Cleanup

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -29,3 +29,37 @@ Beutelspacher
 Erlärvideo
 nullteilerfrei
 nullteilerfreien
+Transzendenzbeweis
+Lorettoberg
+Normiertheit
+hinzuadjungieren
+Algebraizität
+Gerolamo
+Cardano
+Girolamo
+Cardanus
+Mediolanensis
+Cardan
+Nicolo
+Tartaglia
+Scipione
+del
+Ferro
+Radikalerweiterung
+Teilbarkeitsfragen
+Polynom-
+Teilbarkeitsüberlegungen
+schrecklicherweise
+Teilerkette
+Teilerkettensatz
+Bryn
+Mawr
+prim
+faktoriell
+UFD
+faktorieller
+Repräsentantensystem
+Teilbarkeitseigenschaften
+kgV
+faktoriellen
+Geodät

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -13,3 +13,14 @@
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QVorlesung 2 Ein Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt Schiefkörper, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q invertierbar sind, wenn also \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Unterring, aber kein Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Minimaler Grad] Zuerst betrachten wir nur solche Polynome, deren Grad minimal ist unter allen nicht-konstanten Polynomen, die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als Nullstelle haben.\\E$"}
+{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 3 3-1 und 3-2.\\E$"}
+{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann bildet die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist algebraisch über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q einen Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, genannt der algebraische Abschluss von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q im Oberkörper \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3-6\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QErklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, etc. Nach Korollar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q können wir schreiben \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QAus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q folgt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein kommutativer Ring und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q seien Elemente.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"}
+{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 6\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\QggT und kgV.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann, wenn für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}

03.tex

@@ -20,32 +20,32 @@ nicht alle Elemente des größeren Körpers gleich sind.
   \begin{itemize}
   \item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie
     \emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben deren
-    Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen ``algebraisch''.
+    Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen „algebraisch“.
     
-  \item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von
+  \item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von Polynomen
-    Polynomen kommen --- diese Zahlen heißen ``transzendent''.
+    kommen --- diese Zahlen heißen „transzendent“.
   \end{itemize}
 \end{beobachtung}
 
 Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst
 einmal ein wenig Sprache fällig.
 
-\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}
+\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}%
   Es sei $K$ ein Körper.  Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit
   Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring}
 \end{definition}
 
 \begin{warnung}[Polynome und Funktionen]
   In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine
-  Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen!
+  Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen! Im
-  Im Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
+  Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
-  Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele
+  Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele Abbildungen
-  Abbildungen von $K$ nach $K$!
+  von $K$ nach $K$!
 \end{warnung}
 
 \begin{bsp}[Polynomring]
-  Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$.  Das Polynom
+  Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$.  Das Polynom $π·x + e$ liegt
-  $π·x + e$ liegt in $ℝ[x]$.
+  in $ℝ[x]$.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Polynomring]
@@ -57,13 +57,13 @@ einmal ein wenig Sprache fällig.
   ein typisches Polynom aus $K[x]$.
 \end{bsp}
 
-Die korrekte Definition von ``algebraisch'' und ``transzendent'' ist jetzt die
+Die korrekte Definition von „algebraisch“ und „transzendent“ ist jetzt die
 Folgende.
 
 \begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente]
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Ein Element $a ∈ L$ heißt
   \emph{algebraisch über $K$}\index{algebraisch!Element einer
-    Körpererweiterung}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes
+  Körpererweiterung}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes
   gilt.
   \begin{itemize}
   \item Das Polynom $f$ ist nicht das Nullpolynom.
@@ -81,11 +81,11 @@ Folgende.
   algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist.  Der
   Freiburger Mathematiker Ferdinand
   Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl
-      Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.  April
+  Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.~April 1852 in
-    1852 in Hannover; † 6.  März 1939 in München) war ein deutscher
+  Hannover; † 6.~März 1939 in München) war ein deutscher Mathematiker. Lindemann
-    Mathematiker.  Lindemann hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem
+  hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem Spaziergang auf dem
-    Spaziergang auf dem Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten
+  Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten Arbeit \cite{MR1510165},
-  Arbeit \cite{MR1510165}, dass die Zahl $π$ transzendent ist.
+  dass die Zahl $π$ transzendent ist.
 \end{bsp}
 
 
@@ -95,22 +95,22 @@ Der Zahlentheoretiker interessiert sich natürlich besonders für die
 Körpererweiterung $ℂ/ℚ$.  Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert.
 
 \begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen]
-  Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man
+  Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man \emph{algebraische
-  \emph{algebraische Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}.  Die anderen Elemente
+  Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}.  Die anderen Elemente heißen
-  heißen \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
+  \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
 \end{defn}
 
 Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen.  Der folgende Satz zeigt, dass
 jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen
 enthält.
 
-\begin{satz}\label{satz:3-2-2}
+\begin{satz}\label{satz:3-2-2}%
   Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit
-  Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar.  Jedes Polynom hat aber nur
+  Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar.  Jedes Polynom hat aber nur endlich
-  endlich viele Nullstellen.
+  viele Nullstellen.
 \end{proof}
 
 
@@ -142,9 +142,9 @@ enthält.
 
 \section{Das Minimalpolynom}
 
-Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
+Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. Per
-Per Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle
+Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat.
-hat.  Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
+Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
 irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das
 ebenfalls $a$ als Nullstelle hat.  Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$
 als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar
@@ -160,7 +160,7 @@ Zusatzbedingungen stellt.
     f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x]
   \end{equation*}
   ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung:
-    ``normiert'' bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
+    „normiert“ bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
   \begin{equation*}
     \frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x]
   \end{equation*}
@@ -194,9 +194,9 @@ Grad von $f_1$!
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
-  Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$.  Dann ist
+  Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$.  Dann ist $[a:ℚ] ≤ 3$,
-  $[a:ℚ] ≤ 3$, denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms
+  denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Aber ist $f$ auch
-  $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Aber ist $f$ auch das Minimalpolynom?
+  das Minimalpolynom?
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}
@@ -209,9 +209,9 @@ Grad von $f_1$!
 \end{beobachtung}
 
 \begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel]
-  Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$).  Weiter
+  Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$).  Weiter sei
-  sei $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: es gilt die
+  $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: Es gilt die Gleichung
-  Gleichung $a² = b$).  Dann gilt
+  $a² = b$).  Dann gilt
   \[
     [a:K] =
     \left\{
@@ -238,7 +238,7 @@ Definition.
 \begin{defn}[Grad einer Körpererweiterung]
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Die Dimension von $L$ als Vektorraum
   über $K$ heißt \emph{Grad der Körpererweiterung}\index{Grad!einer
-    Körpererweiterung}.  Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich.
+  Körpererweiterung}.  Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}[Endliche Körpererweiterung]
@@ -247,12 +247,12 @@ Definition.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
-  Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder
+  Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder endlich-dimensionale
-  endlich-dimensionale $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
+  $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
 \end{bsp}
 
-\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}
+\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}%
-  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$.  Dann gilt die
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$.  Dann gilt die
   Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3}
 \end{satz}
 \begin{proof}
@@ -264,11 +264,11 @@ Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}; wir wiederholen die Argumentation deshalb an
 dieser Stelle nicht.
 
 \begin{kor}
-  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$.  Falls $[a:K] < ∞$
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$.  Falls $[a:K] < ∞$ ist,
-  ist, dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$.  \qed
+  dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$.  \qed
 \end{kor}
 
-\begin{kor}\label{kro:eord}
+\begin{kor}\label{kro:eord}%
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom
   Grad $n$.  Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als
   \[
@@ -278,10 +278,10 @@ dieser Stelle nicht.
 \end{kor}
 
 Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$
-schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als
+schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als $b = c_0 +
-$b = c_0 + c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind.  Das ist ziemlich
+c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind.  Das ist ziemlich nützlich!
-nützlich!  Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für
+Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für beliebige
-beliebige einfache Körpererweiterungen.
+einfache Körpererweiterungen.
 
 
 \section{Ketten von Körpererweiterungen}
@@ -291,11 +291,10 @@ haben, und dann nach und nach einige Elemente eines Oberkörpers
 hinzuadjungieren.  Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden
 Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
 
-\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}
+\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}%
   \index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von
-  Körpererweiterungen.  Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention
+  Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention $∞·∞ = ∞$
-    $∞·∞ = ∞$ und $∞ ·n = ∞$ falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die
+  und $∞·n = ∞$, falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die Gleichung
-  Gleichung
   \[
     [M:K] = [M:L]·[L:K].
   \]
@@ -305,10 +304,9 @@ Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}
-  Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen.  Wenn
+  Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen.  Wenn $[M:K]$ endlich
-  $[M:K]$ endlich ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von
+  ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von $[M:K]$.  Insbesondere
-  $[M:K]$.  Insbesondere gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein
+  gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist.  \qed
-  Teiler von $[M:K]$ ist.  \qed
 \end{kor}
 
 \begin{kor}
@@ -316,7 +314,7 @@ Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
   ist.  Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist.  \qed
 \end{kor}
 
-\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}
+\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}%
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei.  Dann entsteht $L$ aus $K$
   durch Adjunktion einer Quadratwurzel.  Genauer: es gibt Elemente $a ∈ L$ und
   $b ∈ K$, sodass Folgendes gilt.
@@ -327,7 +325,8 @@ Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
   \end{itemize}
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  \video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte Verbesserung im Skript des Beweises.
+  \video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte
+  Verbesserung im Skript des Beweises.
 \end{proof}
 
 Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
@@ -338,18 +337,18 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
   \item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$.
     
   \item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$
-    und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass
+    und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass $L = K(a_1, …,
-    $L = K(a_1, …, a_n)$ ist.
+    a_n)$ ist.
     
   \item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$,
-    die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen:
+    die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen: $L =
-    $L = K(a_1, …, a_n)$.
+    K(a_1, …, a_n)$.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}]
-  Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also
+  Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also sind alle
-  sind alle diese Elemente algebraisch.  Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man
+  diese Elemente algebraisch.  Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man zum Beispiel
-  zum Beispiel einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
+  einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}]
@@ -357,15 +356,15 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}]
-  Sei $L = K(a_1, …, a_n)$.  Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und die
+  Sei $L = K(a_1, …, a_n)$.  Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und
-  Kette von Erweiterungen
+  die Kette von Erweiterungen
   \[
     K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L.
   \]
   Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$;
-  insbesondere ist per Annahme (``$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$'') und
+  insbesondere ist per Annahme („$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$“) und
-  Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich.  Wiederholte
+  Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich.
-  Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
+  Wiederholte Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
   \[
     [L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i],
   \]
@@ -378,9 +377,9 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
 Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus
 Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig
 sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen.  Der erste ist der Satz über
-die ``Transitivität der Algebraizität''.
+die „Transitivität der Algebraizität“.
 
-\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}
+\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}%
   Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen.  Dann ist auch
   $M/K$ algebraisch.
 \end{kor}
@@ -413,9 +412,9 @@ die ``Transitivität der Algebraizität''.
   von $ℂ$.  \qed
 \end{kor}
 
-\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}
+\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}%
   Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von
-  ``algebraischem Abschluss'' diskutieren, der nicht von der Wahl eines
+  „algebraischem Abschluss“ diskutieren, der nicht von der Wahl eines
   Oberkörpers abhängt.  Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln!
 \end{warnung}
 

04.tex

@@ -14,21 +14,21 @@ Für Gleichungen 3.\ und 4.\ Grades haben italienische Mathematiker der
 Renaissance komplizierte Formeln gefunden.  In der westlichen Welt wurden diese
 Formeln erstmals 1545 von Gerolamo
 Cardano\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano}{Gerolamo
-    Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan,
+Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan,
-  lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24.  September 1501 in Pavia;
+lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24.~September 1501 in Pavia; †
-  † 21.  September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und
+21.~September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und
-  Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch
+Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch
 \cite{Cardano45} veröffentlicht.  Die Lösungsformeln für reduzierte kubischen
 Gleichungen wurden wohl von Nicolo
 Tartaglia\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Tartaglia}{Niccolò
-    Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13.  Dezember 1557 in
+Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13.~Dezember 1557 in
-  Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine
+Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine
-  Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist.  } entdeckt; laut
+Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist.  } entdeckt; laut
 Cardano sogar noch früher durch Scipione del
 Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione
-    del Ferro} (* 6.  Februar 1465 in Bologna; † 5.  November 1526 ebenda) war ein
+del Ferro} (* 6.~Februar 1465 in Bologna; † 5.~November 1526 ebenda) war ein
-  italienischer Mathematiker.  Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und
+italienischer Mathematiker.  Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und
-  Geometrie an der Universität von Bologna.  }.
+Geometrie an der Universität von Bologna.}.
 
 \begin{bsp}
   Es seien $a$, $b$ und $c$ komplexe Zahlen.  Gesucht sind komplexe Lösungen der
@@ -52,54 +52,53 @@ Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione
 \end{bsp}
 
 Für Polynome vom Grad 5 wurde keine solche Formel gefunden.  Das wirft Fragen
-auf.  Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm?  Gibt es eine
+auf.  Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm?  Gibt es
-solche Formel überhaupt?  Die Frage war etliche Jahrhunderte offen.  Tatsächlich
+eine solche Formel überhaupt?  Die Frage war etliche Jahrhunderte offen.
-ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und durch die
+Tatsächlich ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und
-Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar.  Wir präzisieren die Fragestellung
+durch die Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar.  Wir präzisieren die
-hier nur.
+Fragestellung hier nur.
 
-\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}
+\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}%
   Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
-  Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente
+  Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente $a_1,
-  $a_1, …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt.
+  …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt.
   \begin{itemize}
   \item Es ist $L = K(a_1, …, a_n)$.
     
-  \item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist
+  \item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist $a_i^{r_i}
-    $a_i^{r_i} ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$.
+    ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$.
   \end{itemize}
 \end{defn}
 
 Erklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass $a_1$ die
 $r_1$-te Wurzel eines Elements aus $K$, dass $a_2$ die $r_2$-te Wurzel eines
-Elements aus $K(a_1)$, etc.  Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir
+Elements aus $K(a_1)$, etc.  Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir schreiben
-schreiben
 \begin{align*}
   K(a_1) & = K+ K· a_1+K· a_1²+\dots+ K· a_1^{r_1-1}\\
   K(a_1, a_2)&= K(a_1)+K(a_1)· a_2+ \dots + K(a_1)· a_2^{r_2-1}\\
          &\:\:\: \vdots \\
   K(a_1, …, a_n)&= K(a_1, …, a_{n-1})+K(a_1, …, a_{n-1})· a_n + \dots + K(a_1, …, a_{n-1})· a_n^{r_n-1}.
 \end{align*}
-Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem nur
+Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem
-(höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen.
+nur (höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen.
 
-\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}
+\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}%
-  Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$.  Man sagt, die
+  Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$.  Man sagt, die Gleichung
-  Gleichung $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit
+  $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit durch
-    durch Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine
+  Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine
   Nullstelle hat\footnote{Genauer: …, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt
-    und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}.
+  und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}.
 \end{defn}
 
 Bei der klassischen Frage nach den Lösungen von Polynomen interessiert uns unter
-anderem ob ein Polynom
+anderem, ob ein Polynom
 \begin{equation*}
   f(x) = x^n+b_1·x^{n-1} + \dots + b_{n-1}·x + b_n ∈ ℂ[x]
 \end{equation*}
-über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat,
+über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat, das heißt,
-das heißt, ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von
+ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von rationalen
-rationalen Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken
+Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken lässt -- falls
-lässt -- falls nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen.
+nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen.
 
 
 %%% Local Variables:

05.tex

@@ -3,21 +3,16 @@
 
 \chapter{Teilbarkeit}
 
-Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
+\section{Wohin geht die Reise… ?}
-\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
-bereitgestellt.
-
-
-\section{Wohin geht die Reise…?}
 
 In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff
-``Minimalpolynom'' schrecklich wichtig ist.  Wir haben aber noch nie darüber
+„Minimalpolynom“ schrecklich wichtig ist.  Wir haben aber noch nie darüber
 gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet.
 
 \begin{problem}
   Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes
   Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$.  Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das
-  Minimalpolynom ist oder nicht.
+  Minimalpolynom ist oder nicht?
 \end{problem}
 
 Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und
@@ -26,15 +21,15 @@ welche Richtung die Argumentation geht.
 
 \begin{beobachtung}
   Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch
-  über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$.  Wenn jetzt
+  über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$.  Wenn jetzt $g(x) ∈
-  $g(x) ∈ K[x]$ irgend ein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule
+  K[x]$ irgendein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule gelernt,
-  gelernt, dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können.  Am Ende
+  dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können.  Am Ende schreibt
-  schreibt man
+  man
   \begin{equation*}
-    g(x) = q(x)·f(x)+ r(x)
+    g(x) = q(x)·f(x)+ r(x),
   \end{equation*}
-  wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist.  Angenommen $g$ hat $a$ als
+  wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist.  Angenommen $g$ hat $a$
-  Nullstelle.  Dann gilt:
+  als Nullstelle.  Dann gilt:
   \begin{equation*}
     0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}-r(a).
   \end{equation*}
@@ -50,20 +45,20 @@ welche Richtung die Argumentation geht.
 \section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen}
 
 Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik
-machen können.  Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den ``Ring $K[x]$ der
+machen können.  Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den „Ring $K[x]$ der
-Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$'' eingeführt.  Das geht auch mit Ringen
+Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$“ eingeführt.  Das geht auch mit Ringen
 statt Körpern.
 
-\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}
+\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring.  Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der
   Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring!mit
-    Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring
+  Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring
   der Polynome mit Variablen $x_1, …, x_n$ und Koeffizienten aus $R$.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}
-  Betrachte den Ring $R = ℤ$.  Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und
+  Betrachte den Ring $R = ℤ$.  Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und $4x²+3xy+y⁷ ∈
-  $4x²+3xy+y⁷ ∈ ℤ[x,y]$.
+  ℤ[x,y]$.
 \end{bsp}
 
 \begin{beobachtung}
@@ -79,11 +74,11 @@ Der Grad von Polynomen ist definiert wie üblich: Das Polynom
 $3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$.  In Integritätsringen
 verhält sich der Grad gut.
 
-\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}
+\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}%
   Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring.  Dann gilt für alle
   Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$.  Wir
-    verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle
+  verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle $n ≥
-    $n ≥ 0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
+  0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
   \begin{equation*}
     \deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q).
   \end{equation*}
@@ -92,10 +87,10 @@ verhält sich der Grad gut.
 \begin{proof}
   Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $p,q ≠ 0$.  Sei
   $n := \deg p$ und $m := \deg q$.  Dann finden wir Elemente $r_•$ und $s_•$ aus
-  $R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, so dass wir schreiben können:
+  $R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, sodass wir schreiben können:
   \begin{align*}
     p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\
-    q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m
+    q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m.
   \end{align*}
   Dann ist weiter
   \begin{equation*}
@@ -137,12 +132,12 @@ verhält sich der Grad gut.
 
 \section{Teilbarkeit in Ringen}
 
-In der (Grund-)schule haben wir den Begriff ``Teiler'' kennen gelernt.  In
+In der (Grund-)Schule haben wir den Begriff „Teiler“ kennengelernt.  In
 allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
 
 \begin{defn}[Teiler]
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $r$, $s ∈ R$.  Man nennt $r$ einen
-  \emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, so dass $r·q = s$
+  \emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, sodass $r·q = s$
   ist.  Wir schreiben dann $r|s$.
 \end{defn}
 
@@ -171,7 +166,7 @@ allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
 
 Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war
 das Vorzeichnen meist nicht wichtig.  Die folgende Definition formalisiert in
-bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''.
+bombastischer Sprache die Phrase „unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen“.
 
 \begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente]
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei
@@ -179,19 +174,18 @@ bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''.
   \begin{enumerate}
   \item\label{Satz_assoziiert_1} Es gilt gleichzeitig $r|s$ und $s|r$.
     
-  \item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, so dass
+  \item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, sodass
     $ε·r=s$ ist.
   \end{enumerate}
   Sind die Bedingungen erfüllt, nennt man $r$ und $s$ \emph{zueinander
     assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente} und schreibt $r \sim s$.
 \end{satzdef}
 \begin{proof}
-  Wir beweisen die Richtung
+  Wir beweisen die Richtung \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}.
-  \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}.  Wegen
+  Wegen $ε· r = s$ gilt $r|s$.  Multiplikation mit $ε^{-1}$ liefert $r =
-  $ε· r = s$ gilt $r|s$.  Multiplikation mit $ε^{-1}$
+  ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$.  Wir beweisen als Nächstes die Richtung
-  liefert $r = ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$.  Wir beweisen als nächstes
+  \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}. Nach Annahme existieren
-  die Richtung \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}.
+  $u,v∈ R$ mit
-  Nach Annahme existieren $u,v∈ R$ mit
   \begin{equation*}
     u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r.
   \end{equation*}
@@ -209,7 +203,7 @@ Teiler.
 \begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente]
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei
   Elemente.  Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{echter
-    Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten
+    Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten.
   \begin{itemize}
   \item Es gilt $r|s$.
     
@@ -233,26 +227,26 @@ Teiler.
 
 \begin{warnung}
   Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich.  Wir werden später für
-  beliebige Ringe Ringe auch noch einen Begriff von ``Primelement'' definieren.
+  beliebige Ringe auch noch einen Begriff von „Primelement“ definieren.
 \end{warnung}
 
 
 \section{Zerlegbarkeit von Elementen}
 
 In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich
-ausführlich diskutiert: jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
+ausführlich diskutiert: Jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
-irreduziblen Elementen (=so genannte ``Primzahlen'') schreiben,
+irreduziblen Elementen (=sogenannte „Primzahlen“) schreiben,
 \begin{equation*}
   m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n),
 \end{equation*}
 wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen
 eindeutig festgelegt ist.  So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
 
-\begin{warning}\label{war:nufd}
+\begin{warning}\label{war:nufd}%
   Zu früh gefreut.  Geht nicht.  Ich behaupte, dass die folgende Menge von
   komplexen Zahlen,
   \[
-    R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\}.
+    R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\},
   \]
   einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit
   $ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet.  Ich behaupte auch, dass die Elemente
@@ -274,35 +268,35 @@ eindeutig festgelegt ist.  So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
 eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt.  Dazu sind folgende Definitionen
 relevant.
 
-\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}
+\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring.  Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette}
-  in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, so dass für alle
+  in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, sodass für alle $n
-  $n ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
+  ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
 \end{defn}
 
-\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}
+\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring.  Man sagt \emph{in $R$ gilt der
-    Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn
+  Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn für
-  für jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, so dass für alle
+  jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, sodass für alle $k ≥
-  $k ≥ n_0$ gilt: die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
+  n_0$ gilt: Die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
 \end{defn}
 
 \begin{rem}
-  Die Forderung ``für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind
+  Die Forderung „für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind assoziiert“
-  assoziiert'' lässt sich auch so ausdrücken: es gibt nur endlich viele
+  lässt sich auch so ausdrücken: Es gibt nur endlich viele $n ∈ ℕ$, sodass
-  $n ∈ ℕ$, so dass $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
+  $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
 \end{rem}
 
 \begin{bsp}
   In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann
-  gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von
+  gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist,
-  $r_{n}$ ist, dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
+  dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}
   Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper
-  $K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt.  Dazu betrachte man den Grad von
+  $K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt.  Dazu betrachte man den Grad
-  Polynomen anstelle des Betrages.
+  von Polynomen anstelle des Betrages.
 \end{bsp}
 
 \begin{warnung}
@@ -312,17 +306,17 @@ relevant.
 
 Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf
 Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von
-    Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3.\
+Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im
-  Jahrhundert v.\ Chr.\ in Alexandria gelebt hat.} zurück.  Der Beweis, den wir
+3.~Jahrhundert v.~Chr.~in Alexandria gelebt hat.} zurück.  Der Beweis, den wir
 hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy
 Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy
-    Noether} (Emmy war der Rufname; geb.  am 23.  März 1882 in Erlangen; gest.  am
+Noether} (Emmy war der Rufname; geb.~am 23.~März 1882 in Erlangen; gest.~am
-  14.  April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin,
+14.~April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die
-  die grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
+grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
-  lieferte.  Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
+lieferte.  Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
-  revolutioniert.  Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
+revolutioniert.  Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
-  zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen
+zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen an.}.
-  an.}.  Die Beweismethode ist heute als ``Noethersche Induktion'' bekannt.
+Die Beweismethode ist heute als „Noethersche Induktion“ bekannt.
 
 \begin{satz}\label{satz:tksgz}
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring in dem der Teilerkettensatz für Elemente
@@ -341,7 +335,7 @@ Nach dem Kriterium für die Existenz einer Zerlegung kommen wir jetzt zur Frage
 der Eindeutigkeit.  Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis
 auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge.  Zwei
 Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne
-wir ``äquivalent''.
+wir „äquivalent“.
 
 \begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen]
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es
@@ -351,7 +345,7 @@ wir ``äquivalent''.
   \]
   zwei Darstellungen von $r$ als Produkt von irreduziblen Elementen.  Die
   Darstellungen heißen \emph{äquivalent}\index{äquivalente Darstellungen}, wenn
-  gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, so dass für alle
+  gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, sodass für alle
   Indizes gilt $p_i \sim q_{σ(i)}$.
 \end{defn}
 
@@ -407,21 +401,20 @@ wichtig.
     a· b = p(q_1· q_2· p+ q_1· b_1+ q_2· a_1)+a_1· b_1,
   \end{equation*}
   also $p|(a_1· b_1)$.  Betrachte jetzt die kleinste natürliche Zahl, die als
-  Produkt $a· b$ geschrieben werden kann mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$
+  Produkt $a·b$ geschrieben werden kann, mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$ und $p
-  und $p \nmid b$.  Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also
+  \nmid b$.  Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also $1 < a· b
-  $1 < a· b < p²$.  Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also
+  < p²$.  Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also $p· h = a· b$.  Dann gilt $1<h$, weil
-  $p· h = a· b$.  Dann gilt $1<h$, weil $p$ irreduzibel ist und $h<p$,
+  $p$ irreduzibel ist und $h<p$, weil $a· b <p²$.  Sei nun $p^\prime$ ein
-  weil $a· b <p²$.  Sei nun $p^\prime$ ein positiver irreduzibler Faktor von
+  positiver irreduzibler Faktor von $h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn
-  $h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn $h$ irreduzibel ist).  Dann gilt
+  $h$ irreduzibel ist).  Dann gilt natürlich auch $p^\prime< p$.  Nach Wahl von
-  natürlich auch $p^\prime< p$.  Nach Wahl von $p$ (kleinste Zahl, die
+  $p$ (kleinste Zahl, die irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim.
-  irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim.  Da $p^\prime|h$,
+  Da $p^\prime|h$, $h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt
-  $h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt $p^\prime|a$ oder
+  $p^\prime|a$ oder $p^\prime|b$.
-  $p^\prime|b$.
   
   Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass $p^\prime|a$ gilt.  Dann ist
   $a=p^\prime· a^\prime$ und $h=p^\prime· h^\prime$ und somit
   \begin{equation*}
-    p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime· b
+    p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime·b.
   \end{equation*}
   Weil $a^\prime· b< a· b$ ist, folgt $p|a^\prime$ oder $p|b$ nach Wahl
   von $a· b$.  Es folgt $p|a$ oder $p|b$, Widerspruch!
@@ -467,7 +460,7 @@ wichtig.
 \end{definition}
 
 \begin{rem}
-  In der Literatur findet man statt ``faktoriell'' manchmal auch die Adjektive
+  In der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive
   \emph{ZPE}\index{ZPE} (= \textbf{Z}erlegung in \textbf{P}rimelemente ist
   \textbf{E}indeutig) oder \emph{UFD}\index{UFD} (= \textbf{U}nique
   \textbf{F}actorization \textbf{D}omain).
@@ -484,7 +477,7 @@ wichtig.
 
 Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
  
-\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30.  April 1777 in Braunschweig; † 23.  Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}
+\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30.~April 1777 in Braunschweig; † 23.~Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}
   Es sei $R$ ein faktorieller Ring.  Dann ist auch der Polynomring
   $R[x_1, …, x_n]$ faktoriell.
 \end{satz}
@@ -496,7 +489,7 @@ Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
 Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
   6}
 
-\begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}
+\begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring.  Ist $p ∈ R$ ein Primelement,
   dann ist $p$ auch im Polynomring $R[x]$ prim.
 \end{lem}
@@ -512,26 +505,26 @@ Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
 \section{Primfaktorzerlegung}
 
 Wenn $R$ ein faktorieller Ring ist, dann haben wir schon gesehen, dass ich jedes
-Element auf ``nahezu eindeutige Weise'' als Produkt von Primelementen schreiben
+Element auf „nahezu eindeutige Weise“ als Produkt von Primelementen schreiben
-kann.  So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$
+kann.  So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$ darstellbar.
-darstellbar.  Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden,
+Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden, denn wir
-denn wir finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative.  Eine
+finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative.  Eine derartige
-derartige Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
+Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
 
-Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation ``äquivalent'' eine
+Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation „äquivalent“ eine Äquivalenzrelation
-Äquivalenzrelation auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge
+auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge deshalb in
-deshalb in Äquivalenzklassen.  Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu
+Äquivalenzklassen.  Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu machen,
-machen, müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen.  Dann
+müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen.  Dann sind wir
-sind wir in der folgenden Situation.
+in der folgenden Situation.
 
-\begin{situation}\label{sit:5-5-1}
+\begin{situation}\label{sit:5-5-1}%
   Es sei $R$ ein faktorieller Ring und $(p_i)_{i ∈ I}$ sei ein
   Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen (das bedeutet:
-  für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, so dass
+  für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, sodass $p \sim
-  $p \sim p_i$ ist).
+  p_i$ ist).
 \end{situation}
 
-Ein ``Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen'' existiert
+Ein „Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen“ existiert
 wegen des Auswahlaxioms natürlich immer, aber manchmal gibt es besonders
 einleuchtende Wahlen.
 
@@ -551,7 +544,7 @@ einleuchtende Wahlen.
     r = ε·\prod_{i∈I} (p_i)^{ν_i}
   \end{equation*}
   wobei $ε ∈ R^*$ und $ν_i ∈ ℕ$ sind; außerdem sind alle bis auf endlich viele
-  Exponenten gleich $0$.  Dies Darstellung heißt \emph{normierte
+  Exponenten gleich $0$.  Diese Darstellung heißt \emph{normierte
     Primfaktorzerlegung}\index{normierte
     Primfaktorzerlegung}\index{Primfaktorzerlegung!normiert} von $r$ zum
   Repräsentantensystem $(p_i)_{i ∈ I}$.
@@ -560,7 +553,7 @@ einleuchtende Wahlen.
   Hier ist nicht viel zu beweisen.  Ist $r ∈ R^*$, so wähle $ε = r$ und setzt
   $ν_i = 0$ für alle $i$.  Ansonsten zerlege $r$ in irreduzible Faktoren,
   $r = p'_{i_1}⋯p'_{i_n}$.  Jeder Faktor $p'_{i_j}$ ist zu einem der $p_{i_j}$
-  assoziiert, also gib es $ε_j ∈ R^*$, so dass $p'_{i_j} = ε_j·p_{i_j}$ ist.
+  assoziiert, also gib es $ε_j ∈ R^*$, sodass $p'_{i_j} = ε_j·p_{i_j}$ ist.
   Setze $ε = \prod_{j=1}^n ε_j$ und fasse die Faktoren $p_•$, die mehrfach
   auftauchen, zusammen.  Die Eindeutigkeit ist klar.
 \end{proof}
@@ -581,7 +574,7 @@ sofort ablesen.
     gilt.
     
   \item Es ist $r || s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ die Ungleichung
-    $ν_i ≤ μ_i$ gilt und wenn zusätzlich ein $j∈I$ existiert, so dass
+    $ν_i ≤ μ_i$ gilt und wenn zusätzlich ein $j∈I$ existiert, sodass
     $ν_j < μ_j$ ist.
     
   \item Es ist $r \sim s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ gilt, dass $ν_i = μ_i$
@@ -593,14 +586,14 @@ sofort ablesen.
 \section{ggT und kgV}
 
 Je nach Geburtsjahrgang haben Sie in Kindergarten, Vorschule, Grundschule,
-Gymnasium oder Studium den Begriff ``größter gemeinsamer Teiler'' und
+Gymnasium oder Studium den Begriff „größter gemeinsamer Teiler“ und „kleinstes
-``kleinstes gemeinsames Vielfaches'' kennen gelernt.  Auch diese Begriffe
+gemeinsames Vielfaches“ kennengelernt.  Auch diese Begriffe übertragen sich ohne
-übertragen sich ohne weiteres auf Ringe.
+weiteres auf Ringe.
 
 \begin{defn}[Größter gemeinsamer Teiler]
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente.
   Ein Element $g ∈ R$ heißt \emph{größter gemeinsamer Teiler\index{größter
-      gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$} wenn Folgendes gilt.
+      gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$}, wenn Folgendes gilt.
   \begin{itemize}
   \item Es ist $g|r$ und $g|s$.
     
@@ -612,7 +605,7 @@ Gymnasium oder Studium den Begriff ``größter gemeinsamer Teiler'' und
 \begin{defn}[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]
   Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente.  Ein
   Element $v ∈ R$ heißt \emph{kleines gemeinsames Vielfaches}\index{kleinstes
-    gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$ wenn Folgendes gilt.
+    gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$, wenn Folgendes gilt.
   \begin{itemize}
   \item Es ist $r|v$ und $s|v$.
     
@@ -665,7 +658,7 @@ keine Gedanken machen.
 \subsection{Der Euklidische Algorithmus}
 
 Die Primfaktorzerlegung eines Elementes in einem faktoriellen Ring zu bestimmen,
-ist fast immer sehr schwer.  In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen
+ist fast immer sehr schwer.  In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen,
 ohne die Primfaktorzerlegung explizit zu kennen.
 
 \begin{bsp}\label{bsp:5-6-7}