kebekus/AlgebraZahlentheorie
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@ -29,3 +29,37 @@ Beutelspacher
Erlärvideo
nullteilerfrei
nullteilerfreien
Transzendenzbeweis
Lorettoberg
Normiertheit
hinzuadjungieren
Algebraizität
Gerolamo
Cardano
Girolamo
Cardanus
Mediolanensis
Cardan
Nicolo
Tartaglia
Scipione
del
Ferro
Radikalerweiterung
Teilbarkeitsfragen
Polynom-
Teilbarkeitsüberlegungen
schrecklicherweise
Teilerkette
Teilerkettensatz
Bryn
Mawr
prim
faktoriell
UFD
faktorieller
Repräsentantensystem
Teilbarkeitseigenschaften
kgV
faktoriellen
Geodät

11
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@ -13,3 +13,14 @@
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QVorlesung 2 Ein Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt Schiefkörper, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q invertierbar sind, wenn also \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Unterring, aber kein Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Minimaler Grad] Zuerst betrachten wir nur solche Polynome, deren Grad minimal ist unter allen nicht-konstanten Polynomen, die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als Nullstelle haben.\\E$"}
{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 3 3-1 und 3-2.\\E$"}
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann bildet die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist algebraisch über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q einen Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, genannt der algebraische Abschluss von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q im Oberkörper \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3-6\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QErklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, etc. Nach Korollar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q können wir schreiben \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QAus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q folgt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein kommutativer Ring und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q seien Elemente.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"}
{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 6\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\QggT und kgV.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann, wenn für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}

141
03.tex
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@ -20,32 +20,32 @@ nicht alle Elemente des größeren Körpers gleich sind.
\begin{itemize}
\item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie
\emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben deren
Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen ``algebraisch''.
Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen „algebraisch“.
\item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von
Polynomen kommen --- diese Zahlen heißen ``transzendent''.
\item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von Polynomen
kommen --- diese Zahlen heißen „transzendent“.
\end{itemize}
\end{beobachtung}
Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst
einmal ein wenig Sprache fällig.
\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}
\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}%
Es sei $K$ ein Körper. Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit
Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring}
\end{definition}
\begin{warnung}[Polynome und Funktionen]
In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine
Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen!
Im Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele
Abbildungen von $K$ nach $K$!
Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen! Im
Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele Abbildungen
von $K$ nach $K$!
\end{warnung}
\begin{bsp}[Polynomring]
Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$. Das Polynom
$π·x + e$ liegt in $ℝ[x]$.
Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$. Das Polynom $π·x + e$ liegt
in $ℝ[x]$.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Polynomring]
@ -57,13 +57,13 @@ einmal ein wenig Sprache fällig.
ein typisches Polynom aus $K[x]$.
\end{bsp}
Die korrekte Definition von ``algebraisch'' und ``transzendent'' ist jetzt die
Die korrekte Definition von „algebraisch“ und „transzendent“ ist jetzt die
Folgende.
\begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente]
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Ein Element $a ∈ L$ heißt
\emph{algebraisch über $K$}\index{algebraisch!Element einer
Körpererweiterung}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes
Körpererweiterung}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes
gilt.
\begin{itemize}
\item Das Polynom $f$ ist nicht das Nullpolynom.
@ -81,11 +81,11 @@ Folgende.
algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist. Der
Freiburger Mathematiker Ferdinand
Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl
Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12. April
1852 in Hannover; † 6. März 1939 in München) war ein deutscher
Mathematiker. Lindemann hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem
Spaziergang auf dem Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten
Arbeit \cite{MR1510165}, dass die Zahl $π$ transzendent ist.
Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.~April 1852 in
Hannover; † 6.~März 1939 in München) war ein deutscher Mathematiker. Lindemann
hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem Spaziergang auf dem
Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten Arbeit \cite{MR1510165},
dass die Zahl $π$ transzendent ist.
\end{bsp}
@ -95,22 +95,22 @@ Der Zahlentheoretiker interessiert sich natürlich besonders für die
Körpererweiterung $ℂ/ℚ$. Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert.
\begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen]
Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man
\emph{algebraische Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}. Die anderen Elemente
heißen \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man \emph{algebraische
Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}. Die anderen Elemente heißen
\emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
\end{defn}
Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen. Der folgende Satz zeigt, dass
jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen
enthält.
\begin{satz}\label{satz:3-2-2}
\begin{satz}\label{satz:3-2-2}%
Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.
\end{satz}
\begin{proof}
Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit
Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar. Jedes Polynom hat aber nur
endlich viele Nullstellen.
Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar. Jedes Polynom hat aber nur endlich
viele Nullstellen.
\end{proof}
@ -142,9 +142,9 @@ enthält.
\section{Das Minimalpolynom}
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
Per Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle
hat. Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. Per
Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat.
Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das
ebenfalls $a$ als Nullstelle hat. Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$
als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar
@ -160,7 +160,7 @@ Zusatzbedingungen stellt.
f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x]
\end{equation*}
ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung:
``normiert'' bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
„normiert“ bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
\begin{equation*}
\frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x]
\end{equation*}
@ -194,9 +194,9 @@ Grad von $f_1$!
\end{defn}
\begin{bsp}
Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$. Dann ist
$[a:ℚ] ≤ 3$, denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms
$f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Aber ist $f$ auch das Minimalpolynom?
Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$. Dann ist $[a:ℚ] ≤ 3$,
denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Aber ist $f$ auch
das Minimalpolynom?
\end{bsp}
\begin{bsp}
@ -209,9 +209,9 @@ Grad von $f_1$!
\end{beobachtung}
\begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel]
Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$). Weiter
sei $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: es gilt die
Gleichung $a² = b$). Dann gilt
Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$). Weiter sei
$b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: Es gilt die Gleichung
$a² = b$). Dann gilt
\[
[a:K] =
\left\{
@ -238,7 +238,7 @@ Definition.
\begin{defn}[Grad einer Körpererweiterung]
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Die Dimension von $L$ als Vektorraum
über $K$ heißt \emph{Grad der Körpererweiterung}\index{Grad!einer
Körpererweiterung}. Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich.
Körpererweiterung}. Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich.
\end{defn}
\begin{defn}[Endliche Körpererweiterung]
@ -247,12 +247,12 @@ Definition.
\end{defn}
\begin{bsp}
Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder
endlich-dimensionale $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder endlich-dimensionale
$ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
\end{bsp}
\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Dann gilt die
\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}%
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$. Dann gilt die
Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3}
\end{satz}
\begin{proof}
@ -264,11 +264,11 @@ Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}; wir wiederholen die Argumentation deshalb an
dieser Stelle nicht.
\begin{kor}
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Falls $[a:K] < ∞$
ist, dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$. \qed
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Falls $[a:K] < ∞$ ist,
dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$. \qed
\end{kor}
\begin{kor}\label{kro:eord}
\begin{kor}\label{kro:eord}%
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom
Grad $n$. Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als
\[
@ -278,10 +278,10 @@ dieser Stelle nicht.
\end{kor}
Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$
schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als
$b = c_0 + c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind. Das ist ziemlich
nützlich! Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für
beliebige einfache Körpererweiterungen.
schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als $b = c_0 +
c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind. Das ist ziemlich nützlich!
Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für beliebige
einfache Körpererweiterungen.
\section{Ketten von Körpererweiterungen}
@ -291,11 +291,10 @@ haben, und dann nach und nach einige Elemente eines Oberkörpers
hinzuadjungieren. Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden
Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}
\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}%
\index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von
Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention
$∞·∞ = ∞$ und $∞ ·n = ∞$ falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die
Gleichung
Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention $∞·∞ = ∞$
und $∞·n = ∞$, falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die Gleichung
\[
[M:K] = [M:L]·[L:K].
\]
@ -305,10 +304,9 @@ Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
\end{proof}
\begin{kor}
Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn
$[M:K]$ endlich ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von
$[M:K]$. Insbesondere gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein
Teiler von $[M:K]$ ist. \qed
Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn $[M:K]$ endlich
ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von $[M:K]$. Insbesondere
gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist. \qed
\end{kor}
\begin{kor}
@ -316,7 +314,7 @@ Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
ist. Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist. \qed
\end{kor}
\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}
\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}%
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei. Dann entsteht $L$ aus $K$
durch Adjunktion einer Quadratwurzel. Genauer: es gibt Elemente $a ∈ L$ und
$b ∈ K$, sodass Folgendes gilt.
@ -327,7 +325,8 @@ Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
\end{itemize}
\end{kor}
\begin{proof}
\video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte Verbesserung im Skript des Beweises.
\video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte
Verbesserung im Skript des Beweises.
\end{proof}
Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
@ -338,18 +337,18 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
\item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$.
\item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$
und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass
$L = K(a_1, …, a_n)$ ist.
und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass $L = K(a_1, …,
a_n)$ ist.
\item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$,
die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen:
$L = K(a_1, …, a_n)$.
die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen: $L =
K(a_1, …, a_n)$.
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}]
Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also
sind alle diese Elemente algebraisch. Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man
zum Beispiel einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also sind alle
diese Elemente algebraisch. Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man zum Beispiel
einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}]
@ -357,15 +356,15 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}]
Sei $L = K(a_1, …, a_n)$. Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und die
Kette von Erweiterungen
Sei $L = K(a_1, …, a_n)$. Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und
die Kette von Erweiterungen
\[
K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L.
\]
Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$;
insbesondere ist per Annahme (``$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$'') und
Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich. Wiederholte
Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
insbesondere ist per Annahme („$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$“) und
Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich.
Wiederholte Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
\[
[L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i],
\]
@ -378,9 +377,9 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus
Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig
sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen. Der erste ist der Satz über
die ``Transitivität der Algebraizität''.
die „Transitivität der Algebraizität“.
\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}
\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}%
Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen. Dann ist auch
$M/K$ algebraisch.
\end{kor}
@ -413,9 +412,9 @@ die ``Transitivität der Algebraizität''.
von $ℂ$. \qed
\end{kor}
\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}
\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}%
Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von
``algebraischem Abschluss'' diskutieren, der nicht von der Wahl eines
„algebraischem Abschluss“ diskutieren, der nicht von der Wahl eines
Oberkörpers abhängt. Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln!
\end{warnung}

67
04.tex
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@ -14,21 +14,21 @@ Für Gleichungen 3.\ und 4.\ Grades haben italienische Mathematiker der
Renaissance komplizierte Formeln gefunden. In der westlichen Welt wurden diese
Formeln erstmals 1545 von Gerolamo
Cardano\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano}{Gerolamo
Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan,
lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24. September 1501 in Pavia;
† 21. September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und
Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch
Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan,
lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24.~September 1501 in Pavia; †
21.~September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und
Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch
\cite{Cardano45} veröffentlicht. Die Lösungsformeln für reduzierte kubischen
Gleichungen wurden wohl von Nicolo
Tartaglia\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Tartaglia}{Niccolò
Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13. Dezember 1557 in
Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine
Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist. } entdeckt; laut
Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13.~Dezember 1557 in
Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine
Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist. } entdeckt; laut
Cardano sogar noch früher durch Scipione del
Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione
del Ferro} (* 6. Februar 1465 in Bologna; † 5. November 1526 ebenda) war ein
italienischer Mathematiker. Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und
Geometrie an der Universität von Bologna. }.
del Ferro} (* 6.~Februar 1465 in Bologna; † 5.~November 1526 ebenda) war ein
italienischer Mathematiker. Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und
Geometrie an der Universität von Bologna.}.
\begin{bsp}
Es seien $a$, $b$ und $c$ komplexe Zahlen. Gesucht sind komplexe Lösungen der
@ -52,54 +52,53 @@ Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione
\end{bsp}
Für Polynome vom Grad 5 wurde keine solche Formel gefunden. Das wirft Fragen
auf. Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm? Gibt es eine
solche Formel überhaupt? Die Frage war etliche Jahrhunderte offen. Tatsächlich
ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und durch die
Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar. Wir präzisieren die Fragestellung
hier nur.
auf. Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm? Gibt es
eine solche Formel überhaupt? Die Frage war etliche Jahrhunderte offen.
Tatsächlich ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und
durch die Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar. Wir präzisieren die
Fragestellung hier nur.
\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}
\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}%
Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente
$a_1, …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt.
Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente $a_1,
…, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt.
\begin{itemize}
\item Es ist $L = K(a_1, …, a_n)$.
\item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist
$a_i^{r_i} ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$.
\item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist $a_i^{r_i}
∈ K(a_1, …, a_{i-1})$.
\end{itemize}
\end{defn}
Erklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass $a_1$ die
$r_1$-te Wurzel eines Elements aus $K$, dass $a_2$ die $r_2$-te Wurzel eines
Elements aus $K(a_1)$, etc. Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir
schreiben
Elements aus $K(a_1)$, etc. Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir schreiben
\begin{align*}
K(a_1) & = K+ K· a_1+K· a_1²+\dots+ K· a_1^{r_1-1}\\
K(a_1, a_2)&= K(a_1)+K(a_1)· a_2+ \dots + K(a_1)· a_2^{r_2-1}\\
&\:\:\: \vdots \\
K(a_1, …, a_n)&= K(a_1, …, a_{n-1})+K(a_1, …, a_{n-1})· a_n + \dots + K(a_1, …, a_{n-1})· a_n^{r_n-1}.
\end{align*}
Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem nur
(höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen.
Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem
nur (höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen.
\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}
Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$. Man sagt, die
Gleichung $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit
durch Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine
\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}%
Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$. Man sagt, die Gleichung
$f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit durch
Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine
Nullstelle hat\footnote{Genauer: …, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt
und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}.
und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}.
\end{defn}
Bei der klassischen Frage nach den Lösungen von Polynomen interessiert uns unter
anderem ob ein Polynom
anderem, ob ein Polynom
\begin{equation*}
f(x) = x^n+b_1·x^{n-1} + \dots + b_{n-1}·x + b_n ∈ ℂ[x]
\end{equation*}
über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat,
das heißt, ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von
rationalen Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken
lässt -- falls nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen.
über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat, das heißt,
ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von rationalen
Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken lässt -- falls
nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen.
%%% Local Variables:

201
05.tex
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@ -3,21 +3,16 @@
\chapter{Teilbarkeit}
Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
bereitgestellt.
\section{Wohin geht die Reise…?}
\section{Wohin geht die Reise… ?}
In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff
``Minimalpolynom'' schrecklich wichtig ist. Wir haben aber noch nie darüber
„Minimalpolynom“ schrecklich wichtig ist. Wir haben aber noch nie darüber
gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet.
\begin{problem}
Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes
Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$. Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das
Minimalpolynom ist oder nicht.
Minimalpolynom ist oder nicht?
\end{problem}
Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und
@ -26,15 +21,15 @@ welche Richtung die Argumentation geht.
\begin{beobachtung}
Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch
über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Wenn jetzt
$g(x) ∈ K[x]$ irgend ein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule
gelernt, dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können. Am Ende
schreibt man
über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Wenn jetzt $g(x) ∈
K[x]$ irgendein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule gelernt,
dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können. Am Ende schreibt
man
\begin{equation*}
g(x) = q(x)·f(x)+ r(x)
g(x) = q(x)·f(x)+ r(x),
\end{equation*}
wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist. Angenommen $g$ hat $a$ als
Nullstelle. Dann gilt:
wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist. Angenommen $g$ hat $a$
als Nullstelle. Dann gilt:
\begin{equation*}
0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}-r(a).
\end{equation*}
@ -50,20 +45,20 @@ welche Richtung die Argumentation geht.
\section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen}
Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik
machen können. Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den ``Ring $K[x]$ der
Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$'' eingeführt. Das geht auch mit Ringen
machen können. Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den „Ring $K[x]$ der
Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$“ eingeführt. Das geht auch mit Ringen
statt Körpern.
\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}
\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}%
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der
Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring!mit
Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring
Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring
der Polynome mit Variablen $x_1, …, x_n$ und Koeffizienten aus $R$.
\end{definition}
\begin{bsp}
Betrachte den Ring $R = ℤ$. Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und
$4x²+3xy+y⁷ ∈ ℤ[x,y]$.
Betrachte den Ring $R = ℤ$. Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und $4x²+3xy+y⁷ ∈
ℤ[x,y]$.
\end{bsp}
\begin{beobachtung}
@ -79,11 +74,11 @@ Der Grad von Polynomen ist definiert wie üblich: Das Polynom
$3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$. In Integritätsringen
verhält sich der Grad gut.
\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}
\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}%
Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Dann gilt für alle
Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$. Wir
verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle
$n ≥ 0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle $n ≥
0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
\begin{equation*}
\deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q).
\end{equation*}
@ -92,10 +87,10 @@ verhält sich der Grad gut.
\begin{proof}
Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $p,q ≠ 0$. Sei
$n := \deg p$ und $m := \deg q$. Dann finden wir Elemente $r_•$ und $s_•$ aus
$R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, so dass wir schreiben können:
$R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, sodass wir schreiben können:
\begin{align*}
p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\
q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m
q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m.
\end{align*}
Dann ist weiter
\begin{equation*}
@ -137,12 +132,12 @@ verhält sich der Grad gut.
\section{Teilbarkeit in Ringen}
In der (Grund-)schule haben wir den Begriff ``Teiler'' kennen gelernt. In
In der (Grund-)Schule haben wir den Begriff „Teiler“ kennengelernt. In
allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
\begin{defn}[Teiler]
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $r$, $s ∈ R$. Man nennt $r$ einen
\emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, so dass $r·q = s$
\emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, sodass $r·q = s$
ist. Wir schreiben dann $r|s$.
\end{defn}
@ -171,7 +166,7 @@ allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war
das Vorzeichnen meist nicht wichtig. Die folgende Definition formalisiert in
bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''.
bombastischer Sprache die Phrase „unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen“.
\begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente]
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei
@ -179,19 +174,18 @@ bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''.
\begin{enumerate}
\item\label{Satz_assoziiert_1} Es gilt gleichzeitig $r|s$ und $s|r$.
\item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, so dass
\item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, sodass
$ε·r=s$ ist.
\end{enumerate}
Sind die Bedingungen erfüllt, nennt man $r$ und $s$ \emph{zueinander
assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente} und schreibt $r \sim s$.
\end{satzdef}
\begin{proof}
Wir beweisen die Richtung
\ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}. Wegen
$ε· r = s$ gilt $r|s$. Multiplikation mit $ε^{-1}$
liefert $r = ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$. Wir beweisen als nächstes
die Richtung \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}.
Nach Annahme existieren $u,v∈ R$ mit
Wir beweisen die Richtung \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}.
Wegen $ε· r = s$ gilt $r|s$. Multiplikation mit $ε^{-1}$ liefert $r =
ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$. Wir beweisen als Nächstes die Richtung
\ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}. Nach Annahme existieren
$u,v∈ R$ mit
\begin{equation*}
u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r.
\end{equation*}
@ -209,7 +203,7 @@ Teiler.
\begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente]
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei
Elemente. Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{echter
Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten
Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten.
\begin{itemize}
\item Es gilt $r|s$.
@ -233,26 +227,26 @@ Teiler.
\begin{warnung}
Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich. Wir werden später für
beliebige Ringe Ringe auch noch einen Begriff von ``Primelement'' definieren.
beliebige Ringe auch noch einen Begriff von „Primelement“ definieren.
\end{warnung}
\section{Zerlegbarkeit von Elementen}
In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich
ausführlich diskutiert: jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
irreduziblen Elementen (=so genannte ``Primzahlen'') schreiben,
ausführlich diskutiert: Jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
irreduziblen Elementen (=sogenannte „Primzahlen“) schreiben,
\begin{equation*}
m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n),
\end{equation*}
wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen
eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
\begin{warning}\label{war:nufd}
\begin{warning}\label{war:nufd}%
Zu früh gefreut. Geht nicht. Ich behaupte, dass die folgende Menge von
komplexen Zahlen,
\[
R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\}.
R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\},
\]
einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit
$ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet. Ich behaupte auch, dass die Elemente
@ -274,35 +268,35 @@ eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dazu sind folgende Definitionen
relevant.
\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}
\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}%
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette}
in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, so dass für alle
$n ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, sodass für alle $n
∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
\end{defn}
\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}
\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}%
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt \emph{in $R$ gilt der
Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn
für jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, so dass für alle
$k ≥ n_0$ gilt: die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn für
jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, sodass für alle $k ≥
n_0$ gilt: Die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
\end{defn}
\begin{rem}
Die Forderung ``für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind
assoziiert'' lässt sich auch so ausdrücken: es gibt nur endlich viele
$n ∈ ℕ$, so dass $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
Die Forderung „für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind assoziiert“
lässt sich auch so ausdrücken: Es gibt nur endlich viele $n ∈ ℕ$, sodass
$r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
\end{rem}
\begin{bsp}
In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann
gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von
$r_{n}$ ist, dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist,
dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
\end{bsp}
\begin{bsp}
Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper
$K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt. Dazu betrachte man den Grad von
Polynomen anstelle des Betrages.
$K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt. Dazu betrachte man den Grad
von Polynomen anstelle des Betrages.
\end{bsp}
\begin{warnung}
@ -312,17 +306,17 @@ relevant.
Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf
Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von
Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3.\
Jahrhundert v.\ Chr.\ in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir
Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im
3.~Jahrhundert v.~Chr.~in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir
hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy
Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy
Noether} (Emmy war der Rufname; geb. am 23. März 1882 in Erlangen; gest. am
14. April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin,
die grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
lieferte. Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen
an.}. Die Beweismethode ist heute als ``Noethersche Induktion'' bekannt.
Noether} (Emmy war der Rufname; geb.~am 23.~März 1882 in Erlangen; gest.~am
14.~April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die
grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
lieferte. Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen an.}.
Die Beweismethode ist heute als „Noethersche Induktion“ bekannt.
\begin{satz}\label{satz:tksgz}
Es sei $R$ ein kommutativer Ring in dem der Teilerkettensatz für Elemente
@ -341,7 +335,7 @@ Nach dem Kriterium für die Existenz einer Zerlegung kommen wir jetzt zur Frage
der Eindeutigkeit. Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis
auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge. Zwei
Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne
wir ``äquivalent''.
wir „äquivalent“.
\begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen]
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es
@ -351,7 +345,7 @@ wir ``äquivalent''.
\]
zwei Darstellungen von $r$ als Produkt von irreduziblen Elementen. Die
Darstellungen heißen \emph{äquivalent}\index{äquivalente Darstellungen}, wenn
gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, so dass für alle
gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, sodass für alle
Indizes gilt $p_i \sim q_{σ(i)}$.
\end{defn}
@ -407,21 +401,20 @@ wichtig.
a· b = p(q_1· q_2· p+ q_1· b_1+ q_2· a_1)+a_1· b_1,
\end{equation*}
also $p|(a_1· b_1)$. Betrachte jetzt die kleinste natürliche Zahl, die als
Produkt $a· b$ geschrieben werden kann mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$
und $p \nmid b$. Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also
$1 < a· b < p²$. Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also
$p· h = a· b$. Dann gilt $1<h$, weil $p$ irreduzibel ist und $h<p$,
weil $a· b <p²$. Sei nun $p^\prime$ ein positiver irreduzibler Faktor von
$h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn $h$ irreduzibel ist). Dann gilt
natürlich auch $p^\prime< p$. Nach Wahl von $p$ (kleinste Zahl, die
irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim. Da $p^\prime|h$,
$h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt $p^\prime|a$ oder
$p^\prime|b$.
Produkt $a·b$ geschrieben werden kann, mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$ und $p
\nmid b$. Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also $1 < a· b
< p²$. Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also $p· h = a· b$. Dann gilt $1<h$, weil
$p$ irreduzibel ist und $h<p$, weil $a· b <p²$. Sei nun $p^\prime$ ein
positiver irreduzibler Faktor von $h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn
$h$ irreduzibel ist). Dann gilt natürlich auch $p^\prime< p$. Nach Wahl von
$p$ (kleinste Zahl, die irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim.
Da $p^\prime|h$, $h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt
$p^\prime|a$ oder $p^\prime|b$.
Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass $p^\prime|a$ gilt. Dann ist
$a=p^\prime· a^\prime$ und $h=p^\prime· h^\prime$ und somit
\begin{equation*}
p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime· b
p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime·b.
\end{equation*}
Weil $a^\prime· b< a· b$ ist, folgt $p|a^\prime$ oder $p|b$ nach Wahl
von $a· b$. Es folgt $p|a$ oder $p|b$, Widerspruch!
@ -467,7 +460,7 @@ wichtig.
\end{definition}
\begin{rem}
In der Literatur findet man statt ``faktoriell'' manchmal auch die Adjektive
In der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive
\emph{ZPE}\index{ZPE} (= \textbf{Z}erlegung in \textbf{P}rimelemente ist
\textbf{E}indeutig) oder \emph{UFD}\index{UFD} (= \textbf{U}nique
\textbf{F}actorization \textbf{D}omain).
@ -484,7 +477,7 @@ wichtig.
Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30. April 1777 in Braunschweig; † 23. Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}
\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30.~April 1777 in Braunschweig; † 23.~Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}
Es sei $R$ ein faktorieller Ring. Dann ist auch der Polynomring
$R[x_1, …, x_n]$ faktoriell.
\end{satz}
@ -496,7 +489,7 @@ Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
6}
\begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}
\begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}%
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Ist $p ∈ R$ ein Primelement,
dann ist $p$ auch im Polynomring $R[x]$ prim.
\end{lem}
@ -512,26 +505,26 @@ Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
\section{Primfaktorzerlegung}
Wenn $R$ ein faktorieller Ring ist, dann haben wir schon gesehen, dass ich jedes
Element auf ``nahezu eindeutige Weise'' als Produkt von Primelementen schreiben
kann. So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$
darstellbar. Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden,
denn wir finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative. Eine
derartige Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
Element auf „nahezu eindeutige Weise“ als Produkt von Primelementen schreiben
kann. So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$ darstellbar.
Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden, denn wir
finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative. Eine derartige
Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation ``äquivalent'' eine
Äquivalenzrelation auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge
deshalb in Äquivalenzklassen. Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu
machen, müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen. Dann
sind wir in der folgenden Situation.
Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation „äquivalent“ eine Äquivalenzrelation
auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge deshalb in
Äquivalenzklassen. Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu machen,
müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen. Dann sind wir
in der folgenden Situation.
\begin{situation}\label{sit:5-5-1}
\begin{situation}\label{sit:5-5-1}%
Es sei $R$ ein faktorieller Ring und $(p_i)_{i ∈ I}$ sei ein
Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen (das bedeutet:
für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, so dass
$p \sim p_i$ ist).
für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, sodass $p \sim
p_i$ ist).
\end{situation}
Ein ``Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen'' existiert
Ein „Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen“ existiert
wegen des Auswahlaxioms natürlich immer, aber manchmal gibt es besonders
einleuchtende Wahlen.
@ -551,7 +544,7 @@ einleuchtende Wahlen.
r = ε·\prod_{i∈I} (p_i)^{ν_i}
\end{equation*}
wobei $ε ∈ R^*$ und $ν_i ∈ ℕ$ sind; außerdem sind alle bis auf endlich viele
Exponenten gleich $0$. Dies Darstellung heißt \emph{normierte
Exponenten gleich $0$. Diese Darstellung heißt \emph{normierte
Primfaktorzerlegung}\index{normierte
Primfaktorzerlegung}\index{Primfaktorzerlegung!normiert} von $r$ zum
Repräsentantensystem $(p_i)_{i ∈ I}$.
@ -560,7 +553,7 @@ einleuchtende Wahlen.
Hier ist nicht viel zu beweisen. Ist $r ∈ R^*$, so wähle $ε = r$ und setzt
$ν_i = 0$ für alle $i$. Ansonsten zerlege $r$ in irreduzible Faktoren,
$r = p'_{i_1}⋯p'_{i_n}$. Jeder Faktor $p'_{i_j}$ ist zu einem der $p_{i_j}$
assoziiert, also gib es $ε_j ∈ R^*$, so dass $p'_{i_j} = ε_j·p_{i_j}$ ist.
assoziiert, also gib es $ε_j ∈ R^*$, sodass $p'_{i_j} = ε_j·p_{i_j}$ ist.
Setze $ε = \prod_{j=1}^n ε_j$ und fasse die Faktoren $p_•$, die mehrfach
auftauchen, zusammen. Die Eindeutigkeit ist klar.
\end{proof}
@ -581,7 +574,7 @@ sofort ablesen.
gilt.
\item Es ist $r || s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ die Ungleichung
$ν_i ≤ μ_i$ gilt und wenn zusätzlich ein $j∈I$ existiert, so dass
$ν_i ≤ μ_i$ gilt und wenn zusätzlich ein $j∈I$ existiert, sodass
$ν_j < μ_j$ ist.
\item Es ist $r \sim s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ gilt, dass $ν_i = μ_i$
@ -593,14 +586,14 @@ sofort ablesen.
\section{ggT und kgV}
Je nach Geburtsjahrgang haben Sie in Kindergarten, Vorschule, Grundschule,
Gymnasium oder Studium den Begriff ``größter gemeinsamer Teiler'' und
``kleinstes gemeinsames Vielfaches'' kennen gelernt. Auch diese Begriffe
übertragen sich ohne weiteres auf Ringe.
Gymnasium oder Studium den Begriff „größter gemeinsamer Teiler“ und „kleinstes
gemeinsames Vielfaches“ kennengelernt. Auch diese Begriffe übertragen sich ohne
weiteres auf Ringe.
\begin{defn}[Größter gemeinsamer Teiler]
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente.
Ein Element $g ∈ R$ heißt \emph{größter gemeinsamer Teiler\index{größter
gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$} wenn Folgendes gilt.
gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$}, wenn Folgendes gilt.
\begin{itemize}
\item Es ist $g|r$ und $g|s$.
@ -612,7 +605,7 @@ Gymnasium oder Studium den Begriff ``größter gemeinsamer Teiler'' und
\begin{defn}[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente. Ein
Element $v ∈ R$ heißt \emph{kleines gemeinsames Vielfaches}\index{kleinstes
gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$ wenn Folgendes gilt.
gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$, wenn Folgendes gilt.
\begin{itemize}
\item Es ist $r|v$ und $s|v$.
@ -665,7 +658,7 @@ keine Gedanken machen.
\subsection{Der Euklidische Algorithmus}
Die Primfaktorzerlegung eines Elementes in einem faktoriellen Ring zu bestimmen,
ist fast immer sehr schwer. In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen
ist fast immer sehr schwer. In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen,
ohne die Primfaktorzerlegung explizit zu kennen.
\begin{bsp}\label{bsp:5-6-7}