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bd2fd06b37
@ -258,8 +258,83 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{2-2} beweist ein vorbereitendes Lemma. \sideremark{Vorlesung 3}Der
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Beweis des Satzes wird dann in \video{3-1} beendet.
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Wir zerlegen den Beweis in mehrere Schritte.
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\bigskip\noindent\emph{Schritt 1 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:} Wähle
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einen Eigenvektor $\vec v_1$ von $f$ zum Eigenwert $λ$ und ergänze zu einer
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Basis $B = \{\vec v_1, \vec v_2, …, \vec v_n\}$. Dann ist die zugehörende
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Matrix von der Form
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$$
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\Mat^B_B (f) = \left(
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\begin{array}{l|l}
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λ & * \\
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\hline
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0 & A
|
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\end{array}\right).
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$$
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Es ist $χ_f(t) = (t-λ)·χ_A(t)$ und deshalb ist $λ$ eine $(r-1)$-fache
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Nullstelle des Polynoms $χ_A$.
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\bigskip\noindent\emph{Schritt 2 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:} Ich
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werde jetzt per Induktion nach $r$ zeigen, dass es eine Basis $B$ von $V$
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gibt, sodass die zu $f$ gehörende Matrix die folgende Form hat,
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$$
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\Mat^B_B (f) = \left(
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||||
\begin{array}{lll|l}
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||||
λ & & * & \\
|
||||
& \ddots & & * \\
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0 & & λ \\
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\hline
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& 0 & & A
|
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\end{array}\right),
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$$
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dabei hat die obere Dreiecksmatrix oben links das Format $r ⨯ r$ und die
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Matrix $A$ hat $λ$ nicht als Eigenvektor.
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\begin{description}
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\item[Induktionsstart] Im Fall $r = 1$ erfüllt die in Schritt 1 gefundene
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Basis bereits alle Bedingungen.
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\item[Induktionsschritt] Sei jetzt $r > 1$ und sei die Behauptung für alle
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Endomorphismen und Eigenwerte mit algebraischer Multiplizität kleiner $r$
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bereits bewiesen. Betrachte wieder die Basis $B$ aus Schritt 1, die diesmal
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aber vielleicht noch nicht die gesuchten Eigenschaften hat. Betrachte auch
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den Untervektorraum
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$$
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W := \langle \vec v_2, …, \vec v_n \rangle ⊂ V.
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$$
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Die Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen liefert eine
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Endomorphismus $g ∈ \End(W)$, der bezüglich der Basis $B_W := \vec v_2, …,
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\vec v_n ∈ W$ die Matrix $A$ hat. Per Induktionsannahme gibt es aber auch
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eine Basis $B'_W := \vec v'_2, …, \vec v'_n ∈ W$, sodass
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||||
$$
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||||
\Mat^{B'_W}_{B'_W} (g) = \left(
|
||||
\begin{array}{lll|l}
|
||||
λ & & * & \\
|
||||
& \ddots & & * \\
|
||||
0 & & λ \\
|
||||
\hline
|
||||
& 0 & & A'
|
||||
\end{array}\right),
|
||||
$$
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||||
dabei hat die obere Dreiecksmatrix oben links das Format $(r-1) ⨯ (r-1)$ und
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die Matrix $A'$ hat $λ$ nicht als Eigenvektor. Man rechne jetzt nach, dass
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$B' = \vec v_1, \vec v'_2, …, \vec v'_n ∈ V$ eine Basis von $V$ ist und dass
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$$
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||||
\Mat^{B'}_{B'} (f) = \left(
|
||||
\begin{array}{l|l}
|
||||
λ & * \\
|
||||
\hline
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||||
0 & \Mat^{B'_W}_{B'_W} (g)
|
||||
\end{array}\right)
|
||||
$$
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||||
ist. Damit hat $\Mat^{B'}_{B'} (f)$ die gesuchte Form.
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||||
\end{description}
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\bigskip\noindent\emph{Schritt 3 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:}
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\sideremark{Vorlesung 3}Der Beweis des Satzes wird in \video{3-1} beendet.
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||||
\end{proof}
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||||
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\begin{kor}\label{kor:2-2-11}%
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@ -385,7 +460,7 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
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||||
In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$. Dann gilt
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Folgendes.
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\begin{enumerate}
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||||
\item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$
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||||
\item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$.
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||||
|
||||
\item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass $\vec{v} ∈ V^p ⇔
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||||
f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$.
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||||
@ -409,7 +484,7 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
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||||
\begin{proof}[Beweis von Proposition~\ref{prop:2-3-4}]
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\video{3-4}. Als Übung sollten Sie versuchen, die Abbildung $\overline{f}$
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||||
auf Repräsentantenniveau zu definieren. Was müssen Sie genau zeigen, um
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Wohldefiniertheit zu erhalten. Wussten Sie schon, dass ich solche Fragen gern
|
||||
Wohldefiniertheit zu erhalten? Wussten Sie schon, dass ich solche Fragen gern
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||||
in Klausur und mündlichen Prüfungen stelle?
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||||
\end{proof}
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@ -335,7 +335,7 @@ einem reellen Vektorraum einen komplexen Vektorraum macht.
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und die \emph{kanonische Inklusion}\index{kanonische Inklusion eines
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||||
Vektorraum in seine Komplexifizierung}
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\[
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||||
ι : V → V^{\bC}, \quad \vec{v} ↦ \bigl(\vec{v}, \vec{0}\bigr).
|
||||
ι : V → V^{ℂ}, \quad \vec{v} ↦ \bigl(\vec{v}, \vec{0}\bigr).
|
||||
\]
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||||
Mit Hilfe der injektiven Abbildung $ι$ fassen wir den Vektorraum $V$ als
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||||
Teilmenge von $V^{ℂ}$ auf; gegeben $\vec{v} ∈ V$ nennen wir $ι(\vec{v})$
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||||
@ -147,9 +147,9 @@ Matrix positive definit ist.
|
||||
\[
|
||||
A =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
a_{11} & \ldots & a_{n1} \\
|
||||
a_{11} & … & a_{n1} \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & \ldots & a_{nn}
|
||||
a_{n1} & … & a_{nn}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
∈ \Mat(n⨯ n, k)
|
||||
\]
|
||||
@ -158,9 +158,9 @@ Matrix positive definit ist.
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||||
\[
|
||||
A_m :=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
a_{11} & \ldots & a_{m1} \\
|
||||
a_{11} & … & a_{m1} \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
a_{m1} & \ldots & a_{mm}
|
||||
a_{m1} & … & a_{mm}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
∈ \Mat(m⨯ m, k).
|
||||
\]
|
||||
|
||||
@ -102,11 +102,11 @@ Wir betrachten die folgende, symmetrische $n⨯n$-Matrix
|
||||
\[
|
||||
A =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
f_{11} & \frac{1}{2}·f_{12} & & \cdots & \frac{1}{2}·f_{1n} \\
|
||||
f_{11} & \frac{1}{2}·f_{12} & & ⋯ & \frac{1}{2}·f_{1n} \\
|
||||
\frac{1}{2}·f_{12} & f_{22} & \ddots & & \vdots \\
|
||||
\vdots & \ddots & \ddots \\
|
||||
& & & f_{n-1,n-1} & \frac{1}{2}·f_{n-1,n} \\
|
||||
\frac{1}{2}·f_{1n} & \cdots & & \frac{1}{2}·f_{n-1,n} & f_{nn}
|
||||
\frac{1}{2}·f_{1n} & ⋯ & & \frac{1}{2}·f_{n-1,n} & f_{nn}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\]
|
||||
und den Vektor
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||||
|
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@ -119,7 +119,7 @@ wissen, ob sie Null sind oder nicht.
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||||
Beweisen Sie, dass der Tensor
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||||
$\vec{e}_1⊗\vec{e}_1 + \vec{e}_2⊗\vec{e}_2 ∈ ℝ² ⊗ ℝ²$ \emph{kein} reiner
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||||
Tensor ist! Finden Sie unterschiedliche Vektoren $\vec{v}_1$,
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||||
$\vec{v}_2 ∈ ℝ^2$, so dass die Gleichheit
|
||||
$\vec{v}_2 ∈ ℝ²$, so dass die Gleichheit
|
||||
$\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 = \vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ gilt! Finden Sie Vektoren, so
|
||||
dass die Gleichheit nicht gilt!
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||||
\end{aufgabe}
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@ -165,7 +165,7 @@ jeweils ohne Beweis die wesentlichen Punkte auf.
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\label{sec:tAlg2}
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||||
Gegeben einen Körper $k$, einen $k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$
|
||||
und $b ∈ ℕ^+$, definieren wir wie folgt eine Abbildung
|
||||
und $b ∈ ℕ⁺$, definieren wir wie folgt eine Abbildung
|
||||
\[
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
m_{ab} : & V^{⊗ a} ⨯ V^{⊗ b} & → & V^{⊗ (a+b)} \\
|
||||
|
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@ -223,7 +223,7 @@ verzichte ich darauf.
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||||
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||||
Ganz analog zur Konstruktion der Tensoralgebra in Abschnitt~\ref{sec:tAlg2}
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definieren wir die äußere Algebra. Konkret: Gegeben einen Körper $k$, einen
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||||
$k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$ und $b ∈ ℕ^+$, definieren wir
|
||||
$k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$ und $b ∈ ℕ⁺$, definieren wir
|
||||
wie folgt eine Abbildung
|
||||
\[
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
@ -450,11 +450,11 @@ ist. Mit Hilfe des Dachproduktes können wir alle $a_i$ verstehen!
|
||||
\[
|
||||
B = (b_{ij}) =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
a_{11}-t & a_{12} & \cdots & & a_{n1} \\
|
||||
a_{11}-t & a_{12} & ⋯ & & a_{n1} \\
|
||||
a_{21} & \ddots & \ddots & & \vdots \\
|
||||
\vdots & \ddots \\
|
||||
& & & & a_{(n-1)n}\\
|
||||
a_{n1} & \cdots & & a_{n(n-1)} & a_{nn}-t
|
||||
a_{n1} & ⋯ & & a_{n(n-1)} & a_{nn}-t
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\]
|
||||
Das charakteristische Polynom ist dann die Determinante von $B$, also
|
||||
|
||||
74
18-dehn.tex
74
18-dehn.tex
@ -21,7 +21,7 @@ In
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||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertsche_Probleme#Hilberts_drittes_Problem}{Hilbert's
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||||
drittem Problem} geht es um folgende Frage: gegeben sind zwei
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||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder}{Polyeder} $P_1$ und $P_2$ im Raum
|
||||
$\bR^3$. Ich möchte den ersten Polyeder $P_1$ durch gerade Schnitte in ein
|
||||
$ℝ³$. Ich möchte den ersten Polyeder $P_1$ durch gerade Schnitte in ein
|
||||
Puzzle zerlegen, aus dem sich der zweite Polyeder $P_2$ zusammensetzen lässt.
|
||||
Kann ich entscheiden, ob das möglich ist? In Schlausprech frage ich, ob die
|
||||
Polyeder $P_1$ und $P_2$ \emph{zerlegungsgleich}\index{Zerlegungsgleichheit}
|
||||
@ -40,7 +40,7 @@ werden hier nur eine Teilantwort diskutieren. Eines ist von vornherein klar.
|
||||
ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge $\Pi$ aller Polyeder. Die
|
||||
Volumenfunktion
|
||||
\[
|
||||
\operatorname{vol} : \Pi \to \bR^{\geq 0}
|
||||
\operatorname{vol} : \Pi → ℝ^{≥ 0}
|
||||
\]
|
||||
ist auf den Äquivalenzklassen konstant. Man sagt, das Volumen ist eine
|
||||
\emph{Invariante}\index{Invariante}.
|
||||
@ -68,9 +68,9 @@ Dehn\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Max_Dehn}{Max Wilhelm Dehn} (*
|
||||
offensichtlich ist, wie das Volumen. Die
|
||||
\emph{Dehn-Invariante}\index{Dehn-Invariante} ist eine Abbildung
|
||||
\[
|
||||
\operatorname{dehn} : \Pi \to V,
|
||||
\operatorname{dehn} : \Pi → V,
|
||||
\]
|
||||
wobei $V$ ein $\bQ$-Vektorraum ist, den wir gleich konstruieren werden. Die
|
||||
wobei $V$ ein $ℚ$-Vektorraum ist, den wir gleich konstruieren werden. Die
|
||||
Invarianteneigenschaft folgt daraus, dass die Dehn-Invariante \emph{additiv}
|
||||
ist. Mit anderen Worten: wenn ein Polyeder $P$ auf beliebige Art in zwei
|
||||
Teilpolyeder zerlegt wird, $P = P_1 ∪ P_2$, dann gilt stets die folgende
|
||||
@ -87,10 +87,10 @@ $ℚ$. Elemente sind zum Beispiel die Zahlen $1$, $\sqrt{2}$ oder die Kreiszahl
|
||||
$π$. Dieser Vektorraum ist natürlich unendlich-dimensional.
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Um mit dem $\bQ$-Vektorraum $\bR$ warm zu werden, fragen wir: ist die Menge
|
||||
$\{ 1, \sqrt{2}\}$ $\bQ$-linear unabhängig? Die Antwort ist ``Nein!'' Denn
|
||||
Um mit dem $ℚ$-Vektorraum $ℝ$ warm zu werden, fragen wir: ist die Menge
|
||||
$\{ 1, \sqrt{2}\}$ $ℚ$-linear unabhängig? Die Antwort ist ``Nein!'' Denn
|
||||
falls es zwischen den Zahlen $1$ und $\sqrt{2}$ eine nicht-triviale
|
||||
$\bQ$-lineare Relation gäbe,
|
||||
$ℚ$-lineare Relation gäbe,
|
||||
\[
|
||||
p · 1 + q · \sqrt{2} = 0,
|
||||
\]
|
||||
@ -98,8 +98,8 @@ $π$. Dieser Vektorraum ist natürlich unendlich-dimensional.
|
||||
aber schon, dass $\sqrt{2}$ irrational ist.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
Um jetzt den $\bQ$-Vektorraum $V$ zu konstruieren, betrachte den von der Zahl
|
||||
$π$ erzeugten $\bQ$-Untervektorraum $\langle π \rangle \subset ℝ$. Weiter
|
||||
Um jetzt den $ℚ$-Vektorraum $V$ zu konstruieren, betrachte den von der Zahl
|
||||
$π$ erzeugten $ℚ$-Untervektorraum $\langle π \rangle ⊂ ℝ$. Weiter
|
||||
betrachten wir den Quotientenvektorraum $\factor{ℝ}{\langle π \rangle}$. Der
|
||||
Vektorraum $V$ von Max Dehn ist dann gleich dem Tensorprodukt,
|
||||
\[
|
||||
@ -110,17 +110,17 @@ Dies ist ein Tensorprodukt von $ℚ$-Vektorräumen, also selbst ein $ℚ$-Vektor
|
||||
|
||||
\subsection{Konstruktion der Invariante}
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||||
|
||||
Als nächstes müssen wir die Abbildung $\operatorname{dehn} : \Pi \to V$
|
||||
konstruieren; wir müssen also jedem Polyeder $P \subset \bR^3$ ein Element des
|
||||
Als nächstes müssen wir die Abbildung $\operatorname{dehn} : \Pi → V$
|
||||
konstruieren; wir müssen also jedem Polyeder $P ⊂ ℝ³$ ein Element des
|
||||
Vektorraumes $V$ zuordnen. Sei also ein Polyeder $P$ gegeben. Wir bezeichnen
|
||||
die Kanten des Polyeders $P$ mit $E_1, …, E_n$ und die Längen der Kanten mit
|
||||
$\ell(E_1)$, …, $\ell(E_n)$; dies sind positive reelle Zahlen. An jeder Kante
|
||||
$ℓ(E_1)$, …, $ℓ(E_n)$; dies sind positive reelle Zahlen. An jeder Kante
|
||||
kommen zwei Flächen zusammen, wir bezeichnen den Winkel zwischen den Flächen mit
|
||||
$α(E_1)$, …, $α(E_n)$; dabei verwenden wir wie in der Mathematik üblich das
|
||||
Bogenmaß. Nach diesen Vorbereitung definieren wir das die Dehn-Invariante von
|
||||
$P$ schließlich als
|
||||
\[
|
||||
\operatorname{dehn}(P) := \sum_{k=1}^{n} \ell(E_k) ⊗ α (E_k).
|
||||
\operatorname{dehn}(P) := \sum_{k=1}^{n} ℓ(E_k) ⊗ α (E_k).
|
||||
\]
|
||||
Wir werden gleich zeigen, dass dies tatsächlich eine Invariante
|
||||
definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
|
||||
@ -150,11 +150,11 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
|
||||
\foreach \i/\j in {B/C}
|
||||
\path[flaeche](\i1)--(\i2)--(\j2)--(\j1)--cycle;
|
||||
% sichtbare Kanten zeichnen
|
||||
\path[draw, thick](C2) -- node[above]{$\ell$} (C1) -- (A1) --
|
||||
node[above]{$\ell$} (A2) -- node[left]{$\ell_1$} cycle;
|
||||
\path[draw, thick](C2) -- node[right]{$\ell_2$} (B2) -- node[below, right=.5mm]{$\ell_3$} (A2);
|
||||
\path[draw, thick](C2) -- node[above]{$ℓ$} (C1) -- (A1) --
|
||||
node[above]{$ℓ$} (A2) -- node[left]{$ℓ_1$} cycle;
|
||||
\path[draw, thick](C2) -- node[right]{$ℓ_2$} (B2) -- node[below, right=.5mm]{$ℓ_3$} (A2);
|
||||
% verdeckte Kanten zeichnen
|
||||
\path[draw,dashed](A1) -- (B1) -- node[above]{$\ell$} (B2) (B1) -- (C1);
|
||||
\path[draw,dashed](A1) -- (B1) -- node[above]{$ℓ$} (B2) (B1) -- (C1);
|
||||
% Winkel zeichnen (im Uhrzeigersinn = Innenwinkel; Werte anpassen, damit es gut aussieht...)
|
||||
\pic ["$γ$", draw, angle radius=.4cm, angle eccentricity =
|
||||
0.55]{angle=C2--B2--A2};
|
||||
@ -169,9 +169,9 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
|
||||
\begin{bsp}[Dehn-Invariante eines Prismas]
|
||||
Es sei $P$ das in Abbildung~\ref{fig:prisma} gezeigte Prisma. Dann berechnet sich die Dehn-Invariante als
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\operatorname{dehn}(P) &= \ell_1 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_2 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_3 ⊗ \frac{π}{2} + \ell ⊗ β + \ell ⊗ α + \ell ⊗ γ + \ell_1 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_2 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_3 ⊗ \frac{π}{2} \\
|
||||
&= \ell ⊗ (β + α + γ)\\
|
||||
&= \ell ⊗ π = 0.
|
||||
\operatorname{dehn}(P) &= ℓ_1 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_2 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_3 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ ⊗ β + ℓ ⊗ α + ℓ ⊗ γ + ℓ_1 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_2 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_3 ⊗ \frac{π}{2} \\
|
||||
&= ℓ ⊗ (β + α + γ)\\
|
||||
&= ℓ ⊗ π = 0.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
@ -238,46 +238,46 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
|
||||
\item Die grünen Kanten $E_1$, …, $E_b$. Nach Umnummerierung können wir ohne
|
||||
Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Kanten $E_1$, …, $E_a$
|
||||
Kanten des Teilpolyeders $P_1$ und dass die Kanten $E_{a+1}$, …, $E_b$
|
||||
Kanten des Teilpolyeders $P_1$ sind. Wenn wir mit $α^1(E_1)$, …, $α^1(E_a)$
|
||||
und $α^2(E_{a+1})$, …, $α^2(E_b)$ die Winkel der Flächen der Teilpolyeder
|
||||
Kanten des Teilpolyeders $P_1$ sind. Wenn wir mit $α¹(E_1)$, …, $α¹(E_a)$
|
||||
und $α²(E_{a+1})$, …, $α²(E_b)$ die Winkel der Flächen der Teilpolyeder
|
||||
bezeichnen, dann gelten die Gleichungen
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
α(E_1) = α^1(E_1) & … & α(E_a) = α^1(E_a) \\
|
||||
α(E_{a+1}) = α^2(E_{a+1}) & … & α(E_b) = α^2(E_b)
|
||||
α(E_1) = α¹(E_1) & … & α(E_a) = α¹(E_a) \\
|
||||
α(E_{a+1}) = α²(E_{a+1}) & … & α(E_b) = α²(E_b)
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\item Teilstücke von schwarzen Kanten. Wenn wir die Teilstücke der schwarzen
|
||||
Kante $E_{\bullet}$ mit $E^1_{\bullet}$ und $E^2_{\bullet}$ bezeichnen, dann
|
||||
Kante $E_{•}$ mit $E¹_{•}$ und $E²_{•}$ bezeichnen, dann
|
||||
gilt für die Längen und für die Winkel
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
\ell(E_{\bullet}) & = \ell^1(E^1_{\bullet}) + \ell^2(E^2_{\bullet}) \\
|
||||
α(E_{\bullet}) & = α^1(E^1_{\bullet}) = α^2(E^2_{\bullet})
|
||||
ℓ(E_{•}) & = ℓ¹(E¹_{•}) + ℓ²(E²_{•}) \\
|
||||
α(E_{•}) & = α¹(E¹_{•}) = α²(E²_{•})
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\item Schließlich gibt es noch Kanten, die durch das Zerlegen neu
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||||
hinzugekommen sind. Eine solche Kante tritt immer zwei mal auf: ein mal in
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||||
$P_1$ und ein mal in $P_2$. Wir bezeichnen diese Kanten mit $E^1_{n+1}$,
|
||||
$E^2_{n+1}$, …, $E^1_m$, $E^2_m$. Es gilt für jeden Index $i > n$
|
||||
$P_1$ und ein mal in $P_2$. Wir bezeichnen diese Kanten mit $E¹_{n+1}$,
|
||||
$E²_{n+1}$, …, $E¹_m$, $E²_m$. Es gilt für jeden Index $i > n$
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\ell^1(E^1_i) = \ell^2(E^2_i) \quad\text{und}\quad α^1(E^1_i) + α^2(E^2_i) = π
|
||||
ℓ¹(E¹_i) = ℓ²(E²_i) \quad\text{und}\quad α¹(E¹_i) + α²(E²_i) = π
|
||||
\end{equation}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Mit diesen Bezeichnungen ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\operatorname{dehn}(P_1) & = \sum_{i=1}^a \ell^1(E_i)\otimes α^1(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^1(E^1_i)\otimes α^1(E^1_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^1(E^1_i)\otimes α^1(E^1_i) \\
|
||||
& = \sum_{i=1}^a \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^1(E^1_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^1(E^1_i)\otimes α^1(E^1_i) \\
|
||||
\operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=a+1}^b \ell^2(E_i)\otimes α^2(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^2(E^2_i)\otimes α^2(E^2_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^2(E^2_i)\otimes α^2(E^2_i) \\
|
||||
& = \sum_{i=a+1}^b \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^2(E^1_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^2(E^2_i)\otimes α^2(E^2_i) \\
|
||||
\operatorname{dehn}(P_1) & = \sum_{i=1}^a ℓ¹(E_i)⊗ α¹(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ¹(E¹_i)⊗ α¹(E¹_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ¹(E¹_i)⊗ α¹(E¹_i) \\
|
||||
& = \sum_{i=1}^a ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ¹(E¹_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ¹(E¹_i)⊗ α¹(E¹_i) \\
|
||||
\operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=a+1}^b ℓ²(E_i)⊗ α²(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ²(E²_i)⊗ α²(E²_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ²(E²_i)⊗ α²(E²_i) \\
|
||||
& = \sum_{i=a+1}^b ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ²(E¹_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ²(E²_i)⊗ α²(E²_i) \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
und deshalb
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\operatorname{dehn}(P_1) + \operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=1}^b \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \underbrace{\bigl(\ell^1(E^1_i)+\ell^2(E^1_i)\bigr)}_{= \ell(E_i)} \otimes α(E_i) \\
|
||||
& \qquad\qquad + \sum_{i=n+1}^m \ell^1(E^1_i)\otimes \underbrace{\bigl(α^1(E^1_i)+α^2(E^2_i)\bigr)}_{ = π\text{, also gleich 0 in }\factor{ℝ}{\langle π \rangle}} \\
|
||||
& = \sum_{i=1}^b \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell(E_i) \otimes α(E_i) \\
|
||||
\operatorname{dehn}(P_1) + \operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=1}^b ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \underbrace{\bigl(ℓ¹(E¹_i)+ℓ²(E¹_i)\bigr)}_{= ℓ(E_i)} ⊗ α(E_i) \\
|
||||
& \qquad\qquad + \sum_{i=n+1}^m ℓ¹(E¹_i)⊗ \underbrace{\bigl(α¹(E¹_i)+α²(E²_i)\bigr)}_{ = π\text{, also gleich 0 in }\factor{ℝ}{\langle π \rangle}} \\
|
||||
& = \sum_{i=1}^b ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ(E_i) ⊗ α(E_i) \\
|
||||
& = \operatorname{dehn}(P).
|
||||
\end{align*}
|
||||
Das macht einen einfachen Mathematiker sehr glücklich.
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||||
|
||||
286
stdPreamble.tex
286
stdPreamble.tex
@ -59,129 +59,129 @@
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%
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% Input characters
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%
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\newunicodechar{α}{\ensuremath{\alpha}}
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\newunicodechar{χ}{\ensuremath{\chi}}
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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%
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@ -227,7 +227,7 @@
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@ -237,30 +237,30 @@
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@ -275,32 +275,32 @@
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@ -351,7 +351,7 @@
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