Clarify formulations

01.tex

@@ -123,7 +123,7 @@ zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist!
   $s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen sind.
   Die Vorüberlegung zeigt aber, dass
   \begin{equation*}
-    d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ^+}·s
+    d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ⁺}·s
   \end{equation*}
   die Kantenlänge eines kleineren $5$-Ecks ist, das eine Sekante der Länge $a$
   hat.  Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist.

03.tex

@@ -313,7 +313,7 @@ Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
 
 \begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}%
   Es sei $K$ ein Körper, in dem das Element $2 := 1+1$ ungleich $0$ ist (zum
-  Beispiel $K = \bQ$).  Weiter sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei.
+  Beispiel $K = ℚ$).  Weiter sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei.
   Dann entsteht $L$ aus $K$ durch Adjunktion einer Quadratwurzel.  Genauer: es
   gibt Elemente $a ∈ L$ und $b ∈ K$, sodass Folgendes gilt.
   \begin{itemize}

05.tex

@@ -361,7 +361,7 @@ wichtig.
 \begin{definition}[Primelemente eines Ringes]
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring.  Ein Element $p ∈ R$ heißt
   \emph{prim}\index{Primelement eines Ringes}, wenn $p$ keine Einheit ist,
-  $p \neq 0$ gilt und wenn für alle $a,b ∈ R$ mit $p|(a·b)$ schon folgt, dass
+  $p ≠ 0$ gilt und wenn für alle $a,b ∈ R$ mit $p|(a·b)$ schon folgt, dass
   $p|a$ oder $p|b$ gilt.
 \end{definition}
 

07.tex

@@ -91,7 +91,7 @@ den Anfängervorlesungen.
   \end{equation*}
 \end{erinnerung}
 \begin{proof}
-  Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom $R(x) \in K[x]$ vom Grad $\deg
+  Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom $R(x) ∈ K[x]$ vom Grad $\deg
   R = n$, sodass für alle Indices $i$ gilt:
   \[
     R(a_i) = f(a_i)·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0…n}{j≠i}}\frac{a_i-a_j}{a_i-a_j}=f(a_i).
@@ -241,7 +241,7 @@ folgenden Weisen.
     f = x^{p-1}+x^{p-2}+ ⋯ + x+1 ∈ ℤ[x].
   \]
   Auf $f$ kann man das Eisenstein-Kriterium nicht direkt anwenden.  Wir wollen
-  den Substitutionsmorphismus $\varphi : \bZ[x] \to \bZ[x]$, $x \mapsto x+1$
+  den Substitutionsmorphismus $\varphi : ℤ[x] → ℤ[x]$, $x ↦ x+1$
   anwenden.  Es ist
   \[
     \varphi(f) = (x+1)^{p-1}+(x+1)^{p-2}+ ⋯ + (x+1)+1 ∈ ℤ[x],
@@ -260,7 +260,7 @@ folgenden Weisen.
     \intertext{Ein Vergleich der beiden Seiten zeigt dann}
     \varphi(f) & = \sum_{ν=1}^{p}\binom{p}{ν}x^{ν-1}.
   \end{align*}
-  Das ist ein Eisenstein-Polynom in $\bZ[x]$, denn es gilt Folgendes.
+  Das ist ein Eisenstein-Polynom in $ℤ[x]$, denn es gilt Folgendes.
   \begin{itemize}
   \item Für alle Zahlen $1 ≤ ν < p$ gilt $p|\binom{p}{ν}$.
     
@@ -269,7 +269,7 @@ folgenden Weisen.
   \item Es ist $\binom{p}{p}=1$, sodass der ggT der Koeffizienten ganz sicher
   gleich eins ist.
   \end{itemize}
-  Also sind $\varphi(f)$ und $f$ in $\bZ[x]$ jeweils irreduzibel. Nach
+  Also sind $\varphi(f)$ und $f$ in $ℤ[x]$ jeweils irreduzibel.  Nach
   Satz~\ref{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus} („Irreduzibilitätskriterium von
   Gauß“) sind $\varphi(f)$ und $f$ dann auch im Polynomring
   $ℚ[x]$ irreduzibel.

09.tex

@@ -235,7 +235,7 @@ Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können.
   \[
     I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m),
   \]
-  immer gleiche Mächtigkeit haben.  Das geht schon im Ring $\bZ$ der ganzen
+  immer gleiche Mächtigkeit haben.  Das geht schon im Ring $ℤ$ der ganzen
   Zahlen schief, dort ist $(1) = (2,3)$.  Falls sie vorhatten, die „Dimension“
   eines Ideals zu definieren -- \foreignlanguage{english}{Nice try}!
 \end{warnung}

14.tex

@@ -146,7 +146,7 @@ diese Abbildung \textbf{linear} ist!
 \begin{defn}[Charakeristik eines Ringes]
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Die
   \emph{Charakteristik}\index{Charakteristik!eines Ringes} von $R$ ist die
-  kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ^+$, sodass die $n$-fache Summe des
+  kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ⁺$, sodass die $n$-fache Summe des
   Einselements gleich dem Nullelement wird, also
   \[
     \underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n ⨯} =0.
@@ -220,7 +220,7 @@ werden.
     
   \item\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3} Die Charakteristik von
     $K$ ist eine Primzahl $p>0$, es existiert ein irreduzibles und separables
-    Polynom $g ∈ K[x]$ und eine Zahl $e ∈ ℕ^+$, sodass
+    Polynom $g ∈ K[x]$ und eine Zahl $e ∈ ℕ⁺$, sodass
     \begin{equation*}
       f(x) = g \Bigl( x^{(p^e)} \Bigr)
     \end{equation*}

17.tex

@@ -184,10 +184,10 @@ gleich für Untermengen statt für Punkte.
 
 \begin{defn}[Isotropie und Stabilisator]\label{def:ius}%
   Es sei $α : G⨯M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$.  Weiter
-  sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge.  Gegeben ein Element $g \in G$, so schreiben wir
+  sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge.  Gegeben ein Element $g ∈ G$, so schreiben wir
   kurz
   \[
-    g·N := \{ g·n \::\: n \in N \}.
+    g·N := \{ g·n \::\: n ∈ N \}.
   \]
 
   \begin{itemize}
@@ -546,7 +546,7 @@ Dank Beobachtung~\ref{beo:xx} ergeben die folgenden Sätze Sinn.
 Die Diskussion in diesem Kapitel ist recht ähnlich zur Diskussion des
 Primkörpers eines Körpers.  Die vielleicht einfachste Gruppe ist $(ℤ,+)$.  Die
 Untergruppen von $ℤ$ sind leicht zu bestimmen.  Wenn nämlich $U ⊂ ℤ$ eine
-Untergruppe ist, dann ist für alle $n∈ℤ^+$ und für alle $u ∈ U$
+Untergruppe ist, dann ist für alle $n∈ℤ⁺$ und für alle $u ∈ U$
 \begin{equation*}
   n·u=\underbrace{u+\dots+u}_{n⨯}∈ U.
 \end{equation*}

18.tex

@@ -25,9 +25,9 @@ Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten.
 Die zentrale Beobachtung, auf der der ganze Inhalt dieses Kapitels aufbaut, ist
 die folgende.
 
-\begin{lemma}[Zentrales Schlüssellemma]\label{lem:zsl}
+\begin{lemma}[Zentrales Schlüssellemma]\label{lem:zsl}%
-  Es sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $p^m$, die auf einer endlichen Menge $M$
+  Es sei $n ∈ ℕ$ und es sei $p$ eine Primzahl.  Weiter sei $G$ eine Gruppe
-  operiert.  Weiter sei
+  der Ordnung $p^m$, die auf einer endlichen Menge $M$ operiert.  Weiter sei
   \begin{equation*}
     M_0 = \{ m ∈ M \::\: \forall g ∈ G: g· m = m \}
   \end{equation*}
@@ -99,8 +99,9 @@ besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzen.  Die
 folgende Definition beschreibt den Extremfall.
 
 \begin{definition}[$p$-Gruppe]
-  Eine Gruppe $G$ heißt \emph{$p$-Gruppe}\index{p-Gruppe=$p$-Gruppe}, wenn die
+  Es sei $p$ eine Primzahl.  Eine Gruppe $G$ heißt
-  Ordnung jedes Elements eine Potenz von $p$ ist.
+  \emph{$p$-Gruppe}\index{p-Gruppe=$p$-Gruppe}, wenn die Ordnung jedes Elements
+  eine Potenz von $p$ ist.
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[An der Gruppenordnung sollt ihr sie erkennen]

gfx/stdPreamble.tex

@@ -172,6 +172,7 @@
 \newunicodechar{⁸}{\ensuremath{^8}}
 \newunicodechar{⁹}{\ensuremath{^9}}
 \newunicodechar{ⁱ}{\ensuremath{^i}}
+\newunicodechar{⁺}{\ensuremath{^+}}
 
 \newunicodechar{⌈}{\ensuremath{\lceil}}
 \newunicodechar{⌉}{\ensuremath{\rceil}}