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bd2fd06b37
@ -56,7 +56,7 @@ und „Eigenraum“.
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gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
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\end{defn}
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Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist. In
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Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist. In
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der Vorlesung hatten wir ein Verfahren betrachtet, um die Eigenwerte
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auszurechnen: Die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des
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charakteristischen Polynoms
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@ -138,7 +138,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an.
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\begin{defn}[Nilpotente Endomorphismen]\label{def:NEnd}%
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und
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es sei $f ∈ \End(V)$. Nenne den Endomorphismus $f$
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es sei $f ∈ \End(V)$. Nenne den Endomorphismus $f$
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\emph{nilpotent}\index{nilpotent!Endomorphismus}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$
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existiert, sodass $f^m = f ◦ ⋯ ◦ f$ die Nullabbildung ist. Die kleinste
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solche Zahl $m$ heißt \emph{Nilpotenzindex von
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@ -258,8 +258,83 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{2-2} beweist ein vorbereitendes Lemma. \sideremark{Vorlesung 3}Der
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Beweis des Satzes wird dann in \video{3-1} beendet.
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Wir zerlegen den Beweis in mehrere Schritte.
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\bigskip\noindent\emph{Schritt 1 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:} Wähle
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einen Eigenvektor $\vec v_1$ von $f$ zum Eigenwert $λ$ und ergänze zu einer
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Basis $B = \{\vec v_1, \vec v_2, …, \vec v_n\}$. Dann ist die zugehörende
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Matrix von der Form
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$$
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\Mat^B_B (f) = \left(
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\begin{array}{l|l}
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λ & * \\
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\hline
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0 & A
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\end{array}\right).
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$$
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Es ist $χ_f(t) = (t-λ)·χ_A(t)$ und deshalb ist $λ$ eine $(r-1)$-fache
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Nullstelle des Polynoms $χ_A$.
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\bigskip\noindent\emph{Schritt 2 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:} Ich
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werde jetzt per Induktion nach $r$ zeigen, dass es eine Basis $B$ von $V$
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gibt, sodass die zu $f$ gehörende Matrix die folgende Form hat,
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$$
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\Mat^B_B (f) = \left(
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||||
\begin{array}{lll|l}
|
||||
λ & & * & \\
|
||||
& \ddots & & * \\
|
||||
0 & & λ \\
|
||||
\hline
|
||||
& 0 & & A
|
||||
\end{array}\right),
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$$
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dabei hat die obere Dreiecksmatrix oben links das Format $r ⨯ r$ und die
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Matrix $A$ hat $λ$ nicht als Eigenvektor.
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\begin{description}
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\item[Induktionsstart] Im Fall $r = 1$ erfüllt die in Schritt 1 gefundene
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Basis bereits alle Bedingungen.
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\item[Induktionsschritt] Sei jetzt $r > 1$ und sei die Behauptung für alle
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Endomorphismen und Eigenwerte mit algebraischer Multiplizität kleiner $r$
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bereits bewiesen. Betrachte wieder die Basis $B$ aus Schritt 1, die diesmal
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aber vielleicht noch nicht die gesuchten Eigenschaften hat. Betrachte auch
|
||||
den Untervektorraum
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$$
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||||
W := \langle \vec v_2, …, \vec v_n \rangle ⊂ V.
|
||||
$$
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||||
Die Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen liefert eine
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Endomorphismus $g ∈ \End(W)$, der bezüglich der Basis $B_W := \vec v_2, …,
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\vec v_n ∈ W$ die Matrix $A$ hat. Per Induktionsannahme gibt es aber auch
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eine Basis $B'_W := \vec v'_2, …, \vec v'_n ∈ W$, sodass
|
||||
$$
|
||||
\Mat^{B'_W}_{B'_W} (g) = \left(
|
||||
\begin{array}{lll|l}
|
||||
λ & & * & \\
|
||||
& \ddots & & * \\
|
||||
0 & & λ \\
|
||||
\hline
|
||||
& 0 & & A'
|
||||
\end{array}\right),
|
||||
$$
|
||||
dabei hat die obere Dreiecksmatrix oben links das Format $(r-1) ⨯ (r-1)$ und
|
||||
die Matrix $A'$ hat $λ$ nicht als Eigenvektor. Man rechne jetzt nach, dass
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||||
$B' = \vec v_1, \vec v'_2, …, \vec v'_n ∈ V$ eine Basis von $V$ ist und dass
|
||||
$$
|
||||
\Mat^{B'}_{B'} (f) = \left(
|
||||
\begin{array}{l|l}
|
||||
λ & * \\
|
||||
\hline
|
||||
0 & \Mat^{B'_W}_{B'_W} (g)
|
||||
\end{array}\right)
|
||||
$$
|
||||
ist. Damit hat $\Mat^{B'}_{B'} (f)$ die gesuchte Form.
|
||||
\end{description}
|
||||
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||||
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||||
\bigskip\noindent\emph{Schritt 3 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:}
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||||
\sideremark{Vorlesung 3}Der Beweis des Satzes wird in \video{3-1} beendet.
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{kor}\label{kor:2-2-11}%
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||||
@ -385,7 +460,7 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
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||||
In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$. Dann gilt
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||||
Folgendes.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$
|
||||
\item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass $\vec{v} ∈ V^p ⇔
|
||||
f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$.
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||||
@ -409,7 +484,7 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
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||||
\begin{proof}[Beweis von Proposition~\ref{prop:2-3-4}]
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||||
\video{3-4}. Als Übung sollten Sie versuchen, die Abbildung $\overline{f}$
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||||
auf Repräsentantenniveau zu definieren. Was müssen Sie genau zeigen, um
|
||||
Wohldefiniertheit zu erhalten. Wussten Sie schon, dass ich solche Fragen gern
|
||||
Wohldefiniertheit zu erhalten? Wussten Sie schon, dass ich solche Fragen gern
|
||||
in Klausur und mündlichen Prüfungen stelle?
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||||
\end{proof}
|
||||
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||||
@ -463,7 +538,7 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
|
||||
\begin{bemerkung}
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||||
In der Situation von Definition~\ref{def:dualePart}, überlegen Sie sich, dass
|
||||
$P^*$ wieder eine Partition von $n$ ist. Überlegen Sie sich auch, dass für
|
||||
jede Partition $P$ die Gleichheit $(P^*)^* = P$ gilt. Abbildung~\ref{fig:part}
|
||||
jede Partition $P$ die Gleichheit $(P^*)^* = P$ gilt. Abbildung~\ref{fig:part}
|
||||
kann ihnen dabei helfen.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
@ -534,7 +609,7 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
|
||||
|
||||
\paragraph{Schritt 1.2, Induktionsschritt, Konstruktion der $p$.ten Spalte}
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||||
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||||
Sei ein Index $p$ gegeben und sei die $(p+1)$.te Spalte schon konstruiert. Die
|
||||
Sei ein Index $p$ gegeben und sei die $(p+1)$.te Spalte schon konstruiert. Die
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||||
Vektoren aus der $(p+1)$.ten Spalte bezeichnen wir provisorisch mit $\vec w_1,
|
||||
…, \vec w_a$. Beachte, dass die Abbildung
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||||
\[
|
||||
|
||||
@ -335,7 +335,7 @@ einem reellen Vektorraum einen komplexen Vektorraum macht.
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||||
und die \emph{kanonische Inklusion}\index{kanonische Inklusion eines
|
||||
Vektorraum in seine Komplexifizierung}
|
||||
\[
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||||
ι : V → V^{\bC}, \quad \vec{v} ↦ \bigl(\vec{v}, \vec{0}\bigr).
|
||||
ι : V → V^{ℂ}, \quad \vec{v} ↦ \bigl(\vec{v}, \vec{0}\bigr).
|
||||
\]
|
||||
Mit Hilfe der injektiven Abbildung $ι$ fassen wir den Vektorraum $V$ als
|
||||
Teilmenge von $V^{ℂ}$ auf; gegeben $\vec{v} ∈ V$ nennen wir $ι(\vec{v})$
|
||||
|
||||
@ -147,9 +147,9 @@ Matrix positive definit ist.
|
||||
\[
|
||||
A =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
a_{11} & \ldots & a_{n1} \\
|
||||
a_{11} & … & a_{n1} \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & \ldots & a_{nn}
|
||||
a_{n1} & … & a_{nn}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
∈ \Mat(n⨯ n, k)
|
||||
\]
|
||||
@ -158,9 +158,9 @@ Matrix positive definit ist.
|
||||
\[
|
||||
A_m :=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
a_{11} & \ldots & a_{m1} \\
|
||||
a_{11} & … & a_{m1} \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
a_{m1} & \ldots & a_{mm}
|
||||
a_{m1} & … & a_{mm}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
∈ \Mat(m⨯ m, k).
|
||||
\]
|
||||
|
||||
@ -102,11 +102,11 @@ Wir betrachten die folgende, symmetrische $n⨯n$-Matrix
|
||||
\[
|
||||
A =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
f_{11} & \frac{1}{2}·f_{12} & & \cdots & \frac{1}{2}·f_{1n} \\
|
||||
f_{11} & \frac{1}{2}·f_{12} & & ⋯ & \frac{1}{2}·f_{1n} \\
|
||||
\frac{1}{2}·f_{12} & f_{22} & \ddots & & \vdots \\
|
||||
\vdots & \ddots & \ddots \\
|
||||
& & & f_{n-1,n-1} & \frac{1}{2}·f_{n-1,n} \\
|
||||
\frac{1}{2}·f_{1n} & \cdots & & \frac{1}{2}·f_{n-1,n} & f_{nn}
|
||||
\frac{1}{2}·f_{1n} & ⋯ & & \frac{1}{2}·f_{n-1,n} & f_{nn}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\]
|
||||
und den Vektor
|
||||
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@ -119,7 +119,7 @@ wissen, ob sie Null sind oder nicht.
|
||||
Beweisen Sie, dass der Tensor
|
||||
$\vec{e}_1⊗\vec{e}_1 + \vec{e}_2⊗\vec{e}_2 ∈ ℝ² ⊗ ℝ²$ \emph{kein} reiner
|
||||
Tensor ist! Finden Sie unterschiedliche Vektoren $\vec{v}_1$,
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||||
$\vec{v}_2 ∈ ℝ^2$, so dass die Gleichheit
|
||||
$\vec{v}_2 ∈ ℝ²$, so dass die Gleichheit
|
||||
$\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 = \vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ gilt! Finden Sie Vektoren, so
|
||||
dass die Gleichheit nicht gilt!
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
@ -165,7 +165,7 @@ jeweils ohne Beweis die wesentlichen Punkte auf.
|
||||
\label{sec:tAlg2}
|
||||
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||||
Gegeben einen Körper $k$, einen $k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$
|
||||
und $b ∈ ℕ^+$, definieren wir wie folgt eine Abbildung
|
||||
und $b ∈ ℕ⁺$, definieren wir wie folgt eine Abbildung
|
||||
\[
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
m_{ab} : & V^{⊗ a} ⨯ V^{⊗ b} & → & V^{⊗ (a+b)} \\
|
||||
|
||||
@ -223,7 +223,7 @@ verzichte ich darauf.
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||||
|
||||
Ganz analog zur Konstruktion der Tensoralgebra in Abschnitt~\ref{sec:tAlg2}
|
||||
definieren wir die äußere Algebra. Konkret: Gegeben einen Körper $k$, einen
|
||||
$k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$ und $b ∈ ℕ^+$, definieren wir
|
||||
$k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$ und $b ∈ ℕ⁺$, definieren wir
|
||||
wie folgt eine Abbildung
|
||||
\[
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
@ -450,11 +450,11 @@ ist. Mit Hilfe des Dachproduktes können wir alle $a_i$ verstehen!
|
||||
\[
|
||||
B = (b_{ij}) =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
a_{11}-t & a_{12} & \cdots & & a_{n1} \\
|
||||
a_{11}-t & a_{12} & ⋯ & & a_{n1} \\
|
||||
a_{21} & \ddots & \ddots & & \vdots \\
|
||||
\vdots & \ddots \\
|
||||
& & & & a_{(n-1)n}\\
|
||||
a_{n1} & \cdots & & a_{n(n-1)} & a_{nn}-t
|
||||
a_{n1} & ⋯ & & a_{n(n-1)} & a_{nn}-t
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\]
|
||||
Das charakteristische Polynom ist dann die Determinante von $B$, also
|
||||
|
||||
94
18-dehn.tex
94
18-dehn.tex
@ -6,7 +6,7 @@
|
||||
\marginpar{Vorlesung 24}Auf dem zweiten internationalen Mathematikerkongress im
|
||||
August 1900 in Paris hielt David
|
||||
Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
|
||||
Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in Göttingen)
|
||||
Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in Göttingen)
|
||||
war ein deutscher Mathematiker.} einen Vortrag, in dem er eine thematisch
|
||||
breit gefächerte \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertsche_Probleme}{Liste
|
||||
von 23 ungelösten mathematischen Problemen} präsentierte. Obwohl sein Vortrag
|
||||
@ -21,9 +21,9 @@ In
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertsche_Probleme#Hilberts_drittes_Problem}{Hilbert's
|
||||
drittem Problem} geht es um folgende Frage: gegeben sind zwei
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder}{Polyeder} $P_1$ und $P_2$ im Raum
|
||||
$\bR^3$. Ich möchte den ersten Polyeder $P_1$ durch gerade Schnitte in ein
|
||||
$ℝ³$. Ich möchte den ersten Polyeder $P_1$ durch gerade Schnitte in ein
|
||||
Puzzle zerlegen, aus dem sich der zweite Polyeder $P_2$ zusammensetzen lässt.
|
||||
Kann ich entscheiden, ob das möglich ist? In Schlausprech frage ich, ob die
|
||||
Kann ich entscheiden, ob das möglich ist? In Schlausprech frage ich, ob die
|
||||
Polyeder $P_1$ und $P_2$ \emph{zerlegungsgleich}\index{Zerlegungsgleichheit}
|
||||
sind.
|
||||
|
||||
@ -40,7 +40,7 @@ werden hier nur eine Teilantwort diskutieren. Eines ist von vornherein klar.
|
||||
ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge $\Pi$ aller Polyeder. Die
|
||||
Volumenfunktion
|
||||
\[
|
||||
\operatorname{vol} : \Pi \to \bR^{\geq 0}
|
||||
\operatorname{vol} : \Pi → ℝ^{≥ 0}
|
||||
\]
|
||||
ist auf den Äquivalenzklassen konstant. Man sagt, das Volumen ist eine
|
||||
\emph{Invariante}\index{Invariante}.
|
||||
@ -61,16 +61,16 @@ mit gleichem Volumen gibt, die aber nicht zerlegungsgleich sind. Die Invariante
|
||||
``Volumen'' ist also nicht fein genug um Hilbert's Frage vollständig zu
|
||||
beantworten. Aus diesem Grund konstruierte Max
|
||||
Dehn\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Max_Dehn}{Max Wilhelm Dehn} (*
|
||||
13. November 1878 in Hamburg; † 27. Juni 1952 in Black Mountain, North
|
||||
13. November 1878 in Hamburg; † 27. Juni 1952 in Black Mountain, North
|
||||
Carolina) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker. Er studierte unter
|
||||
Anderem an der \href{http://www.uni-freiburg.de}{Albert-Ludwigs-Universität
|
||||
Freiburg}.} eine weitere, sehr interessante Invariante, die nicht so
|
||||
offensichtlich ist, wie das Volumen. Die
|
||||
\emph{Dehn-Invariante}\index{Dehn-Invariante} ist eine Abbildung
|
||||
\[
|
||||
\operatorname{dehn} : \Pi \to V,
|
||||
\operatorname{dehn} : \Pi → V,
|
||||
\]
|
||||
wobei $V$ ein $\bQ$-Vektorraum ist, den wir gleich konstruieren werden. Die
|
||||
wobei $V$ ein $ℚ$-Vektorraum ist, den wir gleich konstruieren werden. Die
|
||||
Invarianteneigenschaft folgt daraus, dass die Dehn-Invariante \emph{additiv}
|
||||
ist. Mit anderen Worten: wenn ein Polyeder $P$ auf beliebige Art in zwei
|
||||
Teilpolyeder zerlegt wird, $P = P_1 ∪ P_2$, dann gilt stets die folgende
|
||||
@ -84,13 +84,13 @@ Gleichung,
|
||||
|
||||
Um den Vektorraum $V$ zu konstruieren, betrachte $ℝ$ zuerst als Vektorraum über
|
||||
$ℚ$. Elemente sind zum Beispiel die Zahlen $1$, $\sqrt{2}$ oder die Kreiszahl
|
||||
$π$. Dieser Vektorraum ist natürlich unendlich-dimensional.
|
||||
$π$. Dieser Vektorraum ist natürlich unendlich-dimensional.
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Um mit dem $\bQ$-Vektorraum $\bR$ warm zu werden, fragen wir: ist die Menge
|
||||
$\{ 1, \sqrt{2}\}$ $\bQ$-linear unabhängig? Die Antwort ist ``Nein!'' Denn
|
||||
Um mit dem $ℚ$-Vektorraum $ℝ$ warm zu werden, fragen wir: ist die Menge
|
||||
$\{ 1, \sqrt{2}\}$ $ℚ$-linear unabhängig? Die Antwort ist ``Nein!'' Denn
|
||||
falls es zwischen den Zahlen $1$ und $\sqrt{2}$ eine nicht-triviale
|
||||
$\bQ$-lineare Relation gäbe,
|
||||
$ℚ$-lineare Relation gäbe,
|
||||
\[
|
||||
p · 1 + q · \sqrt{2} = 0,
|
||||
\]
|
||||
@ -98,8 +98,8 @@ $π$. Dieser Vektorraum ist natürlich unendlich-dimensional.
|
||||
aber schon, dass $\sqrt{2}$ irrational ist.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
Um jetzt den $\bQ$-Vektorraum $V$ zu konstruieren, betrachte den von der Zahl
|
||||
$π$ erzeugten $\bQ$-Untervektorraum $\langle π \rangle \subset ℝ$. Weiter
|
||||
Um jetzt den $ℚ$-Vektorraum $V$ zu konstruieren, betrachte den von der Zahl
|
||||
$π$ erzeugten $ℚ$-Untervektorraum $\langle π \rangle ⊂ ℝ$. Weiter
|
||||
betrachten wir den Quotientenvektorraum $\factor{ℝ}{\langle π \rangle}$. Der
|
||||
Vektorraum $V$ von Max Dehn ist dann gleich dem Tensorprodukt,
|
||||
\[
|
||||
@ -110,23 +110,23 @@ Dies ist ein Tensorprodukt von $ℚ$-Vektorräumen, also selbst ein $ℚ$-Vektor
|
||||
|
||||
\subsection{Konstruktion der Invariante}
|
||||
|
||||
Als nächstes müssen wir die Abbildung $\operatorname{dehn} : \Pi \to V$
|
||||
konstruieren; wir müssen also jedem Polyeder $P \subset \bR^3$ ein Element des
|
||||
Vektorraumes $V$ zuordnen. Sei also ein Polyeder $P$ gegeben. Wir bezeichnen
|
||||
Als nächstes müssen wir die Abbildung $\operatorname{dehn} : \Pi → V$
|
||||
konstruieren; wir müssen also jedem Polyeder $P ⊂ ℝ³$ ein Element des
|
||||
Vektorraumes $V$ zuordnen. Sei also ein Polyeder $P$ gegeben. Wir bezeichnen
|
||||
die Kanten des Polyeders $P$ mit $E_1, …, E_n$ und die Längen der Kanten mit
|
||||
$\ell(E_1)$, …, $\ell(E_n)$; dies sind positive reelle Zahlen. An jeder Kante
|
||||
$ℓ(E_1)$, …, $ℓ(E_n)$; dies sind positive reelle Zahlen. An jeder Kante
|
||||
kommen zwei Flächen zusammen, wir bezeichnen den Winkel zwischen den Flächen mit
|
||||
$α(E_1)$, …, $α(E_n)$; dabei verwenden wir wie in der Mathematik üblich das
|
||||
Bogenmaß. Nach diesen Vorbereitung definieren wir das die Dehn-Invariante von
|
||||
$P$ schließlich als
|
||||
\[
|
||||
\operatorname{dehn}(P) := \sum_{k=1}^{n} \ell(E_k) ⊗ α (E_k).
|
||||
\operatorname{dehn}(P) := \sum_{k=1}^{n} ℓ(E_k) ⊗ α (E_k).
|
||||
\]
|
||||
Wir werden gleich zeigen, dass dies tatsächlich eine Invariante
|
||||
definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
|
||||
definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
|
||||
Kongruente Polyeder haben dieselbe Dehn-Invariante. \qed
|
||||
Kongruente Polyeder haben dieselbe Dehn-Invariante. \qed
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
% PRISMA
|
||||
@ -150,11 +150,11 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
|
||||
\foreach \i/\j in {B/C}
|
||||
\path[flaeche](\i1)--(\i2)--(\j2)--(\j1)--cycle;
|
||||
% sichtbare Kanten zeichnen
|
||||
\path[draw, thick](C2) -- node[above]{$\ell$} (C1) -- (A1) --
|
||||
node[above]{$\ell$} (A2) -- node[left]{$\ell_1$} cycle;
|
||||
\path[draw, thick](C2) -- node[right]{$\ell_2$} (B2) -- node[below, right=.5mm]{$\ell_3$} (A2);
|
||||
\path[draw, thick](C2) -- node[above]{$ℓ$} (C1) -- (A1) --
|
||||
node[above]{$ℓ$} (A2) -- node[left]{$ℓ_1$} cycle;
|
||||
\path[draw, thick](C2) -- node[right]{$ℓ_2$} (B2) -- node[below, right=.5mm]{$ℓ_3$} (A2);
|
||||
% verdeckte Kanten zeichnen
|
||||
\path[draw,dashed](A1) -- (B1) -- node[above]{$\ell$} (B2) (B1) -- (C1);
|
||||
\path[draw,dashed](A1) -- (B1) -- node[above]{$ℓ$} (B2) (B1) -- (C1);
|
||||
% Winkel zeichnen (im Uhrzeigersinn = Innenwinkel; Werte anpassen, damit es gut aussieht...)
|
||||
\pic ["$γ$", draw, angle radius=.4cm, angle eccentricity =
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||||
0.55]{angle=C2--B2--A2};
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||||
@ -169,9 +169,9 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
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||||
\begin{bsp}[Dehn-Invariante eines Prismas]
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||||
Es sei $P$ das in Abbildung~\ref{fig:prisma} gezeigte Prisma. Dann berechnet sich die Dehn-Invariante als
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||||
\begin{align*}
|
||||
\operatorname{dehn}(P) &= \ell_1 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_2 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_3 ⊗ \frac{π}{2} + \ell ⊗ β + \ell ⊗ α + \ell ⊗ γ + \ell_1 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_2 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_3 ⊗ \frac{π}{2} \\
|
||||
&= \ell ⊗ (β + α + γ)\\
|
||||
&= \ell ⊗ π = 0.
|
||||
\operatorname{dehn}(P) &= ℓ_1 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_2 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_3 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ ⊗ β + ℓ ⊗ α + ℓ ⊗ γ + ℓ_1 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_2 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_3 ⊗ \frac{π}{2} \\
|
||||
&= ℓ ⊗ (β + α + γ)\\
|
||||
&= ℓ ⊗ π = 0.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
@ -204,7 +204,7 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
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||||
\path[flaeche] (\i1)--(\j1)--(S)--cycle;
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||||
|
||||
% sichtbare Kanten zeichnen
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||||
\path[draw, thick] (B1) -- (S) -- (C1) (S) -- (D1);
|
||||
\path[draw, thick] (B1) -- (S) -- (C1) (S) -- (D1);
|
||||
% verdeckte Kanten zeichnen
|
||||
\path[draw, dashed] (S) -- (A1);
|
||||
|
||||
@ -232,52 +232,52 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
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||||
\end{itemize}
|
||||
Nach Umnummerierung können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen,
|
||||
dass die Kanten $E_1$, …, $E_b$ grün und dass die Kanten $E_{b+1}$, …, $E_n$
|
||||
schwarz sind. Jetzt schaue ich mir die Kanten von $P_1$ und $P_2$ an. Dort
|
||||
schwarz sind. Jetzt schaue ich mir die Kanten von $P_1$ und $P_2$ an. Dort
|
||||
gibt es drei unterschiedliche Arten von Kanten.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Die grünen Kanten $E_1$, …, $E_b$. Nach Umnummerierung können wir ohne
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||||
Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Kanten $E_1$, …, $E_a$
|
||||
Kanten des Teilpolyeders $P_1$ und dass die Kanten $E_{a+1}$, …, $E_b$
|
||||
Kanten des Teilpolyeders $P_1$ sind. Wenn wir mit $α^1(E_1)$, …, $α^1(E_a)$
|
||||
und $α^2(E_{a+1})$, …, $α^2(E_b)$ die Winkel der Flächen der Teilpolyeder
|
||||
Kanten des Teilpolyeders $P_1$ sind. Wenn wir mit $α¹(E_1)$, …, $α¹(E_a)$
|
||||
und $α²(E_{a+1})$, …, $α²(E_b)$ die Winkel der Flächen der Teilpolyeder
|
||||
bezeichnen, dann gelten die Gleichungen
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
α(E_1) = α^1(E_1) & … & α(E_a) = α^1(E_a) \\
|
||||
α(E_{a+1}) = α^2(E_{a+1}) & … & α(E_b) = α^2(E_b)
|
||||
α(E_1) = α¹(E_1) & … & α(E_a) = α¹(E_a) \\
|
||||
α(E_{a+1}) = α²(E_{a+1}) & … & α(E_b) = α²(E_b)
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\item Teilstücke von schwarzen Kanten. Wenn wir die Teilstücke der schwarzen
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||||
Kante $E_{\bullet}$ mit $E^1_{\bullet}$ und $E^2_{\bullet}$ bezeichnen, dann
|
||||
gilt für die Längen und für die Winkel
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||||
Kante $E_{•}$ mit $E¹_{•}$ und $E²_{•}$ bezeichnen, dann
|
||||
gilt für die Längen und für die Winkel
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
\ell(E_{\bullet}) & = \ell^1(E^1_{\bullet}) + \ell^2(E^2_{\bullet}) \\
|
||||
α(E_{\bullet}) & = α^1(E^1_{\bullet}) = α^2(E^2_{\bullet})
|
||||
ℓ(E_{•}) & = ℓ¹(E¹_{•}) + ℓ²(E²_{•}) \\
|
||||
α(E_{•}) & = α¹(E¹_{•}) = α²(E²_{•})
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\item Schließlich gibt es noch Kanten, die durch das Zerlegen neu
|
||||
hinzugekommen sind. Eine solche Kante tritt immer zwei mal auf: ein mal in
|
||||
$P_1$ und ein mal in $P_2$. Wir bezeichnen diese Kanten mit $E^1_{n+1}$,
|
||||
$E^2_{n+1}$, …, $E^1_m$, $E^2_m$. Es gilt für jeden Index $i > n$
|
||||
$P_1$ und ein mal in $P_2$. Wir bezeichnen diese Kanten mit $E¹_{n+1}$,
|
||||
$E²_{n+1}$, …, $E¹_m$, $E²_m$. Es gilt für jeden Index $i > n$
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\ell^1(E^1_i) = \ell^2(E^2_i) \quad\text{und}\quad α^1(E^1_i) + α^2(E^2_i) = π
|
||||
ℓ¹(E¹_i) = ℓ²(E²_i) \quad\text{und}\quad α¹(E¹_i) + α²(E²_i) = π
|
||||
\end{equation}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Mit diesen Bezeichnungen ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\operatorname{dehn}(P_1) & = \sum_{i=1}^a \ell^1(E_i)\otimes α^1(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^1(E^1_i)\otimes α^1(E^1_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^1(E^1_i)\otimes α^1(E^1_i) \\
|
||||
& = \sum_{i=1}^a \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^1(E^1_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^1(E^1_i)\otimes α^1(E^1_i) \\
|
||||
\operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=a+1}^b \ell^2(E_i)\otimes α^2(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^2(E^2_i)\otimes α^2(E^2_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^2(E^2_i)\otimes α^2(E^2_i) \\
|
||||
& = \sum_{i=a+1}^b \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^2(E^1_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^2(E^2_i)\otimes α^2(E^2_i) \\
|
||||
\operatorname{dehn}(P_1) & = \sum_{i=1}^a ℓ¹(E_i)⊗ α¹(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ¹(E¹_i)⊗ α¹(E¹_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ¹(E¹_i)⊗ α¹(E¹_i) \\
|
||||
& = \sum_{i=1}^a ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ¹(E¹_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ¹(E¹_i)⊗ α¹(E¹_i) \\
|
||||
\operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=a+1}^b ℓ²(E_i)⊗ α²(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ²(E²_i)⊗ α²(E²_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ²(E²_i)⊗ α²(E²_i) \\
|
||||
& = \sum_{i=a+1}^b ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ²(E¹_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ²(E²_i)⊗ α²(E²_i) \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
und deshalb
|
||||
\begin{align*}
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||||
\operatorname{dehn}(P_1) + \operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=1}^b \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \underbrace{\bigl(\ell^1(E^1_i)+\ell^2(E^1_i)\bigr)}_{= \ell(E_i)} \otimes α(E_i) \\
|
||||
& \qquad\qquad + \sum_{i=n+1}^m \ell^1(E^1_i)\otimes \underbrace{\bigl(α^1(E^1_i)+α^2(E^2_i)\bigr)}_{ = π\text{, also gleich 0 in }\factor{ℝ}{\langle π \rangle}} \\
|
||||
& = \sum_{i=1}^b \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell(E_i) \otimes α(E_i) \\
|
||||
\operatorname{dehn}(P_1) + \operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=1}^b ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \underbrace{\bigl(ℓ¹(E¹_i)+ℓ²(E¹_i)\bigr)}_{= ℓ(E_i)} ⊗ α(E_i) \\
|
||||
& \qquad\qquad + \sum_{i=n+1}^m ℓ¹(E¹_i)⊗ \underbrace{\bigl(α¹(E¹_i)+α²(E²_i)\bigr)}_{ = π\text{, also gleich 0 in }\factor{ℝ}{\langle π \rangle}} \\
|
||||
& = \sum_{i=1}^b ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ(E_i) ⊗ α(E_i) \\
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||||
& = \operatorname{dehn}(P).
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||||
\end{align*}
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||||
Das macht einen einfachen Mathematiker sehr glücklich.
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@ -11,7 +11,7 @@ mitgenommen haben.
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\bigskip
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||||
Ich wünsche Ihnen weiterhin viel Erfolg in Ihrem Studium. Bleiben Sie gesund.
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Ich wünsche Ihnen weiterhin viel Erfolg in Ihrem Studium. Bleiben Sie gesund.
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\bigskip
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@ -43,7 +43,7 @@ langfristigen Auswirkungen am ehesten mit denen der
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In dieser Situation erscheint mir unsere Gesellschaft als überfordert. Sie
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wirkt unfähig oder unwillig, die unausweichlichen Änderungen aktiv zu
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gestalten. Unser Bildungssystem trägt nach meinem Eindruck wenig Positives bei;
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gestalten. Unser Bildungssystem trägt nach meinem Eindruck wenig Positives bei;
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||||
es scheint in weiten Teilen bemüht, die Änderungen der Welt so lang als möglich
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||||
zu ignorieren. Es gilt aber der alte Satz: Was ich nicht verstehe, kann ich
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nicht gestalten! Was ich nicht verstehe, macht mir Angst!
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@ -72,6 +72,6 @@ Vielleicht schauen Sie sich auch die praktischen Kurse von
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\bigskip
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Es ist sicher keine gute Idee, zu warten, bis Ihnen die Universität Freiburg
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einen mundgerechten Kurs anbietet. Legen Sie los!
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einen mundgerechten Kurs anbietet. Legen Sie los!
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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@ -123,7 +123,7 @@ korrigieren schnellstmöglich!
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||||
Es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos und anderem.
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||||
Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte. Wir fügen gerne einen
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Link in den Text ein. Vielleicht hören Sie sich auch einmal unseren
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||||
Link in den Text ein. Vielleicht hören Sie sich auch einmal unseren
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\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/kg4nYgnEiJS35Fd}{experimentellen
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||||
Podcast} an?
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294
stdPreamble.tex
294
stdPreamble.tex
@ -50,7 +50,7 @@
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% Sloppy formatting -- often looks better
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\sloppy
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% Changes the layout of descriptions and itemized lists. The indent specified in
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% Changes the layout of descriptions and itemized lists. The indent specified in
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||||
% the original amsart style is too much for my taste.
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||||
\setdescription{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent}
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\setitemize[1]{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent}
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||||
@ -59,129 +59,129 @@
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%
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% Input characters
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%
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\newunicodechar{α}{\ensuremath{\alpha}}
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\newunicodechar{β}{\ensuremath{\beta}}
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\newunicodechar{χ}{\ensuremath{\chi}}
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\newunicodechar{δ}{\ensuremath{\delta}}
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\newunicodechar{ε}{\ensuremath{\varepsilon}}
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\newunicodechar{Δ}{\ensuremath{\Delta}}
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\newunicodechar{η}{\ensuremath{\eta}}
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\newunicodechar{γ}{\ensuremath{\gamma}}
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\newunicodechar{Γ}{\ensuremath{\Gamma}}
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\newunicodechar{ι}{\ensuremath{\iota}}
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\newunicodechar{κ}{\ensuremath{\kappa}}
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\newunicodechar{λ}{\ensuremath{\lambda}}
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\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{\Lambda}}
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\newunicodechar{ν}{\ensuremath{\nu}}
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\newunicodechar{μ}{\ensuremath{\mu}}
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\newunicodechar{ω}{\ensuremath{\omega}}
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\newunicodechar{Ω}{\ensuremath{\Omega}}
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\newunicodechar{π}{\ensuremath{\pi}}
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\newunicodechar{α}{\ensuremath{α}}
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\newunicodechar{β}{\ensuremath{β}}
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\newunicodechar{χ}{\ensuremath{χ}}
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\newunicodechar{δ}{\ensuremath{δ}}
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\newunicodechar{ε}{\ensuremath{ε}}
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\newunicodechar{Δ}{\ensuremath{Δ}}
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\newunicodechar{η}{\ensuremath{η}}
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\newunicodechar{γ}{\ensuremath{γ}}
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\newunicodechar{Γ}{\ensuremath{Γ}}
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\newunicodechar{ι}{\ensuremath{ι}}
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\newunicodechar{κ}{\ensuremath{κ}}
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\newunicodechar{λ}{\ensuremath{λ}}
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\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{Λ}}
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\newunicodechar{ν}{\ensuremath{ν}}
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\newunicodechar{μ}{\ensuremath{μ}}
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\newunicodechar{ω}{\ensuremath{ω}}
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\newunicodechar{Ω}{\ensuremath{Ω}}
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\newunicodechar{π}{\ensuremath{π}}
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\newunicodechar{Π}{\ensuremath{\Pi}}
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\newunicodechar{φ}{\ensuremath{\phi}}
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\newunicodechar{Φ}{\ensuremath{\Phi}}
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\newunicodechar{ψ}{\ensuremath{\psi}}
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\newunicodechar{Ψ}{\ensuremath{\Psi}}
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\newunicodechar{ρ}{\ensuremath{\rho}}
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\newunicodechar{σ}{\ensuremath{\sigma}}
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\newunicodechar{Σ}{\ensuremath{\Sigma}}
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\newunicodechar{τ}{\ensuremath{\tau}}
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\newunicodechar{θ}{\ensuremath{\theta}}
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\newunicodechar{Θ}{\ensuremath{\Theta}}
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\newunicodechar{ξ}{\ensuremath{\xi}}
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\newunicodechar{Ξ}{\ensuremath{\Xi}}
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\newunicodechar{ζ}{\ensuremath{\zeta}}
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\newunicodechar{φ}{\ensuremath{φ}}
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\newunicodechar{Φ}{\ensuremath{Φ}}
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\newunicodechar{ψ}{\ensuremath{ψ}}
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\newunicodechar{Ψ}{\ensuremath{Ψ}}
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\newunicodechar{ρ}{\ensuremath{ρ}}
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\newunicodechar{σ}{\ensuremath{σ}}
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\newunicodechar{Σ}{\ensuremath{Σ}}
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\newunicodechar{τ}{\ensuremath{τ}}
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\newunicodechar{θ}{\ensuremath{θ}}
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\newunicodechar{Θ}{\ensuremath{Θ}}
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\newunicodechar{ξ}{\ensuremath{ξ}}
|
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\newunicodechar{Ξ}{\ensuremath{Ξ}}
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\newunicodechar{ζ}{\ensuremath{ζ}}
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||||
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\newunicodechar{ℓ}{\ensuremath{\ell}}
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||||
\newunicodechar{ℓ}{\ensuremath{ℓ}}
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\newunicodechar{ï}{\"{\i}}
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\newunicodechar{𝔸}{\ensuremath{\bA}}
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||||
\newunicodechar{𝔹}{\ensuremath{\bB}}
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\newunicodechar{ℂ}{\ensuremath{\bC}}
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||||
\newunicodechar{𝔻}{\ensuremath{\bD}}
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\newunicodechar{𝔼}{\ensuremath{\bE}}
|
||||
\newunicodechar{𝔽}{\ensuremath{\bF}}
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||||
\newunicodechar{ℕ}{\ensuremath{\bN}}
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\newunicodechar{ℙ}{\ensuremath{\bP}}
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\newunicodechar{ℚ}{\ensuremath{\bQ}}
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\newunicodechar{ℝ}{\ensuremath{\bR}}
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\newunicodechar{𝕏}{\ensuremath{\bX}}
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||||
\newunicodechar{ℤ}{\ensuremath{\bZ}}
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\newunicodechar{𝒜}{\ensuremath{\sA}}
|
||||
\newunicodechar{ℬ}{\ensuremath{\sB}}
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\newunicodechar{𝒞}{\ensuremath{\sC}}
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||||
\newunicodechar{𝒟}{\ensuremath{\sD}}
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||||
\newunicodechar{ℰ}{\ensuremath{\sE}}
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||||
\newunicodechar{ℱ}{\ensuremath{\sF}}
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||||
\newunicodechar{𝒢}{\ensuremath{\sG}}
|
||||
\newunicodechar{ℋ}{\ensuremath{\sH}}
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\newunicodechar{𝒥}{\ensuremath{\sJ}}
|
||||
\newunicodechar{ℒ}{\ensuremath{\sL}}
|
||||
\newunicodechar{𝒪}{\ensuremath{\sO}}
|
||||
\newunicodechar{𝒬}{\ensuremath{\sQ}}
|
||||
\newunicodechar{𝒯}{\ensuremath{\sT}}
|
||||
\newunicodechar{𝒲}{\ensuremath{\sW}}
|
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\newunicodechar{𝔸}{\ensuremath{𝔸}}
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||||
\newunicodechar{𝔹}{\ensuremath{𝔹}}
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||||
\newunicodechar{ℂ}{\ensuremath{ℂ}}
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\newunicodechar{𝔻}{\ensuremath{𝔻}}
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\newunicodechar{𝔼}{\ensuremath{𝔼}}
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\newunicodechar{𝔽}{\ensuremath{𝔽}}
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\newunicodechar{ℕ}{\ensuremath{ℕ}}
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\newunicodechar{ℙ}{\ensuremath{ℙ}}
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\newunicodechar{ℚ}{\ensuremath{ℚ}}
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\newunicodechar{ℝ}{\ensuremath{ℝ}}
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\newunicodechar{𝕏}{\ensuremath{𝕏}}
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\newunicodechar{ℤ}{\ensuremath{ℤ}}
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\newunicodechar{𝒜}{\ensuremath{𝒜}}
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\newunicodechar{ℬ}{\ensuremath{ℬ}}
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\newunicodechar{𝒞}{\ensuremath{𝒞}}
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\newunicodechar{𝒟}{\ensuremath{𝒟}}
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\newunicodechar{ℰ}{\ensuremath{ℰ}}
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\newunicodechar{ℱ}{\ensuremath{ℱ}}
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\newunicodechar{𝒢}{\ensuremath{𝒢}}
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\newunicodechar{ℋ}{\ensuremath{ℋ}}
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\newunicodechar{𝒥}{\ensuremath{𝒥}}
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\newunicodechar{ℒ}{\ensuremath{ℒ}}
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\newunicodechar{𝒪}{\ensuremath{𝒪}}
|
||||
\newunicodechar{𝒬}{\ensuremath{𝒬}}
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\newunicodechar{𝒯}{\ensuremath{𝒯}}
|
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\newunicodechar{𝒲}{\ensuremath{𝒲}}
|
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\newunicodechar{∂}{\ensuremath{\partial}}
|
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\newunicodechar{∇}{\ensuremath{\nabla}}
|
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\newunicodechar{∂}{\ensuremath{∂}}
|
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\newunicodechar{∇}{\ensuremath{∇}}
|
||||
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||||
\newunicodechar{↺}{\ensuremath{\circlearrowleft}}
|
||||
\newunicodechar{∞}{\ensuremath{\infty}}
|
||||
\newunicodechar{⊕}{\ensuremath{\oplus}}
|
||||
\newunicodechar{⊗}{\ensuremath{\otimes}}
|
||||
\newunicodechar{•}{\ensuremath{\bullet}}
|
||||
\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{\wedge}}
|
||||
\newunicodechar{↪}{\ensuremath{\into}}
|
||||
\newunicodechar{→}{\ensuremath{\to}}
|
||||
\newunicodechar{↦}{\ensuremath{\mapsto}}
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\newunicodechar{⨯}{\ensuremath{\times}}
|
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\newunicodechar{∪}{\ensuremath{\cup}}
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\newunicodechar{∩}{\ensuremath{\cap}}
|
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\newunicodechar{⊋}{\ensuremath{\supsetneq}}
|
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\newunicodechar{⊇}{\ensuremath{\supseteq}}
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\newunicodechar{⊃}{\ensuremath{\supset}}
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\newunicodechar{⊊}{\ensuremath{\subsetneq}}
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\newunicodechar{⊆}{\ensuremath{\subseteq}}
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\newunicodechar{⊂}{\ensuremath{\subset}}
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\newunicodechar{⊄}{\ensuremath{\not \subset}}
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\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geq}}
|
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\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
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\newunicodechar{≫}{\ensuremath{\gg}}
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\newunicodechar{≪}{\ensuremath{\ll}}
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\newunicodechar{↺}{\ensuremath{↺}}
|
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\newunicodechar{∞}{\ensuremath{∞}}
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\newunicodechar{⊕}{\ensuremath{⊕}}
|
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\newunicodechar{⊗}{\ensuremath{⊗}}
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\newunicodechar{•}{\ensuremath{•}}
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\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{Λ}}
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\newunicodechar{↪}{\ensuremath{↪}}
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\newunicodechar{→}{\ensuremath{→}}
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||||
\newunicodechar{↦}{\ensuremath{↦}}
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||||
\newunicodechar{⨯}{\ensuremath{⨯}}
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\newunicodechar{∪}{\ensuremath{∪}}
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\newunicodechar{∩}{\ensuremath{∩}}
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\newunicodechar{⊋}{\ensuremath{⊋}}
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\newunicodechar{⊇}{\ensuremath{⊇}}
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\newunicodechar{⊃}{\ensuremath{⊃}}
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\newunicodechar{⊆}{\ensuremath{⊆}}
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\newunicodechar{⊂}{\ensuremath{⊂}}
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\newunicodechar{⊄}{\ensuremath{⊄}}
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\newunicodechar{≥}{\ensuremath{≥}}
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\newunicodechar{≠}{\ensuremath{≠}}
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\newunicodechar{≪}{\ensuremath{≪}}
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\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\not ∈}}
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\newunicodechar{∖}{\ensuremath{∖}}
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\newunicodechar{◦}{\ensuremath{◦}}
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\newunicodechar{°}{\ensuremath{°}}
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\newunicodechar{…}{\ifmmode\mathellipsis\else\textellipsis\fi}
|
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\newunicodechar{·}{\ensuremath{\cdot}}
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\newunicodechar{⇒}{\ensuremath{⇒}}
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|
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\newunicodechar{±}{\ensuremath{±}}
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%
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@ -227,7 +227,7 @@
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||||
\DeclareMathOperator{\red}{red}
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\DeclareMathOperator{\reg}{reg}
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\DeclareMathOperator{\sat}{sat}
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\DeclareMathOperator{\sEnd}{\sE\negthinspace \mathit{nd}}
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|
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\DeclareMathOperator{\sing}{sing}
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\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
|
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@ -237,30 +237,30 @@
|
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\DeclareMathOperator{\Frob}{Frob}
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% Sheaves
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@ -275,32 +275,32 @@
|
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\newcommand{\cV}{\mathcal V}
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% Blackboard Bold Symbols
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\newcommand{\bA}{\mathbb{A}}
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\newcommand{ℤ}{\mathbb{Z}}
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% Sans serif symbols
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\newcommand{\aB}{{\sf B}}
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||||
@ -343,15 +343,15 @@
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\newtheorem{setting}[thm]{Setting}
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\newtheorem{warning}[thm]{Warning}
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||||
% Numbering of equations. Number equation subordniate to theorems.
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% Numbering of equations. Number equation subordniate to theorems.
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\numberwithin{equation}{thm}
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||||
% Style for enumerated lists. The following makes sure that enumerated lists are
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% Style for enumerated lists. The following makes sure that enumerated lists are
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||||
% numbered in the same way as equations are.
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||||
\setlist[enumerate]{label=(\thethm.\arabic*), before={\setcounter{enumi}{\value{equation}}}, after={\setcounter{equation}{\value{enumi}}}}
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% Shorthand notations
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\newcommand{\into}{\hookrightarrow}
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\newcommand{↪}{↪}
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||||
\newcommand{\onto}{\twoheadrightarrow}
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||||
\newcommand{\wtilde}{\widetilde}
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||||
\newcommand{\what}{\widehat}
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||||
@ -374,4 +374,4 @@
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||||
\newcommand\CounterStep{\addtocounter{thm}{1}\setcounter{equation}{0}}
|
||||
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||||
% factor - quotient groups
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||||
\newcommand{\factor}[2]{\left. \raise 2pt\hbox{$#1$} \right/\hskip -2pt\raise -2pt\hbox{$#2$}}
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\newcommand{\factor}[2]{\left. \raise 2pt\hbox{$#1$} \right/\hskip -2pt\raise -2pt\hbox{$#2$}}
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