehrfache Nullstelle von $f$ ist?
\begin{beobachtung}\label{beo:14-0-1}
\begin{beobachtung}\label{beo:14-0-1}%
Wenn $K = ℚ$ ist, geht das nicht. Denn wenn $a$ eine mehrfache Nullstelle
ist, also $f = (x-a)²·g ∈ ℂ[x]$ wäre, dann kann ich die Ableitung betrachten,
\[
@ -46,14 +46,14 @@ Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren:
\end{matrix}
\right.
\]
In der Praxis ist man meist zu faul und schreibt statt $φ(n) ∈ R$ einfach
$n ∈ R$. Aber Achtung! Die Abbildung $φ$ ist nicht immer injektiv! Es gilt
zum Beispiel $p = 0 ∈ 𝔽_p$.
In der Praxis ist man meist zu faul und schreibt statt $φ(n) ∈ R$ einfach $n ∈
R$. Aber Achtung! Die Abbildung $φ$ ist nicht immer injektiv! Es gilt zum
Beispiel $p = 0 ∈ 𝔽_p$.
\end{notation}
\begin{definition}[Formale Ableitung]\label{Def_formale_Ableitung}
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Wenn jetzt ein Polynom
$f = \sum_{i=0}^{n}a_i·xⁱ ∈ R[x]$ gegeben ist, dann nenne das Polynom
\begin{definition}[Formale Ableitung]\label{Def_formale_Ableitung}%
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Wenn jetzt ein Polynom $f =
\sum_{i=0}^{n}a_i·xⁱ ∈ R[x]$ gegeben ist, dann nenne das Polynom
\begin{equation*}
f' = \sum_{i=1}^{n} i· a_i· x^{i-1}∈ R[x]
\end{equation*}
@ -62,7 +62,7 @@ Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren:
Iteration der Ableitung definiert.
\end{definition}
\begin{bemerkung}[Ableitung kann überraschend verschwinden]\label{bem:14-1-3}
\begin{bemerkung}[Ableitung kann überraschend verschwinden]\label{bem:14-1-3}%
Es kann vorkommen, dass $\deg f >0$ ist, aber trotzdem $f' = 0$. Wenn nämlich
Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$, beispielsweise $K = 𝔽_p$. Dann
ist $p = 0 ∈ R$ und das Polynom $f(x) = x^p$ hat daher die formale Ableitung
@ -72,7 +72,7 @@ Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren:
Trotzdem ist $f$ aber nicht konstant, denn $f(1) = 1$ und $f(0) = 0$.
\end{bemerkung}
\begin{satz}[Rechenregeln für die formale Ableitung]\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung}
\begin{satz}[Rechenregeln für die formale Ableitung]\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung}%
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $f$, $g ∈ R[x]$.
Weiter sei ein Element $r ∈ R$ gegeben. Dann gilt Folgendes.
\begin{enumerate}
@ -107,7 +107,7 @@ bestimmen. Was war noch einmal die Ordnung?
in $R[x]$ gelten.
\end{defn}
\begin{kor}\label{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle}
\begin{kor}\label{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle}%
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei ein Polynom $f ∈ R[x]$
der Form $f = (x-a)^m· g$ gegeben, mit $a∈ R$ und $g∈ R[x]$. Dann ist
\begin{equation*}
@ -124,11 +124,10 @@ bestimmen. Was war noch einmal die Ordnung?
\begin{equation*}
f(a) = f'(a) = ⋯ = f^{(m-1)}(a) = 0
\end{equation*}
ist. Wenn $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, also insbesondere
$m! ≠ 0 ∈ R$ ist, dann ist $f^{(m)}(a) ≠ 0$, wenn $a$ eine $m$-fache
Nullstelle von $f$ ist. Wir haben aber schon in Bemerkung~\ref{bem:14-1-3}
gesehen, dass man über beliebigen Körpern die Nullstellenordnung so nicht
bestimmen kann!
ist. Wenn $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, also insbesondere $m! ≠
0 ∈ R$ ist, dann ist $f^{(m)}(a) ≠ 0$, wenn $a$ eine $m$-fache Nullstelle von
$f$ ist. Wir haben aber schon in Bemerkung~\ref{bem:14-1-3} gesehen, dass man
über beliebigen Körpern die Nullstellenordnung so nicht bestimmen kann!
\end{beobachtung}
@ -155,7 +154,7 @@ diese Abbildung \textbf{linear} ist!
Gibt es eine solche Zahl nicht, so sagt man, dass $R$ Charakteristik 0 hat.
\end{defn}
\begin{satzdef}[Frobenius-Endomorphismus]\label{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus}
\begin{satzdef}[Frobenius-Endomorphismus]\label{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus}%
Es sei $p$ eine Primzahl und es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins der
Charakteristik $p$. Dann ist die Abbildung
\begin{equation*}
@ -199,8 +198,7 @@ Definition.
\emph{separabel}\index{separabel!Polynom}, wenn $f$ keine mehrfachen
Nullstellen in $\overline{K}$ hat. Ein beliebiges nicht-konstantes Polynom
heißt separabel, wenn alle irreduziblen Faktoren separabel sind.
Nicht-separable Polynome heißen
\emph{inseparabel}\index{inseparabel!Polynom}.
Nicht-separable Polynome heißen \emph{inseparabel}\index{inseparabel!Polynom}.
\end{defn}
\begin{warnung}
@ -210,7 +208,7 @@ Definition.
Separable Polynome können mithilfe des Frobenius-Morphismus genau beschrieben
werden.
\begin{satz}\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel}
\begin{satz}\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel}%
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein irreduzibles Polynom. Dann
sind die folgenden Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
@ -318,33 +316,33 @@ separabel, wenn alle Elemente separabel sind.
\sideremark{Vorlesung 15}
\begin{satz}\label{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper}
\begin{satz}\label{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper}%
Wenn $L/K$ eine separable Körpererweiterung ist und $Z$ ein Zwischenkörper,
dann sind auch $L/Z$ und $Z/K$ separabel.
\end{satz}
\begin{proof}
Es ist klar, dass $Z/K$ separabel ist. Sei jetzt also $a ∈ L$. Wir müssen
zeigen, dass $a$ separabel über $Z$ ist. Dazu beobachten wird, dass das
Minimalpolynom von $a$ über $Z$ das Minimalpolynom von $a$ über $K$ teilt. Das
letztere hat aber keine mehrfachen Nullstellen, also hat auch das erste keine
mehrfachen Nullstellen.
Minimalpolynom von $a$ über $Z$ das Minimalpolynom von $a$ über $K$ teilt.
Das letztere hat aber keine mehrfachen Nullstellen, also hat auch das erste
keine mehrfachen Nullstellen.
\end{proof}
\subsection{Separabilität und Anzahl von $K$-Morphismen}
Im Folgenden ist ein wesentlicher Punkt, dass sich endliche separable
Körpererweiterungen $L/K$ durch die Anzahl der $K$-Homomorphismen
$L → \overline{K}$ charakterisieren lassen. Als Anwendung erhalten wir eine
Reihe von Sätzen und Korollaren über separable Erweiterungen, die wir schon in
ganz ähnlicher Form (und mit ganz ähnlichen Beweisen) für algebraische
Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
Körpererweiterungen $L/K$ durch die Anzahl der $K$-Homomorphismen $L →
\overline{K}$ charakterisieren lassen. Als Anwendung erhalten wir eine Reihe
von Sätzen und Korollaren über separable Erweiterungen, die wir schon in ganz
ähnlicher Form (und mit ganz ähnlichen Beweisen) für algebraische Erweiterungen
kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
\begin{lemma}\label{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen}
\begin{lemma}\label{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen}%
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $a ∈ L$ sei algebraisch über $K$, mit
Minimalpolynom $f ∈ K[x] ⊆ L[x]$. Wenn $m$ die Anzahl der Nullstellen von $f$
in $L$ bezeichnet, dann gibt es genau $m$ verschiedene $K$-Morphismen
$σ : K(a) → L$.
in $L$ bezeichnet, dann gibt es genau $m$ verschiedene $K$-Morphismen $σ :
K(a) → L$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: Jeder
@ -357,9 +355,9 @@ Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
\varphi_a : K[x] → K(a), \quad g ↦ g(a) \qquad\text{und}\qquad \varphi_b : K[x] → L, \quad g ↦ g(b).
\end{equation*}
Weil $f(a) = f(b) = 0$ ist, ist $f ∈ \ker \varphi_a$ und $f ∈ \ker \varphi_b$.
Weil $f$ irreduzibel ist, muss aber schon die Gleichheit
$(f) = \ker \varphi_a = \ker \varphi_b$ gelten. Also liefern $\varphi_a$ und
$\varphi_b$ $K$-Morphismen
Weil $f$ irreduzibel ist, muss aber schon die Gleichheit $(f) = \ker \varphi_a
= \ker \varphi_b$ gelten. Also liefern $\varphi_a$ und $\varphi_b$
$K$-Morphismen
\begin{equation*}
\factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_a} K(a) \qquad\text{und}\qquad \factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_b} L,
\end{equation*}
@ -373,7 +371,7 @@ die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren. Als Konsequenz erhalten wir
eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der „algebraischen
Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen.
\begin{satz}\label{Satz_11_10}
\begin{satz}\label{Satz_11_10}%
Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung
und es sei $n := [L:K]$. Dann gilt Folgendes.
\begin{enumerate}
@ -396,9 +394,9 @@ Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen.
Man bette $M$ in $\overline{K}$ ein.
\end{proof}
\begin{kor}
Sei $L = K[a_1, …, a_t]$, wobei $a_i$ stets separabel über
$K[a_1, …, a_{i-1}]$ ist. Dann ist $L/K$ separabel.
\begin{kor}\label{cor:14-4-7}%
Sei $L = K(a_1, …, a_t)$, wobei $a_i$ stets separabel über $K(a_1, …,
a_{i-1})$ ist. Dann ist $L/K$ separabel.
\end{kor}
\begin{proof}
Der Beweis von \ref{Satz_11_10} zeigt, dass es $n=\prod n_i$ viele
@ -411,22 +409,25 @@ Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen.
separabel.
\end{kor}
\begin{proof}
Wir wissen schon, dass $M/K$ algebraisch ist. Sei $a∈ M$ ein Element und
Wir wissen schon, dass $M/K$ algebraisch ist. Sei also $a ∈ M$ irgendein
Element. Wir müssen zeigen, dass $a$ separabel über $K$ ist. Betrachte dazu
das Minimalpolynom von $a$ über dem Zwischenkörper $L$,
\begin{equation*}
f = \underbrace{a_0+a_1· x+\dots +a_{n-1}x^{n-1}+x^n}_{∈ L[x]}
f = a_0+a_1· x+\dots +a_{n-1}·x^{n-1}+x^n ∈ L[x].
\end{equation*}
das zugehörige Minimalpolynom. Es gilt, dass $a$ separabel über
$K[a_0, …, a_{n-1}] =: L^{n-1}$ ist. Weil die $a_i$ aber separabel über $K$
sind, ist $L^\prime[a] = K[a_0, …, a_{n-1}, a]$ separabel. Insbesondere ist
$a$ separabel.
Es gilt, dass $a$ separabel über $K(a_0, …, a_{n-1})$ ist. Gegeben einen
Index $i$, dann gilt nach Satz~\ref{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper} auch,
dass die $a_i$ separabel über $K(a_0, …, a_{i-1})$ sind. Also ist $K(a_0, …,
a_{n-1}, a)$ nach Korollar~\ref{cor:14-4-7} separabel über $K$. Insbesondere
ist $a$ separabel über $K$.
\end{proof}
\subsection{Der separable Abschluss}
Erinnern Sie sich an den „algebraischen Abschluss eines Körpers in einem
Oberkörper“, den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch
dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
Oberkörper“, den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch dieser
Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
übertragen.
\begin{satzdef}[Separabler algebraischer Abschluss, Separabilitätsgrad]
@ -458,7 +459,7 @@ dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
unpassenden Witzen an, die sich nicht zum Abdruck eignen.
\end{bsp}
\begin{satz}\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen}
\begin{satz}\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen}%
Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$. Dann sind folgende Aussagen
äquivalent.
\begin{enumerate}
@ -481,10 +482,10 @@ dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
\end{proof}
\begin{bemerkung}
Das einfachste Beispiel für einen unvollkommenen Körper ist $K = 𝔽_p(t)$. Das
einfachste inseparable Polynom ist $x^p-t ∈ K[x]$. Wenn wir eine Nullstelle
dieses Polynoms in $\overline{K}$ wählen und sinnigerweise mit $\sqrt[p]{t}$
bezeichnen, dann ist
Das einfachste Beispiel für einen unvollkommenen Körper ist $K = 𝔽_p(t)$.
Das einfachste inseparable Polynom ist $x^p-t ∈ K[x]$. Wenn wir eine
Nullstelle dieses Polynoms in $\overline{K}$ wählen und sinnigerweise mit
$\sqrt[p]{t}$ bezeichnen, dann ist
\[
\factor{K \Bigl( \sqrt[p]{t} \Bigr)}{K}
\]