From bd2fd06b3738abd44145f98fd98f8b68a7ddca22 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Thu, 24 Apr 2025 10:59:46 +0200 Subject: [PATCH] Add proof --- 01-Wiederholung.tex | 2 +- 02-Jordan.tex | 91 ++++++++++-- 09-Orthogonal-Unitary.tex | 2 +- 11-Hauptachsen.tex | 8 +- 12-Anwendungen.tex | 4 +- 15-tensor.tex | 2 +- 16-tensoralgebra.tex | 2 +- 17-wedge.tex | 6 +- 18-dehn.tex | 94 ++++++------ 19-ausblick.tex | 6 +- LineareAlgebra2.tex | 2 +- stdPreamble.tex | 294 +++++++++++++++++++------------------- 12 files changed, 294 insertions(+), 219 deletions(-) diff --git a/01-Wiederholung.tex b/01-Wiederholung.tex index 1eaa717..781c1a7 100644 --- a/01-Wiederholung.tex +++ b/01-Wiederholung.tex @@ -56,7 +56,7 @@ und „Eigenraum“. gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist. \end{defn} -Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist. In +Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist. In der Vorlesung hatten wir ein Verfahren betrachtet, um die Eigenwerte auszurechnen: Die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms diff --git a/02-Jordan.tex b/02-Jordan.tex index 558332e..c536218 100644 --- a/02-Jordan.tex +++ b/02-Jordan.tex @@ -138,7 +138,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an. \begin{defn}[Nilpotente Endomorphismen]\label{def:NEnd}% Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und - es sei $f ∈ \End(V)$. Nenne den Endomorphismus $f$ + es sei $f ∈ \End(V)$. Nenne den Endomorphismus $f$ \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Endomorphismus}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$ existiert, sodass $f^m = f ◦ ⋯ ◦ f$ die Nullabbildung ist. Die kleinste solche Zahl $m$ heißt \emph{Nilpotenzindex von @@ -258,8 +258,83 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} - \video{2-2} beweist ein vorbereitendes Lemma. \sideremark{Vorlesung 3}Der - Beweis des Satzes wird dann in \video{3-1} beendet. + Wir zerlegen den Beweis in mehrere Schritte. + + \bigskip\noindent\emph{Schritt 1 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:} Wähle + einen Eigenvektor $\vec v_1$ von $f$ zum Eigenwert $λ$ und ergänze zu einer + Basis $B = \{\vec v_1, \vec v_2, …, \vec v_n\}$. Dann ist die zugehörende + Matrix von der Form + $$ + \Mat^B_B (f) = \left( + \begin{array}{l|l} + λ & * \\ + \hline + 0 & A + \end{array}\right). + $$ + Es ist $χ_f(t) = (t-λ)·χ_A(t)$ und deshalb ist $λ$ eine $(r-1)$-fache + Nullstelle des Polynoms $χ_A$. + + + \bigskip\noindent\emph{Schritt 2 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:} Ich + werde jetzt per Induktion nach $r$ zeigen, dass es eine Basis $B$ von $V$ + gibt, sodass die zu $f$ gehörende Matrix die folgende Form hat, + $$ + \Mat^B_B (f) = \left( + \begin{array}{lll|l} + λ & & * & \\ + & \ddots & & * \\ + 0 & & λ \\ + \hline + & 0 & & A + \end{array}\right), + $$ + dabei hat die obere Dreiecksmatrix oben links das Format $r ⨯ r$ und die + Matrix $A$ hat $λ$ nicht als Eigenvektor. + + \begin{description} + \item[Induktionsstart] Im Fall $r = 1$ erfüllt die in Schritt 1 gefundene + Basis bereits alle Bedingungen. + + \item[Induktionsschritt] Sei jetzt $r > 1$ und sei die Behauptung für alle + Endomorphismen und Eigenwerte mit algebraischer Multiplizität kleiner $r$ + bereits bewiesen. Betrachte wieder die Basis $B$ aus Schritt 1, die diesmal + aber vielleicht noch nicht die gesuchten Eigenschaften hat. Betrachte auch + den Untervektorraum + $$ + W := \langle \vec v_2, …, \vec v_n \rangle ⊂ V. + $$ + Die Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen liefert eine + Endomorphismus $g ∈ \End(W)$, der bezüglich der Basis $B_W := \vec v_2, …, + \vec v_n ∈ W$ die Matrix $A$ hat. Per Induktionsannahme gibt es aber auch + eine Basis $B'_W := \vec v'_2, …, \vec v'_n ∈ W$, sodass + $$ + \Mat^{B'_W}_{B'_W} (g) = \left( + \begin{array}{lll|l} + λ & & * & \\ + & \ddots & & * \\ + 0 & & λ \\ + \hline + & 0 & & A' + \end{array}\right), + $$ + dabei hat die obere Dreiecksmatrix oben links das Format $(r-1) ⨯ (r-1)$ und + die Matrix $A'$ hat $λ$ nicht als Eigenvektor. Man rechne jetzt nach, dass + $B' = \vec v_1, \vec v'_2, …, \vec v'_n ∈ V$ eine Basis von $V$ ist und dass + $$ + \Mat^{B'}_{B'} (f) = \left( + \begin{array}{l|l} + λ & * \\ + \hline + 0 & \Mat^{B'_W}_{B'_W} (g) + \end{array}\right) + $$ + ist. Damit hat $\Mat^{B'}_{B'} (f)$ die gesuchte Form. + \end{description} + + + \bigskip\noindent\emph{Schritt 3 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:} + \sideremark{Vorlesung 3}Der Beweis des Satzes wird in \video{3-1} beendet. \end{proof} \begin{kor}\label{kor:2-2-11}% @@ -385,7 +460,7 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist. In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$. Dann gilt Folgendes. \begin{enumerate} - \item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$ + \item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$. \item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass $\vec{v} ∈ V^p ⇔ f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$. @@ -409,7 +484,7 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist. \begin{proof}[Beweis von Proposition~\ref{prop:2-3-4}] \video{3-4}. Als Übung sollten Sie versuchen, die Abbildung $\overline{f}$ auf Repräsentantenniveau zu definieren. Was müssen Sie genau zeigen, um - Wohldefiniertheit zu erhalten. Wussten Sie schon, dass ich solche Fragen gern + Wohldefiniertheit zu erhalten? Wussten Sie schon, dass ich solche Fragen gern in Klausur und mündlichen Prüfungen stelle? \end{proof} @@ -463,7 +538,7 @@ zur „dualen Partition“ übergehen. \begin{bemerkung} In der Situation von Definition~\ref{def:dualePart}, überlegen Sie sich, dass $P^*$ wieder eine Partition von $n$ ist. Überlegen Sie sich auch, dass für - jede Partition $P$ die Gleichheit $(P^*)^* = P$ gilt. Abbildung~\ref{fig:part} + jede Partition $P$ die Gleichheit $(P^*)^* = P$ gilt. Abbildung~\ref{fig:part} kann ihnen dabei helfen. \end{bemerkung} @@ -534,7 +609,7 @@ zur „dualen Partition“ übergehen. \paragraph{Schritt 1.2, Induktionsschritt, Konstruktion der $p$.ten Spalte} - Sei ein Index $p$ gegeben und sei die $(p+1)$.te Spalte schon konstruiert. Die + Sei ein Index $p$ gegeben und sei die $(p+1)$.te Spalte schon konstruiert. Die Vektoren aus der $(p+1)$.ten Spalte bezeichnen wir provisorisch mit $\vec w_1, …, \vec w_a$. Beachte, dass die Abbildung \[ @@ -734,7 +809,7 @@ bleibt noch die Aufgabe, eine Jordanbasis konkret anzugeben. hat. \end{enumerate} -Wie wir oben gesehen haben, ist +Wie wir oben gesehen haben, ist $$ \mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …, \vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …, \vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …, \vec{w}_{k,r_k} \} $$ diff --git a/09-Orthogonal-Unitary.tex b/09-Orthogonal-Unitary.tex index 34afba7..9869eb9 100644 --- a/09-Orthogonal-Unitary.tex +++ b/09-Orthogonal-Unitary.tex @@ -335,7 +335,7 @@ einem reellen Vektorraum einen komplexen Vektorraum macht. und die \emph{kanonische Inklusion}\index{kanonische Inklusion eines Vektorraum in seine Komplexifizierung} \[ - ι : V → V^{\bC}, \quad \vec{v} ↦ \bigl(\vec{v}, \vec{0}\bigr). + ι : V → V^{ℂ}, \quad \vec{v} ↦ \bigl(\vec{v}, \vec{0}\bigr). \] Mit Hilfe der injektiven Abbildung $ι$ fassen wir den Vektorraum $V$ als Teilmenge von $V^{ℂ}$ auf; gegeben $\vec{v} ∈ V$ nennen wir $ι(\vec{v})$ diff --git a/11-Hauptachsen.tex b/11-Hauptachsen.tex index 35807ad..e420d3c 100644 --- a/11-Hauptachsen.tex +++ b/11-Hauptachsen.tex @@ -147,9 +147,9 @@ Matrix positive definit ist. \[ A = \begin{pmatrix} - a_{11} & \ldots & a_{n1} \\ + a_{11} & … & a_{n1} \\ \vdots & & \vdots \\ - a_{n1} & \ldots & a_{nn} + a_{n1} & … & a_{nn} \end{pmatrix} ∈ \Mat(n⨯ n, k) \] @@ -158,9 +158,9 @@ Matrix positive definit ist. \[ A_m := \begin{pmatrix} - a_{11} & \ldots & a_{m1} \\ + a_{11} & … & a_{m1} \\ \vdots & & \vdots \\ - a_{m1} & \ldots & a_{mm} + a_{m1} & … & a_{mm} \end{pmatrix} ∈ \Mat(m⨯ m, k). \] diff --git a/12-Anwendungen.tex b/12-Anwendungen.tex index fc5aa3b..15b0e9c 100644 --- a/12-Anwendungen.tex +++ b/12-Anwendungen.tex @@ -102,11 +102,11 @@ Wir betrachten die folgende, symmetrische $n⨯n$-Matrix \[ A = \begin{pmatrix} - f_{11} & \frac{1}{2}·f_{12} & & \cdots & \frac{1}{2}·f_{1n} \\ + f_{11} & \frac{1}{2}·f_{12} & & ⋯ & \frac{1}{2}·f_{1n} \\ \frac{1}{2}·f_{12} & f_{22} & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots \\ & & & f_{n-1,n-1} & \frac{1}{2}·f_{n-1,n} \\ - \frac{1}{2}·f_{1n} & \cdots & & \frac{1}{2}·f_{n-1,n} & f_{nn} + \frac{1}{2}·f_{1n} & ⋯ & & \frac{1}{2}·f_{n-1,n} & f_{nn} \end{pmatrix} \] und den Vektor diff --git a/15-tensor.tex b/15-tensor.tex index 225cb80..5375f1d 100644 --- a/15-tensor.tex +++ b/15-tensor.tex @@ -119,7 +119,7 @@ wissen, ob sie Null sind oder nicht. Beweisen Sie, dass der Tensor $\vec{e}_1⊗\vec{e}_1 + \vec{e}_2⊗\vec{e}_2 ∈ ℝ² ⊗ ℝ²$ \emph{kein} reiner Tensor ist! Finden Sie unterschiedliche Vektoren $\vec{v}_1$, - $\vec{v}_2 ∈ ℝ^2$, so dass die Gleichheit + $\vec{v}_2 ∈ ℝ²$, so dass die Gleichheit $\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 = \vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ gilt! Finden Sie Vektoren, so dass die Gleichheit nicht gilt! \end{aufgabe} diff --git a/16-tensoralgebra.tex b/16-tensoralgebra.tex index c06a3df..3e2a65c 100644 --- a/16-tensoralgebra.tex +++ b/16-tensoralgebra.tex @@ -165,7 +165,7 @@ jeweils ohne Beweis die wesentlichen Punkte auf. \label{sec:tAlg2} Gegeben einen Körper $k$, einen $k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$ -und $b ∈ ℕ^+$, definieren wir wie folgt eine Abbildung +und $b ∈ ℕ⁺$, definieren wir wie folgt eine Abbildung \[ \begin{matrix} m_{ab} : & V^{⊗ a} ⨯ V^{⊗ b} & → & V^{⊗ (a+b)} \\ diff --git a/17-wedge.tex b/17-wedge.tex index 30c27dc..1cc212e 100644 --- a/17-wedge.tex +++ b/17-wedge.tex @@ -223,7 +223,7 @@ verzichte ich darauf. Ganz analog zur Konstruktion der Tensoralgebra in Abschnitt~\ref{sec:tAlg2} definieren wir die äußere Algebra. Konkret: Gegeben einen Körper $k$, einen -$k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$ und $b ∈ ℕ^+$, definieren wir +$k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$ und $b ∈ ℕ⁺$, definieren wir wie folgt eine Abbildung \[ \begin{matrix} @@ -450,11 +450,11 @@ ist. Mit Hilfe des Dachproduktes können wir alle $a_i$ verstehen! \[ B = (b_{ij}) = \begin{pmatrix} - a_{11}-t & a_{12} & \cdots & & a_{n1} \\ + a_{11}-t & a_{12} & ⋯ & & a_{n1} \\ a_{21} & \ddots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \ddots \\ & & & & a_{(n-1)n}\\ - a_{n1} & \cdots & & a_{n(n-1)} & a_{nn}-t + a_{n1} & ⋯ & & a_{n(n-1)} & a_{nn}-t \end{pmatrix} \] Das charakteristische Polynom ist dann die Determinante von $B$, also diff --git a/18-dehn.tex b/18-dehn.tex index 9602aa9..30104d6 100644 --- a/18-dehn.tex +++ b/18-dehn.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \marginpar{Vorlesung 24}Auf dem zweiten internationalen Mathematikerkongress im August 1900 in Paris hielt David Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David - Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in Göttingen) + Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.} einen Vortrag, in dem er eine thematisch breit gefächerte \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertsche_Probleme}{Liste von 23 ungelösten mathematischen Problemen} präsentierte. Obwohl sein Vortrag @@ -21,9 +21,9 @@ In \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertsche_Probleme#Hilberts_drittes_Problem}{Hilbert's drittem Problem} geht es um folgende Frage: gegeben sind zwei \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder}{Polyeder} $P_1$ und $P_2$ im Raum -$\bR^3$. Ich möchte den ersten Polyeder $P_1$ durch gerade Schnitte in ein +$ℝ³$. Ich möchte den ersten Polyeder $P_1$ durch gerade Schnitte in ein Puzzle zerlegen, aus dem sich der zweite Polyeder $P_2$ zusammensetzen lässt. -Kann ich entscheiden, ob das möglich ist? In Schlausprech frage ich, ob die +Kann ich entscheiden, ob das möglich ist? In Schlausprech frage ich, ob die Polyeder $P_1$ und $P_2$ \emph{zerlegungsgleich}\index{Zerlegungsgleichheit} sind. @@ -40,7 +40,7 @@ werden hier nur eine Teilantwort diskutieren. Eines ist von vornherein klar. ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge $\Pi$ aller Polyeder. Die Volumenfunktion \[ - \operatorname{vol} : \Pi \to \bR^{\geq 0} + \operatorname{vol} : \Pi → ℝ^{≥ 0} \] ist auf den Äquivalenzklassen konstant. Man sagt, das Volumen ist eine \emph{Invariante}\index{Invariante}. @@ -61,16 +61,16 @@ mit gleichem Volumen gibt, die aber nicht zerlegungsgleich sind. Die Invariante ``Volumen'' ist also nicht fein genug um Hilbert's Frage vollständig zu beantworten. Aus diesem Grund konstruierte Max Dehn\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Max_Dehn}{Max Wilhelm Dehn} (* - 13. November 1878 in Hamburg; † 27. Juni 1952 in Black Mountain, North + 13. November 1878 in Hamburg; † 27. Juni 1952 in Black Mountain, North Carolina) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker. Er studierte unter Anderem an der \href{http://www.uni-freiburg.de}{Albert-Ludwigs-Universität Freiburg}.} eine weitere, sehr interessante Invariante, die nicht so offensichtlich ist, wie das Volumen. Die \emph{Dehn-Invariante}\index{Dehn-Invariante} ist eine Abbildung \[ - \operatorname{dehn} : \Pi \to V, + \operatorname{dehn} : \Pi → V, \] -wobei $V$ ein $\bQ$-Vektorraum ist, den wir gleich konstruieren werden. Die +wobei $V$ ein $ℚ$-Vektorraum ist, den wir gleich konstruieren werden. Die Invarianteneigenschaft folgt daraus, dass die Dehn-Invariante \emph{additiv} ist. Mit anderen Worten: wenn ein Polyeder $P$ auf beliebige Art in zwei Teilpolyeder zerlegt wird, $P = P_1 ∪ P_2$, dann gilt stets die folgende @@ -84,13 +84,13 @@ Gleichung, Um den Vektorraum $V$ zu konstruieren, betrachte $ℝ$ zuerst als Vektorraum über $ℚ$. Elemente sind zum Beispiel die Zahlen $1$, $\sqrt{2}$ oder die Kreiszahl -$π$. Dieser Vektorraum ist natürlich unendlich-dimensional. +$π$. Dieser Vektorraum ist natürlich unendlich-dimensional. \begin{bemerkung} - Um mit dem $\bQ$-Vektorraum $\bR$ warm zu werden, fragen wir: ist die Menge - $\{ 1, \sqrt{2}\}$ $\bQ$-linear unabhängig? Die Antwort ist ``Nein!'' Denn + Um mit dem $ℚ$-Vektorraum $ℝ$ warm zu werden, fragen wir: ist die Menge + $\{ 1, \sqrt{2}\}$ $ℚ$-linear unabhängig? Die Antwort ist ``Nein!'' Denn falls es zwischen den Zahlen $1$ und $\sqrt{2}$ eine nicht-triviale - $\bQ$-lineare Relation gäbe, + $ℚ$-lineare Relation gäbe, \[ p · 1 + q · \sqrt{2} = 0, \] @@ -98,8 +98,8 @@ $π$. Dieser Vektorraum ist natürlich unendlich-dimensional. aber schon, dass $\sqrt{2}$ irrational ist. \end{bemerkung} -Um jetzt den $\bQ$-Vektorraum $V$ zu konstruieren, betrachte den von der Zahl -$π$ erzeugten $\bQ$-Untervektorraum $\langle π \rangle \subset ℝ$. Weiter +Um jetzt den $ℚ$-Vektorraum $V$ zu konstruieren, betrachte den von der Zahl +$π$ erzeugten $ℚ$-Untervektorraum $\langle π \rangle ⊂ ℝ$. Weiter betrachten wir den Quotientenvektorraum $\factor{ℝ}{\langle π \rangle}$. Der Vektorraum $V$ von Max Dehn ist dann gleich dem Tensorprodukt, \[ @@ -110,23 +110,23 @@ Dies ist ein Tensorprodukt von $ℚ$-Vektorräumen, also selbst ein $ℚ$-Vektor \subsection{Konstruktion der Invariante} -Als nächstes müssen wir die Abbildung $\operatorname{dehn} : \Pi \to V$ -konstruieren; wir müssen also jedem Polyeder $P \subset \bR^3$ ein Element des -Vektorraumes $V$ zuordnen. Sei also ein Polyeder $P$ gegeben. Wir bezeichnen +Als nächstes müssen wir die Abbildung $\operatorname{dehn} : \Pi → V$ +konstruieren; wir müssen also jedem Polyeder $P ⊂ ℝ³$ ein Element des +Vektorraumes $V$ zuordnen. Sei also ein Polyeder $P$ gegeben. Wir bezeichnen die Kanten des Polyeders $P$ mit $E_1, …, E_n$ und die Längen der Kanten mit -$\ell(E_1)$, …, $\ell(E_n)$; dies sind positive reelle Zahlen. An jeder Kante +$ℓ(E_1)$, …, $ℓ(E_n)$; dies sind positive reelle Zahlen. An jeder Kante kommen zwei Flächen zusammen, wir bezeichnen den Winkel zwischen den Flächen mit $α(E_1)$, …, $α(E_n)$; dabei verwenden wir wie in der Mathematik üblich das Bogenmaß. Nach diesen Vorbereitung definieren wir das die Dehn-Invariante von $P$ schließlich als \[ - \operatorname{dehn}(P) := \sum_{k=1}^{n} \ell(E_k) ⊗ α (E_k). + \operatorname{dehn}(P) := \sum_{k=1}^{n} ℓ(E_k) ⊗ α (E_k). \] Wir werden gleich zeigen, dass dies tatsächlich eine Invariante -definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel. +definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel. \begin{beobachtung} - Kongruente Polyeder haben dieselbe Dehn-Invariante. \qed + Kongruente Polyeder haben dieselbe Dehn-Invariante. \qed \end{beobachtung} % PRISMA @@ -150,11 +150,11 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel. \foreach \i/\j in {B/C} \path[flaeche](\i1)--(\i2)--(\j2)--(\j1)--cycle; % sichtbare Kanten zeichnen - \path[draw, thick](C2) -- node[above]{$\ell$} (C1) -- (A1) -- - node[above]{$\ell$} (A2) -- node[left]{$\ell_1$} cycle; - \path[draw, thick](C2) -- node[right]{$\ell_2$} (B2) -- node[below, right=.5mm]{$\ell_3$} (A2); + \path[draw, thick](C2) -- node[above]{$ℓ$} (C1) -- (A1) -- + node[above]{$ℓ$} (A2) -- node[left]{$ℓ_1$} cycle; + \path[draw, thick](C2) -- node[right]{$ℓ_2$} (B2) -- node[below, right=.5mm]{$ℓ_3$} (A2); % verdeckte Kanten zeichnen - \path[draw,dashed](A1) -- (B1) -- node[above]{$\ell$} (B2) (B1) -- (C1); + \path[draw,dashed](A1) -- (B1) -- node[above]{$ℓ$} (B2) (B1) -- (C1); % Winkel zeichnen (im Uhrzeigersinn = Innenwinkel; Werte anpassen, damit es gut aussieht...) \pic ["$γ$", draw, angle radius=.4cm, angle eccentricity = 0.55]{angle=C2--B2--A2}; @@ -169,9 +169,9 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel. \begin{bsp}[Dehn-Invariante eines Prismas] Es sei $P$ das in Abbildung~\ref{fig:prisma} gezeigte Prisma. Dann berechnet sich die Dehn-Invariante als \begin{align*} - \operatorname{dehn}(P) &= \ell_1 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_2 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_3 ⊗ \frac{π}{2} + \ell ⊗ β + \ell ⊗ α + \ell ⊗ γ + \ell_1 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_2 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_3 ⊗ \frac{π}{2} \\ - &= \ell ⊗ (β + α + γ)\\ - &= \ell ⊗ π = 0. + \operatorname{dehn}(P) &= ℓ_1 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_2 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_3 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ ⊗ β + ℓ ⊗ α + ℓ ⊗ γ + ℓ_1 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_2 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_3 ⊗ \frac{π}{2} \\ + &= ℓ ⊗ (β + α + γ)\\ + &= ℓ ⊗ π = 0. \end{align*} \end{bsp} @@ -204,7 +204,7 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel. \path[flaeche] (\i1)--(\j1)--(S)--cycle; % sichtbare Kanten zeichnen - \path[draw, thick] (B1) -- (S) -- (C1) (S) -- (D1); + \path[draw, thick] (B1) -- (S) -- (C1) (S) -- (D1); % verdeckte Kanten zeichnen \path[draw, dashed] (S) -- (A1); @@ -232,52 +232,52 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel. \end{itemize} Nach Umnummerierung können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Kanten $E_1$, …, $E_b$ grün und dass die Kanten $E_{b+1}$, …, $E_n$ - schwarz sind. Jetzt schaue ich mir die Kanten von $P_1$ und $P_2$ an. Dort + schwarz sind. Jetzt schaue ich mir die Kanten von $P_1$ und $P_2$ an. Dort gibt es drei unterschiedliche Arten von Kanten. \begin{itemize} \item Die grünen Kanten $E_1$, …, $E_b$. Nach Umnummerierung können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Kanten $E_1$, …, $E_a$ Kanten des Teilpolyeders $P_1$ und dass die Kanten $E_{a+1}$, …, $E_b$ - Kanten des Teilpolyeders $P_1$ sind. Wenn wir mit $α^1(E_1)$, …, $α^1(E_a)$ - und $α^2(E_{a+1})$, …, $α^2(E_b)$ die Winkel der Flächen der Teilpolyeder + Kanten des Teilpolyeders $P_1$ sind. Wenn wir mit $α¹(E_1)$, …, $α¹(E_a)$ + und $α²(E_{a+1})$, …, $α²(E_b)$ die Winkel der Flächen der Teilpolyeder bezeichnen, dann gelten die Gleichungen \begin{equation} \begin{matrix} - α(E_1) = α^1(E_1) & … & α(E_a) = α^1(E_a) \\ - α(E_{a+1}) = α^2(E_{a+1}) & … & α(E_b) = α^2(E_b) + α(E_1) = α¹(E_1) & … & α(E_a) = α¹(E_a) \\ + α(E_{a+1}) = α²(E_{a+1}) & … & α(E_b) = α²(E_b) \end{matrix} \end{equation} \item Teilstücke von schwarzen Kanten. Wenn wir die Teilstücke der schwarzen - Kante $E_{\bullet}$ mit $E^1_{\bullet}$ und $E^2_{\bullet}$ bezeichnen, dann - gilt für die Längen und für die Winkel + Kante $E_{•}$ mit $E¹_{•}$ und $E²_{•}$ bezeichnen, dann + gilt für die Längen und für die Winkel \begin{equation} \begin{aligned} - \ell(E_{\bullet}) & = \ell^1(E^1_{\bullet}) + \ell^2(E^2_{\bullet}) \\ - α(E_{\bullet}) & = α^1(E^1_{\bullet}) = α^2(E^2_{\bullet}) + ℓ(E_{•}) & = ℓ¹(E¹_{•}) + ℓ²(E²_{•}) \\ + α(E_{•}) & = α¹(E¹_{•}) = α²(E²_{•}) \end{aligned} \end{equation} \item Schließlich gibt es noch Kanten, die durch das Zerlegen neu hinzugekommen sind. Eine solche Kante tritt immer zwei mal auf: ein mal in - $P_1$ und ein mal in $P_2$. Wir bezeichnen diese Kanten mit $E^1_{n+1}$, - $E^2_{n+1}$, …, $E^1_m$, $E^2_m$. Es gilt für jeden Index $i > n$ + $P_1$ und ein mal in $P_2$. Wir bezeichnen diese Kanten mit $E¹_{n+1}$, + $E²_{n+1}$, …, $E¹_m$, $E²_m$. Es gilt für jeden Index $i > n$ \begin{equation} - \ell^1(E^1_i) = \ell^2(E^2_i) \quad\text{und}\quad α^1(E^1_i) + α^2(E^2_i) = π + ℓ¹(E¹_i) = ℓ²(E²_i) \quad\text{und}\quad α¹(E¹_i) + α²(E²_i) = π \end{equation} \end{itemize} Mit diesen Bezeichnungen ist \begin{align*} - \operatorname{dehn}(P_1) & = \sum_{i=1}^a \ell^1(E_i)\otimes α^1(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^1(E^1_i)\otimes α^1(E^1_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^1(E^1_i)\otimes α^1(E^1_i) \\ - & = \sum_{i=1}^a \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^1(E^1_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^1(E^1_i)\otimes α^1(E^1_i) \\ - \operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=a+1}^b \ell^2(E_i)\otimes α^2(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^2(E^2_i)\otimes α^2(E^2_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^2(E^2_i)\otimes α^2(E^2_i) \\ - & = \sum_{i=a+1}^b \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^2(E^1_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^2(E^2_i)\otimes α^2(E^2_i) \\ + \operatorname{dehn}(P_1) & = \sum_{i=1}^a ℓ¹(E_i)⊗ α¹(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ¹(E¹_i)⊗ α¹(E¹_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ¹(E¹_i)⊗ α¹(E¹_i) \\ + & = \sum_{i=1}^a ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ¹(E¹_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ¹(E¹_i)⊗ α¹(E¹_i) \\ + \operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=a+1}^b ℓ²(E_i)⊗ α²(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ²(E²_i)⊗ α²(E²_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ²(E²_i)⊗ α²(E²_i) \\ + & = \sum_{i=a+1}^b ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ²(E¹_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ²(E²_i)⊗ α²(E²_i) \\ \end{align*} und deshalb \begin{align*} - \operatorname{dehn}(P_1) + \operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=1}^b \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \underbrace{\bigl(\ell^1(E^1_i)+\ell^2(E^1_i)\bigr)}_{= \ell(E_i)} \otimes α(E_i) \\ - & \qquad\qquad + \sum_{i=n+1}^m \ell^1(E^1_i)\otimes \underbrace{\bigl(α^1(E^1_i)+α^2(E^2_i)\bigr)}_{ = π\text{, also gleich 0 in }\factor{ℝ}{\langle π \rangle}} \\ - & = \sum_{i=1}^b \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell(E_i) \otimes α(E_i) \\ + \operatorname{dehn}(P_1) + \operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=1}^b ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \underbrace{\bigl(ℓ¹(E¹_i)+ℓ²(E¹_i)\bigr)}_{= ℓ(E_i)} ⊗ α(E_i) \\ + & \qquad\qquad + \sum_{i=n+1}^m ℓ¹(E¹_i)⊗ \underbrace{\bigl(α¹(E¹_i)+α²(E²_i)\bigr)}_{ = π\text{, also gleich 0 in }\factor{ℝ}{\langle π \rangle}} \\ + & = \sum_{i=1}^b ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ(E_i) ⊗ α(E_i) \\ & = \operatorname{dehn}(P). \end{align*} Das macht einen einfachen Mathematiker sehr glücklich. diff --git a/19-ausblick.tex b/19-ausblick.tex index edfbbd4..ce49645 100644 --- a/19-ausblick.tex +++ b/19-ausblick.tex @@ -11,7 +11,7 @@ mitgenommen haben. \bigskip -Ich wünsche Ihnen weiterhin viel Erfolg in Ihrem Studium. Bleiben Sie gesund. +Ich wünsche Ihnen weiterhin viel Erfolg in Ihrem Studium. Bleiben Sie gesund. \bigskip @@ -43,7 +43,7 @@ langfristigen Auswirkungen am ehesten mit denen der In dieser Situation erscheint mir unsere Gesellschaft als überfordert. Sie wirkt unfähig oder unwillig, die unausweichlichen Änderungen aktiv zu -gestalten. Unser Bildungssystem trägt nach meinem Eindruck wenig Positives bei; +gestalten. Unser Bildungssystem trägt nach meinem Eindruck wenig Positives bei; es scheint in weiten Teilen bemüht, die Änderungen der Welt so lang als möglich zu ignorieren. Es gilt aber der alte Satz: Was ich nicht verstehe, kann ich nicht gestalten! Was ich nicht verstehe, macht mir Angst! @@ -72,6 +72,6 @@ Vielleicht schauen Sie sich auch die praktischen Kurse von \bigskip Es ist sicher keine gute Idee, zu warten, bis Ihnen die Universität Freiburg -einen mundgerechten Kurs anbietet. Legen Sie los! +einen mundgerechten Kurs anbietet. Legen Sie los! % !TEX root = LineareAlgebra2 diff --git a/LineareAlgebra2.tex b/LineareAlgebra2.tex index 73b1b08..257fb82 100644 --- a/LineareAlgebra2.tex +++ b/LineareAlgebra2.tex @@ -123,7 +123,7 @@ korrigieren schnellstmöglich! Es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos und anderem. Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte. Wir fügen gerne einen -Link in den Text ein. Vielleicht hören Sie sich auch einmal unseren +Link in den Text ein. Vielleicht hören Sie sich auch einmal unseren \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/kg4nYgnEiJS35Fd}{experimentellen Podcast} an? diff --git a/stdPreamble.tex b/stdPreamble.tex index ceb68c2..a83517f 100644 --- a/stdPreamble.tex +++ b/stdPreamble.tex @@ -50,7 +50,7 @@ % Sloppy formatting -- often looks better \sloppy -% Changes the layout of descriptions and itemized lists. The indent specified in +% Changes the layout of descriptions and itemized lists. The indent specified in % the original amsart style is too much for my taste. \setdescription{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent} \setitemize[1]{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent} @@ -59,129 +59,129 @@ % % Input characters % -\newunicodechar{α}{\ensuremath{\alpha}} -\newunicodechar{β}{\ensuremath{\beta}} -\newunicodechar{χ}{\ensuremath{\chi}} -\newunicodechar{δ}{\ensuremath{\delta}} -\newunicodechar{ε}{\ensuremath{\varepsilon}} -\newunicodechar{Δ}{\ensuremath{\Delta}} -\newunicodechar{η}{\ensuremath{\eta}} -\newunicodechar{γ}{\ensuremath{\gamma}} -\newunicodechar{Γ}{\ensuremath{\Gamma}} -\newunicodechar{ι}{\ensuremath{\iota}} -\newunicodechar{κ}{\ensuremath{\kappa}} -\newunicodechar{λ}{\ensuremath{\lambda}} -\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{\Lambda}} -\newunicodechar{ν}{\ensuremath{\nu}} -\newunicodechar{μ}{\ensuremath{\mu}} -\newunicodechar{ω}{\ensuremath{\omega}} -\newunicodechar{Ω}{\ensuremath{\Omega}} -\newunicodechar{π}{\ensuremath{\pi}} +\newunicodechar{α}{\ensuremath{α}} +\newunicodechar{β}{\ensuremath{β}} +\newunicodechar{χ}{\ensuremath{χ}} +\newunicodechar{δ}{\ensuremath{δ}} +\newunicodechar{ε}{\ensuremath{ε}} +\newunicodechar{Δ}{\ensuremath{Δ}} +\newunicodechar{η}{\ensuremath{η}} +\newunicodechar{γ}{\ensuremath{γ}} +\newunicodechar{Γ}{\ensuremath{Γ}} +\newunicodechar{ι}{\ensuremath{ι}} +\newunicodechar{κ}{\ensuremath{κ}} +\newunicodechar{λ}{\ensuremath{λ}} +\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{Λ}} +\newunicodechar{ν}{\ensuremath{ν}} +\newunicodechar{μ}{\ensuremath{μ}} +\newunicodechar{ω}{\ensuremath{ω}} +\newunicodechar{Ω}{\ensuremath{Ω}} +\newunicodechar{π}{\ensuremath{π}} \newunicodechar{Π}{\ensuremath{\Pi}} -\newunicodechar{φ}{\ensuremath{\phi}} -\newunicodechar{Φ}{\ensuremath{\Phi}} -\newunicodechar{ψ}{\ensuremath{\psi}} -\newunicodechar{Ψ}{\ensuremath{\Psi}} -\newunicodechar{ρ}{\ensuremath{\rho}} -\newunicodechar{σ}{\ensuremath{\sigma}} -\newunicodechar{Σ}{\ensuremath{\Sigma}} -\newunicodechar{τ}{\ensuremath{\tau}} -\newunicodechar{θ}{\ensuremath{\theta}} -\newunicodechar{Θ}{\ensuremath{\Theta}} -\newunicodechar{ξ}{\ensuremath{\xi}} -\newunicodechar{Ξ}{\ensuremath{\Xi}} -\newunicodechar{ζ}{\ensuremath{\zeta}} +\newunicodechar{φ}{\ensuremath{φ}} +\newunicodechar{Φ}{\ensuremath{Φ}} +\newunicodechar{ψ}{\ensuremath{ψ}} +\newunicodechar{Ψ}{\ensuremath{Ψ}} +\newunicodechar{ρ}{\ensuremath{ρ}} +\newunicodechar{σ}{\ensuremath{σ}} +\newunicodechar{Σ}{\ensuremath{Σ}} +\newunicodechar{τ}{\ensuremath{τ}} +\newunicodechar{θ}{\ensuremath{θ}} +\newunicodechar{Θ}{\ensuremath{Θ}} +\newunicodechar{ξ}{\ensuremath{ξ}} +\newunicodechar{Ξ}{\ensuremath{Ξ}} +\newunicodechar{ζ}{\ensuremath{ζ}} -\newunicodechar{ℓ}{\ensuremath{\ell}} +\newunicodechar{ℓ}{\ensuremath{ℓ}} \newunicodechar{ï}{\"{\i}} -\newunicodechar{𝔸}{\ensuremath{\bA}} -\newunicodechar{𝔹}{\ensuremath{\bB}} -\newunicodechar{ℂ}{\ensuremath{\bC}} -\newunicodechar{𝔻}{\ensuremath{\bD}} -\newunicodechar{𝔼}{\ensuremath{\bE}} -\newunicodechar{𝔽}{\ensuremath{\bF}} -\newunicodechar{ℕ}{\ensuremath{\bN}} -\newunicodechar{ℙ}{\ensuremath{\bP}} -\newunicodechar{ℚ}{\ensuremath{\bQ}} -\newunicodechar{ℝ}{\ensuremath{\bR}} -\newunicodechar{𝕏}{\ensuremath{\bX}} -\newunicodechar{ℤ}{\ensuremath{\bZ}} -\newunicodechar{𝒜}{\ensuremath{\sA}} -\newunicodechar{ℬ}{\ensuremath{\sB}} -\newunicodechar{𝒞}{\ensuremath{\sC}} -\newunicodechar{𝒟}{\ensuremath{\sD}} -\newunicodechar{ℰ}{\ensuremath{\sE}} -\newunicodechar{ℱ}{\ensuremath{\sF}} -\newunicodechar{𝒢}{\ensuremath{\sG}} -\newunicodechar{ℋ}{\ensuremath{\sH}} -\newunicodechar{𝒥}{\ensuremath{\sJ}} -\newunicodechar{ℒ}{\ensuremath{\sL}} -\newunicodechar{𝒪}{\ensuremath{\sO}} -\newunicodechar{𝒬}{\ensuremath{\sQ}} -\newunicodechar{𝒯}{\ensuremath{\sT}} -\newunicodechar{𝒲}{\ensuremath{\sW}} +\newunicodechar{𝔸}{\ensuremath{𝔸}} +\newunicodechar{𝔹}{\ensuremath{𝔹}} +\newunicodechar{ℂ}{\ensuremath{ℂ}} +\newunicodechar{𝔻}{\ensuremath{𝔻}} +\newunicodechar{𝔼}{\ensuremath{𝔼}} +\newunicodechar{𝔽}{\ensuremath{𝔽}} +\newunicodechar{ℕ}{\ensuremath{ℕ}} +\newunicodechar{ℙ}{\ensuremath{ℙ}} +\newunicodechar{ℚ}{\ensuremath{ℚ}} +\newunicodechar{ℝ}{\ensuremath{ℝ}} +\newunicodechar{𝕏}{\ensuremath{𝕏}} +\newunicodechar{ℤ}{\ensuremath{ℤ}} +\newunicodechar{𝒜}{\ensuremath{𝒜}} +\newunicodechar{ℬ}{\ensuremath{ℬ}} +\newunicodechar{𝒞}{\ensuremath{𝒞}} +\newunicodechar{𝒟}{\ensuremath{𝒟}} +\newunicodechar{ℰ}{\ensuremath{ℰ}} +\newunicodechar{ℱ}{\ensuremath{ℱ}} +\newunicodechar{𝒢}{\ensuremath{𝒢}} +\newunicodechar{ℋ}{\ensuremath{ℋ}} +\newunicodechar{𝒥}{\ensuremath{𝒥}} +\newunicodechar{ℒ}{\ensuremath{ℒ}} +\newunicodechar{𝒪}{\ensuremath{𝒪}} +\newunicodechar{𝒬}{\ensuremath{𝒬}} +\newunicodechar{𝒯}{\ensuremath{𝒯}} +\newunicodechar{𝒲}{\ensuremath{𝒲}} -\newunicodechar{∂}{\ensuremath{\partial}} -\newunicodechar{∇}{\ensuremath{\nabla}} +\newunicodechar{∂}{\ensuremath{∂}} +\newunicodechar{∇}{\ensuremath{∇}} -\newunicodechar{↺}{\ensuremath{\circlearrowleft}} -\newunicodechar{∞}{\ensuremath{\infty}} -\newunicodechar{⊕}{\ensuremath{\oplus}} -\newunicodechar{⊗}{\ensuremath{\otimes}} -\newunicodechar{•}{\ensuremath{\bullet}} -\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{\wedge}} -\newunicodechar{↪}{\ensuremath{\into}} -\newunicodechar{→}{\ensuremath{\to}} -\newunicodechar{↦}{\ensuremath{\mapsto}} -\newunicodechar{⨯}{\ensuremath{\times}} -\newunicodechar{∪}{\ensuremath{\cup}} -\newunicodechar{∩}{\ensuremath{\cap}} -\newunicodechar{⊋}{\ensuremath{\supsetneq}} -\newunicodechar{⊇}{\ensuremath{\supseteq}} -\newunicodechar{⊃}{\ensuremath{\supset}} -\newunicodechar{⊊}{\ensuremath{\subsetneq}} -\newunicodechar{⊆}{\ensuremath{\subseteq}} -\newunicodechar{⊂}{\ensuremath{\subset}} -\newunicodechar{⊄}{\ensuremath{\not \subset}} -\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geq}} -\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}} -\newunicodechar{≫}{\ensuremath{\gg}} -\newunicodechar{≪}{\ensuremath{\ll}} +\newunicodechar{↺}{\ensuremath{↺}} +\newunicodechar{∞}{\ensuremath{∞}} +\newunicodechar{⊕}{\ensuremath{⊕}} +\newunicodechar{⊗}{\ensuremath{⊗}} +\newunicodechar{•}{\ensuremath{•}} +\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{Λ}} +\newunicodechar{↪}{\ensuremath{↪}} +\newunicodechar{→}{\ensuremath{→}} +\newunicodechar{↦}{\ensuremath{↦}} +\newunicodechar{⨯}{\ensuremath{⨯}} +\newunicodechar{∪}{\ensuremath{∪}} +\newunicodechar{∩}{\ensuremath{∩}} +\newunicodechar{⊋}{\ensuremath{⊋}} +\newunicodechar{⊇}{\ensuremath{⊇}} +\newunicodechar{⊃}{\ensuremath{⊃}} +\newunicodechar{⊊}{\ensuremath{⊊}} +\newunicodechar{⊆}{\ensuremath{⊆}} +\newunicodechar{⊂}{\ensuremath{⊂}} +\newunicodechar{⊄}{\ensuremath{⊄}} +\newunicodechar{≥}{\ensuremath{≥}} +\newunicodechar{≠}{\ensuremath{≠}} +\newunicodechar{≫}{\ensuremath{≫}} +\newunicodechar{≪}{\ensuremath{≪}} -\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leq}} -\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}} -\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\not \in}} -\newunicodechar{∖}{\ensuremath{\setminus}} -\newunicodechar{◦}{\ensuremath{\circ}} -\newunicodechar{°}{\ensuremath{^\circ}} +\newunicodechar{≤}{\ensuremath{≤}} +\newunicodechar{∈}{\ensuremath{∈}} +\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\not ∈}} +\newunicodechar{∖}{\ensuremath{∖}} +\newunicodechar{◦}{\ensuremath{◦}} +\newunicodechar{°}{\ensuremath{°}} \newunicodechar{…}{\ifmmode\mathellipsis\else\textellipsis\fi} -\newunicodechar{·}{\ensuremath{\cdot}} -\newunicodechar{⋯}{\ensuremath{\cdots}} -\newunicodechar{∅}{\ensuremath{\emptyset}} -\newunicodechar{⇒}{\ensuremath{\Rightarrow}} +\newunicodechar{·}{\ensuremath{·}} +\newunicodechar{⋯}{\ensuremath{⋯}} +\newunicodechar{∅}{\ensuremath{∅}} +\newunicodechar{⇒}{\ensuremath{⇒}} -\newunicodechar{⁰}{\ensuremath{^0}} -\newunicodechar{¹}{\ensuremath{^1}} -\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}} -\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}} -\newunicodechar{⁴}{\ensuremath{^4}} -\newunicodechar{⁵}{\ensuremath{^5}} -\newunicodechar{⁶}{\ensuremath{^6}} -\newunicodechar{⁷}{\ensuremath{^7}} -\newunicodechar{⁸}{\ensuremath{^8}} -\newunicodechar{⁹}{\ensuremath{^9}} -\newunicodechar{ⁱ}{\ensuremath{^i}} 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+\newunicodechar{±}{\ensuremath{±}} % @@ -227,7 +227,7 @@ \DeclareMathOperator{\red}{red} \DeclareMathOperator{\reg}{reg} \DeclareMathOperator{\sat}{sat} -\DeclareMathOperator{\sEnd}{\sE\negthinspace \mathit{nd}} +\DeclareMathOperator{\sEnd}{ℰ\negthinspace \mathit{nd}} \DeclareMathOperator{\sing}{sing} \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} @@ -237,30 +237,30 @@ \DeclareMathOperator{\Frob}{Frob} % Sheaves -\newcommand{\sA}{\scr{A}} -\newcommand{\sB}{\scr{B}} -\newcommand{\sC}{\scr{C}} -\newcommand{\sD}{\scr{D}} -\newcommand{\sE}{\scr{E}} -\newcommand{\sF}{\scr{F}} -\newcommand{\sG}{\scr{G}} -\newcommand{\sH}{\scr{H}} +\newcommand{𝒜}{\scr{A}} +\newcommand{ℬ}{\scr{B}} +\newcommand{𝒞}{\scr{C}} +\newcommand{𝒟}{\scr{D}} +\newcommand{ℰ}{\scr{E}} +\newcommand{ℱ}{\scr{F}} +\newcommand{𝒢}{\scr{G}} +\newcommand{ℋ}{\scr{H}} \newcommand{\sHom}{\scr{H}\negthinspace om} \newcommand{\sI}{\scr{I}} -\newcommand{\sJ}{\scr{J}} +\newcommand{𝒥}{\scr{J}} \newcommand{\sK}{\scr{K}} -\newcommand{\sL}{\scr{L}} -\newcommand{\sM}{\scr{M}} +\newcommand{ℒ}{\scr{L}} +\newcommand{ℳ}{\scr{M}} \newcommand{\sN}{\scr{N}} -\newcommand{\sO}{\scr{O}} +\newcommand{𝒪}{\scr{O}} \newcommand{\sP}{\scr{P}} -\newcommand{\sQ}{\scr{Q}} +\newcommand{𝒬}{\scr{Q}} \newcommand{\sR}{\scr{R}} -\newcommand{\sS}{\scr{S}} -\newcommand{\sT}{\scr{T}} +\newcommand{𝒮}{\scr{S}} +\newcommand{𝒯}{\scr{T}} \newcommand{\sU}{\scr{U}} \newcommand{\sV}{\scr{V}} -\newcommand{\sW}{\scr{W}} +\newcommand{𝒲}{\scr{W}} \newcommand{\sX}{\scr{X}} \newcommand{\sY}{\scr{Y}} \newcommand{\sZ}{\scr{Z}} @@ -275,32 +275,32 @@ \newcommand{\cV}{\mathcal V} % Blackboard Bold Symbols -\newcommand{\bA}{\mathbb{A}} -\newcommand{\bB}{\mathbb{B}} -\newcommand{\bC}{\mathbb{C}} -\newcommand{\bD}{\mathbb{D}} -\newcommand{\bE}{\mathbb{E}} -\newcommand{\bF}{\mathbb{F}} -\newcommand{\bG}{\mathbb{G}} +\newcommand{𝔸}{\mathbb{A}} +\newcommand{𝔹}{\mathbb{B}} +\newcommand{ℂ}{\mathbb{C}} +\newcommand{𝔻}{\mathbb{D}} +\newcommand{𝔼}{\mathbb{E}} +\newcommand{𝔽}{\mathbb{F}} +\newcommand{𝔾}{\mathbb{G}} \newcommand{\bH}{\mathbb{H}} \newcommand{\bI}{\mathbb{I}} \newcommand{\bJ}{\mathbb{J}} \newcommand{\bK}{\mathbb{K}} \newcommand{\bL}{\mathbb{L}} \newcommand{\bM}{\mathbb{M}} -\newcommand{\bN}{\mathbb{N}} +\newcommand{ℕ}{\mathbb{N}} \newcommand{\bO}{\mathbb{O}} -\newcommand{\bP}{\mathbb{P}} -\newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} -\newcommand{\bR}{\mathbb{R}} +\newcommand{ℙ}{\mathbb{P}} +\newcommand{ℚ}{\mathbb{Q}} +\newcommand{ℝ}{\mathbb{R}} \newcommand{\bS}{\mathbb{S}} \newcommand{\bT}{\mathbb{T}} \newcommand{\bU}{\mathbb{U}} \newcommand{\bV}{\mathbb{V}} \newcommand{\bW}{\mathbb{W}} -\newcommand{\bX}{\mathbb{X}} +\newcommand{𝕏}{\mathbb{X}} \newcommand{\bY}{\mathbb{Y}} -\newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} +\newcommand{ℤ}{\mathbb{Z}} % Sans serif symbols \newcommand{\aB}{{\sf B}} @@ -343,15 +343,15 @@ \newtheorem{setting}[thm]{Setting} \newtheorem{warning}[thm]{Warning} -% Numbering of equations. Number equation subordniate to theorems. +% Numbering of equations. Number equation subordniate to theorems. \numberwithin{equation}{thm} -% Style for enumerated lists. The following makes sure that enumerated lists are +% Style for enumerated lists. The following makes sure that enumerated lists are % numbered in the same way as equations are. \setlist[enumerate]{label=(\thethm.\arabic*), before={\setcounter{enumi}{\value{equation}}}, after={\setcounter{equation}{\value{enumi}}}} % Shorthand notations -\newcommand{\into}{\hookrightarrow} +\newcommand{↪}{↪} \newcommand{\onto}{\twoheadrightarrow} \newcommand{\wtilde}{\widetilde} \newcommand{\what}{\widehat} @@ -374,4 +374,4 @@ \newcommand\CounterStep{\addtocounter{thm}{1}\setcounter{equation}{0}} % factor - quotient groups -\newcommand{\factor}[2]{\left. \raise 2pt\hbox{$#1$} \right/\hskip -2pt\raise -2pt\hbox{$#2$}} +\newcommand{\factor}[2]{\left. \raise 2pt\hbox{$#1$} \right/\hskip -2pt\raise -2pt\hbox{$#2$}}