AlgebraZahlentheorie/AlgebraZahlentheorie.tex

\documentclass[a4paper, enabledeprecatedfontcommands, german]{scrreprt}

%
% Local font definitions -- need to come first
%
\usepackage{libertine}
%\usepackage[libertine]{newtxmath}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsfonts, amsthm, amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[mark]{gitinfo2}
\input{gfx/stdPreamble}
\input{gfx/paperVersion-working}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{tikz-cd}
\makeindex

\author{Stefan Kebekus}

%
% TikZ
%

\usetikzlibrary{through}
\usetikzlibrary{quotes,babel,angles}
\usetikzlibrary{calc} %	calculate for relative positioning


%
% Extra spacing in list of figures
%

\usepackage{tocloft}
\setlength{\cftfignumwidth}{3em}
\allowdisplaybreaks[1]

%
% Theorems
%
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{aufgabe}[thm]{Aufgabe}
\newtheorem{satz}[thm]{Satz}
\newtheorem{situation}[thm]{Situation}
\newtheorem{lemma}[thm]{Lemma}
\newtheorem{kor}[thm]{Korollar}
\newtheorem{definition}[thm]{Definition}
\newtheorem{satzdef}[thm]{Satz und Definition}
\newtheorem{fakt}[thm]{Fakt}
\newtheorem{fazit}[thm]{Fazit}
\newtheorem{proposition}[thm]{Proposition}
\newtheorem{prov}[thm]{Provokation}
\newtheorem{warnung}[thm]{Warnung}
\newtheorem*{achtung}{Achtung}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{bemerkung}[thm]{Bemerkung}
\newtheorem{behauptung}[thm]{Behauptung}
\newtheorem{erkl}[thm]{Erklärung}
\newtheorem{beobachtung}[thm]{Beobachtung}
\newtheorem{konstruktion}[thm]{Konstruktion}
\newtheorem{bsp}[thm]{Beispiel}
\newtheorem{frage}[thm]{Frage}
\newtheorem{erinnerung}[thm]{Erinnerung}
\newtheorem{claim-de}[thm]{Vorüberlegung}
\newtheorem{geheim}[thm]{Geheiminformation}

%
% Math operators
%
\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\ggT}{ggT}
\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso}
\DeclareMathOperator{\kgV}{kgV}
\DeclareMathOperator{\Kons}{Kons}
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
\DeclareMathOperator{\sep}{sep}
\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Zentralisator}{Zentralisator}
\newcommand\video[1]{\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr/download?path=\%2FVideos&files=#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr/download?path=\%2FVideos&files=#1-Skript.pdf}{(Skript)}}

\newcommand{\ifactor}[2]{\left.  \raise -2pt\hbox{$#1$} \right\backslash \hskip -2pt\raise +2pt\hbox{$#2$}}


\title{Algebra und Zahlentheorie}
\date{\today}

\makeatletter
\hypersetup{
  pdfauthor={Stefan Kebekus},
  pdftitle={\@title},
  pdfstartview={Fit},
  pdfpagelayout={TwoColumnRight},
  pdfpagemode={UseOutlines},
  bookmarks,
  colorlinks,
  linkcolor=linkblue,
  citecolor=linkred,
  urlcolor=linkred}
\makeatother


\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

\bigskip

\bigskip

\bigskip

\section*{Vorbemerkung}

Dieses Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' baut auf sehr
ausführlichen Vorlesungsmitschriften auf, die Kai Sickinger vor einigen Jahren in
meiner Vorlesung angefertigt hat.  Das Skript wird im Laufe des Wintersemesters
2020/2021 ständig weiter geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf
der
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud}.
Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde
finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das
Datum der letzten Änderung.

Der Stoff ist in 25 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede
Vorlesung auf unserem
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/sffLLQLkTwbaDLeY}{Kalender}.
Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können
aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten.

Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen.  Falls Sie
ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei
\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus} oder
\href{mailto:andreas.demleitner@math.uni-freiburg.de}{Andreas Demleitner}.  Wir
korrigieren schnellstmöglich!  Schließlich: es gibt im Internet eine große Zahl
von guten Quellen, Erklärvideos und Anderem.  Wenn Sie eine gute Quelle finden,
melden Sie sich bitte.  Wir fügen gerne einen Link in den Text ein!

\bigskip

\textbf{Wir wünschen Ihnen viel Erfolg -- und auch ein wenig Spaß}


\subsection*{Literatur}

\begin{itemize}
\item Das Springer-Lehrbuch ``Algebra'' von Siegfried Bosch,
  \cite{zbMATH07238313}, ist der anerkannte Goldstandard aller
  Algebra-Lehrbücher.  Sie können das Buch aus dem Netz der Universität kostenlos
  bei \href{https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-92812-6}{Springer
    Link} herunterladen.
  
\item Das Buch ``Algebra'' von Serge Lang, \cite{MR1878556}, ein
  englischsprachiger Klassiker mit exzellenter Stoffauswahl, ist ebenfalls bei
  \href{https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4613-0041-0}{Springer Link}
  verfügbar.
  
\item Viele Kollegen haben Skripte zur Algebra und Zahlentheorie geschrieben
  (die sich natürlich alle sehr ähneln).  Das Skript von
  \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/XXAL.pdf}{Wolfgang
    Soergel} ist sehr ausführlich, das Skript von
  \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws17/azt/algebra17.pdf}{Annette
    Huber-Klawitter} ist konziser.
\end{itemize}


\subsection*{Computer-Programme}

Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen.
Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen,
ausserdem kann man schöne Bilder malen.  Wir akzeptieren für Hausaufgaben
Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut
dokumentiert sind.  Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und
vereinfachen von Polynomen hilfreich sein.  Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen
sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den
Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren.


\subsubsection*{GeoGebra}

Mit GeoGebra können Sie geometrische Konstruktionen, die man sonst mit Zirkel
und Lineal auf Papier durchführt, einfach und exakt auf Ihrem Bildschirm machen.
Laden Sie sich das Programm von \url{https://www.geogebra.org} herunter und
spielen Sie damit ein wenig.  Wir werden GeoGebra gelegentlich für Hausaufgaben
verwenden.


\subsubsection*{Sage}

Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc
etc.  Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren,
oder den Service CoCalc verwenden.


\subsubsection*{CoCalc}

CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine Web-Seite
auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können.  Leider ist der kostenlose
Dienst manchmal etwas langsam.

Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor.  Sie
können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem
Server rechnen.



\part{Einleitung}

\input{01}

\part{Körpererweiterungen}

\input{02}
\input{03}
\input{04}


\part{Ringe}

\input{05}
\input{06}
\input{07}
\input{08}
\input{09}
\input{10}


\part{Körpertheorie}

\input{11}
\input{12}
\input{13}
\input{14}
\input{15}
\input{16}


\part{Gruppentheorie}

\input{17}
\input{18}
\input{19}
\input{20}


\part{Anwendungen}

\input{21}
\input{22}
\input{23}
\input{24}

\part{Schlusswort}

\input{25}

\clearpage

\appendix
\part{Anhang}

\listoffigures
\listoftables

\addchap{Lizenz}

Dieser Text ist unter der Lizenz
\href{https://creativecommons.org/licenses/by/4.0}{CC-BY 4.0} verfügbar.


\printindex

\bibstyle{alpha}
\bibliographystyle{alpha}
\bibliography{bibliography/general}
\end{document}