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11.tex

@@ -6,12 +6,12 @@
 \sideremark{Vorlesung 12}Bevor es richtig losgeht, stelle ich schnell noch
 einige Grundbegriffe zusammen, die wir später an allen möglichen Stellen
 brauchen.  Den ersten Begriff erkläre ich am besten an einem Beispiel: betrachte
-den Körper $ℂ$.  Wenn $K ⊂ ℂ$ irgendein Unterkörper ist, dann enthält
+den Körper $ℂ$.  Wenn $K ⊂ ℂ$ irgendein Unterkörper ist, dann enthält $K$ auf
-$K$ auf jeden Fall die Zahlen $0$ und $1$, und damit auch $2=1+1$, das additive
+jeden Fall die Zahlen $0$ und $1$, und damit auch $2=1+1$, das additive Inverse
-Inverse $-2$, das multiplikative Inverse $\frac{1}{2}$, ….  Am Ende erkennen wir,
+$-2$, das multiplikative Inverse $\frac{1}{2}$, ….  Am Ende erkennen wir, dass
-dass $K$ den gesamten Unterkörper $ℚ$ enthalten muss.  In diesem Sinne ist
+$K$ den gesamten Unterkörper $ℚ$ enthalten muss.  In diesem Sinne ist $ℚ$ also
-$ℚ$ also der kleinste Unterkörper von $ℂ$.  Das definieren wir jetzt für
+der kleinste Unterkörper von $ℂ$.  Das definieren wir jetzt für beliebige
-beliebige Körper.  Die folgende Beobachtung wiederholt \vref{bsp:3-1-2a}.
+Körper.  Die folgende Beobachtung wiederholt \vref{bsp:3-1-2a}.
 
 \begin{beobachtung}
   Es sei $L$ ein Körper, und es seien $(K_i)_{i ∈ I}$ Unterkörper.  Dann ist
@@ -27,8 +27,8 @@ definieren.
 \end{definition}
 
 \begin{notation}
-  Sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl.  Dann ist $(p) ⊂ ℤ$ ein maximales Ideal
+  Sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl.  Dann ist $(p) ⊂ ℤ$ ein maximales Ideal und $ℤ/(p)$
-  und $ℤ/(p)$ ist ein Körper, der mit $𝔽_p$ bezeichnet wird.
+  ist ein Körper, der mit $𝔽_p$ bezeichnet wird.
 \end{notation}
 
 Für Primkörper gibt es gar nicht viele Möglichkeiten.
@@ -50,15 +50,15 @@ Für Primkörper gibt es gar nicht viele Möglichkeiten.
 \end{definition}
 
 \begin{satz}
-  Es sei $K$ ein endlicher Körper.  Dann hat $K$ hat positive Charakteristik,
+  Es sei $K$ ein endlicher Körper.  Dann hat $K$ hat positive Charakteristik, $p
-  $p = \operatorname{char}(K) > 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, so das
+  = \operatorname{char}(K) > 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, so das $K$ genau
-  $K$ genau $p^m$ Elemente hat.
+  $p^m$ Elemente hat.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen.  Also ist
+  Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen.  Also ist $p =
-  $p = \operatorname{char}(K) > 0$.  Weil $K$ endlich ist, ist der
+  \operatorname{char}(K) > 0$.  Weil $K$ endlich ist, ist der Erweiterungsgrad
-  Erweiterungsgrad $m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich.  Ein
+  $m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich.  Ein $m$-dimensionaler
-  $m$-dimensionaler Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente.
+  Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente.
 \end{proof}
 
 Ich erinnere noch einmal an einige Körper, die wir in den vergangenen Kapiteln

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@@ -36,11 +36,11 @@ Der folgende Satz beantwortet die bescheidenere Frage, ob ein einzelnes
 gegebenes Polynom $f ∈ K[x]$ immer eine Nullstelle in einem geeigneten
 Oberkörper hat.
 
-\begin{satz}\label{satz:12-1-2}
+\begin{satz}\label{satz:12-1-2}%
   Sei $K$ ein Körper und $f∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.  Dann gibt es
   einen Oberkörper $L ⊃ K$, in dem $f$ eine Nullstelle hat.  Genauer: es sei $g$
-  ein nicht-konstanter irreduzibler Faktor von $f$.  Dann hat $g$ im Körper
+  ein nicht-konstanter irreduzibler Faktor von $f$.  Dann hat $g$ im Körper $L
-  $L := K[x]/(g)$ eine Nullstelle.
+  := K[x]/(g)$ eine Nullstelle.
 \end{satz}
 
 Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt
@@ -107,7 +107,7 @@ wirklich sein soll.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}
-  Wenn $L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist und $K⊂ L$ ein
+  Wenn $L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist und $K ⊂ L$ ein
   Unterkörper, dann ist der aus Satz und Definition~\vref{satzdef:aaieO}
   bekannte algebraische Abschluss von $K$ in $L$,
   \[
@@ -123,7 +123,7 @@ wirklich sein soll.
   über $K$.  Also ist $a∈\overline{K}$.
 \end{bsp}
 
-\begin{defn}[Algebraischer Abschluss eines Körpers]\label{def:aAeK}
+\begin{defn}[Algebraischer Abschluss eines Körpers]\label{def:aAeK}%
   Es sei $K$ ein Körper.  Ein Oberkörper $L/K$ heißt \emph{algebraischer
   Abschluss von $K$}\index{Algebraischer Abschluss!eines Körpers}, wenn
   Folgendes gilt.
@@ -183,8 +183,8 @@ Schlagwort „Symmetrien einer Körpererweiterung“ diskutiert.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}
-  Betrachte die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$.  Die komplexe Konjugation
+  Betrachte die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$.  Die komplexe Konjugation $\varphi: ℂ →
-  $\varphi: ℂ → ℂ$ ist ein $ℝ$-Morphismus von $ℂ$ nach $ℂ$.
+  ℂ$ ist ein $ℝ$-Morphismus von $ℂ$ nach $ℂ$.
 \end{bsp}
 
 Der folgende Satz beschreibt die universelle Eigenschaft des algebraischen
@@ -192,25 +192,24 @@ Abschluss.  Dieser Satz ist absolut zentral für die kommende Diskussion; er ist
 der eigentliche Grund, warum Galois-Theorie überhaupt funktioniert.  Wieder
 werde ich den Satz aus Zeitgründen nicht beweisen.
 
-\begin{satz}[Universelle Eigenschaft des algebraischen Abschluss]\label{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}
+\begin{satz}[Universelle Eigenschaft des algebraischen Abschluss]\label{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}%
   Es sei $K$ ein Körper und es sei $\overline{K}$ ein algebraischer Abschluss
-  von $K$.  Zusätzlich seien weitere algebraische Körpererweiterungen
+  von $K$.  Zusätzlich seien weitere algebraische Körpererweiterungen $K ⊆ L_0 ⊆
-  $K ⊆ L_0 ⊆ L$ von $K$ gegeben, sowie ein $K$-Morphismus
+  L$ von $K$ gegeben, sowie ein $K$-Morphismus
   \begin{equation*}
     \varphi_0 : L_0 → \overline{K}.
   \end{equation*}
   Dann existiert eine Fortsetzung von $\varphi_0$ zu einem $K$-Morphismus
   $\varphi : L → \overline{K}$.  Mit anderen Worten: es existiert ein
-  $K$-Morphismus $\varphi : L → \overline{K}$, sodass
+  $K$-Morphismus $\varphi : L → \overline{K}$, sodass $\varphi|_{L_0} =
-  $\varphi|_{L_0} = \varphi_0$ ist.  \qed
+  \varphi_0$ ist.  \qed
 \end{satz}
 
 \begin{bsp}
-  Es sei $K = L_0 = ℝ$, es sei $\overline{K} = L = ℂ$.  Weiter sei
+  Es sei $K = L_0 = ℝ$, es sei $\overline{K} = L = ℂ$.  Weiter sei $\varphi_0 :
-  $\varphi_0 : ℝ → ℝ$ die Identität.  Dann gibt es \emph{zwei} Fortsetzungen von
+  ℝ → ℝ$ die Identität.  Dann gibt es \emph{zwei} Fortsetzungen von $\varphi_0$
-  $\varphi_0$ zu einem $ℝ$-Morphismus $\varphi: ℂ → ℂ$; wir können für $\varphi$
+  zu einem $ℝ$-Morphismus $\varphi: ℂ → ℂ$; wir können für $\varphi$ einerseits
-  einerseits die Identität nehmen, andererseits ist auch die
+  die Identität nehmen, andererseits ist auch die Konjugationsabbildung möglich.
-  Konjugationsabbildung möglich.
 \end{bsp}
 
 Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des
@@ -218,7 +217,7 @@ algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie.  Obwohl die
 Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz
 korrekt von „dem“ algebraischen Abschluss.
 
-\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa}
+\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa}%
   Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei
   algebraische Abschlüsse.  Dann gibt es einen $K$-Isomorphismus $K_1 → K_2$.
 \end{kor}

13.tex

@@ -24,16 +24,16 @@ Zerfällungskörper.  Was das ist, erkläre ich jetzt.
 
 \begin{bemerkung}
   Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die
-  Nullstellen des Polynoms $f ∈ L[x]$.  Insbesondere sind die Elemente
+  Nullstellen des Polynoms $f ∈ L[x]$.  Insbesondere sind die Elemente $a_1, …,
-  $a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung.
+  a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung.
 \end{bemerkung}
 
 Der folgende Satz fasst die ersten Eigenschaften von Zerfällungskörpern
 zusammen.
 
-\begin{satz}\label{satz:13-0-3}
+\begin{satz}\label{satz:13-0-3}%
-  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Dann
-  Dann gilt Folgendes.
+  gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item Das Polynom $f$ besitzt einen Zerfällungskörper.
     
@@ -69,17 +69,15 @@ Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der
 komplexen Zahlen konstruieren wird.
 
 \begin{bsp}
-  Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x²-2 ∈ ℚ[x]$.  Dann ist
+  Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x²-2 ∈ ℚ[x]$.  Dann ist $L = ℚ(\sqrt 2,-\sqrt2)
-  $L = ℚ(\sqrt 2,-\sqrt2) = ℚ(\sqrt2) ⊆ ℝ$ ein Zerfällungskörper
+  = ℚ(\sqrt2) ⊆ ℝ$ ein Zerfällungskörper von $f$.
-  von $f$.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}
-  Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Betrachte die komplexe Zahl
+  Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Betrachte die komplexe Zahl $ξ
-  $ξ := e^{\frac{2π i}{3}}$.  Dann sind die komplexen Zahlen
+  := e^{\frac{2π i}{3}}$.  Dann sind die komplexen Zahlen $a_0 := \sqrt[3]{2}$,
-  $a_0 := \sqrt[3]{2}$, $a_1 := ξ·\sqrt[3]{2}$ und $a_2 := ξ_3²·\sqrt[3]{2}$
+  $a_1 := ξ·\sqrt[3]{2}$ und $a_2 := ξ_3²·\sqrt[3]{2}$ genau die komplexen
-  genau die komplexen Nullstellen von $f$.  Also ein Zerfällungskörper gegeben
+  Nullstellen von $f$.  Also ein Zerfällungskörper gegeben durch
-  durch
   \[
     L = ℚ(a_0, a_1, a_2) = ℚ \Bigl(\sqrt[3]{2}, ξ \Bigr).
   \]
@@ -101,7 +99,7 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
 ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von „Symmetrien“ auf
 sich hat.
 
-\begin{situation}\label{sit:gal}
+\begin{situation}\label{sit:gal}%
   Es sei $K$ ein Körper, es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom und es
   sei $L/K$ ein Zerfällungskörper von $f$.  Weiter seien $a_1, …, a_n$ die
   Nullstellen von $f$ in $L$.
@@ -112,7 +110,7 @@ beiden Beobachtungen klären die Frage fast vollständig.  Die Beobachtungen
 zeigen auch, dass es sich bei der Frage um ein kombinatorisches Problem handelt,
 das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
 
-\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen geben Permutationen]\label{beob:p1}
+\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen geben Permutationen]\label{beob:p1}%
   In Situation~\ref{sit:gal} sei $\varphi: L → L$ ein $K$-Morphismus.  Schreibe
   $f(x) = \sum b_i·xⁱ$.  Wenn $a_• ∈ L$ eine der Nullstellen von $f$ ist, dann
   ist
@@ -130,7 +128,7 @@ das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
   \end{equation}
 \end{beobachtung}
 
-\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen sind durch Permutationen eindeutig beschrieben]\label{beob:p2}
+\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen sind durch Permutationen eindeutig beschrieben]\label{beob:p2}%
   In Situation~\ref{sit:gal} wissen wir schon, dass $L = K(a_1, …, a_n)$ ist.
   Ich kann also jedes Element $ℓ ∈ L$ als endliche Summe schreiben,
   \[
@@ -169,18 +167,18 @@ einfach mal nicht mache.  Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer
 \emph{endliche} Summen sind.  Insbesondere treten in jedem einzelnen Polynom
 immer nur endlich viele Variablen auf.
 
-\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:ringad}
+\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:ringad}%
   Es sei $S$ ein Ring und es sei $R ⊂ S$ ein Unterring.  Weiter sei
   $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Familie von Elementen aus $S$.  Dann bezeichnet man mit
-  $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ das Bild von $R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ unter
+  $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ das Bild von $R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ unter dem
-  dem Substitutionsmorphismus
+  Substitutionsmorphismus
   \[
     R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr] → S, \quad f(x_{λ_1}, …, x_{λ_m}) ↦
     f(a_{λ_1}, …, a_{λ_m})
   \]
-  Man sagt, der Unterring $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊂ S$ entsteht aus
+  Man sagt, der Unterring $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊂ S$ entsteht aus $R$ durch
-  $R$ durch \emph{Adjunktion} der Elemente $(a_λ)_{λ∈Λ}$.  Den Vorgang nennt
+  \emph{Adjunktion} der Elemente $(a_λ)_{λ∈Λ}$.  Den Vorgang nennt man
-  man \emph{Ringadjunktion}\index{Ringadjunktion}.
+  \emph{Ringadjunktion}\index{Ringadjunktion}.
 \end{defn}
 
 \begin{beobachtung}
@@ -202,8 +200,7 @@ Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von
 dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper
 $K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)$ vergleichen.  Offenbar gilt immer
 \[
-  K ⊆ K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊆ K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)
+  K ⊆ K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊆ K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) ⊆ L.
-  ⊆ L.
 \]
 Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht.  Die Sätze klären auch
 noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert
@@ -221,8 +218,8 @@ auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
 \begin{proof}
   Wir wissen schon, dass $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ der kleinste Unterring des
   Körpers $L$ ist, der $K$ und $(a_λ)_{λ∈Λ}$ enthält.  Gemäß der universellen
-  Eigenschaft ist der Quotientenkörper der kleinste Körper, der
+  Eigenschaft ist der Quotientenkörper der kleinste Körper, der $K\bigl[
-  $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ enthält, also gleich $K\bigl((a_λ)_{λ∈Λ}\bigr)$.
+  (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ enthält, also gleich $K\bigl((a_λ)_{λ∈Λ}\bigr)$.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
@@ -236,8 +233,8 @@ auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
     K(a) = K + K·a + ⋯ + K·a^{n-1}
   \end{equation*}
   wobei $n= [a : K]$ ist.  Also ist $K(a) = K[a]$.  Wenn das Elemente $a$
-  transzendent ist, dann ist $K[x] ≅ K[a]$ kein Körper und deshalb ist
+  transzendent ist, dann ist $K[x] ≅ K[a]$ kein Körper und deshalb ist $K[a] ≠
-  $K[a] ≠ K(a)$.
+  K(a)$.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]

14.tex

@@ -13,7 +13,7 @@ Nullstellen beschrieben sind, frage ich mich vermutlich als erstes, wie viele
 Nullstellen es eigentlich gibt.  Kann es überhaupt vorkommen, dass $a$ eine
 mehrfache Nullstelle von $f$ ist?
 
-\begin{beobachtung}\label{beo:14-0-1}
+\begin{beobachtung}\label{beo:14-0-1}%
   Wenn $K = ℚ$ ist, geht das nicht.  Denn wenn $a$ eine mehrfache Nullstelle
   ist, also $f = (x-a)²·g ∈ ℂ[x]$ wäre, dann kann ich die Ableitung betrachten,
   \[
@@ -46,14 +46,14 @@ Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren:
       \end{matrix}
     \right.
   \]
-  In der Praxis ist man meist zu faul und schreibt statt $φ(n) ∈ R$ einfach
+  In der Praxis ist man meist zu faul und schreibt statt $φ(n) ∈ R$ einfach $n ∈
-  $n ∈ R$.  Aber Achtung!  Die Abbildung $φ$ ist nicht immer injektiv!  Es gilt
+  R$.  Aber Achtung!  Die Abbildung $φ$ ist nicht immer injektiv!  Es gilt zum
-  zum Beispiel $p = 0 ∈ 𝔽_p$.
+  Beispiel $p = 0 ∈ 𝔽_p$.
 \end{notation}
 
-\begin{definition}[Formale Ableitung]\label{Def_formale_Ableitung}
+\begin{definition}[Formale Ableitung]\label{Def_formale_Ableitung}%
-  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Wenn jetzt ein Polynom
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Wenn jetzt ein Polynom $f =
-  $f = \sum_{i=0}^{n}a_i·xⁱ ∈ R[x]$ gegeben ist, dann nenne das Polynom
+  \sum_{i=0}^{n}a_i·xⁱ ∈ R[x]$ gegeben ist, dann nenne das Polynom
   \begin{equation*}
     f' = \sum_{i=1}^{n} i· a_i· x^{i-1}∈ R[x]
   \end{equation*}
@@ -62,7 +62,7 @@ Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren:
   Iteration der Ableitung definiert.
 \end{definition}
 
-\begin{bemerkung}[Ableitung kann überraschend verschwinden]\label{bem:14-1-3}
+\begin{bemerkung}[Ableitung kann überraschend verschwinden]\label{bem:14-1-3}%
   Es kann vorkommen, dass $\deg f >0$ ist, aber trotzdem $f' = 0$.  Wenn nämlich
   Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$, beispielsweise $K = 𝔽_p$.  Dann
   ist $p = 0 ∈ R$ und das Polynom $f(x) = x^p$ hat daher die formale Ableitung
@@ -72,7 +72,7 @@ Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren:
   Trotzdem ist $f$ aber nicht konstant, denn $f(1) = 1$ und $f(0) = 0$.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{satz}[Rechenregeln für die formale Ableitung]\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung}
+\begin{satz}[Rechenregeln für die formale Ableitung]\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $f$, $g ∈ R[x]$.
   Weiter sei ein Element $r ∈ R$ gegeben.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
@@ -107,7 +107,7 @@ bestimmen.  Was war noch einmal die Ordnung?
   in $R[x]$ gelten.
 \end{defn}
 
-\begin{kor}\label{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle}
+\begin{kor}\label{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei ein Polynom $f ∈ R[x]$
   der Form $f = (x-a)^m· g$ gegeben, mit $a∈ R$ und $g∈ R[x]$.  Dann ist
   \begin{equation*}
@@ -124,11 +124,10 @@ bestimmen.  Was war noch einmal die Ordnung?
   \begin{equation*}
     f(a) = f'(a) = ⋯ = f^{(m-1)}(a) = 0
   \end{equation*}
-  ist.  Wenn $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, also insbesondere
+  ist.  Wenn $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, also insbesondere $m! ≠
-  $m!  ≠ 0 ∈ R$ ist, dann ist $f^{(m)}(a) ≠ 0$, wenn $a$ eine $m$-fache
+  0 ∈ R$ ist, dann ist $f^{(m)}(a) ≠ 0$, wenn $a$ eine $m$-fache Nullstelle von
-  Nullstelle von $f$ ist.  Wir haben aber schon in Bemerkung~\ref{bem:14-1-3}
+  $f$ ist.  Wir haben aber schon in Bemerkung~\ref{bem:14-1-3} gesehen, dass man
-  gesehen, dass man über beliebigen Körpern die Nullstellenordnung so nicht
+  über beliebigen Körpern die Nullstellenordnung so nicht bestimmen kann!
-  bestimmen kann!
 \end{beobachtung}
 
 
@@ -155,7 +154,7 @@ diese Abbildung \textbf{linear} ist!
   Gibt es eine solche Zahl nicht, so sagt man, dass $R$ Charakteristik 0 hat.
 \end{defn}
 
-\begin{satzdef}[Frobenius-Endomorphismus]\label{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus}
+\begin{satzdef}[Frobenius-Endomorphismus]\label{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus}%
   Es sei $p$ eine Primzahl und es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins der
   Charakteristik $p$.  Dann ist die Abbildung
   \begin{equation*}
@@ -199,8 +198,7 @@ Definition.
   \emph{separabel}\index{separabel!Polynom}, wenn $f$ keine mehrfachen
   Nullstellen in $\overline{K}$ hat.  Ein beliebiges nicht-konstantes Polynom
   heißt separabel, wenn alle irreduziblen Faktoren separabel sind.
-  Nicht-separable Polynome heißen
+  Nicht-separable Polynome heißen \emph{inseparabel}\index{inseparabel!Polynom}.
-  \emph{inseparabel}\index{inseparabel!Polynom}.
 \end{defn}
 
 \begin{warnung}
@@ -210,7 +208,7 @@ Definition.
 Separable Polynome können mithilfe des Frobenius-Morphismus genau beschrieben
 werden.
 
-\begin{satz}\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel}
+\begin{satz}\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel}%
   Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein irreduzibles Polynom.  Dann
   sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
@@ -318,33 +316,33 @@ separabel, wenn alle Elemente separabel sind.
 
 \sideremark{Vorlesung 15}
 
-\begin{satz}\label{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper}
+\begin{satz}\label{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper}%
   Wenn $L/K$ eine separable Körpererweiterung ist und $Z$ ein Zwischenkörper,
   dann sind auch $L/Z$ und $Z/K$ separabel.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Es ist klar, dass $Z/K$ separabel ist.  Sei jetzt also $a ∈ L$.  Wir müssen
   zeigen, dass $a$ separabel über $Z$ ist.  Dazu beobachten wird, dass das
-  Minimalpolynom von $a$ über $Z$ das Minimalpolynom von $a$ über $K$ teilt.  Das
+  Minimalpolynom von $a$ über $Z$ das Minimalpolynom von $a$ über $K$ teilt.
-  letztere hat aber keine mehrfachen Nullstellen, also hat auch das erste keine
+  Das letztere hat aber keine mehrfachen Nullstellen, also hat auch das erste
-  mehrfachen Nullstellen.
+  keine mehrfachen Nullstellen.
 \end{proof}
 
 
 \subsection{Separabilität und Anzahl von $K$-Morphismen}
 
 Im Folgenden ist ein wesentlicher Punkt, dass sich endliche separable
-Körpererweiterungen $L/K$ durch die Anzahl der $K$-Homomorphismen
+Körpererweiterungen $L/K$ durch die Anzahl der $K$-Homomorphismen $L →
-$L → \overline{K}$ charakterisieren lassen.  Als Anwendung erhalten wir eine
+\overline{K}$ charakterisieren lassen.  Als Anwendung erhalten wir eine Reihe
-Reihe von Sätzen und Korollaren über separable Erweiterungen, die wir schon in
+von Sätzen und Korollaren über separable Erweiterungen, die wir schon in ganz
-ganz ähnlicher Form (und mit ganz ähnlichen Beweisen) für algebraische
+ähnlicher Form (und mit ganz ähnlichen Beweisen) für algebraische Erweiterungen
-Erweiterungen kennen.  Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
+kennen.  Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
 
-\begin{lemma}\label{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen}
+\begin{lemma}\label{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen}%
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $a ∈ L$ sei algebraisch über $K$, mit
   Minimalpolynom $f ∈ K[x] ⊆ L[x]$.  Wenn $m$ die Anzahl der Nullstellen von $f$
-  in $L$ bezeichnet, dann gibt es genau $m$ verschiedene $K$-Morphismen
+  in $L$ bezeichnet, dann gibt es genau $m$ verschiedene $K$-Morphismen $σ :
-  $σ : K(a) → L$.
+  K(a) → L$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
   Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: Jeder
@@ -357,9 +355,9 @@ Erweiterungen kennen.  Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
     \varphi_a : K[x] → K(a), \quad g ↦ g(a) \qquad\text{und}\qquad \varphi_b : K[x] → L, \quad g ↦ g(b).
   \end{equation*}
   Weil $f(a) = f(b) = 0$ ist, ist $f ∈ \ker \varphi_a$ und $f ∈ \ker \varphi_b$.
-  Weil $f$ irreduzibel ist, muss aber schon die Gleichheit
+  Weil $f$ irreduzibel ist, muss aber schon die Gleichheit $(f) = \ker \varphi_a
-  $(f) = \ker \varphi_a = \ker \varphi_b$ gelten.  Also liefern $\varphi_a$ und
+  = \ker \varphi_b$ gelten.  Also liefern $\varphi_a$ und $\varphi_b$
-  $\varphi_b$ $K$-Morphismen
+  $K$-Morphismen
   \begin{equation*}
     \factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_a} K(a) \qquad\text{und}\qquad \factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_b} L,
   \end{equation*}
@@ -373,7 +371,7 @@ die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren.  Als Konsequenz erhalten wir
 eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der „algebraischen
 Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen.
 
-\begin{satz}\label{Satz_11_10}
+\begin{satz}\label{Satz_11_10}%
   Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung
   und es sei $n := [L:K]$.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
@@ -396,9 +394,9 @@ Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen.
   Man bette $M$ in $\overline{K}$ ein.
 \end{proof}
 
-\begin{kor}
+\begin{kor}\label{cor:14-4-7}%
-  Sei $L = K[a_1, …, a_t]$, wobei $a_i$ stets separabel über
+  Sei $L = K(a_1, …, a_t)$, wobei $a_i$ stets separabel über $K(a_1, …,
-  $K[a_1, …, a_{i-1}]$ ist.  Dann ist $L/K$ separabel.
+  a_{i-1})$ ist.  Dann ist $L/K$ separabel.
 \end{kor}
 \begin{proof}
   Der Beweis von \ref{Satz_11_10} zeigt, dass es $n=\prod n_i$ viele
@@ -411,22 +409,25 @@ Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen.
   separabel.
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  Wir wissen schon, dass $M/K$ algebraisch ist.  Sei $a∈ M$ ein Element und
+  Wir wissen schon, dass $M/K$ algebraisch ist.  Sei also $a ∈ M$ irgendein
+  Element. Wir müssen zeigen, dass $a$ separabel über $K$ ist.  Betrachte dazu
+  das Minimalpolynom von $a$ über dem Zwischenkörper $L$,
   \begin{equation*}
-    f = \underbrace{a_0+a_1· x+\dots +a_{n-1}x^{n-1}+x^n}_{∈ L[x]}
+    f = a_0+a_1· x+\dots +a_{n-1}·x^{n-1}+x^n ∈ L[x].
   \end{equation*}
-  das zugehörige Minimalpolynom.  Es gilt, dass $a$ separabel über
+  Es gilt, dass $a$ separabel über $K(a_0, …, a_{n-1})$ ist.  Gegeben einen
-  $K[a_0, …, a_{n-1}] =: L^{n-1}$ ist.  Weil die $a_i$ aber separabel über $K$
+  Index $i$, dann gilt nach Satz~\ref{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper} auch,
-  sind, ist $L^\prime[a] = K[a_0, …, a_{n-1}, a]$ separabel.  Insbesondere ist
+  dass die $a_i$ separabel über $K(a_0, …, a_{i-1})$ sind.  Also ist $K(a_0, …,
-  $a$ separabel.
+  a_{n-1}, a)$ nach Korollar~\ref{cor:14-4-7} separabel über $K$.  Insbesondere
+  ist $a$ separabel über $K$.
 \end{proof}
 
 
 \subsection{Der separable Abschluss}
 
 Erinnern Sie sich an den „algebraischen Abschluss eines Körpers in einem
-Oberkörper“, den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben?  Auch
+Oberkörper“, den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben?  Auch dieser
-dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
+Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
 übertragen.
 
 \begin{satzdef}[Separabler algebraischer Abschluss, Separabilitätsgrad]
@@ -458,7 +459,7 @@ dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
   unpassenden Witzen an, die sich nicht zum Abdruck eignen.
 \end{bsp}
 
-\begin{satz}\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen}
+\begin{satz}\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen}%
   Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$.  Dann sind folgende Aussagen
   äquivalent.
   \begin{enumerate}
@@ -481,10 +482,10 @@ dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
 \end{proof}
 
 \begin{bemerkung}
-  Das einfachste Beispiel für einen unvollkommenen Körper ist $K = 𝔽_p(t)$.  Das
+  Das einfachste Beispiel für einen unvollkommenen Körper ist $K = 𝔽_p(t)$.
-  einfachste inseparable Polynom ist $x^p-t ∈ K[x]$.  Wenn wir eine Nullstelle
+  Das einfachste inseparable Polynom ist $x^p-t ∈ K[x]$.  Wenn wir eine
-  dieses Polynoms in $\overline{K}$ wählen und sinnigerweise mit $\sqrt[p]{t}$
+  Nullstelle dieses Polynoms in $\overline{K}$ wählen und sinnigerweise mit
-  bezeichnen, dann ist
+  $\sqrt[p]{t}$ bezeichnen, dann ist
   \[
     \factor{K \Bigl( \sqrt[p]{t} \Bigr)}{K}
   \]