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\chapter{Euklidische und unitäre Vektorräume}
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\label{sec:7}
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\sideremark{Vorlesung 10}Wir haben im Kapitel~\ref{chap:eukl} das
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Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ kennen gelernt. Im
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Kapitel~\ref{sec:bskalar} haben wir diesen Begriff auf beliebige
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(endlich-dimensionale) reelle und komplexe Vektorräume verallgemeinert. In
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diesem Kapitel möchte ich Vektorräume mit Skalarprodukt systematisch diskutieren,
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und Begriffe wie ``Norm'', ``Abstand'', ``Metrik'' und ``Orthogonalität'', die
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wir zuerst am Beispiel des $ℝ^n$ kennen gelernt haben, jetzt in größerer
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Allgemeinheit systematisch einführen. Zuerst einmal kommen jede Menge
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Definitionen und eine langweilige Rechnung, deshalb auch im Moment kein
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Erklärvideo.
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\begin{defn}[Euklidische und unitäre Vektorräume]
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Ein reeller Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter
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symmetrischer Bilinearform) heißt \emph{Euklidischer
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Vektorraum}\index{Euklidischer Vektorraum}. Ein komplexer Vektorraum
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zusammen mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter Hermitescher
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Sequilinearform) heißt \emph{unitärer Vektorraum}\index{unitär!Vektorraum}.
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\end{defn}
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\section{Normen auf Vektorräumen}
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In Abschnitt~\ref{sec:end} hatten wir die Euklidische Norm und den Euklidische
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Abstand auf dem $ℝ^n$ definiert. Jetzt machen wir das allgemein, für
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beliebige reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen.
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\begin{erinnerung}[Betrag einer komplexen Zahl]
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Gegeben eine komplexe Zahl $λ = a+b·i ∈ ℂ$, dann nennen wir die reelle Zahl
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$\sqrt{a²+b²} = \sqrt{λ\overline{λ}}$ die \emph{Norm von $λ$}\index{Norm!einer
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komplexen Zahl} oder \emph{Betrag von $λ$}\index{Betrag einer komplexen
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Zahl} oder \emph{Absolutbetrag von $λ$}\index{Absolutbetrag einer komplexen
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Zahl}. Man schreibt auch $\|λ\|$ oder $|λ|$.
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\end{erinnerung}
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\begin{defn}[Norm auf komplexen oder reellen Vektorraum]\label{def:norm}
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Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$ und es sei $V$ ein $k$-Vektorraum.
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Eine \emph{Norm}\index{Norm} auf ist eine Abbildung $\| · \|: V → ℝ$, so dass
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folgende Eigenschaften gelten.
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\begin{description}
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\item[Absolute Homogenität] Für alle $\vec{x} ∈ V$ und alle $λ ∈ k$ gilt:
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$\| λ · \vec{x} \| = |λ| · \| \vec{x} \|$.
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\item[Dreiecksungleichung] Für alle $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ gilt:
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$\| \vec{x} + \vec{y} \| ≤ \| \vec{x} \| + \| \vec{y} \|$
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\item[Positive Definitheit] Für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt:
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$\| \vec{x} \| = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$.
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\end{description}
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\end{defn}
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\begin{notation}[Normierte Vektorräume]
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\index{normiert!Vektorraum}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$.
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Ein normierter $k$-Vektorraum $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ist ein
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$k$-Vektorraum $V$ zusammen mit einer Norm $\|•\|$.
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\end{notation}
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\begin{notation}[Normierte Vektorräume]
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\index{normiert!Vektor}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$. und es
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sei $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ein normierter $k$-Vektorraum. Ein Vektor
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$\vec{v} ∈ V$ heißt \emph{normiert}, falls $\|\vec{v}\| = 1$ ist.
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\end{notation}
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Wir halten gleich zwei wesentliche Eigenschaften von Normen fest, die
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unmittelbar aus der Definition folgen.
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\begin{bemerkung}[Nicht-negativität von Normen]
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In der Situation von Definition~\ref{def:norm} sei $\vec{x} ∈ V$ irgendein
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Vektor. Dann gilt
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\[
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0 = \| \vec{0} \| = \| \vec{x} - \vec{x} \| ≤ \| \vec{x} \| + \|
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-\vec{x} \| = \| \vec{x} \| + \| \vec{x} \| = 2\| \vec{x} \|.
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\]
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Also ist $\| \vec{x} \| ≥ 0$ für alle $\vec{x} ∈ V$.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}[Satz des Pythagoras]
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\index{Pythagoras!für Euklidische und unitäre Vektorräume}In der Situation von
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Definition~\ref{def:norm} gilt der Satz des Pythagoras: gegeben Vektoren
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$\vec{x}$ und $\vec{y}$ aus $V$, dann gilt
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\[
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\| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·Re\langle
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\vec{x}, \vec{y} \rangle + \| \vec{y} \|².
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\]
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\end{bemerkung}
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\subsection{Beispiele: Normen, die von Skalarprodukten kommen}
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Als erstes und wichtigstes Beispiel von Normen möchte ich zeigen, dass jedes
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Skalarprodukt auf einem Vektorraum eine Norm induziert. Also liefern die
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Skalarprodukte, die wir in Abschnitt~\ref{sec:skalar} kennen gelernt haben,
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sofort Beispiele für Normen.
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\begin{satz}[Skalarprodukt induziert Norm]\label{satz:sin}
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Wenn $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ irgendein Euklidischer oder
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unitärer Vektorraum ist, dann definiert die Abbildung
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\[
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\|•\| : V → ℝ, \quad \vec{x} ↦ \sqrt{\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle}
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\]
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eine Norm.
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\end{satz}
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Der Beweis des Satzes~\ref{satz:sin}, den wir weiter unten geben, ist eine
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ziemliche Rechnerei. Der Beweis verwendet die folgende wichtige Ungleichung,
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die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen.
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\begin{satz}[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]
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Sei V unitär oder euklidisch. Dann gilt für alle $\vec{x}, \vec{y}
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∈ V$
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\[
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|\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle| ≤ \sqrt{\langle \vec{x},
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\vec{x} \rangle} \sqrt{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle} .
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\]
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis durch unangenehme Rechnerei]
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Seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ gegeben und es sei $λ$ ein Skalar. Für
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$\vec{y} = \vec{0}$ ist die Aussage klar. Sei also $\vec{y} ≠ 0$. Dann ist
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wegen positiver Definitheit der Hermiteschen Form
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\begin{align*}
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0 ≤ \langle \vec{x} - λ·\vec{y}, \vec{x} - λ·\vec{y} \rangle &= \langle \vec{x}, \vec{x} - λ·\vec{y} \rangle - λ·\langle\vec{y},\vec{x}- λ·\vec{y}\rangle\\
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||
&= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \overline{λ}·\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle - λ· \langle \vec{y}, \vec{x}\rangle + λ \overline{λ}· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\
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||
&= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \overline{λ}·\overline{\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle} - λ·\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle + |λ|²·\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle.
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\end{align*}
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Jetzt betrachte den Spezialfall wo
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$λ= \frac{\overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y},
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\vec{y} \rangle}$ ist. Dann ergibt sich
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\begin{align*}
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&& 0 &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \frac{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}· \overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle} - \frac{\overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}· \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle + \frac{|\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|²}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle²}·\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\
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||
⇒ && 0 &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle - |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² - |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² + |\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle|²\\
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||
⇒ && |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\
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||
⇒ && |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle| &≤ \sqrt{\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle}·\sqrt{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle},
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\end{align*}
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womit der Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung beendet ist.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:sin}]
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Um zu zeigen, dass die Abbildung $\|•\| : V → ℝ$ aus
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Satz~\ref{satz:sin} tatsächlich eine Norm ist, müssen wir die drei
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Eigenschaften ``absolute Homogenität'', ``Dreiecksungleichung'' und ``positive
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Definitheit'' zeigen. Auf geht's.
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\bigskip\noindent\emph{Absolute Homogenität.} Es sei $\vec{x} ∈ V$ irgendein
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Vektor und es sei $λ$ irgendein Skalar. Dann ist
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\[
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\| λ·\vec{x} \| = \sqrt{\langle λ·\vec{x}, λ·\vec{x} \rangle} %
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= \sqrt{λ \overline{λ}· \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle} %
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= \sqrt{|λ|²·\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle} = |λ|\sqrt{\langle x, x \rangle} = |λ| ·
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\| x \| .
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\]
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Damit ist die absolute Homogenität gezeigt.
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\bigskip\noindent\emph{Dreiecksungleichung.} Es seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$
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beliebige Vektoren. Dann folgt mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
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folgendes.
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\begin{align*}
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\| \vec{x} + \vec{y} \|² &= \langle \vec{x}+\vec{y}, \vec{x}+\vec{y} \rangle\\
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&= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle + \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle + \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle + \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle\\
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||
&= \| \vec{x} \|² + \| \vec{y} \|² + \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle + \overline{\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle}\\
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&= \| \vec{x} \|² + \| \vec{y} \|² + 2 · Re \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle\\
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||
&≤ \| \vec{x} \|² + \| \vec{y} \|² + 2· \| \vec{x} \|· \| \vec{y} \|\\
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||
&= \bigl( \| \vec{x} \| + \| \vec{y} \| \bigr)².
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\end{align*}
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Wurzelziehen liefert die Dreiecksungleichung.
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\bigskip\noindent\emph{Positive Definitheit.} Die positive Definitheit folgt
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leicht wegen der positiven Definitheit des Skalarprodukts. Damit ist
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Satz~\ref{satz:sin} bewiesen.
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\end{proof}
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\subsection{Beispiele: Normen, die von Normen kommen}
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Normen auf Vektorräumen induzieren Normen auf den Dualräumen und den Hom-Räumen,
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die in der angewandten Mathematik und in der Analysis schrecklich wichtig sind.
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Ich diskutiere hier nur den einfachsten Fall und verzichte auf alle Beweise (die
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ein wenig Analysis voraussetzen).
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\begin{bsp}[Operatornorm]\label{bsp:opNorm}
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Es seien $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ und $\bigl( W, \|•\|_W\bigr)$
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zwei endlich-dimensionale, normierte, reelle Vektorräume. Dann definiert die
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Abbildung
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\[
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\|•\|_{\operatorname{op}} : \Hom_{ℝ}(V,W) → ℝ, \quad %
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f ↦ \max \{ \|f(\vec{v})\|_W \::\: \vec{v} ∈ V \text{ und }
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\|\vec{v}\|_V = 1\}
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\]
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eine äußerst wichtige Norm auf dem Raum der linearen Abbildungen, genannt
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\emph{Operatornorm}\index{Operatornorm}. Die Operatornorm wird in der
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angewandten Mathematik für Abschätzungen verwendet. Sie ist deshalb so
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nützlich, weil für jeden Vektor $\vec{v} ∈ V$ die Ungleichung
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\[
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\| f(\vec{v})\|_W ≤ \|f\|_{\operatorname{op}}·\| \vec{v}\|_V
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\]
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gilt.
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\end{bsp}
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Im besonders einfachen Fall, wo $W = ℝ$ mit der üblichen Norm ist, liefert
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Beispiel~\ref{bsp:opNorm} eine Norm auf dem Dualraum.
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\begin{bsp}[Norm auf dem Dualraum]
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Es sei $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ ein endlich-dimensionaler, normierter,
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reeller Vektorraum. Dann definiert die Abbildung
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\[
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\|•\|_{\operatorname{op}} : V^* → ℝ, \quad f ↦ \max \{ |f(\vec{v})| \::\: \vec{v} ∈ V \text{ und } \|\vec{v}\|_V = 1\}
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\]
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eine Norm auf dem Dualraum.
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\end{bsp}
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\subsection{Weitere Beispiele für Normen}
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Es gibt noch einige weitere Beispiele für Normen, die nicht offensichtlich von
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Skalarprodukten kommen. Ich nenne (wieder ohne Beweis) zwei der bekanntesten
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Beispiele.
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\begin{bsp}[Manhattan-Norm]\label{bsp:manhatNorm}
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Die Manhattan-Norm auf dem Vektorraum $ℝ^n$ ist gegeben als
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\[
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\| • \|_1 : ℝ^n → ℝ, \quad
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\begin{pmatrix}
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x_1 \\ \vdots \\ x_n
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\end{pmatrix}
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↦ \sum_{i=1}^{n} |x_i| .
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\]
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Maximumsnorm für stetige Funktionen]
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Sei $V = \cC⁰([0,1], ℝ)$ der reelle Vektorraum der stetigen, reell-wertigen
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Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1]$, dann definiere die
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\emph{Maximumsnorm}\index{Maximumsnorm!für stetige Funktionen} wie folgt
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\[
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\| • \|_{∞} : V → ℝ, \quad f ↦ \max\{|f(x)| : 0≤x≤1\} .
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||
\]
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Einschränkungen von Normen]
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Es sei $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ ein normierter Vektorraum und $U ⊆ V$
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sei ein Untervektorraum. Dann ist die Einschränkung $\|•\|_V|_W$ eine Norma
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auf $W$.
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\end{bsp}
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\section{Metriken}
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\sideremark{Vorlesung 11}Genau wie in Abschnitt~\ref{sec:end} können wir mit
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Hilfe einer Norm einen Begriff von ``Abstand'' oder ``Metrik'' definieren. Der
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Begriff ``Metrik'' ist aber viel allgemeiner und hat nichts mit Vektorräumen zu
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tun; wir definieren Metriken ganz allgemein auf beliebigen Mengen.
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\begin{defn}[Metrik]
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Sei $M$ eine Menge. Eine Metrik\index{Metrik} auf $M$ ist eine Abbildung
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$d: M ⨯ M → ℝ$, so dass Folgendes gilt.
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\begin{description}
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\item[Symmetrie] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,y) = d(y,x)$.
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\item[Dreiecksungleichung] Für alle $x, y, z ∈ M$ gilt: $d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)$
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\item[Positive Definitheit] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,x) ≥ 0$. Zusätzlich
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gilt: $d(x,y) = 0 ⇔ x = y$.
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\end{description}
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\end{defn}
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\begin{bsp}[Metriken, die von Normen kommen]
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Wenn ich auf einem reellen oder komplexen Vektorraum $V$ eine Norm habe, dann
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kann ich eine Metrik definieren durch
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\[
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||
d(\vec{x},\vec{y}) := \| \vec{x} - \vec{y} \| .
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||
\]
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||
Diese Metrik heißt \emph{von der Norm induziert}\index{Metrik!von Norm
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induziert}. Alle Beispiele von Normen liefern also automatisch sofort auch
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Beispiele für Metriken. Die Metrik, die man aus Beispiel~\ref{bsp:manhatNorm}
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erhält, heißt
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\emph{Manhattan-Metrik}\index{Manhattan-Metrik}\index{Metrik!Manhattan}; siehe
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auch \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Manhattan-Metrik}{hier}.
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\end{bsp}
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Es ist aber nicht richtig, dass jede Metrik von einer Norm induziert
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wird. Schauen Sie sich das folgende Beispiel an.
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\begin{bsp}[Diskrete Metrik]
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Es sei $M$ eine Menge, zum Beispiel $M = ℝ^n$. Dann definiere eine Metrik
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durch
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\[
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||
d: M ⨯ M → ℝ ,\quad (x,y) ↦
|
||
\left\{
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||
\begin{matrix}
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||
0 & \text{falls $x=y$} \\1 & \text{sonst}
|
||
\end{matrix}
|
||
\right.
|
||
\]
|
||
Diese Metrik ist echt doof und heißt \emph{diskrete Metrik}\index{diskrete
|
||
Metrik}\index{Metrik!diskrete}.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{bsp}[Einschränkungen von Metriken]
|
||
Sei $M$ eine Menge und $d: M ⨯ M → ℝ$ sei eine Metrik. Wenn $N ⊆ M$
|
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irgendeine Teilmenge ist, dann ist die Einschränkung $d|_{N⨯ N}$ eine
|
||
Metrik auf $N$.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
% !TEX root = LineareAlgebra2
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