diff --git a/11.tex b/11.tex index 2bca5d6..cc01653 100644 --- a/11.tex +++ b/11.tex @@ -6,12 +6,12 @@ \sideremark{Vorlesung 12}Bevor es richtig losgeht, stelle ich schnell noch einige Grundbegriffe zusammen, die wir später an allen möglichen Stellen brauchen. Den ersten Begriff erkläre ich am besten an einem Beispiel: betrachte -den Körper $ℂ$. Wenn $K ⊂ ℂ$ irgendein Unterkörper ist, dann enthält -$K$ auf jeden Fall die Zahlen $0$ und $1$, und damit auch $2=1+1$, das additive -Inverse $-2$, das multiplikative Inverse $\frac{1}{2}$, …. Am Ende erkennen wir, -dass $K$ den gesamten Unterkörper $ℚ$ enthalten muss. In diesem Sinne ist -$ℚ$ also der kleinste Unterkörper von $ℂ$. Das definieren wir jetzt für -beliebige Körper. Die folgende Beobachtung wiederholt \vref{bsp:3-1-2a}. +den Körper $ℂ$. Wenn $K ⊂ ℂ$ irgendein Unterkörper ist, dann enthält $K$ auf +jeden Fall die Zahlen $0$ und $1$, und damit auch $2=1+1$, das additive Inverse +$-2$, das multiplikative Inverse $\frac{1}{2}$, …. Am Ende erkennen wir, dass +$K$ den gesamten Unterkörper $ℚ$ enthalten muss. In diesem Sinne ist $ℚ$ also +der kleinste Unterkörper von $ℂ$. Das definieren wir jetzt für beliebige +Körper. Die folgende Beobachtung wiederholt \vref{bsp:3-1-2a}. \begin{beobachtung} Es sei $L$ ein Körper, und es seien $(K_i)_{i ∈ I}$ Unterkörper. Dann ist @@ -27,8 +27,8 @@ definieren. \end{definition} \begin{notation} - Sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl. Dann ist $(p) ⊂ ℤ$ ein maximales Ideal - und $ℤ/(p)$ ist ein Körper, der mit $𝔽_p$ bezeichnet wird. + Sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl. Dann ist $(p) ⊂ ℤ$ ein maximales Ideal und $ℤ/(p)$ + ist ein Körper, der mit $𝔽_p$ bezeichnet wird. \end{notation} Für Primkörper gibt es gar nicht viele Möglichkeiten. @@ -44,21 +44,21 @@ Für Primkörper gibt es gar nicht viele Möglichkeiten. \begin{definition}[Charakteristik] Es sei $K$ ein Körper. Falls der Primkörper von $K$ isomorph zu $ℚ$ ist, so sagt, man der Körper $K$ hat \emph{Charakteristik - $0$}\index{Charakteristik!eines Körpers}. Falls der Primkörper von $K$ + $0$}\index{Charakteristik!eines Körpers}. Falls der Primkörper von $K$ isomorph zu $𝔽_p$ ist, so sagt man, der Körper $K$ hat \emph{Charakteristik - $p$}. Die Schreibweise $\operatorname{char}(K)$ ist üblich. + $p$}. Die Schreibweise $\operatorname{char}(K)$ ist üblich. \end{definition} \begin{satz} - Es sei $K$ ein endlicher Körper. Dann hat $K$ hat positive Charakteristik, - $p = \operatorname{char}(K) > 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, so das - $K$ genau $p^m$ Elemente hat. + Es sei $K$ ein endlicher Körper. Dann hat $K$ hat positive Charakteristik, $p + = \operatorname{char}(K) > 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, so das $K$ genau + $p^m$ Elemente hat. \end{satz} \begin{proof} - Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen. Also ist - $p = \operatorname{char}(K) > 0$. Weil $K$ endlich ist, ist der - Erweiterungsgrad $m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich. Ein - $m$-dimensionaler Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente. + Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen. Also ist $p = + \operatorname{char}(K) > 0$. Weil $K$ endlich ist, ist der Erweiterungsgrad + $m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich. Ein $m$-dimensionaler + Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente. \end{proof} Ich erinnere noch einmal an einige Körper, die wir in den vergangenen Kapiteln diff --git a/12.tex b/12.tex index feda11f..7a46f2b 100644 --- a/12.tex +++ b/12.tex @@ -36,11 +36,11 @@ Der folgende Satz beantwortet die bescheidenere Frage, ob ein einzelnes gegebenes Polynom $f ∈ K[x]$ immer eine Nullstelle in einem geeigneten Oberkörper hat. -\begin{satz}\label{satz:12-1-2} +\begin{satz}\label{satz:12-1-2}% Sei $K$ ein Körper und $f∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Dann gibt es einen Oberkörper $L ⊃ K$, in dem $f$ eine Nullstelle hat. Genauer: es sei $g$ - ein nicht-konstanter irreduzibler Faktor von $f$. Dann hat $g$ im Körper - $L := K[x]/(g)$ eine Nullstelle. + ein nicht-konstanter irreduzibler Faktor von $f$. Dann hat $g$ im Körper $L + := K[x]/(g)$ eine Nullstelle. \end{satz} Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt @@ -107,7 +107,7 @@ wirklich sein soll. \end{bsp} \begin{bsp} - Wenn $L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist und $K⊂ L$ ein + Wenn $L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist und $K ⊂ L$ ein Unterkörper, dann ist der aus Satz und Definition~\vref{satzdef:aaieO} bekannte algebraische Abschluss von $K$ in $L$, \[ @@ -123,9 +123,9 @@ wirklich sein soll. über $K$. Also ist $a∈\overline{K}$. \end{bsp} -\begin{defn}[Algebraischer Abschluss eines Körpers]\label{def:aAeK} +\begin{defn}[Algebraischer Abschluss eines Körpers]\label{def:aAeK}% Es sei $K$ ein Körper. Ein Oberkörper $L/K$ heißt \emph{algebraischer - Abschluss von $K$}\index{Algebraischer Abschluss!eines Körpers}, wenn + Abschluss von $K$}\index{Algebraischer Abschluss!eines Körpers}, wenn Folgendes gilt. \begin{enumerate} \item Die Körpererweiterung $L/K$ ist algebraisch. @@ -183,8 +183,8 @@ Schlagwort „Symmetrien einer Körpererweiterung“ diskutiert. \end{definition} \begin{bsp} - Betrachte die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. Die komplexe Konjugation - $\varphi: ℂ → ℂ$ ist ein $ℝ$-Morphismus von $ℂ$ nach $ℂ$. + Betrachte die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. Die komplexe Konjugation $\varphi: ℂ → + ℂ$ ist ein $ℝ$-Morphismus von $ℂ$ nach $ℂ$. \end{bsp} Der folgende Satz beschreibt die universelle Eigenschaft des algebraischen @@ -192,25 +192,24 @@ Abschluss. Dieser Satz ist absolut zentral für die kommende Diskussion; er ist der eigentliche Grund, warum Galois-Theorie überhaupt funktioniert. Wieder werde ich den Satz aus Zeitgründen nicht beweisen. -\begin{satz}[Universelle Eigenschaft des algebraischen Abschluss]\label{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} +\begin{satz}[Universelle Eigenschaft des algebraischen Abschluss]\label{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}% Es sei $K$ ein Körper und es sei $\overline{K}$ ein algebraischer Abschluss - von $K$. Zusätzlich seien weitere algebraische Körpererweiterungen - $K ⊆ L_0 ⊆ L$ von $K$ gegeben, sowie ein $K$-Morphismus + von $K$. Zusätzlich seien weitere algebraische Körpererweiterungen $K ⊆ L_0 ⊆ + L$ von $K$ gegeben, sowie ein $K$-Morphismus \begin{equation*} \varphi_0 : L_0 → \overline{K}. \end{equation*} Dann existiert eine Fortsetzung von $\varphi_0$ zu einem $K$-Morphismus $\varphi : L → \overline{K}$. Mit anderen Worten: es existiert ein - $K$-Morphismus $\varphi : L → \overline{K}$, sodass - $\varphi|_{L_0} = \varphi_0$ ist. \qed + $K$-Morphismus $\varphi : L → \overline{K}$, sodass $\varphi|_{L_0} = + \varphi_0$ ist. \qed \end{satz} \begin{bsp} - Es sei $K = L_0 = ℝ$, es sei $\overline{K} = L = ℂ$. Weiter sei - $\varphi_0 : ℝ → ℝ$ die Identität. Dann gibt es \emph{zwei} Fortsetzungen von - $\varphi_0$ zu einem $ℝ$-Morphismus $\varphi: ℂ → ℂ$; wir können für $\varphi$ - einerseits die Identität nehmen, andererseits ist auch die - Konjugationsabbildung möglich. + Es sei $K = L_0 = ℝ$, es sei $\overline{K} = L = ℂ$. Weiter sei $\varphi_0 : + ℝ → ℝ$ die Identität. Dann gibt es \emph{zwei} Fortsetzungen von $\varphi_0$ + zu einem $ℝ$-Morphismus $\varphi: ℂ → ℂ$; wir können für $\varphi$ einerseits + die Identität nehmen, andererseits ist auch die Konjugationsabbildung möglich. \end{bsp} Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des @@ -218,7 +217,7 @@ algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Obwohl die Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz korrekt von „dem“ algebraischen Abschluss. -\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa} +\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa}% Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei algebraische Abschlüsse. Dann gibt es einen $K$-Isomorphismus $K_1 → K_2$. \end{kor} diff --git a/13.tex b/13.tex index 53df906..36e3e65 100644 --- a/13.tex +++ b/13.tex @@ -24,16 +24,16 @@ Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt. \begin{bemerkung} Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die - Nullstellen des Polynoms $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente - $a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung. + Nullstellen des Polynoms $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente $a_1, …, + a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung. \end{bemerkung} Der folgende Satz fasst die ersten Eigenschaften von Zerfällungskörpern zusammen. -\begin{satz}\label{satz:13-0-3} - Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. - Dann gilt Folgendes. +\begin{satz}\label{satz:13-0-3}% + Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Dann + gilt Folgendes. \begin{enumerate} \item Das Polynom $f$ besitzt einen Zerfällungskörper. @@ -69,17 +69,15 @@ Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der komplexen Zahlen konstruieren wird. \begin{bsp} - Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x²-2 ∈ ℚ[x]$. Dann ist - $L = ℚ(\sqrt 2,-\sqrt2) = ℚ(\sqrt2) ⊆ ℝ$ ein Zerfällungskörper - von $f$. + Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x²-2 ∈ ℚ[x]$. Dann ist $L = ℚ(\sqrt 2,-\sqrt2) + = ℚ(\sqrt2) ⊆ ℝ$ ein Zerfällungskörper von $f$. \end{bsp} \begin{bsp} - Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Betrachte die komplexe Zahl - $ξ := e^{\frac{2π i}{3}}$. Dann sind die komplexen Zahlen - $a_0 := \sqrt[3]{2}$, $a_1 := ξ·\sqrt[3]{2}$ und $a_2 := ξ_3²·\sqrt[3]{2}$ - genau die komplexen Nullstellen von $f$. Also ein Zerfällungskörper gegeben - durch + Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Betrachte die komplexe Zahl $ξ + := e^{\frac{2π i}{3}}$. Dann sind die komplexen Zahlen $a_0 := \sqrt[3]{2}$, + $a_1 := ξ·\sqrt[3]{2}$ und $a_2 := ξ_3²·\sqrt[3]{2}$ genau die komplexen + Nullstellen von $f$. Also ein Zerfällungskörper gegeben durch \[ L = ℚ(a_0, a_1, a_2) = ℚ \Bigl(\sqrt[3]{2}, ξ \Bigr). \] @@ -101,7 +99,7 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird. ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von „Symmetrien“ auf sich hat. -\begin{situation}\label{sit:gal} +\begin{situation}\label{sit:gal}% Es sei $K$ ein Körper, es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom und es sei $L/K$ ein Zerfällungskörper von $f$. Weiter seien $a_1, …, a_n$ die Nullstellen von $f$ in $L$. @@ -112,7 +110,7 @@ beiden Beobachtungen klären die Frage fast vollständig. Die Beobachtungen zeigen auch, dass es sich bei der Frage um ein kombinatorisches Problem handelt, das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte. -\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen geben Permutationen]\label{beob:p1} +\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen geben Permutationen]\label{beob:p1}% In Situation~\ref{sit:gal} sei $\varphi: L → L$ ein $K$-Morphismus. Schreibe $f(x) = \sum b_i·xⁱ$. Wenn $a_• ∈ L$ eine der Nullstellen von $f$ ist, dann ist @@ -130,7 +128,7 @@ das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte. \end{equation} \end{beobachtung} -\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen sind durch Permutationen eindeutig beschrieben]\label{beob:p2} +\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen sind durch Permutationen eindeutig beschrieben]\label{beob:p2}% In Situation~\ref{sit:gal} wissen wir schon, dass $L = K(a_1, …, a_n)$ ist. Ich kann also jedes Element $ℓ ∈ L$ als endliche Summe schreiben, \[ @@ -169,18 +167,18 @@ einfach mal nicht mache. Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer \emph{endliche} Summen sind. Insbesondere treten in jedem einzelnen Polynom immer nur endlich viele Variablen auf. -\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:ringad} +\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:ringad}% Es sei $S$ ein Ring und es sei $R ⊂ S$ ein Unterring. Weiter sei $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Familie von Elementen aus $S$. Dann bezeichnet man mit - $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ das Bild von $R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ unter - dem Substitutionsmorphismus + $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ das Bild von $R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ unter dem + Substitutionsmorphismus \[ R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr] → S, \quad f(x_{λ_1}, …, x_{λ_m}) ↦ f(a_{λ_1}, …, a_{λ_m}) \] - Man sagt, der Unterring $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊂ S$ entsteht aus - $R$ durch \emph{Adjunktion} der Elemente $(a_λ)_{λ∈Λ}$. Den Vorgang nennt - man \emph{Ringadjunktion}\index{Ringadjunktion}. + Man sagt, der Unterring $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊂ S$ entsteht aus $R$ durch + \emph{Adjunktion} der Elemente $(a_λ)_{λ∈Λ}$. Den Vorgang nennt man + \emph{Ringadjunktion}\index{Ringadjunktion}. \end{defn} \begin{beobachtung} @@ -202,8 +200,7 @@ Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper $K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)$ vergleichen. Offenbar gilt immer \[ - K ⊆ K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊆ K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) - ⊆ L. + K ⊆ K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊆ K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) ⊆ L. \] Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht. Die Sätze klären auch noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert @@ -221,8 +218,8 @@ auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an. \begin{proof} Wir wissen schon, dass $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ der kleinste Unterring des Körpers $L$ ist, der $K$ und $(a_λ)_{λ∈Λ}$ enthält. Gemäß der universellen - Eigenschaft ist der Quotientenkörper der kleinste Körper, der - $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ enthält, also gleich $K\bigl((a_λ)_{λ∈Λ}\bigr)$. + Eigenschaft ist der Quotientenkörper der kleinste Körper, der $K\bigl[ + (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ enthält, also gleich $K\bigl((a_λ)_{λ∈Λ}\bigr)$. \end{proof} \begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion] @@ -236,8 +233,8 @@ auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an. K(a) = K + K·a + ⋯ + K·a^{n-1} \end{equation*} wobei $n= [a : K]$ ist. Also ist $K(a) = K[a]$. Wenn das Elemente $a$ - transzendent ist, dann ist $K[x] ≅ K[a]$ kein Körper und deshalb ist - $K[a] ≠ K(a)$. + transzendent ist, dann ist $K[x] ≅ K[a]$ kein Körper und deshalb ist $K[a] ≠ + K(a)$. \end{proof} \begin{kor}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion] diff --git a/14.tex b/14.tex index e92534c..c6c73d2 100644 --- a/14.tex +++ b/14.tex @@ -13,7 +13,7 @@ Nullstellen beschrieben sind, frage ich mich vermutlich als erstes, wie viele Nullstellen es eigentlich gibt. Kann es überhaupt vorkommen, dass $a$ eine mehrfache Nullstelle von $f$ ist? -\begin{beobachtung}\label{beo:14-0-1} +\begin{beobachtung}\label{beo:14-0-1}% Wenn $K = ℚ$ ist, geht das nicht. Denn wenn $a$ eine mehrfache Nullstelle ist, also $f = (x-a)²·g ∈ ℂ[x]$ wäre, dann kann ich die Ableitung betrachten, \[ @@ -46,14 +46,14 @@ Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren: \end{matrix} \right. \] - In der Praxis ist man meist zu faul und schreibt statt $φ(n) ∈ R$ einfach - $n ∈ R$. Aber Achtung! Die Abbildung $φ$ ist nicht immer injektiv! Es gilt - zum Beispiel $p = 0 ∈ 𝔽_p$. + In der Praxis ist man meist zu faul und schreibt statt $φ(n) ∈ R$ einfach $n ∈ + R$. Aber Achtung! Die Abbildung $φ$ ist nicht immer injektiv! Es gilt zum + Beispiel $p = 0 ∈ 𝔽_p$. \end{notation} -\begin{definition}[Formale Ableitung]\label{Def_formale_Ableitung} - Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Wenn jetzt ein Polynom - $f = \sum_{i=0}^{n}a_i·xⁱ ∈ R[x]$ gegeben ist, dann nenne das Polynom +\begin{definition}[Formale Ableitung]\label{Def_formale_Ableitung}% + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Wenn jetzt ein Polynom $f = + \sum_{i=0}^{n}a_i·xⁱ ∈ R[x]$ gegeben ist, dann nenne das Polynom \begin{equation*} f' = \sum_{i=1}^{n} i· a_i· x^{i-1}∈ R[x] \end{equation*} @@ -62,7 +62,7 @@ Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren: Iteration der Ableitung definiert. \end{definition} -\begin{bemerkung}[Ableitung kann überraschend verschwinden]\label{bem:14-1-3} +\begin{bemerkung}[Ableitung kann überraschend verschwinden]\label{bem:14-1-3}% Es kann vorkommen, dass $\deg f >0$ ist, aber trotzdem $f' = 0$. Wenn nämlich Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$, beispielsweise $K = 𝔽_p$. Dann ist $p = 0 ∈ R$ und das Polynom $f(x) = x^p$ hat daher die formale Ableitung @@ -72,7 +72,7 @@ Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren: Trotzdem ist $f$ aber nicht konstant, denn $f(1) = 1$ und $f(0) = 0$. \end{bemerkung} -\begin{satz}[Rechenregeln für die formale Ableitung]\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung} +\begin{satz}[Rechenregeln für die formale Ableitung]\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung}% Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $f$, $g ∈ R[x]$. Weiter sei ein Element $r ∈ R$ gegeben. Dann gilt Folgendes. \begin{enumerate} @@ -107,7 +107,7 @@ bestimmen. Was war noch einmal die Ordnung? in $R[x]$ gelten. \end{defn} -\begin{kor}\label{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle} +\begin{kor}\label{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle}% Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ der Form $f = (x-a)^m· g$ gegeben, mit $a∈ R$ und $g∈ R[x]$. Dann ist \begin{equation*} @@ -124,11 +124,10 @@ bestimmen. Was war noch einmal die Ordnung? \begin{equation*} f(a) = f'(a) = ⋯ = f^{(m-1)}(a) = 0 \end{equation*} - ist. Wenn $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, also insbesondere - $m! ≠ 0 ∈ R$ ist, dann ist $f^{(m)}(a) ≠ 0$, wenn $a$ eine $m$-fache - Nullstelle von $f$ ist. Wir haben aber schon in Bemerkung~\ref{bem:14-1-3} - gesehen, dass man über beliebigen Körpern die Nullstellenordnung so nicht - bestimmen kann! + ist. Wenn $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, also insbesondere $m! ≠ + 0 ∈ R$ ist, dann ist $f^{(m)}(a) ≠ 0$, wenn $a$ eine $m$-fache Nullstelle von + $f$ ist. Wir haben aber schon in Bemerkung~\ref{bem:14-1-3} gesehen, dass man + über beliebigen Körpern die Nullstellenordnung so nicht bestimmen kann! \end{beobachtung} @@ -155,7 +154,7 @@ diese Abbildung \textbf{linear} ist! Gibt es eine solche Zahl nicht, so sagt man, dass $R$ Charakteristik 0 hat. \end{defn} -\begin{satzdef}[Frobenius-Endomorphismus]\label{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} +\begin{satzdef}[Frobenius-Endomorphismus]\label{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus}% Es sei $p$ eine Primzahl und es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins der Charakteristik $p$. Dann ist die Abbildung \begin{equation*} @@ -166,7 +165,7 @@ diese Abbildung \textbf{linear} ist! (a+b)^p = a^p+b^p \quad\text{und}\quad (a· b)^p=a^p· b^p \end{equation*} Man nennt die Abbildung den \emph{Frobenius-Endomorphismus von - $R$}\index{Frobenius-Endomorphismus}. + $R$}\index{Frobenius-Endomorphismus}. \end{satzdef} \begin{proof} \video{14-1} @@ -199,8 +198,7 @@ Definition. \emph{separabel}\index{separabel!Polynom}, wenn $f$ keine mehrfachen Nullstellen in $\overline{K}$ hat. Ein beliebiges nicht-konstantes Polynom heißt separabel, wenn alle irreduziblen Faktoren separabel sind. - Nicht-separable Polynome heißen - \emph{inseparabel}\index{inseparabel!Polynom}. + Nicht-separable Polynome heißen \emph{inseparabel}\index{inseparabel!Polynom}. \end{defn} \begin{warnung} @@ -210,7 +208,7 @@ Definition. Separable Polynome können mithilfe des Frobenius-Morphismus genau beschrieben werden. -\begin{satz}\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel} +\begin{satz}\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel}% Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein irreduzibles Polynom. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} @@ -237,7 +235,7 @@ werden. mit $m>1$ und $g ∈ \overline{K}[x]$. Dann hat die formale Ableitung $f'$ ebenfalls $a$ als Nullstelle. Weil $f$ aber irreduzibel ist, ist $f$ das Polynom kleinsten Grades, dass $a$ als Nullstelle hat\footnote{Erinnern Sie - sich noch, wie man das beweist?}. Wegen $\deg f' < \deg f$ folgt dann aber, + sich noch, wie man das beweist?}. Wegen $\deg f' < \deg f$ folgt dann aber, dass $f^\prime\equiv 0$ sein muss. \end{proof} @@ -304,9 +302,9 @@ separabel, wenn alle Elemente separabel sind. \begin{defn}[Separable und inseparable Elemente in Körpererweiterungen] Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $a ∈ L$ sei algebraisch über $K$. Man nennt $a$ \emph{separabel über $K$}\index{separabel!Element einer - Körpererweiterung}, wenn das Minimalpolynom $f ∈ K[x]$ separabel ist. + Körpererweiterung}, wenn das Minimalpolynom $f ∈ K[x]$ separabel ist. Ansonsten heißt $a$ \emph{inseparabel über $K$}\index{inseparabel!Element - einer Körpererweiterung}. + einer Körpererweiterung}. \end{defn} \begin{defn}[Separable und inseparable Körpererweiterungen] @@ -318,33 +316,33 @@ separabel, wenn alle Elemente separabel sind. \sideremark{Vorlesung 15} -\begin{satz}\label{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper} +\begin{satz}\label{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper}% Wenn $L/K$ eine separable Körpererweiterung ist und $Z$ ein Zwischenkörper, dann sind auch $L/Z$ und $Z/K$ separabel. \end{satz} \begin{proof} Es ist klar, dass $Z/K$ separabel ist. Sei jetzt also $a ∈ L$. Wir müssen zeigen, dass $a$ separabel über $Z$ ist. Dazu beobachten wird, dass das - Minimalpolynom von $a$ über $Z$ das Minimalpolynom von $a$ über $K$ teilt. Das - letztere hat aber keine mehrfachen Nullstellen, also hat auch das erste keine - mehrfachen Nullstellen. + Minimalpolynom von $a$ über $Z$ das Minimalpolynom von $a$ über $K$ teilt. + Das letztere hat aber keine mehrfachen Nullstellen, also hat auch das erste + keine mehrfachen Nullstellen. \end{proof} \subsection{Separabilität und Anzahl von $K$-Morphismen} Im Folgenden ist ein wesentlicher Punkt, dass sich endliche separable -Körpererweiterungen $L/K$ durch die Anzahl der $K$-Homomorphismen -$L → \overline{K}$ charakterisieren lassen. Als Anwendung erhalten wir eine -Reihe von Sätzen und Korollaren über separable Erweiterungen, die wir schon in -ganz ähnlicher Form (und mit ganz ähnlichen Beweisen) für algebraische -Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf. +Körpererweiterungen $L/K$ durch die Anzahl der $K$-Homomorphismen $L → +\overline{K}$ charakterisieren lassen. Als Anwendung erhalten wir eine Reihe +von Sätzen und Korollaren über separable Erweiterungen, die wir schon in ganz +ähnlicher Form (und mit ganz ähnlichen Beweisen) für algebraische Erweiterungen +kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf. -\begin{lemma}\label{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen} +\begin{lemma}\label{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen}% Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $a ∈ L$ sei algebraisch über $K$, mit Minimalpolynom $f ∈ K[x] ⊆ L[x]$. Wenn $m$ die Anzahl der Nullstellen von $f$ - in $L$ bezeichnet, dann gibt es genau $m$ verschiedene $K$-Morphismen - $σ : K(a) → L$. + in $L$ bezeichnet, dann gibt es genau $m$ verschiedene $K$-Morphismen $σ : + K(a) → L$. \end{lemma} \begin{proof} Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: Jeder @@ -357,9 +355,9 @@ Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf. \varphi_a : K[x] → K(a), \quad g ↦ g(a) \qquad\text{und}\qquad \varphi_b : K[x] → L, \quad g ↦ g(b). \end{equation*} Weil $f(a) = f(b) = 0$ ist, ist $f ∈ \ker \varphi_a$ und $f ∈ \ker \varphi_b$. - Weil $f$ irreduzibel ist, muss aber schon die Gleichheit - $(f) = \ker \varphi_a = \ker \varphi_b$ gelten. Also liefern $\varphi_a$ und - $\varphi_b$ $K$-Morphismen + Weil $f$ irreduzibel ist, muss aber schon die Gleichheit $(f) = \ker \varphi_a + = \ker \varphi_b$ gelten. Also liefern $\varphi_a$ und $\varphi_b$ + $K$-Morphismen \begin{equation*} \factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_a} K(a) \qquad\text{und}\qquad \factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_b} L, \end{equation*} @@ -373,7 +371,7 @@ die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren. Als Konsequenz erhalten wir eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der „algebraischen Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen. -\begin{satz}\label{Satz_11_10} +\begin{satz}\label{Satz_11_10}% Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung und es sei $n := [L:K]$. Dann gilt Folgendes. \begin{enumerate} @@ -396,9 +394,9 @@ Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen. Man bette $M$ in $\overline{K}$ ein. \end{proof} -\begin{kor} - Sei $L = K[a_1, …, a_t]$, wobei $a_i$ stets separabel über - $K[a_1, …, a_{i-1}]$ ist. Dann ist $L/K$ separabel. +\begin{kor}\label{cor:14-4-7}% + Sei $L = K(a_1, …, a_t)$, wobei $a_i$ stets separabel über $K(a_1, …, + a_{i-1})$ ist. Dann ist $L/K$ separabel. \end{kor} \begin{proof} Der Beweis von \ref{Satz_11_10} zeigt, dass es $n=\prod n_i$ viele @@ -411,22 +409,25 @@ Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen. separabel. \end{kor} \begin{proof} - Wir wissen schon, dass $M/K$ algebraisch ist. Sei $a∈ M$ ein Element und + Wir wissen schon, dass $M/K$ algebraisch ist. Sei also $a ∈ M$ irgendein + Element. Wir müssen zeigen, dass $a$ separabel über $K$ ist. Betrachte dazu + das Minimalpolynom von $a$ über dem Zwischenkörper $L$, \begin{equation*} - f = \underbrace{a_0+a_1· x+\dots +a_{n-1}x^{n-1}+x^n}_{∈ L[x]} + f = a_0+a_1· x+\dots +a_{n-1}·x^{n-1}+x^n ∈ L[x]. \end{equation*} - das zugehörige Minimalpolynom. Es gilt, dass $a$ separabel über - $K[a_0, …, a_{n-1}] =: L^{n-1}$ ist. Weil die $a_i$ aber separabel über $K$ - sind, ist $L^\prime[a] = K[a_0, …, a_{n-1}, a]$ separabel. Insbesondere ist - $a$ separabel. + Es gilt, dass $a$ separabel über $K(a_0, …, a_{n-1})$ ist. Gegeben einen + Index $i$, dann gilt nach Satz~\ref{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper} auch, + dass die $a_i$ separabel über $K(a_0, …, a_{i-1})$ sind. Also ist $K(a_0, …, + a_{n-1}, a)$ nach Korollar~\ref{cor:14-4-7} separabel über $K$. Insbesondere + ist $a$ separabel über $K$. \end{proof} \subsection{Der separable Abschluss} Erinnern Sie sich an den „algebraischen Abschluss eines Körpers in einem -Oberkörper“, den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch -dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext +Oberkörper“, den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch dieser +Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext übertragen. \begin{satzdef}[Separabler algebraischer Abschluss, Separabilitätsgrad] @@ -435,9 +436,9 @@ dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext L_{\sep} := \{ a ∈ L \::\: a \text{ ist separabel über }K\} \] ein Unterkörper von $L$. Man nennt $L_{\sep}$ den \emph{separablen - algebraischen Abschluss von $K$ in $L$}\index{separabler algebraischer - Abschluss}. Die Zahl $[L_{\sep} : K]$ wird \emph{Separabilitätsgrad der - Körpererweiterung $L/K$}\index{Separabilitätsgrad} genannt. + algebraischen Abschluss von $K$ in $L$}\index{separabler algebraischer + Abschluss}. Die Zahl $[L_{\sep} : K]$ wird \emph{Separabilitätsgrad der + Körpererweiterung $L/K$}\index{Separabilitätsgrad} genannt. \end{satzdef} \begin{proof} Seien $a,b ∈ L$ separabel über $K$. Wir müssen zeigen, dass $a±b$, $a·b$ und @@ -458,7 +459,7 @@ dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext unpassenden Witzen an, die sich nicht zum Abdruck eignen. \end{bsp} -\begin{satz}\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen} +\begin{satz}\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen}% Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} @@ -481,10 +482,10 @@ dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext \end{proof} \begin{bemerkung} - Das einfachste Beispiel für einen unvollkommenen Körper ist $K = 𝔽_p(t)$. Das - einfachste inseparable Polynom ist $x^p-t ∈ K[x]$. Wenn wir eine Nullstelle - dieses Polynoms in $\overline{K}$ wählen und sinnigerweise mit $\sqrt[p]{t}$ - bezeichnen, dann ist + Das einfachste Beispiel für einen unvollkommenen Körper ist $K = 𝔽_p(t)$. + Das einfachste inseparable Polynom ist $x^p-t ∈ K[x]$. Wenn wir eine + Nullstelle dieses Polynoms in $\overline{K}$ wählen und sinnigerweise mit + $\sqrt[p]{t}$ bezeichnen, dann ist \[ \factor{K \Bigl( \sqrt[p]{t} \Bigr)}{K} \]