diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index ff0c0a5..36836c9 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -29,3 +29,37 @@ Beutelspacher Erlärvideo nullteilerfrei nullteilerfreien +Transzendenzbeweis +Lorettoberg +Normiertheit +hinzuadjungieren +Algebraizität +Gerolamo +Cardano +Girolamo +Cardanus +Mediolanensis +Cardan +Nicolo +Tartaglia +Scipione +del +Ferro +Radikalerweiterung +Teilbarkeitsfragen +Polynom- +Teilbarkeitsüberlegungen +schrecklicherweise +Teilerkette +Teilerkettensatz +Bryn +Mawr +prim +faktoriell +UFD +faktorieller +Repräsentantensystem +Teilbarkeitseigenschaften +kgV +faktoriellen +Geodät diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 4faca5d..b9b07c3 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -13,3 +13,14 @@ {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QVorlesung 2 Ein Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt Schiefkörper, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q invertierbar sind, wenn also \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"} {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Unterring, aber kein Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Minimaler Grad] Zuerst betrachten wir nur solche Polynome, deren Grad minimal ist unter allen nicht-konstanten Polynomen, die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als Nullstelle haben.\\E$"} +{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 3 3-1 und 3-2.\\E$"} +{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann bildet die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist algebraisch über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q einen Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, genannt der algebraische Abschluss von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q im Oberkörper \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3-6\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QErklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, etc. Nach Korollar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q können wir schreiben \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QAus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q folgt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein kommutativer Ring und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q seien Elemente.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"} +{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 6\\E$"} +{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\QggT und kgV.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann, wenn für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"} diff --git a/03.tex b/03.tex index 117efd5..52fb942 100644 --- a/03.tex +++ b/03.tex @@ -20,32 +20,32 @@ nicht alle Elemente des größeren Körpers gleich sind. \begin{itemize} \item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie \emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben deren - Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen ``algebraisch''. + Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen „algebraisch“. - \item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von - Polynomen kommen --- diese Zahlen heißen ``transzendent''. + \item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von Polynomen + kommen --- diese Zahlen heißen „transzendent“. \end{itemize} \end{beobachtung} Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst einmal ein wenig Sprache fällig. -\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2} +\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}% Es sei $K$ ein Körper. Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring} \end{definition} \begin{warnung}[Polynome und Funktionen] In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine - Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen! - Im Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele - Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele - Abbildungen von $K$ nach $K$! + Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen! Im + Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele + Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele Abbildungen + von $K$ nach $K$! \end{warnung} \begin{bsp}[Polynomring] - Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$. Das Polynom - $π·x + e$ liegt in $ℝ[x]$. + Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$. Das Polynom $π·x + e$ liegt + in $ℝ[x]$. \end{bsp} \begin{bsp}[Polynomring] @@ -57,13 +57,13 @@ einmal ein wenig Sprache fällig. ein typisches Polynom aus $K[x]$. \end{bsp} -Die korrekte Definition von ``algebraisch'' und ``transzendent'' ist jetzt die +Die korrekte Definition von „algebraisch“ und „transzendent“ ist jetzt die Folgende. \begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente] Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Ein Element $a ∈ L$ heißt \emph{algebraisch über $K$}\index{algebraisch!Element einer - Körpererweiterung}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes + Körpererweiterung}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes gilt. \begin{itemize} \item Das Polynom $f$ ist nicht das Nullpolynom. @@ -81,11 +81,11 @@ Folgende. algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist. Der Freiburger Mathematiker Ferdinand Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl - Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12. April - 1852 in Hannover; † 6. März 1939 in München) war ein deutscher - Mathematiker. Lindemann hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem - Spaziergang auf dem Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten - Arbeit \cite{MR1510165}, dass die Zahl $π$ transzendent ist. + Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.~April 1852 in + Hannover; † 6.~März 1939 in München) war ein deutscher Mathematiker. Lindemann + hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem Spaziergang auf dem + Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten Arbeit \cite{MR1510165}, + dass die Zahl $π$ transzendent ist. \end{bsp} @@ -95,22 +95,22 @@ Der Zahlentheoretiker interessiert sich natürlich besonders für die Körpererweiterung $ℂ/ℚ$. Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert. \begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen] - Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man - \emph{algebraische Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}. Die anderen Elemente - heißen \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}. + Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man \emph{algebraische + Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}. Die anderen Elemente heißen + \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}. \end{defn} Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen. Der folgende Satz zeigt, dass jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen enthält. -\begin{satz}\label{satz:3-2-2} +\begin{satz}\label{satz:3-2-2}% Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar. \end{satz} \begin{proof} Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit - Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar. Jedes Polynom hat aber nur - endlich viele Nullstellen. + Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar. Jedes Polynom hat aber nur endlich + viele Nullstellen. \end{proof} @@ -142,9 +142,9 @@ enthält. \section{Das Minimalpolynom} -Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. -Per Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle -hat. Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit +Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. Per +Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat. +Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das ebenfalls $a$ als Nullstelle hat. Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$ als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar @@ -160,7 +160,7 @@ Zusatzbedingungen stellt. f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x] \end{equation*} ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung: - ``normiert'' bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.} + „normiert“ bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.} \begin{equation*} \frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x] \end{equation*} @@ -194,9 +194,9 @@ Grad von $f_1$! \end{defn} \begin{bsp} - Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$. Dann ist - $[a:ℚ] ≤ 3$, denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms - $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Aber ist $f$ auch das Minimalpolynom? + Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$. Dann ist $[a:ℚ] ≤ 3$, + denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Aber ist $f$ auch + das Minimalpolynom? \end{bsp} \begin{bsp} @@ -209,9 +209,9 @@ Grad von $f_1$! \end{beobachtung} \begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel] - Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$). Weiter - sei $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: es gilt die - Gleichung $a² = b$). Dann gilt + Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$). Weiter sei + $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: Es gilt die Gleichung + $a² = b$). Dann gilt \[ [a:K] = \left\{ @@ -238,7 +238,7 @@ Definition. \begin{defn}[Grad einer Körpererweiterung] Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Die Dimension von $L$ als Vektorraum über $K$ heißt \emph{Grad der Körpererweiterung}\index{Grad!einer - Körpererweiterung}. Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich. + Körpererweiterung}. Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich. \end{defn} \begin{defn}[Endliche Körpererweiterung] @@ -247,12 +247,12 @@ Definition. \end{defn} \begin{bsp} - Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder - endlich-dimensionale $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar. + Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder endlich-dimensionale + $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar. \end{bsp} -\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4} - Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Dann gilt die +\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}% + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$. Dann gilt die Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3} \end{satz} \begin{proof} @@ -264,11 +264,11 @@ Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}; wir wiederholen die Argumentation deshalb an dieser Stelle nicht. \begin{kor} - Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Falls $[a:K] < ∞$ - ist, dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$. \qed + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Falls $[a:K] < ∞$ ist, + dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$. \qed \end{kor} -\begin{kor}\label{kro:eord} +\begin{kor}\label{kro:eord}% Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom Grad $n$. Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als \[ @@ -278,10 +278,10 @@ dieser Stelle nicht. \end{kor} Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$ -schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als -$b = c_0 + c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind. Das ist ziemlich -nützlich! Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für -beliebige einfache Körpererweiterungen. +schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als $b = c_0 + +c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind. Das ist ziemlich nützlich! +Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für beliebige +einfache Körpererweiterungen. \section{Ketten von Körpererweiterungen} @@ -291,11 +291,10 @@ haben, und dann nach und nach einige Elemente eines Oberkörpers hinzuadjungieren. Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten. -\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1} +\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}% \index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von - Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention - $∞·∞ = ∞$ und $∞ ·n = ∞$ falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die - Gleichung + Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention $∞·∞ = ∞$ + und $∞·n = ∞$, falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die Gleichung \[ [M:K] = [M:L]·[L:K]. \] @@ -305,10 +304,9 @@ Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten. \end{proof} \begin{kor} - Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn - $[M:K]$ endlich ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von - $[M:K]$. Insbesondere gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein - Teiler von $[M:K]$ ist. \qed + Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn $[M:K]$ endlich + ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von $[M:K]$. Insbesondere + gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist. \qed \end{kor} \begin{kor} @@ -316,7 +314,7 @@ Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten. ist. Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist. \qed \end{kor} -\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ} +\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}% Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei. Dann entsteht $L$ aus $K$ durch Adjunktion einer Quadratwurzel. Genauer: es gibt Elemente $a ∈ L$ und $b ∈ K$, sodass Folgendes gilt. @@ -327,7 +325,8 @@ Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten. \end{itemize} \end{kor} \begin{proof} - \video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte Verbesserung im Skript des Beweises. + \video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte + Verbesserung im Skript des Beweises. \end{proof} Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen. @@ -338,18 +337,18 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen. \item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$. \item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$ - und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass - $L = K(a_1, …, a_n)$ ist. + und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass $L = K(a_1, …, + a_n)$ ist. \item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$, - die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen: - $L = K(a_1, …, a_n)$. + die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen: $L = + K(a_1, …, a_n)$. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}] - Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also - sind alle diese Elemente algebraisch. Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man - zum Beispiel einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen. + Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also sind alle + diese Elemente algebraisch. Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man zum Beispiel + einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen. \end{proof} \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}] @@ -357,15 +356,15 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen. \end{proof} \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}] - Sei $L = K(a_1, …, a_n)$. Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und die - Kette von Erweiterungen + Sei $L = K(a_1, …, a_n)$. Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und + die Kette von Erweiterungen \[ K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L. \] Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$; - insbesondere ist per Annahme (``$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$'') und - Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich. Wiederholte - Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann + insbesondere ist per Annahme („$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$“) und + Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich. + Wiederholte Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann \[ [L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i], \] @@ -378,9 +377,9 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen. Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen. Der erste ist der Satz über -die ``Transitivität der Algebraizität''. +die „Transitivität der Algebraizität“. -\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA} +\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}% Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen. Dann ist auch $M/K$ algebraisch. \end{kor} @@ -413,9 +412,9 @@ die ``Transitivität der Algebraizität''. von $ℂ$. \qed \end{kor} -\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio} +\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}% Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von - ``algebraischem Abschluss'' diskutieren, der nicht von der Wahl eines + „algebraischem Abschluss“ diskutieren, der nicht von der Wahl eines Oberkörpers abhängt. Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln! \end{warnung} diff --git a/04.tex b/04.tex index 6f866e3..fcfff4a 100644 --- a/04.tex +++ b/04.tex @@ -14,21 +14,21 @@ Für Gleichungen 3.\ und 4.\ Grades haben italienische Mathematiker der Renaissance komplizierte Formeln gefunden. In der westlichen Welt wurden diese Formeln erstmals 1545 von Gerolamo Cardano\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano}{Gerolamo - Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan, - lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24. September 1501 in Pavia; - † 21. September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und - Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch +Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan, +lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24.~September 1501 in Pavia; † +21.~September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und +Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch \cite{Cardano45} veröffentlicht. Die Lösungsformeln für reduzierte kubischen Gleichungen wurden wohl von Nicolo Tartaglia\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Tartaglia}{Niccolò - Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13. Dezember 1557 in - Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine - Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist. } entdeckt; laut +Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13.~Dezember 1557 in +Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine +Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist. } entdeckt; laut Cardano sogar noch früher durch Scipione del Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione - del Ferro} (* 6. Februar 1465 in Bologna; † 5. November 1526 ebenda) war ein - italienischer Mathematiker. Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und - Geometrie an der Universität von Bologna. }. +del Ferro} (* 6.~Februar 1465 in Bologna; † 5.~November 1526 ebenda) war ein +italienischer Mathematiker. Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und +Geometrie an der Universität von Bologna.}. \begin{bsp} Es seien $a$, $b$ und $c$ komplexe Zahlen. Gesucht sind komplexe Lösungen der @@ -52,54 +52,53 @@ Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione \end{bsp} Für Polynome vom Grad 5 wurde keine solche Formel gefunden. Das wirft Fragen -auf. Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm? Gibt es eine -solche Formel überhaupt? Die Frage war etliche Jahrhunderte offen. Tatsächlich -ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und durch die -Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar. Wir präzisieren die Fragestellung -hier nur. +auf. Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm? Gibt es +eine solche Formel überhaupt? Die Frage war etliche Jahrhunderte offen. +Tatsächlich ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und +durch die Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar. Wir präzisieren die +Fragestellung hier nur. -\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal} +\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}% Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt - Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente - $a_1, …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt. + Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente $a_1, + …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt. \begin{itemize} \item Es ist $L = K(a_1, …, a_n)$. - \item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist - $a_i^{r_i} ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$. + \item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist $a_i^{r_i} + ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$. \end{itemize} \end{defn} Erklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass $a_1$ die $r_1$-te Wurzel eines Elements aus $K$, dass $a_2$ die $r_2$-te Wurzel eines -Elements aus $K(a_1)$, etc. Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir -schreiben +Elements aus $K(a_1)$, etc. Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir schreiben \begin{align*} K(a_1) & = K+ K· a_1+K· a_1²+\dots+ K· a_1^{r_1-1}\\ K(a_1, a_2)&= K(a_1)+K(a_1)· a_2+ \dots + K(a_1)· a_2^{r_2-1}\\ &\:\:\: \vdots \\ K(a_1, …, a_n)&= K(a_1, …, a_{n-1})+K(a_1, …, a_{n-1})· a_n + \dots + K(a_1, …, a_{n-1})· a_n^{r_n-1}. \end{align*} -Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem nur -(höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen. +Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem +nur (höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen. -\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra} - Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$. Man sagt, die - Gleichung $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit - durch Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine +\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}% + Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$. Man sagt, die Gleichung + $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit durch + Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine Nullstelle hat\footnote{Genauer: …, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt - und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}. + und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}. \end{defn} Bei der klassischen Frage nach den Lösungen von Polynomen interessiert uns unter -anderem ob ein Polynom +anderem, ob ein Polynom \begin{equation*} f(x) = x^n+b_1·x^{n-1} + \dots + b_{n-1}·x + b_n ∈ ℂ[x] \end{equation*} -über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat, -das heißt, ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von -rationalen Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken -lässt -- falls nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen. +über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat, das heißt, +ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von rationalen +Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken lässt -- falls +nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen. %%% Local Variables: diff --git a/05.tex b/05.tex index 88bbfcc..0825a12 100644 --- a/05.tex +++ b/05.tex @@ -3,21 +3,16 @@ \chapter{Teilbarkeit} -Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem -\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} -bereitgestellt. - - -\section{Wohin geht die Reise…?} +\section{Wohin geht die Reise… ?} In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff -``Minimalpolynom'' schrecklich wichtig ist. Wir haben aber noch nie darüber +„Minimalpolynom“ schrecklich wichtig ist. Wir haben aber noch nie darüber gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet. \begin{problem} Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$. Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das - Minimalpolynom ist oder nicht. + Minimalpolynom ist oder nicht? \end{problem} Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und @@ -26,15 +21,15 @@ welche Richtung die Argumentation geht. \begin{beobachtung} Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch - über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Wenn jetzt - $g(x) ∈ K[x]$ irgend ein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule - gelernt, dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können. Am Ende - schreibt man + über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Wenn jetzt $g(x) ∈ + K[x]$ irgendein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule gelernt, + dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können. Am Ende schreibt + man \begin{equation*} - g(x) = q(x)·f(x)+ r(x) + g(x) = q(x)·f(x)+ r(x), \end{equation*} - wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist. Angenommen $g$ hat $a$ als - Nullstelle. Dann gilt: + wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist. Angenommen $g$ hat $a$ + als Nullstelle. Dann gilt: \begin{equation*} 0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}-r(a). \end{equation*} @@ -50,20 +45,20 @@ welche Richtung die Argumentation geht. \section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen} Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik -machen können. Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den ``Ring $K[x]$ der -Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$'' eingeführt. Das geht auch mit Ringen +machen können. Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den „Ring $K[x]$ der +Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$“ eingeführt. Das geht auch mit Ringen statt Körpern. -\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r} +\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}% Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring!mit - Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring + Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring der Polynome mit Variablen $x_1, …, x_n$ und Koeffizienten aus $R$. \end{definition} \begin{bsp} - Betrachte den Ring $R = ℤ$. Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und - $4x²+3xy+y⁷ ∈ ℤ[x,y]$. + Betrachte den Ring $R = ℤ$. Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und $4x²+3xy+y⁷ ∈ + ℤ[x,y]$. \end{bsp} \begin{beobachtung} @@ -79,11 +74,11 @@ Der Grad von Polynomen ist definiert wie üblich: Das Polynom $3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$. In Integritätsringen verhält sich der Grad gut. -\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad} +\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}% Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Dann gilt für alle Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$. Wir - verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle - $n ≥ 0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$: + verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle $n ≥ + 0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$: \begin{equation*} \deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q). \end{equation*} @@ -92,10 +87,10 @@ verhält sich der Grad gut. \begin{proof} Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $p,q ≠ 0$. Sei $n := \deg p$ und $m := \deg q$. Dann finden wir Elemente $r_•$ und $s_•$ aus - $R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, so dass wir schreiben können: + $R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, sodass wir schreiben können: \begin{align*} p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\ - q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m + q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m. \end{align*} Dann ist weiter \begin{equation*} @@ -137,12 +132,12 @@ verhält sich der Grad gut. \section{Teilbarkeit in Ringen} -In der (Grund-)schule haben wir den Begriff ``Teiler'' kennen gelernt. In +In der (Grund-)Schule haben wir den Begriff „Teiler“ kennengelernt. In allgemeinen Ringen geht das nicht anders. \begin{defn}[Teiler] Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $r$, $s ∈ R$. Man nennt $r$ einen - \emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, so dass $r·q = s$ + \emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, sodass $r·q = s$ ist. Wir schreiben dann $r|s$. \end{defn} @@ -171,7 +166,7 @@ allgemeinen Ringen geht das nicht anders. Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war das Vorzeichnen meist nicht wichtig. Die folgende Definition formalisiert in -bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''. +bombastischer Sprache die Phrase „unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen“. \begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente] Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei @@ -179,19 +174,18 @@ bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''. \begin{enumerate} \item\label{Satz_assoziiert_1} Es gilt gleichzeitig $r|s$ und $s|r$. - \item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, so dass + \item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, sodass $ε·r=s$ ist. \end{enumerate} Sind die Bedingungen erfüllt, nennt man $r$ und $s$ \emph{zueinander assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente} und schreibt $r \sim s$. \end{satzdef} \begin{proof} - Wir beweisen die Richtung - \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}. Wegen - $ε· r = s$ gilt $r|s$. Multiplikation mit $ε^{-1}$ - liefert $r = ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$. Wir beweisen als nächstes - die Richtung \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}. - Nach Annahme existieren $u,v∈ R$ mit + Wir beweisen die Richtung \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}. + Wegen $ε· r = s$ gilt $r|s$. Multiplikation mit $ε^{-1}$ liefert $r = + ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$. Wir beweisen als Nächstes die Richtung + \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}. Nach Annahme existieren + $u,v∈ R$ mit \begin{equation*} u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r. \end{equation*} @@ -209,7 +203,7 @@ Teiler. \begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente] Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei Elemente. Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{echter - Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten + Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten. \begin{itemize} \item Es gilt $r|s$. @@ -233,26 +227,26 @@ Teiler. \begin{warnung} Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich. Wir werden später für - beliebige Ringe Ringe auch noch einen Begriff von ``Primelement'' definieren. + beliebige Ringe auch noch einen Begriff von „Primelement“ definieren. \end{warnung} \section{Zerlegbarkeit von Elementen} In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich -ausführlich diskutiert: jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von -irreduziblen Elementen (=so genannte ``Primzahlen'') schreiben, +ausführlich diskutiert: Jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von +irreduziblen Elementen (=sogenannte „Primzahlen“) schreiben, \begin{equation*} m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n), \end{equation*} wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe! -\begin{warning}\label{war:nufd} +\begin{warning}\label{war:nufd}% Zu früh gefreut. Geht nicht. Ich behaupte, dass die folgende Menge von komplexen Zahlen, \[ - R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\}. + R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\}, \] einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit $ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet. Ich behaupte auch, dass die Elemente @@ -274,35 +268,35 @@ eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe! eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dazu sind folgende Definitionen relevant. -\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK} +\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}% Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette} - in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, so dass für alle - $n ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$. + in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, sodass für alle $n + ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$. \end{defn} -\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE} +\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}% Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt \emph{in $R$ gilt der - Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn - für jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, so dass für alle - $k ≥ n_0$ gilt: die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert. + Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn für + jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, sodass für alle $k ≥ + n_0$ gilt: Die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert. \end{defn} \begin{rem} - Die Forderung ``für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind - assoziiert'' lässt sich auch so ausdrücken: es gibt nur endlich viele - $n ∈ ℕ$, so dass $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist. + Die Forderung „für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind assoziiert“ + lässt sich auch so ausdrücken: Es gibt nur endlich viele $n ∈ ℕ$, sodass + $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist. \end{rem} \begin{bsp} In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann - gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von - $r_{n}$ ist, dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$. + gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist, + dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$. \end{bsp} \begin{bsp} Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper - $K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt. Dazu betrachte man den Grad von - Polynomen anstelle des Betrages. + $K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt. Dazu betrachte man den Grad + von Polynomen anstelle des Betrages. \end{bsp} \begin{warnung} @@ -312,17 +306,17 @@ relevant. Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von - Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3.\ - Jahrhundert v.\ Chr.\ in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir +Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im +3.~Jahrhundert v.~Chr.~in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy - Noether} (Emmy war der Rufname; geb. am 23. März 1882 in Erlangen; gest. am - 14. April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, - die grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik - lieferte. Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren - revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung - zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen - an.}. Die Beweismethode ist heute als ``Noethersche Induktion'' bekannt. +Noether} (Emmy war der Rufname; geb.~am 23.~März 1882 in Erlangen; gest.~am +14.~April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die +grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik +lieferte. Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren +revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung +zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen an.}. +Die Beweismethode ist heute als „Noethersche Induktion“ bekannt. \begin{satz}\label{satz:tksgz} Es sei $R$ ein kommutativer Ring in dem der Teilerkettensatz für Elemente @@ -341,7 +335,7 @@ Nach dem Kriterium für die Existenz einer Zerlegung kommen wir jetzt zur Frage der Eindeutigkeit. Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge. Zwei Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne -wir ``äquivalent''. +wir „äquivalent“. \begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen] Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es @@ -351,7 +345,7 @@ wir ``äquivalent''. \] zwei Darstellungen von $r$ als Produkt von irreduziblen Elementen. Die Darstellungen heißen \emph{äquivalent}\index{äquivalente Darstellungen}, wenn - gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, so dass für alle + gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, sodass für alle Indizes gilt $p_i \sim q_{σ(i)}$. \end{defn} @@ -407,21 +401,20 @@ wichtig. a· b = p(q_1· q_2· p+ q_1· b_1+ q_2· a_1)+a_1· b_1, \end{equation*} also $p|(a_1· b_1)$. Betrachte jetzt die kleinste natürliche Zahl, die als - Produkt $a· b$ geschrieben werden kann mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$ - und $p \nmid b$. Nach der Untersuchung oben gilt: $1