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\selectlanguage{german}
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\chapter{Konstruktionen mit Zirkel und Lineal}
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\begin{quote}
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Bei der Darstellung des Materials versuchte der Autor, den
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axiomatisch-deduk\-tiven Stil zu vermeiden, dessen charakteristisches
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Kennzeichen unmotivierte Definitionen sind, die die fundamentalen Ideen und
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Methoden verschleiern und die, Gleichnissen ähnlich, den Schülern nur unter
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vier Augen erläutert werden.
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--- Vladimir Arnol'd, Einleitung zu „Geometrische Methoden in der Theorie der
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gewöhnlichen Differenzialgleichungen“
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\end{quote}
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\bigskip
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\sideremark{Vorlesung 1}Es gibt mehrere Arten, sich dem Stoff der Vorlesung
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„Algebra“ zu nähern. Viele Bücher und Vorlesungen führen der Reihe nach die
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Begriffe
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\begin{quote}
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Gruppe -- Ringe -- Körper -- Körpererweiterungen
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\end{quote}
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ein, beweisen ganz viele komplizierte Sätze und überraschen dann gegen Ende mit
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einigen unerwarteten Anwendungen. Mögen Sie solche Vorlesungen? Ich nicht. Ich
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habe langwierigen Lernstoff nie gemocht und konnte mich als Student nur schwer
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motivieren, Definitionen auswendig zu lernen die nicht gut motiviert waren. Das
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ist doch langweilig!
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Ich möchte deshalb anders herum anfangen und gleich mit einem klassischen
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Problem beginnen: Welche geometrischen Figuren kann ich mit Zirkel und Lineal
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konstruieren? Und bei welchen geht das nicht? Und wenn es nicht geht, woran
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liegt das? Wir werden sofort sehen, dass dieses Problem mit der Frage nach
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Körpern und Körpererweiterungen zu tun hat, und dann Kapitel für Kapitel die
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notwendige Theorie entwickeln, um diese Fragen zu beantworten. Wir springen
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also gleich ins tiefe Wasser. Besorgen Sie sich noch ein paar Bücher und
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Skripte, die Ihnen beim Lernen helfen … und auf geht's!
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\section{Das Konstruktionsproblem}
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Wir befinden uns am Beginn der hellenistischen Antike. Alexander der Große hat
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ein Weltreich errichtet. Wissenschaft und Technik erreichen ein Niveau, das in
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den darauf folgenden Jahrhunderten in nie wieder erreicht werden
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wird\footnote{Schauen Sie mal in das Buch \cite{Russo05}. Kennen Sie den
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\href{https://www.dpma.de/dpma/veroeffentlichungen/meilensteine/antikytera-mechanismus/index.html}{Mechanismus
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von Antikythera}?}. In der hellenistischen Technik nimmt die darstellende
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Geometrie einen wichtigen Platz ein. Trigonometrische Rechnung war zwar
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bekannt, für technische Anwendungen aber nicht immer brauchbar\footnote{Gehen
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Sie in die Werkstatt und versuchen Sie, ein brauchbares Rad zu bauen, indem Sie
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die Koordinaten von ausreichend vielen Stützpunkten mit $\sin$ und $\cos$
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näherungsweise von Hand ausrechnen und dann sorgfältig auf ihr Werkstück
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übertragen. Aber Achtung: noch vor wenigen Jahren gab für solchen Unsinn
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Maulschellen vom Lehrherrn.}. Tatsächlich kann ein geübter Techniker mit Zirkel
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und Lineal erstaunlich genau arbeiten und Dinge konstruieren, die sich nur
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schwer berechnen lassen\footnote{Beispiele finden Sie in den absolut
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sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}.
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\begin{warnung}
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In der hellenistischen Antike hatten Lineale keine cm-Einteilung. Bei
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Konstruktionen mit „Zirkel und Lineal“ kann man keine Lösungen messen oder
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vorgeben. Albrecht
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Dürer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Albrecht_Duerer}{Albrecht
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Dürer der Jüngere} (auch Duerer; * 21. Mai 1471 in Nürnberg; † 6. April 1528
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ebenda) war ein deutscher Maler, Grafiker, Mathematiker und
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Kunsttheoretiker.}, der sich natürlich viele Gedanken zum Thema gemacht hat,
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schreibt im Titel seines berühmten Buches \cite{Dur25} vielleicht auch deshalb
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lieber vom „Richtscheit“.
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\end{warnung}
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\subsection{Konstruktion des regelmäßigen 5-Eck}
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\index{Konstruktion!des regelmäßigen 5-Eck}
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\begin{figure}
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\centering
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\input{figures/01-fiveGon}
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\caption{Das regelmäßige 5-Eck}
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\label{fig:fiveGon}
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\end{figure}
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Als Beispiel konstruieren wir uns ein Fünfeck in vier einfachen Schritten.
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Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion.
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\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/v1/Konstruktion%20des%20regelm%c3%a4%c3%9figen%205-Eck.ggb}{Hier}
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finden Sie die Konstruktion auch als GeoGebra-Arbeitsblatt.
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\begin{itemize}
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\item Konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im
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Mittelpunkt eines Kreises schneiden.
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\item Halbiere die eine und viertele die andere Achse.
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\item Schlage einen Kreis mit Vierteilungspunkt als Mittelpunkt und Strecke
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Viertelungspunkt-Halbierungspunkt als Radius.
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\item Die Schnittpunkte des Kreises mit der geviertelten Achse sind orthogonale
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Projektionen der Eckpunkte des in dem ursprünglichen Kreis eingeschriebenen
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5-Eck auf die geviertelte Achse.
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\end{itemize}
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Der folgende Satz schafft den Bogen zur Zahlentheorie. Ich nenne ihn hier, um
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zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist!
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\begin{satz}
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Betrachte das regelmäßig 5-Eck aus Abbildung~\ref{fig:fiveGon}. Dann gilt:
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Die Kantenlänge $a$ und die Länge der Sekante $d$ im regelmäßigen $5$-Eck sind
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\emph{inkommensurabel}. Mit anderen Worten: der Quotient $d/a$ ist keine
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rationale Zahl.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Wir betrachten weiterhin Abbildung~\ref{fig:fiveGon} und beginnen mit einer
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Vorüberlegung. Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc.) zeigt,
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dass das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat. Der
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Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich
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\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/v1/Kantenl%c3%a4nge%20des%20kleinen%205-Ecks.pdf}{hier}
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für Sie als Scan hinterlegt habe.
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Zurück zur eigentlichen Aussage: wir führen einen Beweis mit Widerspruch und
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nehmen an, dass $\frac{d}{a}$ in $ℚ$ sei. Dann gibt es eine Strecke der Länge
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$s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen sind.
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Die Vorüberlegung zeigt aber, dass
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\begin{equation*}
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d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ⁺}·s
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\end{equation*}
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die Kantenlänge eines kleineren $5$-Ecks ist, das eine Sekante der Länge $a$
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hat. Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist.
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Weil aber $a-(d-a)$ sehr klein ist (genauer, weil es $θ < 1$ gibt mit $a-(d-a)
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< θ·a$), und weil wir den Prozess beliebig oft wiederholen können, ist
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\begin{equation*}
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s< θ^k·a
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\end{equation*}
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für alle $k>0$, ein klarer Widerspruch.
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\end{proof}
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\begin{prov}
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Kennen wir die irrationale Zahl $d/a$ irgendwoher?
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\end{prov}
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\subsection{Andere klassische Konstruktionsaufgaben}
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\label{sec:1-1-2}
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Es gibt natürlich noch andere klassische Konstruktionsaufgaben. Ich nenne
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einige der berühmtesten Beispiele.
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\begin{itemize}
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\item Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks für alle natürlichen Zahlen
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$n$.\index{Konstruktion!des regelmäßigen $n$-Eck}
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\item Dreiteilung eines gegebenen Winkels.\index{Konstruktion!Dreiteilung des
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Winkels}
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\item Verdopplung eines Würfels. Dabei bedeutet Verdoppelung: Das Volumen soll
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sich verdoppeln.\index{Konstruktion!Verdoppelung des Würfels}
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\item Quadratur des Kreises. Dabei geht es darum, zu einem gegebenen Kreis ein
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Quadrat zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt hat wie der
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Kreis.\index{Konstruktion!Quadratur des Kreises}
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\end{itemize}
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\section{Enter: Algebra}
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Die Frage, welche dieser Konstruktionsaufgaben lösbar sind, war viele
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Jahrhunderte offen. Fortschritte gab es erst, nachdem die Probleme in Algebra
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übersetzt werden konnten. Dazu interpretiert die Ebene als die Menge $ℂ$ der
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komplexen Zahlen. Außerdem müssen wir ein für allemal festlegen, welche
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Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind.
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\begin{notation}
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Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ mit $p ≠ q$ sei $\overline{p, q}$ die Gerade durch $p$
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und $q$.
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\end{notation}
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\begin{notation}
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Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ sei $K(p, \|p-q\|)$ der Kreis durch $q$ mit Mittelpunkt
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$p$.
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\end{notation}
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\begin{defn}[Elementare Konstruktionsschritte]
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Gegeben sei eine nicht-leere Menge $M ⊂ ℂ$. Mit Zirkel und Lineal sind exakt
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die folgenden Konstruktionen möglich, um neue Punkte zu
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konstruieren.\index{Konstruktion!elementarer Schritt}
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\begin{itemize}
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\item Seien $p_1, q_1, p_2$ und $q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$ und $p_2 ≠ q_2$.
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Seien außerdem die Geraden $\overline{p_1, q_1}$ und $\overline{p_2, q_2}$
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verschieden. Dann sind die Punkte von $\overline{p_1, q_1} ∩ \overline{p_2,
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q_2}$ durch den elementaren Konstruktionsschritt „Schneiden von zwei
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Geraden“ mit Zirkel und Lineal aus der Menge $M$ konstruierbar.
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\item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$. Dann sind die Punkte von
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$\overline{p_1, q_1} ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
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Konstruktionsschritt „Gerade mit Kreis schneiden“ mit Zirkel und Lineal aus
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der Menge $M$ konstruierbar.
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\item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ p_2$. Dann sind die Punkte von
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$K(p_1, \|p_1-q_1\|) ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
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Konstruktionsschritt „Schneiden von zwei Kreisen“ mit Zirkel und Lineal aus
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der Menge $M$ konstruierbar.
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\end{itemize}
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\end{defn}
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\begin{beobachtung}
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In jedem elementaren Konstruktionsschritt werden höchstens zwei Punkte neue
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Punkte konstruiert.
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\end{beobachtung}
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\begin{beobachtung}
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Durch Zusammensetzen von mehreren elementaren Konstruktionsschritten kann man
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komplizierte Konstruktionen durchführen. In der Schule haben wir unter
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anderem folgende Konstruktionen gelernt.
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\begin{itemize}
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\item Lot von einem Punkt auf eine Gerade fällen.
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\item Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten konstruieren. Damit lassen sich
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Strecken halbieren und vierteln.
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\item Gerade durch einen Punkt konstruieren, die zu einer gegebenen Gerade
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parallel ist.
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\end{itemize}
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\end{beobachtung}
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\begin{definition}[Konstruierbare Punkte]
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Es sei eine beliebige Teilmenge $M ⊂ ℂ$ gegeben. Wir definieren die Menge
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\emph{$\Kons(M)$ der mit Zirkel und Lineal aus $M$ konstruierbaren
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Punkte}\index{konstruierbare Punkte} wie folgt: Ein Punkt $z ∈ ℂ$ ist genau
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dann in $\Kons(M)$ enthalten, wenn es eine endliche Kette von Mengen
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\[
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M = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ⋯ ⊂ M_n
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||
\]
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gibt, sodass folgendes gilt.
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\begin{itemize}
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\item Es ist $z ∈ M_n$.
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\item Für jeden Index $i < n$ und jeden Punkt $p ∈ M_{i+1}$ gilt: $p$ entsteht
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durch einen elementaren Konstruktionsschritt aus den Punkten von $M_i$.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}[Menge $M$ sollte mindestens zwei Punkte enthalten]
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Wenn $M$ leer ist, oder nur einen Punkt enthält, ist $\Kons(M) = M$, das ist
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sehr langweilig. Also betrachten wir im Folgenden immer den Fall, dass $M$
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mindestens die Punkte $0,1 ∈ ℂ$ enthält.
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\end{bemerkung}
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\begin{bsp}[Klassische Konstruktionsaufgaben]
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Die im Abschnitt~\ref{sec:1-1-2} angesprochenen klassischen
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Konstruktionsaufgaben lassen sich in dieser Sprache wie folgt formulieren.
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\begin{itemize}
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\item Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks: Gegeben $n ∈ ℕ$, ist dann auch
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die komplexe Zahl $e^{(2π i)/n}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
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\item Dreiteilung eines gegebenen Winkels: gegeben eine reelle Zahl $\varphi ∈
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(0,2π)$, ist dann auch die komplexe Zahl $e^{(\varphi i)/3}$ in
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$\Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$?
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\item Verdopplung des Würfels: ist $\sqrt[3]{2}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
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\item Quadratur des Kreises: ist $\sqrt{π}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
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\end{itemize}
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\end{bsp}
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Der folgende Satz ist der wesentliche Knackpunkt in der gesamten Vorlesung, der
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die Verbindung zwischen der Frage nach der Konstruierbarkeit und der Algebra
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herstellt: Die Frage nach der Konstruierbarkeit wird auf die Frage
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zurückgeführt, wie die Unterkörper von $ℂ$ aussehen, und wie Unterkörper
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ineinander enthalten sein können.
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\begin{satz}[Mengen von konstruierbaren Punkten sind Unterkörper]\label{satz:1-2-9}%
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Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Teilmenge, die die Zahlen $0$ und $1$ enthält. Dann ist
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$\Kons(M)$ ein Unterkörper von $ℂ$.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis durch Übungsaufgabe]
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Wir müssen zeigen, dass für alle Zahlen $x$, $y ∈ \Kons(M)$ auch die Zahlen
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\[
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x+y,\quad x-y,\quad x·y
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\]
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und im Falle $x \ne 0$ auch die Zahl $1/x$ mit Zirkel und Lineal aus $M$
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konstruierbar ist. Dies lassen wir als Übungsaufgabe für die Leserin oder den
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Leser. Das gilt insbesondere, wenn sie oder er auf Lehramt studiert!
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\end{proof}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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