Clarify formulations

01.tex

@@ -23,7 +23,7 @@ Begriffe
   Gruppe -- Ringe -- Körper -- Körpererweiterungen
 \end{quote}
 ein, beweisen ganz viele komplizierte Sätze und überraschen dann gegen Ende mit
-einigen unerwarteten Anwendungen.  Mögen Sie solche Vorlesungen?  Ich nicht. Ich
+einigen unerwarteten Anwendungen.  Mögen Sie solche Vorlesungen?  Ich nicht.  Ich
 habe langwierigen Lernstoff nie gemocht und konnte mich als Student nur schwer
 motivieren, Definitionen auswendig zu lernen die nicht gut motiviert waren.  Das
 ist doch langweilig!
@@ -84,7 +84,7 @@ sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}.
 
 
 Als Beispiel konstruieren wir uns ein Fünfeck in vier einfachen Schritten.
-Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion.  
+Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion.
 \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/v1/Konstruktion%20des%20regelm%c3%a4%c3%9figen%205-Eck.ggb}{Hier}
 finden Sie die Konstruktion auch als GeoGebra-Arbeitsblatt.
 \begin{itemize}
@@ -114,7 +114,7 @@ zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist!
   Wir betrachten weiterhin Abbildung~\ref{fig:fiveGon} und beginnen mit einer
   Vorüberlegung.  Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc.) zeigt,
   dass das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat.  Der
-  Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich 
+  Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich
   \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/v1/Kantenl%c3%a4nge%20des%20kleinen%205-Ecks.pdf}{hier}
   für Sie als Scan hinterlegt habe.
 
@@ -123,7 +123,7 @@ zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist!
   $s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen sind.
   Die Vorüberlegung zeigt aber, dass
   \begin{equation*}
-    d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ^+}·s
+    d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ⁺}·s
   \end{equation*}
   die Kantenlänge eines kleineren $5$-Ecks ist, das eine Sekante der Länge $a$
   hat.  Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist.
@@ -270,7 +270,7 @@ zurückgeführt, wie die Unterkörper von $ℂ$ aussehen, und wie Unterkörper
 ineinander enthalten sein können.
 
 \begin{satz}[Mengen von konstruierbaren Punkten sind Unterkörper]\label{satz:1-2-9}%
-  Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Teilmenge, die die Zahlen $0$ und $1$ enthält. Dann ist
+  Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Teilmenge, die die Zahlen $0$ und $1$ enthält.  Dann ist
   $\Kons(M)$ ein Unterkörper von $ℂ$.
 \end{satz}
 \begin{proof}[Beweis durch Übungsaufgabe]

02.tex

@@ -301,7 +301,7 @@ Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen.
 \begin{defn}[Schiefkörper, Körper]
   Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$
   nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn
-  also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt. Ein Schiefkörper heißt
+  also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt.  Ein Schiefkörper heißt
   \emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch kommutativ ist.
 \end{defn}
 

03.tex

@@ -34,7 +34,7 @@ einmal ein wenig Sprache fällig.
 
 \begin{warnung}[Polynome und Funktionen]
   In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine
-  Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen! Im
+  Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen!  Im
   Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
   Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele Abbildungen
   von $K$ nach $K$!
@@ -79,7 +79,7 @@ Folgende.
   Freiburger Mathematiker Ferdinand
   Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl
   Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.~April 1852 in
-  Hannover; † 6.~März 1939 in München) war ein deutscher Mathematiker. Lindemann
+  Hannover; † 6.~März 1939 in München) war ein deutscher Mathematiker.  Lindemann
   hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem Spaziergang auf dem
   Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten Arbeit \cite{MR1510165},
   dass die Zahl $π$ transzendent ist.
@@ -139,7 +139,7 @@ enthält.
 
 \section{Das Minimalpolynom}
 
-Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. Per
+Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.  Per
 Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat.
 Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
 irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das
@@ -290,7 +290,7 @@ Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
 
 \begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}%
   \index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von
-  Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention $∞·∞ = ∞$
+  Körpererweiterungen.  Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention $∞·∞ = ∞$
   und $∞·n = ∞$, falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die Gleichung
   \[
     [M:K] = [M:L]·[L:K].
@@ -313,7 +313,7 @@ Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
 
 \begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}%
   Es sei $K$ ein Körper, in dem das Element $2 := 1+1$ ungleich $0$ ist (zum
-  Beispiel $K = \bQ$).  Weiter sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei.
+  Beispiel $K = ℚ$).  Weiter sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei.
   Dann entsteht $L$ aus $K$ durch Adjunktion einer Quadratwurzel.  Genauer: es
   gibt Elemente $a ∈ L$ und $b ∈ K$, sodass Folgendes gilt.
   \begin{itemize}

05.tex

@@ -184,7 +184,7 @@ bombastischer Sprache die Phrase „unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen“
   Wir beweisen die Richtung \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}.
   Wegen $ε· r = s$ gilt $r|s$.  Multiplikation mit $ε^{-1}$ liefert $r =
   ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$.  Wir beweisen als Nächstes die Richtung
-  \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}. Nach Annahme existieren
+  \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}.  Nach Annahme existieren
   $u,v∈ R$ mit
   \begin{equation*}
     u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r.
@@ -361,7 +361,7 @@ wichtig.
 \begin{definition}[Primelemente eines Ringes]
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring.  Ein Element $p ∈ R$ heißt
   \emph{prim}\index{Primelement eines Ringes}, wenn $p$ keine Einheit ist,
-  $p \neq 0$ gilt und wenn für alle $a,b ∈ R$ mit $p|(a·b)$ schon folgt, dass
+  $p ≠ 0$ gilt und wenn für alle $a,b ∈ R$ mit $p|(a·b)$ schon folgt, dass
   $p|a$ oder $p|b$ gilt.
 \end{definition}
 
@@ -667,8 +667,8 @@ ohne die Primfaktorzerlegung explizit zu kennen.
   $f,g∈ K[x]$ gegeben.  Dann betrachte die Kette von Gleichungen, die man durch
   Division mit Rest bekommt
   \begin{align}
-    f(x)  &= q_1(x)·  g(x)+r_1(x)&&\text{mit }\deg r_1 < \deg g\label{eq:Euklid_1}\\
-    g(x)  &= q_2(x)·r_1(x)+r_2(x)&&\text{mit }\deg r_2 < \deg r_1\label{eq:Euklid_2}\\
+    f(x) &= q_1(x)· g(x)+r_1(x)&&\text{mit }\deg r_1 < \deg g\label{eq:Euklid_1}\\
+    g(x) &= q_2(x)·r_1(x)+r_2(x)&&\text{mit }\deg r_2 < \deg r_1\label{eq:Euklid_2}\\
     r_1(x)&= q_3(x)·r_2(x)+r_3(x)&&\text{mit }\deg r_3 < \deg r_2 \\
     r_2(x)&= q_4(x)·r_3(x)+r_4(x)&&\text{mit }\deg r_4 < \deg r_3 \\
     r_3(x)&= q_5(x)·r_4(x)+r_5(x)&&\text{mit }\deg r_5 < \deg r_4 \\

07.tex

@@ -91,7 +91,7 @@ den Anfängervorlesungen.
   \end{equation*}
 \end{erinnerung}
 \begin{proof}
-  Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom $R(x) \in K[x]$ vom Grad $\deg
+  Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom $R(x) ∈ K[x]$ vom Grad $\deg
   R = n$, sodass für alle Indices $i$ gilt:
   \[
     R(a_i) = f(a_i)·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0…n}{j≠i}}\frac{a_i-a_j}{a_i-a_j}=f(a_i).
@@ -241,8 +241,8 @@ folgenden Weisen.
     f = x^{p-1}+x^{p-2}+ ⋯ + x+1 ∈ ℤ[x].
   \]
   Auf $f$ kann man das Eisenstein-Kriterium nicht direkt anwenden.  Wir wollen
-  den Substitutionsmorphismus $\varphi : \bZ[x] \to \bZ[x]$, $x \mapsto x+1$
-  anwenden. Es ist 
+  den Substitutionsmorphismus $\varphi : ℤ[x] → ℤ[x]$, $x ↦ x+1$
+  anwenden.  Es ist
   \[
     \varphi(f) = (x+1)^{p-1}+(x+1)^{p-2}+ ⋯ + (x+1)+1 ∈ ℤ[x],
   \]
@@ -260,7 +260,7 @@ folgenden Weisen.
     \intertext{Ein Vergleich der beiden Seiten zeigt dann}
     \varphi(f) & = \sum_{ν=1}^{p}\binom{p}{ν}x^{ν-1}.
   \end{align*}
-  Das ist ein Eisenstein-Polynom in $\bZ[x]$, denn es gilt Folgendes.
+  Das ist ein Eisenstein-Polynom in $ℤ[x]$, denn es gilt Folgendes.
   \begin{itemize}
   \item Für alle Zahlen $1 ≤ ν < p$ gilt $p|\binom{p}{ν}$.
     
@@ -269,9 +269,9 @@ folgenden Weisen.
   \item Es ist $\binom{p}{p}=1$, sodass der ggT der Koeffizienten ganz sicher
   gleich eins ist.
   \end{itemize}
-  Also sind $\varphi(f)$ und $f$ in $\bZ[x]$ jeweils irreduzibel. Nach
+  Also sind $\varphi(f)$ und $f$ in $ℤ[x]$ jeweils irreduzibel.  Nach
   Satz~\ref{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus} („Irreduzibilitätskriterium von
-  Gauß“) sind $\varphi(f)$ und $f$ dann auch im Polynomring  
+  Gauß“) sind $\varphi(f)$ und $f$ dann auch im Polynomring
   $ℚ[x]$ irreduzibel.
 \end{bsp}
 

09.tex

@@ -149,7 +149,7 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
   \]
   wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind.  Man nennt ein
   solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische
-  Varietät}. Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel.  Im Internet finden
+  Varietät}.  Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel.  Im Internet finden
   Sie \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier}
   und \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne
   Beispiele.
@@ -217,7 +217,7 @@ Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können.
 \end{defn}
 
 \begin{beobachtung}[Hauptideale und Teilbarkeit]
-  Gegeben sei ein Integritätsring $R$.  Weiter seien $a_1, a_2 ∈ R$. Dann gilt
+  Gegeben sei ein Integritätsring $R$.  Weiter seien $a_1, a_2 ∈ R$.  Dann gilt
   offensichtlich
   \begin{align*}
     (a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\
@@ -235,7 +235,7 @@ Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können.
   \[
     I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m),
   \]
-  immer gleiche Mächtigkeit haben.  Das geht schon im Ring $\bZ$ der ganzen
+  immer gleiche Mächtigkeit haben.  Das geht schon im Ring $ℤ$ der ganzen
   Zahlen schief, dort ist $(1) = (2,3)$.  Falls sie vorhatten, die „Dimension“
   eines Ideals zu definieren -- \foreignlanguage{english}{Nice try}!
 \end{warnung}

10.tex

@@ -185,7 +185,7 @@ Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus surjektiv ist
 --- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
 
 \begin{satz}[Urbilder von Idealen]
-  Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Wenn
+  Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins.  Wenn
   $I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein Ideal in
   $R$.  Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
   \begin{equation*}
@@ -255,7 +255,7 @@ Formulierung verwendet Notation~\ref{not:xx}.
 Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein
 Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist.  Etwas
 bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei?  Für den Ring
-$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt. Der
+$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt.  Der
 Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies ist
 genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist.  Also müssen wir statt
 „Primzahl“ jetzt den Begriff des „Primideals“ einführen.

12.tex

@@ -18,12 +18,12 @@ und $ℝ$ vom höheren Standpunkt aus verstehen.  Warum ist die Erweiterung $ℂ
 so wichtig?  Wenn ich statt $ℝ$ einen anderen Körper betrachte (zum Beispiel
 $𝔽_p(X)$), welcher Körper würde dann die Rolle von $ℂ$ spielen?
 
-Die Antwort kommt aus der Vorlesung „Analysis“ oder „Funktionentheorie“. Dort
+Die Antwort kommt aus der Vorlesung „Analysis“ oder „Funktionentheorie“.  Dort
 beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
 komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$
 besitzt eine komplexe Nullstelle.  Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$
 als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann.  Man sagt: „Die
-komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.“  Wir werden später sehen, was
+komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.“ Wir werden später sehen, was
 diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat.
 
 \begin{frage}
@@ -158,7 +158,7 @@ Lemmas}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Max_August_Zorn}{Max August
 Zorn} (* 6.~Juni 1906 in Krefeld; † 9.~März 1993 in Bloomington, Indiana, USA)
 war ein US-amerikanischer Professor der Mathematik deutscher Abstammung.}
 zeigen, dass diese naive Idee tatsächlich trägt.  Weil das Semester in diesem
-Jahr deutlich kürzer ist, muss an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten. Der
+Jahr deutlich kürzer ist, muss an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten.  Der
 folgende Satz ist als Satz von
 Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
 Steinitz} (* 13.~Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29.~September 1928 in

13.tex

@@ -32,7 +32,7 @@ Der folgende Satz fasst die ersten Eigenschaften von Zerfällungskörpern
 zusammen.
 
 \begin{satz}\label{satz:13-0-3}%
-  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Dann
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.  Dann
   gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item Das Polynom $f$ besitzt einen Zerfällungskörper.
@@ -53,7 +53,7 @@ schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von „dem“
 Zerfällungskörper gesprochen.
 
 \begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper]
-  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Wenn
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.  Wenn
   ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann zeigt der
   Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper kommt.
   Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ „lediglich“ die Nullstellen $a_1, …, a_n$
@@ -141,7 +141,7 @@ das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
                & = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}.  && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$.}
   \end{align*}
   Wir erkennen: Der $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ ist eindeutig dadurch
-  festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet! Die
+  festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet!  Die
   Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die
   „Symmetriegruppe“ von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$ als
   Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen.

14.tex

@@ -124,7 +124,7 @@ bestimmen.  Was war noch einmal die Ordnung?
   \begin{equation*}
     f(a) = f'(a) = ⋯ = f^{(m-1)}(a) = 0
   \end{equation*}
-  ist.  Wenn $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, also insbesondere $m! ≠
+  ist.  Wenn $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, also insbesondere $m!  ≠
   0 ∈ R$ ist, dann ist $f^{(m)}(a) ≠ 0$, wenn $a$ eine $m$-fache Nullstelle von
   $f$ ist.  Wir haben aber schon in Bemerkung~\ref{bem:14-1-3} gesehen, dass man
   über beliebigen Körpern die Nullstellenordnung so nicht bestimmen kann!
@@ -146,7 +146,7 @@ diese Abbildung \textbf{linear} ist!
 \begin{defn}[Charakeristik eines Ringes]
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Die
   \emph{Charakteristik}\index{Charakteristik!eines Ringes} von $R$ ist die
-  kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ^+$, sodass die $n$-fache Summe des
+  kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ⁺$, sodass die $n$-fache Summe des
   Einselements gleich dem Nullelement wird, also
   \[
     \underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n ⨯} =0.
@@ -220,7 +220,7 @@ werden.
     
   \item\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3} Die Charakteristik von
     $K$ ist eine Primzahl $p>0$, es existiert ein irreduzibles und separables
-    Polynom $g ∈ K[x]$ und eine Zahl $e ∈ ℕ^+$, sodass
+    Polynom $g ∈ K[x]$ und eine Zahl $e ∈ ℕ⁺$, sodass
     \begin{equation*}
       f(x) = g \Bigl( x^{(p^e)} \Bigr)
     \end{equation*}
@@ -410,7 +410,7 @@ Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen.
 \end{kor}
 \begin{proof}
   Wir wissen schon, dass $M/K$ algebraisch ist.  Sei also $a ∈ M$ irgendein
-  Element. Wir müssen zeigen, dass $a$ separabel über $K$ ist.  Betrachte dazu
+  Element.  Wir müssen zeigen, dass $a$ separabel über $K$ ist.  Betrachte dazu
   das Minimalpolynom von $a$ über dem Zwischenkörper $L$,
   \begin{equation*}
     f = a_0+a_1· x+\dots +a_{n-1}·x^{n-1}+x^n ∈ L[x].

17.tex

@@ -134,7 +134,7 @@ Begriffsbildungen rund um dieses Konzept.  Ich beschränke mich hier auf die
 Wesentlichsten.
 
 \begin{defn}[Bahn und Fixpunkt]
-  Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. Weiter
+  Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$.  Weiter
   sei ein Element $m ∈ M$ gegeben.  Die Menge $G· m := \{g· m\::\: g∈ G\}$ wird
   \emph{Bahn}\index{Bahn} oder \emph{Orbit}\index{Orbit} von $G$ durch $m$
   genannt.  Falls $G·m = \{m\}$ ist, dann nennt man $m$ einen \emph{Fixpunkt}
@@ -184,10 +184,10 @@ gleich für Untermengen statt für Punkte.
 
 \begin{defn}[Isotropie und Stabilisator]\label{def:ius}%
   Es sei $α : G⨯M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$.  Weiter
-  sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge.  Gegeben ein Element $g \in G$, so schreiben wir
+  sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge.  Gegeben ein Element $g ∈ G$, so schreiben wir
   kurz
   \[
-    g·N := \{ g·n \::\: n \in N \}.
+    g·N := \{ g·n \::\: n ∈ N \}.
   \]
 
   \begin{itemize}
@@ -329,7 +329,7 @@ der Untergruppen.  Die folgende Definition macht das präzise.
   Obergruppe von $U$; wir erhalten also eine Kette von Untergruppen $U ⊆ N(U) ⊆
   G$.  Überlegen Sie sich, dass die Gruppe $U$ stets eine normale Untergruppe
   von $N(U)$ ist.  Überlegen Sie sich auch, dass die Untergruppe $N(U)$ die
-  eindeutige, maximale Zwischengruppe mit dieser Eigenschaft ist. Was meine ich
+  eindeutige, maximale Zwischengruppe mit dieser Eigenschaft ist.  Was meine ich
   mit „eindeutig, maximal“ eigentlich ganz genau?
 \end{bemerkung}
 
@@ -508,7 +508,7 @@ eindeutig sind bis auf kanonische Isomorphie, falls sie überhaupt existieren.
   \begin{equation*}
     (u_1· n_1)· (u_2· n_2) ∈ U· N
   \end{equation*}
-  gilt.  Wir wissen, dass $N$ normal ist. Also ist
+  gilt.  Wir wissen, dass $N$ normal ist.  Also ist
   $\widetilde{n_1} := u_2^{-1} n_1u_2 ∈ N$ und es gilt
   $n_1u_2=u_2\widetilde{n_1}$.  Demnach ist
   \begin{equation*}
@@ -546,7 +546,7 @@ Dank Beobachtung~\ref{beo:xx} ergeben die folgenden Sätze Sinn.
 Die Diskussion in diesem Kapitel ist recht ähnlich zur Diskussion des
 Primkörpers eines Körpers.  Die vielleicht einfachste Gruppe ist $(ℤ,+)$.  Die
 Untergruppen von $ℤ$ sind leicht zu bestimmen.  Wenn nämlich $U ⊂ ℤ$ eine
-Untergruppe ist, dann ist für alle $n∈ℤ^+$ und für alle $u ∈ U$
+Untergruppe ist, dann ist für alle $n∈ℤ⁺$ und für alle $u ∈ U$
 \begin{equation*}
   n·u=\underbrace{u+\dots+u}_{n⨯}∈ U.
 \end{equation*}

18.tex

@@ -25,9 +25,9 @@ Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten.
 Die zentrale Beobachtung, auf der der ganze Inhalt dieses Kapitels aufbaut, ist
 die folgende.
 
-\begin{lemma}[Zentrales Schlüssellemma]\label{lem:zsl}
-  Es sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $p^m$, die auf einer endlichen Menge $M$
-  operiert.  Weiter sei
+\begin{lemma}[Zentrales Schlüssellemma]\label{lem:zsl}%
+  Es sei $n ∈ ℕ$ und es sei $p$ eine Primzahl.  Weiter sei $G$ eine Gruppe
+  der Ordnung $p^m$, die auf einer endlichen Menge $M$ operiert.  Weiter sei
   \begin{equation*}
     M_0 = \{ m ∈ M \::\: \forall g ∈ G: g· m = m \}
   \end{equation*}
@@ -99,8 +99,9 @@ besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzen.  Die
 folgende Definition beschreibt den Extremfall.
 
 \begin{definition}[$p$-Gruppe]
-  Eine Gruppe $G$ heißt \emph{$p$-Gruppe}\index{p-Gruppe=$p$-Gruppe}, wenn die
-  Ordnung jedes Elements eine Potenz von $p$ ist.
+  Es sei $p$ eine Primzahl.  Eine Gruppe $G$ heißt
+  \emph{$p$-Gruppe}\index{p-Gruppe=$p$-Gruppe}, wenn die Ordnung jedes Elements
+  eine Potenz von $p$ ist.
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[An der Gruppenordnung sollt ihr sie erkennen]
@@ -185,7 +186,7 @@ besonders gut.
   \end{align*}
   Also ist
   \[
-    [N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U]. \qedhere
+    [N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U].  \qedhere
   \]
 \end{proof}
       
@@ -377,7 +378,7 @@ können also nur die folgenden Ordnungen haben.
   also $s_2=1$ oder $s_2=3$.  Wir wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins}
   („Erster Sylow-Satz“), dass jedes Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer
   2-Sylowuntergruppe enthalten ist.  Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16
-  solche Elemente gibt. Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente.
+  solche Elemente gibt.  Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente.
   Also ist $s_2 = 3$.
   
 \item[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.

22.tex

@@ -355,7 +355,7 @@ Konstruktionsprojekt:
 \end{quotation}
 Im Gegensatz zur „Zeit“ sahen die Göttinger Kollegen Hermes' Bemühungen damals
 recht kritisch: „Ich rechne ja auch nicht die binomische Formel für alle Werte
-bis 10.000.000 nach.“  Dennoch empfehle ich den Besuch.  Bewundern Sie die
+bis 10.000.000 nach.“ Dennoch empfehle ich den Besuch.  Bewundern Sie die
 feinen Konstruktionen und die enorme handwerkliche Qualität.  Suhlen Sie sich in
 der Aura der Sinnlosigkeit.  Beenden Sie Ihren Besuch, indem Sie sich die
 historische Sammlung mathematischer Modelle anschauen.
@@ -364,7 +364,7 @@ historische Sammlung mathematischer Modelle anschauen.
   Finden Sie heraus, warum das weltberühmte
   \foreignlanguage{english}{\emph{Mathematical Sciences Research Institute}} in
   Berkeley, Kalifornien die Adresse „\foreignlanguage{english}{17 Gauss Way}“
-  hat, obwohl das MSRI der einzige Gebäudekomplex in der Straße ist. Fahren Sie
+  hat, obwohl das MSRI der einzige Gebäudekomplex in der Straße ist.  Fahren Sie
   hin und schauen Sie sich die Tafel am Eingang an.  Oder lesen Sie
   \href{https://www.msri.org/people/staff/levy/files/17gon/poster1.pdf}{hier}.
 \end{aufgabe}

24.tex

@@ -28,7 +28,7 @@ Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (erschienen 1801 i
 den
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae}{Disquisitiones
 Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte
-der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.“  Tatsächlich handelt es sich um
+der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.“ Tatsächlich handelt es sich um
 einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte, von dem wir hier aber
 nur die Oberfläche ankratzen.  Schauen Sie einmal in das Buch der
 Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz

25.tex

@@ -8,7 +8,7 @@
 
 Im 18.~Jahrhundert war Seefahrt gefährlich.  Sehr gefährlich.  Zwar pendelten um
 1704 jährlich mehr als 300 Schiffe zwischen England und den „West Indies“, es
-kam aber durch Fehlnavigation regelmäßig zu verheerenden Katastrophen. Unzählige
+kam aber durch Fehlnavigation regelmäßig zu verheerenden Katastrophen.  Unzählige
 Schiffe verirrten sich auf dem Meer und die Besatzung verhungerte, verdurstete
 oder starb an qualvoll an Skorbut.  Andere Schiffe fuhren auf Felsriffe oder
 gerieten versehentlich in feindliches Territorium.
@@ -83,7 +83,7 @@ Algebra-Ausbildung.
 \begin{itemize}
 \item Zwei Mengen der gleichen, endlichen Größe stehen zueinander in Bijektion.
   Die Bijektion ist aber nicht kanonisch.  Das Maß für die Abweichung von
-  „kanonisch“ ist die Menge der Bijektionen, also die Permutationsgruppe. Diese
+  „kanonisch“ ist die Menge der Bijektionen, also die Permutationsgruppe.  Diese
   spielt in fast jeder Vorlesung eine Rolle.
   
 \item In der linearen Algebra haben wir gelernt, dass zwei Vektorräume der
@@ -97,7 +97,7 @@ Algebra-Ausbildung.
 In dieser Vorlesung haben wir dasselbe Problem: die universelle Eigenschaft des
 algebraischen Abschlusses, Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}, ist
 schwach.  Zwei algebraische Abschlüsse, genau wie zwei Zerfällungskörper ein und
-desselben Polynoms, sind zueinander isomorph, aber nicht kanonisch isomorph. Das
+desselben Polynoms, sind zueinander isomorph, aber nicht kanonisch isomorph.  Das
 Maß für die Abweichung von „kanonisch“ ist die Menge der Symmetrien, die in
 diesem Fall als Galoisgruppe bezeichnet wird.  Die Erkenntnis, das die
 Galoisgruppe das Versagen der universelle Eigenschaft misst und das durch ihr
@@ -139,7 +139,7 @@ Wenn Sie ein Lehrbuch zum Thema „Gewöhnliche Differenzialgleichungen“ in di
 Hand nehmen, finden Sie ein wenig Theorie (Satz von Picard-Lindelöf,
 Konsequenzen aus der Eindeutigkeit der Lösung, Lebensdauer von Lösungen, …) und
 viele, viele Rechenrezepte, mit denen man spezielle Differenzialgleichungen
-löst. In der Anfängervorlesung haben Sie das vielleicht schon beim Verfahren
+löst.  In der Anfängervorlesung haben Sie das vielleicht schon beim Verfahren
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten}{Variation der
 Konstanten} gesehen: gegeben ist die Differenzialgleichung
 \begin{equation}\label{eq:ssa}

gfx/stdPreamble.tex

@@ -172,6 +172,7 @@
 \newunicodechar{⁸}{\ensuremath{^8}}
 \newunicodechar{⁹}{\ensuremath{^9}}
 \newunicodechar{ⁱ}{\ensuremath{^i}}
+\newunicodechar{⁺}{\ensuremath{^+}}
 
 \newunicodechar{⌈}{\ensuremath{\lceil}}
 \newunicodechar{⌉}{\ensuremath{\rceil}}